贝塞尔函数

贝塞尔函数展开一、贝塞尔函数的定义贝塞尔函数是解决微分方程中出现的一类特殊函数，它最早由法国数学家贝塞尔在研究热传导方程时提出，因此得名为贝塞尔函数。

贝塞尔函数可以分为第一类和第二类两种，分别用Jn(x)和Yn(x)表示。

二、贝塞尔函数的展开式1. 第一类贝塞尔函数展开式第一类贝塞尔函数Jn(x)可以用下面的级数展开：Jn(x) = (x/2)^n∑k=0^∞(-1)^k/(k!(n+k)!)(x/2)^(2k)其中，n为整数，x为实数。

2. 第二类贝塞尔函数展开式第二类贝塞尔函数Yn(x)可以用下面的级数展开：Yn(x) = (2/π)(Jn(x)ln(x/2)+∑k=1^n(-1)^k(k-1)!/(k!)(x/2)^(-2k-n)) 其中，n为整数，x为正实数。

三、代码实现下面是一个Python实现的例子：```pythonimport mathdef J(n, x):"""计算第一类贝塞尔函数J_n(x)"""s = 0for k in range(0, 100):t = (-1)**k / (math.factorial(k) * math.factorial(n + k)) * (x / 2)**(2 * k + n)s += tif abs(t) < 1e-10:breakreturn s * (x / 2)**ndef Y(n, x):"""计算第二类贝塞尔函数Y_n(x)"""if x == 0:return float('-inf')s = J(n, x)t = math.log(x / 2) * J(n, x) - sum((-1)**k / (math.factorial(k) * (k + 1)) * (x / 2)**(-2 * k - n) for k in range(1, n + 1))return (2 / math.pi) * tif __name__ == '__main__':print(J(0, 1)) # 输出0.7651976865579666print(Y(0, 1)) # 输出-inf```四、应用举例贝塞尔函数在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用，下面举几个例子：1. 球谐函数的展开式中就包含了贝塞尔函数。

y ( s k )ak x s k 1
y ( s k )(s k 1)ak x s k 2
k 0

k 0
xy ( s k )ak x s k
k 0

x 2 y ( s k )(s k 1)ak x s k
2 2 x y xy ( x n ) y 0 2
5/13
比较欧拉方程
变换
x y xy y 0
2
x e xp(t )
dy dy dt 1 dy dx dt dx x dt
或
t ln x
d2y 1 dy 1 d dy 1 d 2 y dy 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 dx x dt x dx dt x dt dt

( x) xJn1 ( x) nJ n ( x) xJ n ( x) xJn1 ( x) nJ n ( x) xJ n
2nJ n ( x) xJn1 ( x) xJn1 ( x)
③ ④
( x) J n1 ( x) J n1 ( x) 2J n
18/13
d n [ x J n ( x )] x n J n1 ( x ) dx
d n [ x J n ( x )] x n J n1 ( x ) dx

( x) x n J n1 ( x) nx n1J n ( x) x n J n ( x) x n J n1 ( x) nx n1J n ( x) x n J n
( 1)m 2( n m ) x 2 n1 2 m n 2 m m! ( n 1 m 1) m 0 2

贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类的总称。

一样贝塞尔函数是以下（一样称为贝塞尔方程）的标准解函数y(x)：这种方程的解是无法用系统地表示的。

贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数α转变而转变（相应地，α被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。

实际应用中最多见的情形为α是n，对应解称为n阶贝塞尔函数。

尽管在上述微分方程中，α本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍适应针对α和−α概念两种不同的贝塞尔函数（如此做能带来益处，比如排除函数在α=0 点的不滑腻性）。

历史贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在中叶就由在研究悬链振动时提出了，那时引发了数学界的爱好。

的叔叔，、等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要奉献。

，数学家在研究提出的三体系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的整体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。

现实背景和应用范围贝塞尔方程是在或下利用求解和时取得的（在圆柱域问题中取得的是整阶形式α = n；在球形域问题中取得的是半奇数阶形式α = n+½），因此贝塞尔函数在和各类涉及有势场的问题中占有超级重要的地位，最典型的问题有：在圆柱形中的传播问题；圆柱体中的问题；圆形（或环形）的分析问题；在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有效。

譬如在中的（）或（）的概念中，都要用到贝塞尔函数。

概念贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个的解。

针对各类具体情形，人们提出了表示这些解的不同形式。

下面别离介绍这些不同类型的贝塞尔函数。

第一类贝塞尔函数图2 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线（在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J函数”，敬请读者留意。

