九年级数学一元二次方程(带答案)

第二章 一元二次方程

第1讲 一元二次方程概念及解法

【知识要点】

一. 知识结构网络

一元二次方程

解

法 直接开平方法

配方法

公式法

因式分解法

分式方程的解法

二元二次方程组的解法

性质 判别式

根与系数的关系

应用 二次三项式的因式分解

列方程或方程组解应用题

二、一元二次方程的四种解法

直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法

1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为02bbx或bax2的形式的方程求解。当0b时，可两边开平方求得方程的解；当0b时，方程无实数根。

2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。

3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为()xmn2的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。

4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式02cbxax，确定a、b、c的值；（2）计算acb42的值并判别其符号；（3）若042acb，则利用公式aacbbx242求方程的解，若042acb，则方程无实数解。

【典型例题】

（1）67302xx（用因式分解法）

解：0)32)(13(xx

23，31∴032或013∴21xxxx

（2）1432xx（用公式法）

解：01432xx

028)1(×3×4)4(2

372，372∴37±23×228±)4(∴21xxx

（3）030222xx（用配方法）

解：15222xx

8121)42()42(15)42(222222xxx

225，23∴2411±42∴21xxx

【经典练习】

一、直接开方法

（1）()()xx11222 （2）bax2)(

二、配方法注： （1）223002xx （2）3412xx

二、公式法

1. 用求根公式法解下列方程

()12202xx；

解：

()228102yy；

解：

()3231802xx；

解：

()43212yy；

解：

()525102xx；

解：

()625302xx；

解：

()734502xx；

解：(7)方程无实数根；

()82432202xx；

解：

()...90020030352xx；

解：(9)先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式，

()()()101233132xx

解：。

三、因式分解 1. 用因式分解法解下列各方程：

（1）x2－5x－24＝0；

解：；

（2）12x2＋x－6＝0；

解：；

（3）x2－4x－165＝0

解：；

（4）2x2－23x＋56＝0；

解：8，27，0)8)(72(21xxxx；

（5）924164122xxx；

解：

（6）33332()()xx；

解：

（7）xx23260()

解：；

（8）()xx251062；

解： (x－2)2－5(x－2)＋6＝0，(x－2－2)(x－2－3)＝0，x1＝4，x2＝5；

（9）t(t＋3)＝28；

解：（9）t2＋3t－28＝0，(t＋7)(t－4)＝0，t1＝－7，t2＝4；

（10）(x＋1)(x＋3)＝15。

解：x2＋4x＋3＝15，(x＋6)(x－2)＝0，x1＝－6，x2＝2

2. 用因式分解法解下列方程：

（1）(y－1)2＋2y(y－1)＝0；

解：；

（2）(3x＋2)2＝4(x－3)2；

解： 0)]3(2)23)][(3(2)23[(xxxx

8，54，0)8)(45(21xxxx

（3）9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0；

解：[3(2x＋3)＋2(2x－5)][3(2x＋3)－2(2x－5)]＝0， 219，101，0)192)(110(21xxxx

（4）(2y＋1)2＋3(2y＋1)＋2＝0。

解：[(2y＋1)＋1][(2y＋1)＋2]＝0，

三、综合练习

1. 下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ B ）

A. 7x2－x－1＝0 B. 9x2＝4(3x－1)

C. xx27150 D. 3222102xx

2. 若a，b，c互不相等，则方程(a2＋b＋c2)x2＋2(a＋b＋c)x＋3＝0（ C ）

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根

C. 没有实数根 D. 根的情况不确定

解析: 因为△＝4(a＋b＋c)2－12(a2＋b2＋c2)

＝4(－2a2－2b2－2c2＋2ab＋2ac＋2bc)

＝－4[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＜0

3. 若方程mxmx222310()的两个实根的倒数和是S，求：S的取值范围。

分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，0，求出m的取值范围，再用S的代数式表示m，借助m的取值范围就可求出S的取值范围。

解：设方程的两个实根为221221211，32，则，mxxmmxxxx

∵方程有两个实根

3213211∵0≠且43∴0≠，且04)32(∴2221121222mmmmxxxxxxSmmmmm

0≠23且4323∴23∴SSSm

3≠且23∴SS。

4. 已知关于x的方程x2＋(2m＋1)x＋(m－2)2＝0。m取什么值时， （1）方程有两个不相等的实数根

（2）方程有两个相等的实数根

（3）方程没有实数根

解析:△＝(2m＋1)2－4(m－2)2＝5(4m－3)。

（1）当，即时，原方程有两个不相等的实数根；

（2）当时，原方程有两个相等的实数根；

（3）当时，原方程没有实数根。

5. 已知关于x的方程xkxkk2221210() ①

（1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。

（2）如果a是关于y的方程yxxkyxkxk2121220()()() ②的根，其中xx12，为方程①的两个实数根。

求：代数式()114112aaaaaa÷·的值。

分析：第（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程②化成0122yy，再利用根的定义得到122aa，将代数式化简后，把122aa整体代入即可求出代数式的值。

（1）证明：

∵08484484)12(4)1(42222kkkkkkk

∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。

（2）解：∵21，xx是方程①的两个实数根

12，)1(2∴22121kkxxkxx

1)1(212)())((22)1(22∴22221212121kkkkkkxxkxxkxkxkkkxx

∴方程②012为2yy

∵a是方程②的根，∴0122aa

aaaaaaaaaa1·14÷)11(∴12，0≠1，0≠∴22

2142·)(4)112)](12(1[4)1)(1(1·41·)1(12222222aaaaaaaaaaaaaaaaaa

注：第（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。

6. 已知关于x的一元二次方程axaxc220的两个实数根之差的平方为m

（1）试分别判断当acac1322，与，时，m4是否成立，并说明理由；

（2）若对于任意一个非零的实数a，m4总成立，求实数c及m的值。

解：（1）时，3，1当ca原方程化为3，1，则032212xxxx

∴416)]3(1[2m

即4m成立

当2，2ca时，原方程化为02422xx

由02×2×442，可设方程的两根分别为21，xx

则22，22121xxxx

∴42244)()(21221221xxxxxxm

即4m不成立

（2）设原方程两个实数根是21，xx

则acxxxx2121，2

acxxxxxxm444)()(21221221

∵对于任意一个非零的实数a，都有444ac

4，0∴04时，0当0∴2mcacc

第2讲 根的判别式

【知识要点】