贝塞尔函数的推导

贝塞尔函数的递推公式
贝塞尔函数 (Bessel Function) 是一类特殊函数的总称，它是
贝塞尔方程的标准解函数。

在物理和工程中，贝塞尔函数是最常用的函数之一。

它涉及到许多重要的数学和物理学问题，如波动问题、有势场问题等。

贝塞尔函数的具体形式随着方程中实数α的变化而变化，α被称为贝塞尔函数的阶数。

实际应用中，常见α为整数 n，对应 n 贝塞
尔函数。

贝塞尔函数的递推公式可以通过使用贝塞尔方程的通解形式推
导出来。

具体来说，设 y0(x) 为贝塞尔方程的标准解函数，则 y1(x) 满足以下递推公式:
y1(x) = -x^2y0""(x) - 2xy0(x) + y0(x)^2
其中，"表示求导。

这个递推公式可以用来构建贝塞尔函数的任
意阶导数和解函数。

贝塞尔函数在数学和物理学中的应用非常广泛，除了上述问题外，它还与级数展开、格林函数、刘维尔定理等数学问题相关。

因此，掌握贝塞尔函数的递推公式和解函数对于数学和物理学的学习都具有
重要意义。

贝塞尔函数的推导贝塞尔函数是数学中一类重要的特殊函数，它以法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯的朋友、法国工程师亚伯拉罕·路易·贝塞尔的名字命名。

贝塞尔函数广泛应用于数学和物理领域，特别是在描述波动现象、振动问题、椭圆边界值问题、量子力学等方面。

首先我们考虑下面的微分方程：(1) x^2y'' + xy' + (x^2 - n^2)y = 0其中y''表示y对x的二阶导数，y'表示y对x的一阶导数，n为常数。

为了得到贝塞尔函数的解，我们假设y的解可以表示为一个无穷级数：(2) y(x) = Σ[Anxn]其中An为待定系数。

将公式(2)代入微分方程(1)中，得到：x^2Σ[Anxn] + x(2Σ[Annxn-1]) + Σ[Anxn+2] - n^2Σ[Anxn] = 0根据级数的性质，我们可以重新排列上述方程，指定每一项的系数为零：(3) Σ[(n(n-1)Anxn + An+2xn+2 - n^2Anxn)] = 0为了使上述方程对于所有x都成立，我们要求每一项的系数都为零，即：(4)n(n-1)An+An+2-n^2An=0现在我们来解上述递归关系(4)。

首先我们假设解可以表示为一个无穷级数：(5)An+2=(n^2-λ^2)/(n(n+1))An其中λ为待定的常数。

将上式代入递归关系(4)中，得到：(6)n(n-1)An+((n^2-λ^2)/(n(n+1)))An-n^2An=0(7)(n^2-λ^2)An=0由于An对于所有n都不为零，因此上式成立的唯一条件是λ^2=n^2、于是我们可以得到两个解，即λ=n和λ=-n。

对于λ=n的情况，我们得到递归关系：(8)An+2=(n^2-n^2)/(n(n+1))An(9)An+2=0由于An+2=0，我们可以得到An=0，An+2=0，An+4=0，...，即An的系数为零。

贝塞尔公式详细推导过程《贝塞尔公式的详细推导过程》引言：贝塞尔公式是数学中一种重要且广泛应用的公式，它的推导过程相对较复杂、细致，但却十分精彩。

在本文中，我们将详细介绍贝塞尔公式的推导过程，让读者对这一公式有更深入的理解。

一、贝塞尔公式的定义：贝塞尔公式是一种用连分数表示的数学公式，其一般形式为：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta其中，J_n(x) 表示第n阶贝塞尔函数，x 是实数，\theta 表示角度，\pi 表示圆周率。

二、推导过程：1. 首先，我们从欧拉公式 e^ix = \cos(x) + i\sin(x) 出发，将其展开得到：e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)2. 接下来，我们将展开中的i\sin(x) 转化为两个实数的乘积。

我们知道，正弦函数的定义式为：\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}代入之前的展开式，得到：i\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}3. 现在，我们用这个展开式来推导贝塞尔公式。

我们首先将贝塞尔函数展开成幂级数形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}4. 接下来，我们将展开式中的 e^{ix} 替换为 \cos(x) + i\sin(x)：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\sin(x)\right)5. 然后，我们将正弦函数用欧拉公式展开为两个指数函数的乘积：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)6. 继续推导，我们可以将指数函数的乘积展开为两项之差：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{i e^{ix}}{2} - \frac{i e^{-ix}}{2}\right)7. 现在，我们可以将展开式中的 i 消去：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)8. 之后，我们可以将展开式进行拆分，分别对两项进行求和，并利用复数的性质对其中的复数部分进行化简：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)9. 最后，我们可以将两个求和式进行整理，将其中的复数部分转化为积分形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta -x\sin\theta)d\theta10. 将整理后的展开式中的求和式转化为连分数形式，即可得到贝塞尔公式：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta结论：通过上述推导过程，我们可以将贝塞尔公式从指数函数的展开式推导得到，将其转化为连分数形式。

