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贝塞尔函数展开一、贝塞尔函数的定义贝塞尔函数是解决微分方程中出现的一类特殊函数，它最早由法国数学家贝塞尔在研究热传导方程时提出，因此得名为贝塞尔函数。
贝塞尔函数可以分为第一类和第二类两种，分别用Jn(x)和Yn(x)表示。
二、贝塞尔函数的展开式1. 第一类贝塞尔函数展开式第一类贝塞尔函数Jn(x)可以用下面的级数展开：Jn(x) = (x/2)^n∑k=0^∞(-1)^k/(k!(n+k)!)(x/2)^(2k)其中，n为整数，x为实数。
2. 第二类贝塞尔函数展开式第二类贝塞尔函数Yn(x)可以用下面的级数展开：Yn(x) = (2/π)(Jn(x)ln(x/2)+∑k=1^n(-1)^k(k-1)!/(k!)(x/2)^(-2k-n)) 其中，n为整数，x为正实数。
三、代码实现下面是一个Python实现的例子：```pythonimport mathdef J(n, x):"""计算第一类贝塞尔函数J_n(x)"""s = 0for k in range(0, 100):t = (-1)**k / (math.factorial(k) * math.factorial(n + k)) * (x / 2)**(2 * k + n)s += tif abs(t) < 1e-10:breakreturn s * (x / 2)**ndef Y(n, x):"""计算第二类贝塞尔函数Y_n(x)"""if x == 0:return float('-inf')s = J(n, x)t = math.log(x / 2) * J(n, x) - sum((-1)**k / (math.factorial(k) * (k + 1)) * (x / 2)**(-2 * k - n) for k in range(1, n + 1))return (2 / math.pi) * tif __name__ == '__main__':print(J(0, 1)) # 输出0.7651976865579666print(Y(0, 1)) # 输出-inf```四、应用举例贝塞尔函数在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用，下面举几个例子：1. 球谐函数的展开式中就包含了贝塞尔函数。
贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类的总称。
一样贝塞尔函数是以下（一样称为贝塞尔方程）的标准解函数y(x)：这种方程的解是无法用系统地表示的。
贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数α转变而转变（相应地，α被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。
实际应用中最多见的情形为α是n，对应解称为n阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，α本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍适应针对α和−α概念两种不同的贝塞尔函数（如此做能带来益处，比如排除函数在α=0 点的不滑腻性）。
历史贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在中叶就由在研究悬链振动时提出了，那时引发了数学界的爱好。
的叔叔，、等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要奉献。
，数学家在研究提出的三体系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的整体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。
现实背景和应用范围贝塞尔方程是在或下利用求解和时取得的（在圆柱域问题中取得的是整阶形式α = n；在球形域问题中取得的是半奇数阶形式α = n+½），因此贝塞尔函数在和各类涉及有势场的问题中占有超级重要的地位，最典型的问题有：在圆柱形中的传播问题；圆柱体中的问题；圆形（或环形）的分析问题；在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有效。
譬如在中的（）或（）的概念中，都要用到贝塞尔函数。
概念贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个的解。
针对各类具体情形，人们提出了表示这些解的不同形式。
下面别离介绍这些不同类型的贝塞尔函数。
第一类贝塞尔函数图2 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线（在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J函数”，敬请读者留意。
）第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须知足在x= 0 时有限。
如此选取和处置Jα的缘故见本主题下面的；另一种概念方式是通过它在x = 0 点的展开（或更一样地通过展开，这适用于α为非整数）：上式中Γ(z)为（它可视为函数向非整型的推行）。
贝塞尔函数贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成柱调和函数。
贝塞尔函数和初等函数是在物理和工程中最常用的函数。
贝塞尔函数是以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名的，他在1824年第一次描述过它们。
贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是一些常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。
贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。
针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。
下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。
这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。
这里被称为其对应贝塞尔函数的阶数。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数。
这样做能带来好处，比如消除了函数在=0点的不光滑性。
几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。
雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。
1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。
贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位。
因为贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的。
最典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导定律|热传导问题；以及圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题。
贝塞尔函数的推导一、什么是贝塞尔函数贝塞尔函数是一类特殊的数学函数，以法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯的朋友雅各布-路易·贝塞尔（Jacob Ludwig Carl Bessel）之名命名。
贝塞尔函数在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有广泛应用。
贝塞尔函数可以由贝塞尔微分方程推导而来，表达式中包含了贝塞尔函数的阶数和自变量。
贝塞尔函数包括贝塞尔第一类函数（记作Jn(x)）和贝塞尔第二类函数（记作Yn(x)），它们是贝塞尔微分方程的两个线性无关解。
二、贝塞尔函数的推导贝塞尔函数的推导是从贝塞尔微分方程出发，通过一系列变换和求解得到的结果。
下面将详细介绍贝塞尔函数的推导过程。
2.1 贝塞尔微分方程贝塞尔微分方程是一个二阶常微分方程，表示为：x^2y’’ + xy’ + (x^2 - n^2)y = 0其中，y’’表示y对x的二阶导数，y’表示y对x的一阶导数，n为贝塞尔函数的阶数。
2.2 贝塞尔函数的级数解通过将贝塞尔微分方程进行级数展开，得到贝塞尔函数的级数解。
假设贝塞尔函数的级数解表示为：y(x) = Σ An*x^(n+r)代入贝塞尔微分方程，得到：Σ (n+r)(n+r-1)An x^(n+r) + Σ (n+r)An*x^(n+r) + Σ (x^2 - n2)An x(n+r) = 0整理得到：Σ [(n+r)*(n+r-1) + (n+r) + (x^2 - n^2)] * An*x^(n+r) = 0由于An与x无关，所以方程中每一项系数都必须为零，即：(n+r)*(n+r-1) + (n+r) + (x^2 - n^2) = 0化简得到：(n+r)^2 - n^2 = 0解得：r = ±n所以，贝塞尔函数的级数解可以表示为：y(x) = Σ A*x^(n+r)其中，r为贝塞尔函数的阶数。
2.3 贝塞尔函数的通解贝塞尔函数的通解是将级数解带入初始条件得到的。
bessely函数贝塞尔函数（Bessel function）是数学中的一类特殊函数，由德国数学家弗里德里希·贝塞尔（Friedrich Bessel）在19世纪初引入和研究的。
贝塞尔函数在物理学、工程学和数学中有广泛的应用。
贝塞尔函数可以分为第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数两类。
第一类贝塞尔函数一般记作Jn(z)，其中n为阶数，z为自变量。
第二类贝塞尔函数一般记作Yn(z)。
贝塞尔函数满足贝塞尔方程，即二阶常微分方程：z^2 * d^2y/dz^2 + z * dy/dz + (z^2 - n^2) * y = 0贝塞尔函数的性质和特点使其在科学和工程领域中拥有广泛的应用，特别是在波动理论、电磁学、热力学和量子力学中。
以下是贝塞尔函数的一些重要应用：1.振动问题：贝塞尔函数可以描述弦、鼓膜、声音等的振动情况。
通过解贝塞尔方程，可以得到这些系统的振动模式和频率。
2.圆柱波：贝塞尔函数是描述无限长圆柱体中的波动现象的基本工具。
例如，电磁波在圆柱体中的传播可以用贝塞尔函数来描述。
3.散射和辐射问题：贝塞尔函数的特殊性质使其在散射和辐射问题中有重要应用。
例如，电磁波在球体上的散射和辐射问题可以通过贝塞尔函数来求解。
4.热传导问题：贝塞尔函数可以描述热传导问题中的温度分布。
例如，考虑一个半径为R的无限长圆柱体，在柱体表面施加边界条件后，可以通过贝塞尔函数来求解圆柱体内部的温度分布。
5.量子力学：贝塞尔函数在量子力学中有重要的应用，特别是在氢原子问题中。
贝塞尔函数可以用来描述氢原子中电子的径向波函数。
除了上述的应用，贝塞尔函数还在其他领域中发挥着重要的作用，如电磁场分析、激光传输、声学等。
贝塞尔函数的定义和性质可以通过级数展开、递归关系或微分方程等多种方法来推导和求解。
总结起来，贝塞尔函数是一类特殊函数，具有广泛的应用领域。
它可以用来描述振动问题、圆柱波、散射和辐射问题、热传导问题以及量子力学中的一些问题。
贝塞尔函数基本概念编辑是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数：这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数变化而变化（相应地，被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为n阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。