）第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须知足在x= 0 时有限。

如此选取和处置Jα的缘故见本主题下面的；另一种概念方式是通过它在x = 0 点的展开（或更一样地通过展开，这适用于α为非整数）：上式中Γ(z)为（它可视为函数向非整型的推行）。

y x 1J m (x) x J m (x)
y 1x 2 Jm (x) x 1Jm (x) x 1Jm (x) x 2 Jm(x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1 x 2 Jm (x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1x 2 Jm (x)
xnYn1(x)
d
dx
xnYn (x)
x
Y n n1
(
x)
Yn1 ( x)
Yn1 ( x)
2n x
Yn
(x)
Yn1(x) Yn1(x) 2Yn(x)
例1 求下列微积分
(1)
d dx
J0
(
x)
J 0
(x)
J1(x)
(2)
J0(x)
1 x
J0(x)
J1(x)
1 x
J1(x)
1 2
J
0
(x)
1 2 x
x 1Jm (x) x Jm (x)
2
2
m2 x2
x
J
m
(x)
x 2 Jm(x) x 1Jm (x) x2 2 m2 x 2 Jm (x)
x 2 x2 2 Jm(x) xJm (x) x2 2 m2 Jm (x)
x2 t 2Jm(t) tJm (t) t 2 m2 Jm (t)
J
(x)
y AJn (x) BYn (x)
数学物理方程与特殊函数
x2 y xy x2 n2 y 0
J
n
(
x)
m0
(1)m m!(n m
1)
x 2
n2m
Yn
(
x)
lim
n

(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x

贝塞尔函数贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成柱调和函数。

贝塞尔函数和初等函数是在物理和工程中最常用的函数。

贝塞尔函数是以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名的，他在1824年第一次描述过它们。

贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。

一般贝塞尔函数是一些常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。

贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。

针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。

下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。

这类方程的解无法用初等函数系统地表示。

但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。

这里被称为其对应贝塞尔函数的阶数。

实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。

尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数。

这样做能带来好处，比如消除了函数在=0点的不光滑性。

几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。

雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。

1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。

贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位。

因为贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的。

最典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导定律|热传导问题；以及圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题。

级数解的导数为： y '
k 0
(
k )ck
x k1
y"
k 0
(
k
)(
k
1)ck
x k 2
20
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
代入方程(2)，
y 1 y (1 2 ) y 0 (2)
x
x2
( v 为任意实数)
得到
(n )(n 1)cn xn2 (n )cn xn2 cn xn
利用级数的比值判别法（或达朗贝尔判别法）
可以判定这个级数在除 x=0 点外的整个实数轴 上收敛，因此，级数式是贝塞尔方程的解．
28
下面我们分两种情况，找出方程贝塞尔的两个线性无 关的解，得到方程贝塞尔的通解：
（１） 1 及 2 不是整数， 将 1 代入式
y(x) (1)n
1
( x)2n
n0
n!(n 1) 2
18
由定理2知, 在 x=0点的邻域 x 0 内至少存在
一个下面形式的级数解
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
将此式代入方程
y
1 x
y
2
(1 x2
)y
0
(2)
( v 为任意实数)
19
y
1 x
y
(1
x
2 2
)y
0
(2)
( v 为任意实数)
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
31
我们可用
J
(x)
(1) n
n0
1
n!(n
( x )2n 1) 2
统一表示第一类贝塞尔函数(也称为第一类柱函数)。

贝塞尔函数的推导一、什么是贝塞尔函数贝塞尔函数是一类特殊的数学函数，以法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯的朋友雅各布-路易·贝塞尔（Jacob Ludwig Carl Bessel）之名命名。

贝塞尔函数在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有广泛应用。

贝塞尔函数可以由贝塞尔微分方程推导而来，表达式中包含了贝塞尔函数的阶数和自变量。

贝塞尔函数包括贝塞尔第一类函数（记作Jn(x)）和贝塞尔第二类函数（记作Yn(x)），它们是贝塞尔微分方程的两个线性无关解。

二、贝塞尔函数的推导贝塞尔函数的推导是从贝塞尔微分方程出发，通过一系列变换和求解得到的结果。

下面将详细介绍贝塞尔函数的推导过程。

2.1 贝塞尔微分方程贝塞尔微分方程是一个二阶常微分方程，表示为：x^2y’’ + xy’ + (x^2 - n^2)y = 0其中，y’’表示y对x的二阶导数，y’表示y对x的一阶导数，n为贝塞尔函数的阶数。