20.3.1 贝塞尔函数的递推公式由贝塞尔函数的级数表达式（20.2.1）容易推出1J ()J ()d []d v v x x x x x νν+=- (20.3.1) 1d [J ()]J ()d vv v v x x x x x -= (20.3.2)以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式. 诺伊曼函数N ()v x 和汉克尔函数也应该满足上述递推关系．若用()v Z x 代表v 阶的第一或第二或第三类函数,总是有1d [()]()d vv v v x Z x x Z x x -= (20.3.3)1d [()]()d vv v v x Z x x Z x x --+=- (20.3.4)把两式左端展开, 又可改写为1()()()v v vZ x Z x Z x x ν+'-=- (20.3.5) 1()()v v vZ Z x Z x x ν-'+= (20.3.6)从(20.3.5)和(20.3.6)消去Z ν或消去Z ν'可得11()()2()v v vZ x Z x Z x +-'=- 112()()()v v v vZ x Z x Z x x +-=-+即为从)(1x Z v -和)(x Z v 推算)(1x Z v +的递推公式.上式也可以写成为11()()2()v v v vZ x Z x Z x x -++= （20.3.7）11()()2()v v Z x Z x Z x ν-+'-= （20.3.8）任一满足一组递推关系的函数)(x Z v 统称为柱函数．例 20.3.1 求2J()d x x x⎰【解】 根据公式 (20.3.8) 11()()2()v v Z x Z x Z x ν-+'-= 有201J ()J ()2J ()x x x '=-21111111J ()d J ()d 2J ()d J ()2[J ()J ()d ]J ()2[J ()J ()d ]J ()2J ()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x c'=-=--'=-+=--+⎰⎰⎰⎰⎰20.3.2贝塞尔函数正交性和模1．正交性对应不同本征值的本征函数分别满足2()2()2dJ d []{[]}J ()0 d d m m m i m i m k k ρρρρρ+-= (20.3.9)2()2()2dJ d []{[]}J ()0 d d m m m j m j m k k ρρρρρ+-= (20.3.10)将(20.3.9)乘以()J ()m m j k ρ，将(20.3.10)乘以()J ()m m i k ρ，然后两式相减，再积分，利用分部积分法得到()2()2()()0()()()()0{[][]}J ()J ()d d d [J ()J ()J ()J ()]|0d d m m m m i j m i m j m m m m m i m j m j m i k k k k k k k k ρρρρρρρρρρρρρρ-=-=⎰故当 ()()m m i j k k ≠时()()0J ()J ()d 0m m m i m j k k ρρρρρ=⎰(20.3.11)2．贝塞尔函数的模()m n N22()22()20001[]()[J ()]2m m nm n n n m Nk H ρρρλλ=-+ （20.3.12）20.3.3 广义傅立叶－贝塞尔级数按照施－刘型本征值问题的性质，本征函数族()J ()m m n k ρ是完备的，可作为广义傅立叶级数展开的基．定义在区间],0[0ρ上的函数)(ρf ，可以展开为广义的傅立叶－贝塞尔级数为 ()1()J ()m n m n n f f k ρρ∞==∑ （20.3.13）其中广义傅氏系数()()21()J ()d []m n m n m nf f k Nρρρρρ=⎰(20.3.14)20.3.4 贝塞尔函数的母函数（生成函数）1. 母函数（生成函数） 考虑解析函数)1(2),(zz x ez x G -=在+∞<<z 0内的罗朗展式（注意，此处的x 为参变数，不是复变数z 的实部）．因为∑∞==02!)2(k k k z xz k x e ， ∑∞=---=-02)(!)2(1l ll zx z l x e故 ∑∑∞=∞=---=00)1(2)(!)2(!)2(k l ll k k z z x z l x z k x e对于固定的z ，以上两级数在+∞<<z 0内是可以相乘的，且可按任意方式并项．令,,2,1,0, ±±==-n n l k 得1()22000(1)(1)(,)()[()]!!2()!!2x l l z k l k l l n nzk l n l x xG x z ez z k l n l l ∞∞∞∞-+-+===-∞=--===+∑∑∑∑ 故(,)J()nnn G x z x z ∞=-∞=∑ (20.3.15)称)1(2zz x e -为贝塞尔函数的母函数（或生成函数）．2.加法公式利用母函数公式(,)J()nnn G x z x z ∞=-∞=∑故有1()211()()22(,)J() (,)(,)J ()J ()x y z mzmn x y z z knzzk nk n G x y z e x y z eeG x z G y z x zy z +∞-=-∞∞∞--=-∞=-∞+==+===∑∑∑比较两边的mz 项的系数，即得加法公式J ()J()J ()m km k k x y x y +∞-=-∞+=∑ (20.3.16)3．贝塞尔函数的积分表达式利用母函数公式(20.3.30)和罗朗展式的系数表达式，得到1()211J ()d (0,1,2,)2πi x z zm m C ex z m z -+==±±⎰其中C 是围绕0=z 点的任意一条闭曲线．如果取C 为单位圆，则在C 上，有i z e θ=．从而得到2π2πi sin i 1i i(sin )0011J ()()(i )d d 2πi 2πx m x m m x e e e e θθθθθθθ---==⎰⎰2π01J ()c o s (s i n )d , (0,1,2,)2πm x x m m θθθ=-=±±⎰ （20.3.17）其中积分式中的sin(sin )x m ϕϕ-的项已被省去，因为在[0,2π]上其积分为零．式(20.3.10)就是整数阶贝塞尔函数的积分表达式． 特别若0m =时，有π001J ()cos(sin )d πx x θθ=⎰ （20.3.18）。