2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2
- 格式：doc
- 大小：2.70 MB
- 文档页数：14
2
1
2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明
2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2(可编辑) 2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2
2 2．1。1 合情推理
1.了解合情推理的含义及作用． 2。理解归纳推理与类比推理的特点及步骤． 3。会利用归纳和类比的方法进行推理．
1．推理
（1)定义：根据一个或几个已知事实（或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理． （2）结构:推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提；一部分是由已知判断推出的新判断,叫做结论．
(3)分类：推理错误!
2．合情推理
(1)合情推理
①定义：当前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．
②分类：归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．
（2）归纳推理和类比推理
归纳推理 类比推理
定义 根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理 根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同）的性质的推理，叫做类比推理
特征 归纳是从特殊到一般的过程 类比是从特殊到特殊的过程
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”） 2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2
3 （1）归纳推理是由一般到一般的推理过程．( )
（2）归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．( ）
（3）类比推理得到的结论可以作为定理应用．（ )
答案：(1）× （2)√ (3)×
2．数列5,9，17,33，x，…中的x等于（ )
A．47
B．65
C．63
D．128
答案：B
3．各项都为正数的数列｛an}中，a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10,…,求数列{an｝的通项公式．
答案：an＝错误!
数与式的推理
（1）由下列各式:
13＝12，
13＋23＝32，
13＋23＋33＝62,
13＋23＋33＋43＝102，
…
请你归纳出一般结论．
（2）已知数列｛an｝的第1项a1＝1，且an＋1＝错误!(n＝1,2，3,…),试归纳出这个数列的通项公式．
［解］ （1）由左、右两边各项幂的底数之间的关系：
1＝1，
1＋2＝3，
1＋2＋3＝6， 2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2
4 1＋2＋3＋4＝10，
可得一般结论:13＋23＋33＋…＋n3＝（1＋2＋3＋…＋n）2，
即13＋23＋33＋…＋n3＝错误!错误!.
（2)当n＝1时，a1＝1；
当n＝2时，a2＝错误!＝错误!；
当n＝3时，a3＝错误!＝错误!;
当n＝4时，a4＝错误!＝错误!。
通过观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数,由此归纳出an＝错误!.
错误!
由已知数、式进行归纳推理的步骤
（1）要注意所给几个等式（或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．
(2)要注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．
(3)提炼出等式（或不等式）的综合特点．
（4）运用归纳推理得出一般结论．
1.观察下列等式：
1＋1＝2×1,
（2＋1)（2＋2）＝22×1×3，
（3＋1）（3＋2)（3＋3）＝23×1×3×5，
…
照此规律，第n个等式可为________________________．
解析：观察规律可知,左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1），（n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为:（n＋1）(n＋2)…(n＋n）＝2n×1×3×…×(2n－1)．
答案：(n＋1)（n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×（2n－1)
2．已知数列{an }满足a1＝1，an＋1＝2an＋1（n∈N＋)．
（1)求a2,a3，a4，a5；
（2）归纳猜想通项公式an。
解：（1）当n＝1时，a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3, 2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2
5 当n＝2时，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，
同理可得a4＝15,a5＝31。
（2)由于a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1,
a5＝31＝25－1,
所以可归纳猜想an＝2n－1(n∈N＋)。
归纳推理在几何图形中的应用
如图所示,由若干个点组成形如三角形的图形,每条边（包括两个端点)有n（n>1，n∈N＋）个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝________,an＝________(n>1，n∈N＋）．
［解析] 依据图形特点,可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2，3，4,5，6的图形特点归纳得an＝3n－3（n〉1，n∈N＋)．
［答案］ 15 3n－3
错误!
归纳推理在图形中的应用策略
1.把1，3，6，10,15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如图所示)．
2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2
6 则第七个三角形数是（ ）
A．27 B．28
C．29 D．30
解析：选B.把1，3，6，10,15，21，…依次记为a1，a2,…，则可以得到a2－a1＝2，a3－a2＝3,a4－a3＝4，a5－a4＝5,a6－a5＝6,所以a7－a6＝7，即a7＝a6＋7＝28。
2．根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．
解析：观察图形的变化规律可得:图（2)从中心点向两边各增加1个点，图(3）从中心点向三边各增加2个点，图(4)从中心点向四边各增加3个点，如此，第n个图从中心点向n边各增加(n－1）个点，易得答案：1＋n·（n－1）＝n2－n＋1.
答案:n2－n＋1
类比推理及其应用
类比平面内直角三角形的勾股定理，试写出空间中四面体性质的猜想．
［解］ 如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得：c2＝a2＋b2;
类比直角三角形的勾股定理，在四面体P。DEF中,如图(2），猜想:S2＝S错误!＋S错误!＋S错误!（S、S1、S2、S3分别是四面体P.DEF的面△PEF、△DEF、△PFD、△PDE的面积）．
错误! 2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2
7 类比推理的一般步骤
1。下面使用类比推理正确的是( ）
A．“若a·3＝b·3，则a＝b"类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“（a·b）c＝ac·bc”
C．“若（a＋b)c＝ac＋bc"类推出“错误!＝错误!＋错误!（c≠0）”
D．“(ab)n＝anbn”类推出“（a＋b）n＝an＋bn”
解析：选C.A错，因为类比的结论a可以不等于b;B错，类比的结论不满足分配律；C正确；D错，乘法类比成加法是不成立的．
2．已知△ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r,用S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC＝错误!r（a＋b＋c）．类比这一结论有:若三棱锥ABCD的内切球半径为R，求三棱锥A。BCD的体积．
解：内切圆半径r错误!内切球半径R,
三角形的周长：a＋b＋c错误!三棱锥各面的面积和：
S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD，
三角形面积公式系数错误! 错误!三棱锥体积公式系数错误!。
所以类比得三棱锥体积
VA。BCD＝错误!R（S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．
1．利用归纳推理解决问题时，要善于归纳，要对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法，要准确捕捉有用信息并进行分析，大胆猜测，小心验证即可．
2．利用类比推理解决问题时一定要注意两类事物的相似性,例如,拿分式同分数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比等,但类比推理的结论不一定正确,需要证明． 2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2
8
在进行类比推理时,充分认识两个系统的相同(或相似）之处,充分考虑其中的本质联系，再进行类比，避免因类比的相似性较少，被一些表面现象迷惑导致类比结论的错误．
1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适( ）
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
解析：选C.只有平行四边形与平行六面体较为接近．
2．由数列1，10，100，1000，…，猜测该数列的第n项可能是( )
A．10n B．10n－1
C．10n＋1 D．10n－2
解析：选B。数列各项依次为100，101,102，103…，由归纳推理可知，选B。
3．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4。类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．
解析：错误!＝错误!＝错误!·错误!＝错误!×错误!＝错误!。
答案:1∶8
4．已知f（n)＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!(n∈N＋)，计算得f（2)＝错误!,f（4）>2，f（8)〉错误!，f（16）〉3，f(32)〉错误!，推测当n≥2时，有__________．
解析:通过观察归纳可得f（2n）〉n＋22.
答案：f（2n）〉错误!
［A 基础达标］
1．观察数列1，5，14,30，x，…，则x的值为( ）
