2013年上海市徐汇区中考数学一模试卷及答案

1 2013年上海市徐汇区中考数学一模试卷

2013、1

（时间100分钟 满分150分）

考生注意∶

1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】

1．在ABCRt中，90C，5AC，13AB，那么Atan等于„„„„（ ）

Ａ．135； Ｂ．125．； Ｃ．512； Ｄ．513．

2．将抛物线2xy沿y轴向上平移1个单位后所得抛物线的解析式是 „„„„（ ）

Ａ．12xy； Ｂ．12xy； Ｃ．2)1(xy； Ｄ．2)1(xy．

3．坡比等于1∶3的斜坡的坡角等于 „„„„„„„„„„„„„„„„„„（ ）

Ａ．30； Ｂ．45； Ｃ．50； Ｄ．60．

4．关于二次函数2)2(xy的图像，下列说法正确的是„„„„„„„„„„（ ）．

Ａ．开口向下； Ｂ．最低点是)0,2(；

Ｃ．对称轴是直线2x； Ｄ．对称轴的右侧部分是上升的．

5．如图1，BDAC、相交于点O，下列条件中能判定CD∥AB的是 „„„„（ ）

Ａ．COBODOAO； Ｂ．CDABCOAO；

Ｃ．AOCODOBO； Ｄ．BDBOACAO．

6．如图2，在ABCRt中，90ACB，ABCD垂足为D，那么下列结论中错误的

是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ ）

Ａ．ADBCBDAC22； Ｂ．ABCDBDBC22；

Ｃ．CDACBCAD； Ｄ．BDACBCCD．

二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．计算：45tan60sin2 ▲ ．

8．计算：)2(21baba ▲ ．

9．抛物线3422xxy与y轴的交点坐标是 ▲ ．

10．如果两个相似三角形对应角平分线的比是3:2，那么它们对应高的比是 ▲ ．

11．如图3，已知AB∥CD∥EF，3:2:CEAC，15BF，那么BD ▲ ． A C

D B

（图2）

A B

C D

E F

（图3） B C D

A O

（图1） 2 12．点C是线段AB上一点，ACBC2，点NM、分别是线段BCAC、的中点，那么

BCMN:等于 ▲ ．

13．抛物线cbxaxy2过)0,1(和)0,5(两点 ，那么该抛物线的对称轴是 ▲ ．

14．在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（2，4），如果AO与x轴正半轴的夹角

为，那么αcos=

．

15．小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，他此时测得旗杆在同一地

面的影长为12米，那么旗杆高为 __ ▲ 米．

16．抛物线32bxaxy与x轴交于点BA、（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且3:1:OBOA，OCOB，那么a的值是 ▲ ．

17．两个等腰直角三角形ACB和DCE的位置如图4所示，

点ECA、、和点DCB、、分别在一直线上，90ACB，

24AE，DEAB3，点HG、分别是ACB、

DCE的重心，联结GH，那么GH ▲ ．

18．在ABCRt中，90C，5AB，4AC，点D是斜边AB的中点，把ABC绕点C旋转，使得点B落在射线CD上，点A落在点A．那么AA的长是_____▲________．

三．（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；

满分78分）

19．（本题满分10分）

抛物线cxaxy22经过点)0,3(B、)3,0(C两点．

（1）求抛物线顶点D的坐标； （5分）

（2）抛物线与x轴的另一交点为A，求ABC的面积． （5分）

20.（本题满分10分）

如图5，在ABC中，点D是边AB的中点，ACAB2，4BC.

（1）求CD的长； （5分）

（2）设ABa，AC=b，求向量CD（用向量a、b表示）. （5分）

21.（本题满分10分）

如图6，在ABC中，BE平分ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于

点D.

（1）求证：ACBDBCAE； （5分）

（2）如果3ADES，2BDES，6DE，求BC的长. （5分）

G C

A B D E H

（图4）

A

B C D E

（图6） A

B C D

（图5） 3 22.（本题满分10分）

如图7，小岛B正好在深水港口A的东南方向，一艘集装箱货船从港口A出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后在C处测得小岛B在它的南偏东15方向，求小岛B离开深水港口A的距离.（精确到1.0千米）

参考数据：41.12，45.26，26.015sin，97.015cos，27.015tan.

23.（本题满分12分）

“数学迷”小楠通过从“特殊到一般”的过程，对倍角三角形（一个内角是另一个内角的2倍的三角形）进行研究.得出结论：如图8，在ABC中，CBA、、的对边分别是cba、、，如果BA2，那么bcba22.

下面给出小楠对其中一种特殊情形的一种证明方法.

已知：如图9，在ABC中，90A,45B.

求证：bcba22.

证明：如图9，延长CA到D，使得ABAD.

∴ABDD，

∵DABDDCAB2，90CAB

∴45D，∵45ABC，

∴ABCD，又CC

∴ABC∽BCD

∴BCACCDBC，即abcba

∴bcba22

根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明（用不同于材料中的方法也可以）：

已知：如图8，在ABC中，BA2.

求证：bcba22.

24.（本题满分12分）

抛物线nmxmxy52与y轴正半轴交于点C,与x轴分别交于点A和点)0,1(B，

且OBOAOC2.

（1）求抛物线的解析式； （6分）

（2）点P是y轴上一点，当PBC和ABC相似时，求点P的坐标. （6分） b

C A

B a c

（图8） A

B C 北

北

（图7）

A C

B a b

c

（图9）

D 4 25.（本题满分14分）

梯形ABCD中，AB∥CD，10CD，50AB，54cosA，90BA，

点M是边AB的中点，点N是边AD上的动点.

（1）如图10，求梯形ABCD的周长； （4分）

（2）如图11，联结MN，设xAN，yNMAMNcos（0＜NMA＜90），求y关于x的关系式及定义域； （4分）

（3）如果直线MN与直线BC交于点P，当AP时，求AN的长. （6分）

2013年上海市徐汇区中考数学一模试卷

参考答案和评分标准

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．C； 2．B； 3．A； 4．D； 5．D； 6．B．

二．填空题：（本大题共12题，满分48分）

7．3； 8．b23； 9．)3,0(； 10．3:2； 11．6； 12．4:3（或43）； B C D

A

（图10）

N

M B C D

A

（图11）

B C D

A

（备用图） M 5 13．直线2x； 14．55； 15．9； 16．1或1； 17．322（或38）； 18．558．

三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）

19. 解：（1）由题意，得;3,069cca„„„„„„„„„„„„„„„（1分）

解得;3,1ca„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1分）

∴322xxy„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1分）

∴)4,1(D„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2分）

（2）由题意，得0322xx，解得3,121xx；

∴)0,1(A „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2分）

又)0,3(B、)3,0(C

∴63421ABCS „„„„„„„„„„„„„„„„（3分）

20．解：（1）∵点D是边AB的中点，ACAB2，∴ACABAD2221（1分）

∴22ACAD，2221ABAC„„„„„„„„„„„„（1分）

∴ABACACAD，又AA．∴ADC∽ACB„„„„„（1分）

∴ABACBCCD，即224CD，∴22CD „„„„„„„（2分）

（2）∵点D是边AB的中点，∴ADaAB2121„„„„„„„（2分）

∴ CDADbaAC21．„„„„„„„„„„„„„（3分）

21．（1）证明：∵BE平分ABC，∴CBEABE．„„„„„„„„（1分）

∵DE∥BC ，∴CBEDEB „„„„„„„„„„„（1分）

∴DEBABE．∴ DEBD„„„„„„„„„„„（1分）