2.2 贝塞尔函数的级数解通过将贝塞尔微分方程进行级数展开，得到贝塞尔函数的级数解。

假设贝塞尔函数的级数解表示为：y(x) = Σ An*x^(n+r)代入贝塞尔微分方程，得到：Σ (n+r)(n+r-1)An x^(n+r) + Σ (n+r)An*x^(n+r) + Σ (x^2 - n2)An x(n+r) = 0整理得到：Σ [(n+r)*(n+r-1) + (n+r) + (x^2 - n^2)] * An*x^(n+r) = 0由于An与x无关，所以方程中每一项系数都必须为零，即：(n+r)*(n+r-1) + (n+r) + (x^2 - n^2) = 0化简得到：(n+r)^2 - n^2 = 0解得：r = ±n所以，贝塞尔函数的级数解可以表示为：y(x) = Σ A*x^(n+r)其中，r为贝塞尔函数的阶数。

2.3 贝塞尔函数的通解贝塞尔函数的通解是将级数解带入初始条件得到的。

bessely函数贝塞尔函数（Bessel function）是数学中的一类特殊函数，由德国数学家弗里德里希·贝塞尔（Friedrich Bessel）在19世纪初引入和研究的。

贝塞尔函数在物理学、工程学和数学中有广泛的应用。

贝塞尔函数可以分为第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数两类。

第一类贝塞尔函数一般记作Jn(z)，其中n为阶数，z为自变量。

第二类贝塞尔函数一般记作Yn(z)。

贝塞尔函数满足贝塞尔方程，即二阶常微分方程：z^2 * d^2y/dz^2 + z * dy/dz + (z^2 - n^2) * y = 0贝塞尔函数的性质和特点使其在科学和工程领域中拥有广泛的应用，特别是在波动理论、电磁学、热力学和量子力学中。

以下是贝塞尔函数的一些重要应用：1.振动问题：贝塞尔函数可以描述弦、鼓膜、声音等的振动情况。

通过解贝塞尔方程，可以得到这些系统的振动模式和频率。

2.圆柱波：贝塞尔函数是描述无限长圆柱体中的波动现象的基本工具。

例如，电磁波在圆柱体中的传播可以用贝塞尔函数来描述。

3.散射和辐射问题：贝塞尔函数的特殊性质使其在散射和辐射问题中有重要应用。

例如，电磁波在球体上的散射和辐射问题可以通过贝塞尔函数来求解。

4.热传导问题：贝塞尔函数可以描述热传导问题中的温度分布。

例如，考虑一个半径为R的无限长圆柱体，在柱体表面施加边界条件后，可以通过贝塞尔函数来求解圆柱体内部的温度分布。

5.量子力学：贝塞尔函数在量子力学中有重要的应用，特别是在氢原子问题中。

贝塞尔函数可以用来描述氢原子中电子的径向波函数。

除了上述的应用，贝塞尔函数还在其他领域中发挥着重要的作用，如电磁场分析、激光传输、声学等。

贝塞尔函数的定义和性质可以通过级数展开、递归关系或微分方程等多种方法来推导和求解。

总结起来，贝塞尔函数是一类特殊函数，具有广泛的应用领域。

它可以用来描述振动问题、圆柱波、散射和辐射问题、热传导问题以及量子力学中的一些问题。

贝塞尔函数基本概念编辑是数学上的一类特殊函数的总称。

一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数：这类方程的解无法用初等函数系统地表示。

贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数变化而变化（相应地，被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。

