小学六年级小升初培优奥数-最大与最小问题
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最大与最小问题
知识要点
在日常生活中，我们经常会遇到有关最大、最小、最多、最少等诸多问题，而这一类问题我们统一称为最大与最小问题。最大与最小问题涉及的知识点很广泛，题目也相对复杂，而且很多题目没有固定的解题模式，所以解决这一类问题时，需要根据题目所给的条件灵活的去分析、判断、计算以及推理最后得到正确的答案。
1、若三个数的和为定值，则当三个数相等时，他们的乘积最大。
2、若n个数的和为定值，则当这n个数相等时，他们的乘积最大。
3、若两个数的乘积一定，则当两个数相等时，他们的和最小。
4、在棱长和相等的长方体中，长、宽、高都相等的长方体（正方体）的体积最大。
精选例题
例1 如果四个人的平均年龄为30岁，并且在四个人当中没有谁的年龄小于21岁，那么年龄最大的可能是多少岁？
思路点拨：四个人的平均年龄是30岁，则四个人的年龄总和是30×4=120岁，又因为四个人当中没有小于21岁的，所以当其中三个人的年龄都为最小时，另一个人的年龄最大。
标准答案 ：30×4－21×3=57（岁）
活学巧用
1、如果8个人的平均年龄是48岁，已知8人中，没有大于51岁的，又知，最多能有三个人的年龄相同，那么年龄最小的可能是几岁？
2、有一队学生（200人以内）如果每9人排成一列，最后余下4人，如果7人排成一列，最后余下3人，问，这队学生有多少人？
3、已知五个人的平均年龄为18岁，且五个人中没有小于15岁的，则五个人中年龄最大的是多少岁？
例2 某人有一根长16米的铁丝网，他要借用围墙作一面，用这根铁丝网围成一个长方形菜地，并且使这块菜地的面积尽可能的大，问这个菜地的最大面积是多少？
思路点拨：将菜地关于围墙“对称”得菜地与对称图形的复合图形，其长与宽的和为16×2=32从而，当复合图形是边长为8米时面积最大，而当菜地的长为8米，宽为4米时菜地的面积是最大的。
标准答案 ：4×8=32
活学巧用
1、用长为28米的竹篱笆围成一块长方形菜地，其中一边靠墙，为使菜地面积最大，应该怎么分配长于宽，最大面积是多少平方米？
2、用30厘米的铁丝围成一个长方形，要使长方形的面积最大，长和宽应该是多少厘米？最大面积是多少平方厘米？
3、把一根长537厘米的木料锯成长为35厘米和长为26厘米的短木料那么，各锯多少根才能使余料最少？（不计损耗） 例3 将14分拆成若干个自然数的和，如何分拆，可以使这些自然数的乘积最大？
思路点拨：将14分成若干个自然数的和时，为了使这些自然数的乘积最大，分拆中尽可能的用2与3，且尽可能的选择3多一点。
标准答案 ：14=3+3+3+3+2，乘积最大为162
活学巧用
1、将17分拆成若干个自然数的和，为使这些自然数的乘积最大，应该如何分拆？
2、将100分拆成若干个自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样分拆？
3、将30分拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应该如何分拆？
例4 已知A、B两个批发部分别有电视机70台与60台，甲、乙、丙三个商店分别需要电视机30台、40台、50台，现在给出从A、B每发送一台电视机到甲乙丙的运费，如图所示。问如何调运才能使运费最少？
甲 乙 丙
A 20 70 30
B 30 100 50
思路点拨：由 B供应给甲30台，供应给丙20台，A供应给乙40台，供应给丙30台。
标准答案 ：30×30+50×20+70×40+30×30=5600（元）
活学巧用
1、给甲、乙、丙分配A、B、C三项工作，每人一项工作，他们完成这三项的时间如图，问怎样分配工作才能使完成这项工作所需要的时间最少？
2、小华用一种长3厘米宽2厘米的长方形纸板若干个，拼成一个最小的正方形，这个正方形的面积是多少平方厘米？
A B C
甲 7 6 9
乙 8 7 8
丙 6 9 7 3、一个长方体的长、宽、高的和等于20，这个长方体的最大面积是多少？
例5 如图，这是一张道路示意图，每段路上的分数分别表示小明走这段路所用的时间，（单位：分钟）小明家为A点，学校为B点，怎小明从家到学校最少需要多少时间？
思路点拨：沿ACODB所走时间最短
标准答案 ：1+5+6+4=16
活学巧用
1、如图是一道路图，图中表示该路段的长度（单位：千米），求从A到B的最短路程是多少？
2、将34分拆成若干个互不相同的自然数之和，则应该怎样分拆这些自然数的乘积最大？
3、两个整数相除，商是124，余数是39，问被除数最小是多少？
C E B
D
F 66 6
3 6 4
A G
H O 5
5
1
4 7
3 4
A B
7
18 6
11
11 17 20
18 7 17 8
6 9
19 18
18