基本内容编辑贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。
这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。
这里，被称为其对应贝塞尔函数的阶数。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。
定义贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。
针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。
下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。
历史几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。
雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。
1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。
贝塞尔函数当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。
下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。
设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)()u x y t V x y T t =代入方程（5.1）得22222()V V VT a Txy∂∂'=+∂∂或22222(0)V V T xya TVλλ∂∂+'∂∂==->由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程20T a T λ'+=（5.4）22220V V V xyλ∂∂++=∂∂（5.5）从（5.4）得2()a tT t Aeλ-=方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。
为了求出这个方程满足条件2220x y RV+== （5.6）的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得22222110,,02, (5.7)0,02, (5.8)RV v VV R V ρλρθπρρρρθθπ=⎧∂∂∂+++=<≤≤⎪∂∂∂⎨⎪=≤≤⎩ 再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ， 代入（5.7）并分离变量可得()()0θμθ''Θ+Θ=（5.9）22()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-=（5.10）由于(,,)u x y t 是单值函数，所以(,)V x y 也必是单值得，因此()θΘ应该是以2π为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数：2220,1,2,,,n对应于2nnμ=，有00()2a θΘ=（为常数）()cos sin ,(1,2,)n n n a n b n n θθθΘ=+=以2nnμ=代入（5.10）得222()()()()0P P n P ρρρρλρρ'''++-=（5.11）这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是n 阶贝塞尔方程。
若再作代换r =，并记()F r P=，则得222()()()()0r F r rF r r n F r '''++-=.这是n 阶贝塞尔方程最常见的形式。
由条件（5.8）及温度u 是有限的，分别可得()0(0)P R P =⎧⎪⎨<+∞⎪⎩ （5.12）因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程（5.11）在条件（5.12）下的特征值与特征函数（（5.12中第一个条件是在Rρ=处的第一类边界条件，第二个条件是在0ρ=处的自然边界条件，由于2()k ρρ=在0ρ=处为零，所以在这一点应加自然边界条件）。
在下一节先讨论方程（5.11）的解法，然后在§5.5中再回过头来讨论这个特征值问题。
§5.2 贝塞尔方程的求解在上一节中，从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程的解法。
按惯例，仍以x 表示自变量，以y 表示未知函数，则n 阶贝塞尔方程为22222()0d y dy xxx n y dxdx++-=（5.13）其中n 为任意实数或复数。
我们仅限于n 为任意实数，且由于方程中的系数出现2n 的项，所以在讨论时，不妨先假定0n ≥。
设方程（5.13）有一个级数解，其形式为20120()c kc kk kk y x a a x a x a x ax∞+==+++++=∑ ，00a ≠ （5.14）其中常数c 和(0,1,2,)k a k = 可以通过把y 和它的导数,y y '''代入（5.13）来确定。
将（5.14）及其导数代入（5.13）后得220{[()(1)()()]}0c kk k c k c k c k xn a x∞+=++-+++-=∑化简后写成22221220122()[(1)]{[()]}0c c c kk k k c n a x c n a xc k n a a x∞++-=-++-++-+=∑要上式为恒等式，必须各个x 幂的系数全为零，从而得到下列各式： 1°220()0ac n -=；2°221[(1)]0a c n +-=；3°222[()]0(2,3,)k k c k n a a k -+-+== 。