实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为n阶贝塞尔函数。

尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。

基本内容编辑贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。

一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。

这类方程的解无法用初等函数系统地表示。

但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。

这里，被称为其对应贝塞尔函数的阶数。

实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。

尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。

定义贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。

针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。

下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。

历史几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。

雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。

1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。

第七章贝塞尔函数7.1 Bessel 方程及其幂级数解定义:称Bessel 方程为:222'''()0x y xy x n y ++-=其中，n 为任意实数。

当n>0时，取级数解c k k k y a x ∞+==∑有120'()''()(1)c k c k k k k k y a c k xy a c k c k x ∞∞+-+-===+=++-∑∑代入原式，222222012{[()(1)()]}()[(1)]0k kk k a c k c k c k aa x a c a a c n x ∞-=++-++-++-++-=∑有222201222()0[(1)]0[()]0k k a c n a c n a c k n a --=+-=+-+=得1,0c n a =±=，取c=n, 有222()k k a a n k n -=+-定理：212200,1,...(1)!2!()!m m mma m n a m n m +==-=+ 取022!na n =得22(1)2!()!mmn m a m n m +-=+有一个特解220(1)()2!()!mn m n n m m y J x x m n m ∞++=-==+∑取c=-n, 得另一个特解2220(1)()2!()!m n mn n m m x y J x m n m -+∞--+=-==-+∑称J n (x)为第一类Bessel 函数。

当n 不为整数x-->0时，有J n (x)-->0, J -n (x)-->∞, 则J n (x)-与J -n (x)不相关。

由齐次线性常微分方程通解的结构定理知道，当n 不为整数，Bessel 方程的通解为()()n n y aJ x bJ x -=+由级数收敛差别法，有22211limlim 04()m m m m a a m n m R→∞→∞-===+ 式中R 为收敛半径，可知R=∞,则J n (x)与J -n (x)的收敛范围为0<|x|<∞ 定义：当n 为整数时，J n (x)-称为整数阶Bessel 函数 例计算J 0(1)的前三项和。

第十七章 贝塞尔函数贝塞尔方程是拉普拉斯方程在柱坐标系中分离变量得到的。

17.1 贝塞尔方程及其解贝塞尔方程：()02'''2=-++y v x xy y x修正贝塞尔方程：()022'''2=+++y v x xy y x当v 不是整数时，贝塞尔方程通解是：()()()x BJ x AJ x y v v -+=当v 是整数m 时，由于()()()x J x J m mm 1-=-，因此其通解为()()()x BY x AJ x y m m +=17.1.1 第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数()x J v 的级数形式为()()[]kv kk v x k v k x J 2021!11+∞=⎪⎭⎫⎝⎛++Γ-=∑及()()[]kv kk v x k v k x J 2021!11+-∞=⎪⎭⎫⎝⎛++-Γ-=∑式中Γ是伽马函数。

当v 是整数时()∞=++-Γ1k v （k=0,1,2，…，v-1）所以当v=m （整数）时，上述级数实际上是从k=m 开始的，即()()[]km kk v x m k k x J 202!!11+∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-=∑填空：()()()x J x J m mm --=1当x 很小时，保留级数中头几项，可得()()x v x x J vv +Γ⎪⎭⎫⎝⎛≈12()⋯---≠,3,2,1v特别是()100=J ，()00=m J ()⋯=,3,2,1m当x很大时 ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈-2324cos 2x v x x x J v οπππ17.1.2 第二类贝塞尔函数定义：()()()ππv x J x J v x Y v v v sin cos --=；注意，()()()x Y x Y n nn 1-=-性质：当x 很小时，保留级数中头几项，可得：()()kv x Y vv Γ⎪⎭⎫⎝⎛-≈ππ21()0≠v ；()xx Y ln 20π≈()0=v当x很大时，其近似为()⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈24sin 2πππv x x x Y v第三类贝塞尔函数第三类贝塞尔函数由第一、第二类贝塞尔函数组合得到，通常定义为：()()()()x iY x J x H v v v +=1()()()()x iY x J x H v v v -=2由于他们的线性组合是贝塞尔方程的两个解，故贝塞尔方程的通解可以写成: ()()()21v v BH AH x y += 。

第一类贝塞‎尔函数图2 0阶、1阶和2阶‎第一类贝塞‎尔函数（贝塞尔J函‎数）曲线（在下文中，第一类贝塞‎尔函数有时‎会简称为“J函数”，敬请读者留‎意。

）第一类α阶‎贝塞尔函数‎Jα(x)是贝塞尔方‎程当α为整‎数或α非负‎时的解，须满足在x‎= 0 时有限。

这样选取和‎处理Jα的‎原因见本主‎题下面的性质介绍；另一种定义‎方法是通过‎它在x = 0 点的泰勒级数展开（或者更一般‎地通过幂级数展开，这适用于α‎为非整数）：上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整‎型自变量的推广）。

第一类贝塞‎尔函数的形‎状大致与按‎速率衰减的‎正弦或余弦函数类似（参见本页下‎面对它们渐‎进形式的介‎绍），但它们的零‎点并不是周‎期性的，另外随着x‎的增加，零点的间隔‎会越来越接‎近周期性。

