数值计算方法1_误差

如何用误差理论减少测量中的误差

摘要：有测量就有误差，虽然误差不能完全的消除，但是可以尽量的减小误差，首先要对各种误差有所了解，针对不同的误差采取不同的方法进行减小。

1.随机误差

1.1随机误差的概念：是同一测量条件下，重复测量中以不可预知方式变化的测量误差分量。

1.2随机误差的特征

1）绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，即误差的对称性。

2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，即误差的单峰性。

3）在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限，即误差的有界性。

4）随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋于零，即误差的抵偿性。

多数随机误差具有以上特性，这种误差的分布规律，人们称之为正态分布特性。

1.3减少随机误差的方法

1.3.1算数平均值

由于随机误差的抵偿性，当测量次数足够多时,正负误差的绝对值相等，因此多次测量的算术平均值作为被测量的测量结果,能减小随机误差的影响。

设nxxx,,,21为n次测量值，则算术平均值niixx1n1

1.3.2实验标准(偏)差

由于随机误差的存在，等精度测量中各测得值一般皆不相同，它们围绕着测量列的平均值有一定的分散性，测量的标准差可用实验标准(偏)差表征，由贝赛尔公式计算

nxxn112i)-(11s

这里的标准差不是测量列中任何一个具体测得值的随机误差，标准差的大小说明在一定条件下的等精度测量随机误差的概率分布情况。标准差大，随机误差的分布范围宽，精密度低；标准差小，随机误差的分布范围窄，精密度高。 1.3.3算术平均值的标准偏差

如果在相同条件下对同一量值做多组测量，每一测量列都有一算术平均值,由于随机误差的存在，各个测量列的平均值各不相同，它们围绕着真值有一定的分散性，因此可用算术平均值的标准差来表征算术平均值的分散性。

21i)()1(1nixxxnnnss

2.系统误差

2.1系统误差的概念：是同一测量条件下，重复测量中保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量。

复习：

1.数值计算方法的含义

2．误差及误差限

3.误差与有效数字

4.数值计算中应注意的问题

第二章 插值方法

一．插值的含义

问题提出：

已知函数yfx在n+1个点01,,,nxxx上的函数值01,,,nyyy，求任意一点x的函数值fx。

说明：函数yfx可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值fx。

解决方法：

构造一个简单函数Px来替代未知（或复杂）函数yfx，则用Px作为函数值fx的近似值。

二、泰勒（Taylor）插值

1.问题提出：

已知复杂函数yfx在0x点的函数值0fx，求0x附近另一点0xh的函数值0fxh。

2.解决方法：

构造一个代数多项式函数nPx，使得nPx与fx在0xx点充分逼近。

泰勒多项式为：

200000002!!nnnfxfxPxfxfxxxxxxxn

显然，nPx与fx在0xx点，具有相同的i阶导数值（i=0,1,…,n）。

3.几何意义为：

nPx与fx都过点00,xfx；

nPx与fx在点00,xfx处的切线重合；

nPx与fx在点00,xfx处具有相同的凹凸性；

其几何意义可以由下图描述，显然函数3fx能相对较好地在0x点逼近fx。 x0f(x)f1(x)f3(x)f2(x)

4.误差分析（泰勒余项定理）：

1101!nnnfPxfxxxn，其中在0x与x之间。

5.举例：

已知函数fxx，求115f。

分析：本题理解为，已知“复杂”函数fxx在0x=100点的函数值为010fx，求0x的附近一点0x+15的函数值015fx。

解：

（1）构造1次泰勒多项式函数1Px：1000Pxfxfxxx。

《数值计算方法》实验报告

1

什么是数值计算方法及应用与误差计算

1．什么是数值计算方法及应用

计算数学也叫做数值计算方法或数值分析。主要内容包括代数方程、线性代数方程组、微分方程的数值解法，函数的数值逼近问题，矩阵特征值的求法，最优化计算问题，概率统计计算问题等等，还包括解的存在性、唯一性、收敛性和误差分析等理论问题。数值计算方法,是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法,是在计算机上使用的解数学问题的方法，简称计算方法。在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。 例如，在航天航空、地质勘探、汽车制造、桥梁设计、 天气预报和汉字字样设计中都有计算方法的踪影.Numerical analysis involves the study of methods of computing numerical data. In many

problems this implies producing a sequence of approximations by repeating the procedure again and

again. People who employ numerical methods for solving problems have to worry about the

following issues: the rate of convergence (how long does it take for the method to find the answer),

the accuracy (or even validity) of the answer, and the completeness of the response (do other

solutions, in addition to the one found, exist).Numerical methods provide approximations to the

《数值分析》 课程实验指导书

实验一 函数插值方法

一、问题提出

对于给定的一元函数)(xfy的n+1个节点值(),0,1,,jjyfxjn。试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。

数据如下：

（1）

jx 0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05

jy 0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382

求五次Lagrange多项式5L()x，和分段三次插值多项式，计算(0.596)f,(0.99)f

的值。（提示：结果为(0.596)0.625732f, (0.99)1.05423f ）

（2）

jx 1 2 3 4 5 6 7

jy 0.368 0.135

0.050 0.018 0.007 0.002 0.001

试构造Lagrange多项式6L()x，计算的(1.8)f,(6.15)f值。（提示：结果为(1.8)0.164762f, (6.15)0.001266f ）

二、要求

1、 利用Lagrange插值公式

00,()nninkkiikkixxLxyxx编写出插值多项式程序；

2、 给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；

3、 根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何；

4、 对此插值问题用Newton插值多项式其结果如何。

四、实验分析：

Lagrange插值多项式的表达式：

1,,2,1,)()()(,)()(1111nixxxxxlxlyxLnijjjijiniii。

其中)(xli被称为插值基函数，实际上是一个n次多项式。)(xli的这种表示具有较好的对称性。公式具有两大优点：（1）求插值多项式，不需要求解线性方程组，当已知数据点较多时，此公式更能显示出优越性。（2）函数值可以用符号形式表示，数据点未确定的纵坐标可用多项式表示。