高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2(2021年最新整理)

高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2

1 高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2

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高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2

2 2．1.1 合情推理

1．了解推理的结构及合情推理的定义．(易混点）

2．了解归纳推理的定义与特点，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳推理解决问题．（重点)

3．了解类比推理的定义与特点,掌握类比推理的一般步骤，能利用类比推理解决简单的问题．（重点、难点）

[基础·初探］

教材整理1 推理与合情推理

阅读教材P53，完成下列问题．

1．推理的定义

根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个_______________________，

这种思维方式叫做推理．

2．推理的结构

推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设），叫做__________；一部分是由已知推出的判断，叫做__________．

3．推理的分类

推理一般分为__________推理与__________推理．

4．合情推理

前提为真时，结论__________为真的推理，叫做合情推理．

【答案】 1。判断 2。前提 结论 3。合情 演绎

4．可能

如图2。1.1所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点）有n(n〉1,n∈N＋）个点,每个图形总的点数记为an，则a6＝_________________，

an＝________（n>1，n∈N＋）． 高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2

3

图2.1。1

【解析】 依据图形特点,可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15。由n＝2,3，4，5，6的图形特点归纳得an＝3n－3(n〉1，n∈N＋）．

【答案】 15 3n－3

教材整理2 归纳推理与类比推理

阅读教材P54～P58,完成下列问题．

1．归纳推理

(1）定义

根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做________________________________________________

（简称__________）．

（2)归纳推理的一般步骤

①通过观察个别情况发现某些相同性质；

②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．

【答案】 1.(1)归纳推理 归纳

2．类比推理

(1)定义：根据__________之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理,叫做________（简称__________）．它属于合情推理．

(2)类比推理的一般步骤

①找出两类事物之间的相似性或一致性；

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想)．

【答案】 2.（1）两类不同事物 类比推理 类比

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×")

（1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．（ ）

（2）类比推理得到的结论可以作为定理应用．( )

(3）归纳推理是由个别到一般的推理．（ ) 高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2

4 【答案】 （1）× （2）× (3）√

2．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到（ ）

A．空间中平行于同一直线的两直线平行

B．空间中平行于同一平面的两直线平行

C．空间中平行于同一直线的两平面平行

D．空间中平行于同一平面的两平面平行

【解析】 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．

【答案】 D

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

［小组合作型]

数、式中的归纳推理

（1）已知f（x）＝错误!,x≥0，若f1（x)＝f（x），fn＋1（x)＝f(fn（x）)，n∈N＋，则f2 017(x）的表达式为________．

(2)观察下列等式:

(1＋1)＝2×1，

(2＋1）（2＋2）＝22×1×3,

(3＋1）(3＋2)（3＋3)＝23×1×3×5,

…

照此规律，第n个等式可为________．

(3)已知f（x）＝错误!，设f1（x)＝f(x），fn（x)＝fn－1（fn－1（x）)（n〉1,且n∈N＋)，高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2

5 则f3(x)的表达式为__________，猜想fn(x）(n∈N＋）的表达式为________.

【导学号：05410038】

【精彩点拨】 结合数或式子的结构特征,提炼结论．

【自主解答】 (1）由题意f1（x)＝f(x）＝错误!，

f2（x)＝f(f1(x））＝错误!＝错误!，

f3（x)＝f(f2（x))＝错误!＝错误!，…，

fn(x)＝f(fn－1(x)）＝…＝错误!，

故f2 017（x）＝错误!。

（2)从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始,组成以1为首项,2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n＋1)（n＋2)…(n＋n）＝2n×1×3×…×(2n－1)．

(3)∵f（x)＝错误!，∴f1（x)＝错误!.

又∵fn(x)＝fn－1（fn－1(x))，

∴f2（x)＝f1（f1(x））＝错误!＝错误!，

f3(x）＝f2（f2(x））＝错误!＝错误!，

f4(x)＝f3(f3(x））＝错误!＝错误!,

f5(x)＝f4（f4(x））＝错误!＝错误!，

根据前几项可以猜想fn（x)＝x1－2n－1x.

【答案】 (1）f2 017（x)＝错误! (2)(n＋1）（n＋2)…（n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)

(3）f3（x)＝错误! fn（x)＝错误!

进行数、式中的归纳推理的一般规律

1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法

（1)要特别注意所给几个等式（或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；

（2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；

(3）提炼出等式(或不等式）的综合特点；

（4）运用归纳推理得出一般结论．

2．数列中的归纳推理 高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2

6 在数列问题中,常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．

（1）通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；

（2）根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；

(3）运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．

［再练一题]

1．（1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝错误!(a∈N＋),则可归纳猜想{an｝的通项公式为（ ）

A．an＝错误! B．an＝错误!

C．an＝错误! D．an＝错误!

(2）已知错误!＜错误!，错误!＜错误!，错误!＜错误!，…，推测猜想一般性结论为________.

【导学号：05410039】

【解析】 (1）由已知得a1＝1，a2＝错误!＝错误!,a3＝错误!＝错误!＝错误!，a4＝错误!＝错误!＝25，…，由此可猜想an＝错误!。

(2)每一个不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数,因此可猜测：错误!＜错误!（a，b，m均为正数，且a＞b)．

【答案】 （1）B

(2）错误!＜错误!(a，b，m均为正数,且a＞b)

几个图形中的归纳推理

（1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图2。1.2的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________．

图2。1.2

(2）根据图2。1­3中线段的排列规则,试猜想第8个图形中线段的条数为__________．

① ② ③ ④

图2。1。3

【精彩点拨】 （1）观察图案知，每多一块白色地面砖，则多5块黑色地面砖，从而每高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2

7 个图案中白色地面砖的块数，组成首项为6,公差为5的等差数列．

（2）先求出前4个图形中线段的数目,再归纳．

【自主解答】 （1）观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6,公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋（n－1）×5＝5n＋1.

（2）图形①到④中线段的条数分别为1，5,13，29，因为1＝22－3,5＝23－3，13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509。

【答案】 (1）5n＋1 （2）509

归纳推理在图形中的应用策略

通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论,通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是:

[再练一题］

2．观察分析下表中的数据:

多面体 面数（F) 顶点数（V) 棱数（E)

三棱柱 5 6 9

五棱锥 6 6 10

立方体 6 8 12

猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．

【解析】 观察F，V,E的变化得F＋V－E＝2。