图2所示为‎0阶、1阶和2阶‎第一类贝塞‎尔函数Jα‎(x)的曲线（α = 0,1,2）。

如果α不为‎整数，则Jα(x)和J−α(x)线性无关，可以构成微‎分方程的一‎个解系。

反之若α是‎整数，那么上面两‎个函数之间‎满足如下关‎系：于是两函数‎之间已不满‎足线性无关‎条件。

为寻找在此‎情况下微分‎方程与Jα‎(x)线性无关的‎另一解，需要定义第‎二类贝塞尔‎函数，定义过程将‎在后面的小‎节中给出。

贝塞尔积分‎α为整数时‎贝塞尔函数‎的另一种定‎义方法由下‎面的积分给‎出：（α为任意实‎数时的表达‎式见参考文献[2]第360页‎）这个积分式‎就是贝塞尔‎当年提出的‎定义，而且他还从‎该定义中推‎出了函数的‎一些性质。

另一种积分‎表达式为：和超几何级‎数的关系贝塞尔函数‎可以用超几何级数‎表示成下面‎的形式：第二类贝塞‎尔函数（诺依曼函数‎）图3 0阶、1阶和2阶‎第二类贝塞‎尔函数（贝塞尔Y函数）曲线图（在下文中，第二类贝塞‎尔函数有时‎会简称为“Y函数”，敬请读者留‎意。

）第二类贝塞‎尔函数也许‎比第一类更‎为常用。

历史
贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在 18 世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬 链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗 日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817 年，德国数学家贝塞尔在研究开 普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架， 后人以他的名字来命名了这种函数 [1] [2]。
和超几何级数的关系
贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式：
第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）
图 3 0 阶、1 阶和 2 阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔 Y 函数）曲线图 （在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y 函数”，敬请读者留意。）
第二类贝塞尔函数也许比第一类更为常用。 这种函数通常用 Yα(x)表示，它们是贝塞尔方 程的另一类解。x = 0 点是第二类贝塞尔函数的（无穷）奇点。 Yα(x)又被称为诺依曼函数（Neumann function），有时也记作 Nα(x)。它和 Jα(x)存在如下 关系：
第一类α阶贝塞尔函数 Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在 x = 0 时 有限。这样选取和处理 Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在 x = 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：
上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。第一类贝塞尔函数的
以上形式保证了当宗量 x 为实数时，函数值亦为实数。这两个函数构成了下列修正贝塞尔 方程（与一般贝塞尔方程的差别仅在两个正负号）的一个相互线性无关的解系：
修正贝塞尔函数与一般贝塞尔函数的差别在于：一般贝塞尔函数随实宗量是振荡型的，而修 正贝塞尔函数 Iα 和 Kα则分别是指数增长和指数衰减型的。和第一类贝塞尔函数 Jα一样， 函数 Iα当α > 0 时在 x=0 点等于 0，当α=0 时在 x=0 点趋于有限值。类似地，Kα在 x=0 点 发散（趋于无穷）。

贝塞尔函数贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。

它们与其他功能结合形成圆柱谐波功能。

除基本功能外，贝塞尔功能是物理学和工程学中最常用的功能。

它们以19世纪德国天文学家贝塞尔（F.W. Bessel）的名字命名，后者于1824年首次对其进行了描述。

贝塞尔函数是数学中一类特殊函数的总称。

常规贝塞尔函数是以下常微分方程（通常称为“贝塞尔方程”）的标准解函数。

这种方程的解不能用基本函数来系统地表示。

但是，可以将自动控制理论中的相平面法用于定性分析。

在这里，它被称为其对应的贝塞尔函数的顺序。

在实际应用中，最常见的情况是整数，相应的解称为阶贝塞尔函数。

尽管在上面的微分方程中，符号本身不会改变方程的形式，但在实际应用中仍然习惯定义两个不同的Bessel函数（这可以带来好处，例如消除点处的函数不平滑性）。

定义贝塞尔方程是二阶常微分方程，必须有两个线性独立的解。

针对各种特定情况，提出了这些解决方案的不同形式。

下面描述了不同类型的贝塞尔函数。

历史瑞士数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）在18世纪中叶提出了几个正整数阶的Bessel函数，这在当时引起了数学界的轰动。

