高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理同步学案 新人教B版选修1-2-新人教B版高二选修

2.1.1 合情推理 学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．

知识点一 推理

1．推理的概念与分类

(1)根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理．

(2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论．

(3)推理一般分为合情推理与演绎推理．

2．合情推理

前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．常用的合情推理有归纳推理和类比推理．

知识点二 归纳推理

思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．

(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．

以上属于什么推理？

答案 属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征．

梳理 归纳推理

(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程．

(2)归纳推理的一般步骤

①通过观察个别情况发现某些相同性质．

②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．

知识点三 类比推理

思考 由三角形的性质：①三角形的两边之和大于第三边，②三角形面积等于高与底乘积的12.

可推测出四面体具有如下性质：

(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积，

(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.

该推理属于什么推理？ 答案 类比推理．

梳理 类比推理

(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．

(2)类比推理的一般步骤

①找出两类事物之间的相似性或一致性．

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．

1．类比推理得到的结论可作为定理应用．( ×

)

2．由个别到一般的推理为归纳推理．( √ )

3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × )

类型一 归纳推理

命题角度1

数、式中的归纳推理

例1 (1)观察下列等式：

1－12＝12，

1－12＋13－14＝13＋14，

1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16，

…，

据此规律，第n(n∈N＋)个等式可为_____________________________________________．

(2)已知f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________．

答案 (1)1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n

(2)f3(x)＝x1－4x fn(x)＝x1－2n－1x

解析 (1)等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n(n∈N＋)个等式左边有2n项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n(n∈N＋)个等式右边有n项，且由前几个等式的规律不难发现，第n(n∈N＋)个等式右边应为1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.

(2)∵f(x)＝x1－x，∴f1(x)＝x1－x.

又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，

∴f2(x)＝f1(f1(x))＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，

f3(x)＝f2(f2(x))＝x1－2x1－2×x1－2x＝x1－4x，

f4(x)＝f3(f3(x))＝x1－4x1－4×x1－4x＝x1－8x，

f5(x)＝f4(f4(x))＝x1－8x1－8×x1－8x＝x1－16x，

∴根据前几项可以猜想fn(x)＝x1－2n－1x(n∈N＋)．

引申探究

在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他条件不变，试猜想fn(x) (n∈N＋)的表达式．

解 ∵f(x)＝x1－x，∴f1(x)＝x1－x.

又∵fn(x)＝f(fn－1(x))，

∴f2(x)＝f(f1(x))＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，

f3(x)＝f(f2(x))＝x1－2x1－x1－2x＝x1－3x， f4(x)＝f(f3(x))＝x1－3x1－x1－3x＝x1－4x.

因此，可以猜想fn(x)＝x1－nx(n∈N＋)．

反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法

①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论．

(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．

①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．

跟踪训练1 (1)已知x>1，由不等式x＋1x>2；x2＋2x>3；x3＋3x>4；…，可以推广为( )

A．xn＋nx>n B．xn＋nx>n＋1

C．xn＋n＋1x>n＋1 D．xn＋n＋1x>n

(2)观察下列等式：

sin π3－2＋sin 2π3－2＝43×1×2；

sin π5－2＋sin 2π5－2＋sin 3π5－2＋sin 4π5－2＝43×2×3；

sin π7－2＋sin 2π7－2＋sin 3π7－2＋…＋sin 6π7－2＝43×3×4；

sin π9－2＋sin 2π9－2＋sin 3π9－2＋…＋sin 8π9－2＝43×4×5；

…，

照此规律，sin π2n＋1－2＋sin 2π2n＋1－2＋sin 3π2n＋1－2＋…＋sin 2nπ2n＋1－2＝__________.

答案 (1)B (2)43×n×(n＋1)

解析 (1)不等式左边是两项的和，第一项是x，x2，x3，…，右边的数是2,3,4，…，利用此规律观察所给不等式，都是写成xn＋nx>n＋1的形式，从而归纳出一般性结论：xn＋nx>n＋1，故选B. (2)观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n，第3个数为n＋1.

命题角度2 几何中的归纳推理

例2 如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中顶点的个数为( )

A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)

C．n2 D．n

答案 B

解析 由已知图形我们可以得到：

当n＝1时，顶点共有12＝3×4(个)，

当n＝2时，顶点共有20＝4×5(个)，

当n＝3时，顶点共有30＝5×6(个)，

当n＝4时，顶点共有42＝6×7(个)，

…，

则第n个图形共有顶点(n＋2)(n＋3)个，

故选B.

反思与感悟 图形中归纳推理的特点及思路

(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．

(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．

跟踪训练2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________．

答案 5n＋1

解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的块数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.

类型二 类比推理

例3 如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝2Sk，

类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4等于多少？

解 对平面凸四边形：

S＝12a1h1＋12a2h2＋12a3h3＋12a4h4

＝12(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)

＝k2(h1＋2h2＋3h3＋4h4)，

所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝2Sk；

类比在三棱锥中，

V＝13S1H1＋13S2H2＋13S3H3＋13S4H4

＝13(KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4)

＝K3(H1＋2H2＋3H3＋4H4)．

故H1＋2H2＋3H3＋4H4＝3VK.

反思与感悟 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．

(2)平面图形与空间图形的类比如下：

平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形

线

面 面积 体积 二面角 四面体

跟踪训练3 (1)若数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有数列bn＝a1＋a2＋…＋ann(n∈N＋)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0，则有数列dn＝___(n∈N＋)也是等比数列．

答案 nc1c2c3…cn

解析 数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有数列bn＝a1＋a2＋…＋ann(n∈N＋)也是等差数列．类比猜想：若数列{cn}是各项均为正数的等比数列，则当dn＝nc1c2c3…cn时，数列{dn}也是等比数列．

(2)如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．

解 如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．

我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.

1．有一串彩旗，代表蓝色，代表黄色．两种彩旗排成一行：

…，

那么在前200个彩旗中黄旗的个数为( )

A．111 B．89 C．133 D．67

答案 D

解析 观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗．则200÷9＝22余2，则200个旗子中黄旗的个数为22×3＋1＝67.故选D.

2．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )

A．三角形 B．梯形