由1°得c n =±，代入2°得10a =。
先暂取c n =，代入3°得 4°2(2)k ka a k n k --=+。
因为10a =，由4°知13570a a a a ===== ，而246,,,a a a都可以用0a 表示，即022(22)a a n -=+，424(22)(24)a a n n =++ ，6246(22)(24)(26)a a n n n -=+++ ，…202(1)2462(22)(24)(22)(1)2!(1)(2)()mm mma a m n n n m a m n n n m =-+++-=+++ .由此知（5.14）的一般项为202(1)2!(1)(2)()mn mma xm n n n m +-+++0a 是一个任意常数，让0a 取一个确定的值，就得（5.13）得一个特解。
把0a 取作012(1)na n =Γ+这样选取0a 可使一般项系数中2的次数与x 的次数相同，并可以运用下列恒等式：()(1)(2)(1)(1)(1)n m n m n n n n m ++-++Γ+=Γ++使分母简化，从而使（5.14）中一般项的系数变成221(1)2!(1)mm n ma m n m +=-Γ++ （5.15）这样就比较整齐、简单了。
以（5.15）代入（5.14）得到（5.13）的一个特解2120(1)(0)2!(1)n mmn mm xy n m n m +∞+==-≥Γ++∑用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛。
这个无穷级数所确定的函数，称为n 阶第一类贝塞尔函数。
记作220()(1)(0)2!(1)n mmn n mm xJ x n m n m +∞+==-≥Γ++∑ （5.16）至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解()n J x 。
当n 为正整数或零时，(1)()!n m n m Γ++=+，故有220()(1)(0,1,2,)2!()!n mmn n mm x J x n m n m +∞+==-=+∑ （5.17）取c n =-时，用同样的方法可得（5.13）的另一特解220()(1)(1,2,)2!(1)!n mmn n mm xJ x n m n m -+∞--+==-≠Γ-++∑ （5.18）比较（5.16）式与（5.18）式可见，只要在（5.16）右端把n 换成n -，即可得到（5.18）式。
因此不论n 式正数还是负数，总可以用（5.16）统一地表达第一类贝塞尔函数。
当n 不为整数时，这两个特解()n J x 与()n J x -是线性无关的，由齐次线性常微分方程的通解的结构定理知道，（5.13）的通解为()()n n y AJ x BJ x -=+（5.19）其中,A B 为两个任意常数。
当然，在n 不为整数的情况，方程（5.13）的通解除了可以写成（5.19）式以外还可以写成其它的形式，只要能够找到该方程另一个与()n J x 线性无关的特解，它与()n J x 就可构成（5.13）的通解，这样的特解是容易找到的。
例如，在（5.19）中取cot ,csc A n B n ππ==-，则得到（5.13）的一个特解()cot ()csc ()()cos ()()sin n n n n n Y x n J x n J x J x n J x n n ππππ--=--=≠整数（5.20）显然，()n Y x 与()n J x 是线性无关的，因此，（5.13）的通解可以写成()()n n y AJ x BY x =+（5.21）由（5.20）式所确定的函数()n Y x 称为第二类贝塞尔函数，或称Neumann 函数。
§5.3 当n 为整数时贝塞尔方程的通解上一节说明，当n 不为整数时，贝塞尔方程（5.13）的通解由（5.19）或（5.21）式确定，当n 为整数时，（5.13）的通解应该是什么样子呢？ 首先，我们证明当n 为整数时，()n J x 与()n J x -是线性相关的。
事实上，不妨设n 为正整数N （这不失一般性，因n 为负整数时，会得到同样的结果），这在（5.18）中，1(1)N m Γ-++当0,1,2,,(1)m N =- 时均为零，这时级数从m N=起才开始出现非零项。
于是（5.18）可以写成222424()(1)2!(1)!(1){}2!2(1)!2(2)!2!(1)()N mmN n m m NNN N NNN N NN xJ x m N m xxx N N N J x -+∞--+=++++=-Γ-++=--++++=-∑即()N J x 与()N J x -线性相关，这时()N J x 与()N J x -已不能构成贝塞尔方程的通解了。
为了求出贝塞尔方程的通解，还要求出一个与()N J x 线性无关的特解。
取哪一个特解？自然我们想到第二类贝塞尔函数。
不过当n 为整数时（5.20）的右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成（5.21）的形式，必须先修改第二类贝塞尔函数的定义。
在n 为整数的情况，我们定义第二类贝塞尔函数为()cos ()()lim()sin n nJ x J x Y x n ααααπαπ-→-=为整数 （5.22）由于当n 为整数时，()(1)()cos ()nnn n Jx J x n J x π-=-=，所以上式右端的极限为“00”形式的不定型的极限，应用洛必达法则并经过冗长的推导，最后得21002(1)()2212()()(ln)2(!)1m mm m k x x Y x J x c m k ππ∞-==-=+-+∑∑2102110021(1)!()()(ln )2!2(1)()1112 (),(1,2,3,)!()!11n mn n n m mn mn m m m k k x n m x Y x J x c m xn m n m k k πππ-+-=+∞+--===--⎛⎫=+- ⎪⎝⎭--+=+++∑∑∑∑（5.23）其中111lim (1ln)0.557223n c n→∞=++++-=，称为欧拉常数。