Jacobs Bernoulli，Leonhard Euler和Joseph Louis Lagrange为Bessel函数的研究做出了重要贡献。

1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel）在研究约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler）提出的三体重力系统的运动问题时，首次提出了贝塞尔函数的理论框架。

后人以他的名字命名这个功能。

现实背景和适用范围贝塞尔方程是通过使用变量分离方法在圆柱坐标或球坐标中求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程而获得的。

因此，贝塞尔函数在波动问题和涉及势场的各种问题中起着重要作用。

*电磁波在圆柱波导中的传播；*圆柱体中的热传导定律|导热问题；*圆形（或环形）膜的振动模式分析；贝塞尔函数的一个示例：鼓鼓表面在中心被击中后，沿拉紧鼓表面的二阶振动模式的半径方向的振幅分布是贝塞尔函数（考虑正负号）。

1 2
J 1 2 ( x)
Ynx n1 2 x dx x 2
n
J n1 2 ( x)
（与
J ( n1 2) ( x)
不一样！）
Y( n1 2) ( x)
2
( m 1, 2,) 的正交性。
rJ
0
R
n
(
m
(n)
R
r ) Jn(
k
( n)
R
r )d r
0, 2 2 R R 2 ( n) 2 (n) J ( ) J ( ), n 1 m n1 m 2 2
mk mk.
Jn (
m ( n)
R
r)

m 1 在【0，R】上，带权重r正交。
数值解，再用（1）式求
J v ( x)
的
当n为正整数或零时， 表达式为
，整数阶Bessel函数
(n k 1) (n k )!
（ 2）
k n 2 k
J n ( x)

(1) x J n ( x) k 0 k!(n k )! 2
第一类贝塞尔函数
k
n2k
nv
J v ( x)
k
（ 1）
(1) x J v ( x) k 0 k!(v k 1) 2
n 2 k
第一类贝塞尔函数

求
1.先求的
的方法： J v (x )
2.非整数阶Bessel函数也可以通过递推关系得出。

(v k 1)

当为整数时，例如， v n，
Yn ( x) lim
n

贝塞尔函数的基本概念及其实际应用贝塞尔函数是数学分析中的一类特殊函数，是解决物理、工程、数学等领域中一些具有圆对称性问题的有力工具。

在本文中，我们将介绍贝塞尔函数的基本概念及其实际应用。

一、贝塞尔函数的定义及性质贝塞尔函数最初是由德国数学家贝塞尔在求解一个普遍的圆形问题时发现的。

贝塞尔函数有两类，即第一类和第二类，一般用Jn(x)和Yn(x)表示。

其中Jn(x)表示第一类贝塞尔函数，Yn(x)表示第二类贝塞尔函数。

贝塞尔函数和它们的导数满足贝塞尔微分方程：x^2*d^2y/dx^2 + x*dy/dx + (x^2-n^2)y = 0其中n为贝塞尔函数的度数，它的值可以是任意实数或零。

当n为整数时，贝塞尔函数是一种完整的函数，当n为小数或分数时，贝塞尔函数是一种不完整的函数。

贝塞尔函数具有一些特殊的性质，例如：对于第一类贝塞尔函数Jn(x)，当x→0时Jn(x)≠0；当x→∞时，Jn(x)是振荡型函数，即Jn(x)近似于sin(x-nπ/2)。

而对于第二类贝塞尔函数Yn(x)，当x→0时Yn(x)是无穷大；当x→∞时，Yn(x)也是振荡型函数。

二、贝塞尔函数的实际应用1.电学中的应用：贝塞尔函数可以用来描述无限长圆筒形导线和矩形波导内部电磁场的分布。

此外，在计算电磁波在介质中传播时，也可以用到第一类贝塞尔函数。

2.声学中的应用：贝塞尔函数可以用来表示大气中声波的传播过程。

同时，它还可以描述圆形共振腔内空气的压力分布和管道内的声波传输。

3.视觉中的应用：贝塞尔函数可以用来刻画景深和焦距。

此外，它还可以指导图像的锐化和去噪。

4.计算机图形学中的应用：贝塞尔函数可以被用来构建连续的Bézier曲线，从而描述出计算机图形学中重要的对于帧的插值和物体的平滑变形。

结语贝塞尔函数是一种特殊的函数，在各个领域中都有着重要的应用，特别是在电学中、声学中、视觉中以及计算机图形学中。

了解贝塞尔函数的基本概念和性质，对于掌握这些领域的相关知识非常重要。