微积分考试试题

微积分下试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在区间 \( (0, \infty) \) 上是：A. 有界函数B. 无界函数C. 单调递增函数D. 单调递减函数答案：B2. 若函数 \( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 在 \( x = 3 \) 处取极值，则 \( g(x) \) 在 \( x = 3 \) 处为：A. 极大值B. 极小值C. 不是极值D. 不确定答案：A3. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 2x \) 在第一象限内的交点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \) 等于：A. 1B. 2C. 4D. 无法确定答案：C5. 若函数 \( h(x) = \sin x + \cos x \) 的导数 \( h'(x) \) 在区间 \( [0, \frac{\pi}{2}] \) 上为：A. 非正函数B. 非负函数C. 正值函数D. 负值函数答案：B6. 函数 \( F(x) = \int_0^x e^t dt \) 的值域是：A. \( (-\infty, 1] \)B. \( [1, \infty) \)C. \( (0, \infty) \)D. \( (-\infty, 0] \)答案：C7. 已知 \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2x \)，且 \( y(2) = 4 \)，则 \( y \) 的一个可能表达式是：A. \( y = x^3 - \frac{4}{3}x^3 + 4 \)B. \( y = x^3 - x^2 + C \)C. \( y = x^3 - 2x + C \)D. \( y = x^3 - \frac{10}{3}x^3 + C \)答案：A8. 函数 \( G(x) = e^x \) 的 \( n \) 阶导数 \( G^{(n)}(x) \) 是：A. \( e^x \)B. \( ne^x \)C. \( n!e^x \)D. \( 0 \)答案：A9. 曲线 \( y = \ln x \) 的水平渐近线方程是：A. \( y = 0 \)B. \( y = 1 \)C. \( y = -1 \)D. \( x = 1 \)答案：C10. 若 \( \int_{-1}^{1} x^2 dx = \frac{2}{3} \)，则\( \int_{-1}^{1} x^3 dx \) 等于：A. \( -\frac{2}{4} \)B. \( \frac{2}{4} \)C. \( -\frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{4} \)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的最小值是 ________。

初级微积分测试题1. 计算下列函数的导数：a) f(x) = 3x^2 + 4x - 2b) g(x) = 4sin(x) + 2cos(x)c) h(x) = e^x - ln(x^2)解答:a) f'(x) = 6x + 4b) g'(x) = 4cos(x) - 2sin(x)c) h'(x) = e^x - 2/x2. 求下列函数的不定积分：a) ∫(2x^3 + 3x^2 - 5x + 1)dxb) ∫(5sin(x) + 2cos(x))dxc) ∫(e^x + 1/x)dx解答:a) ∫(2x^3 + 3x^2 - 5x + 1)dx = (1/2)x^4 + x^3/3 - 5x^2/2 + x + Cb) ∫(5sin(x) + 2cos(x))dx = -5cos(x) + 2sin(x) + Cc) ∫(e^x + 1/x)dx = e^x + ln|x| + C3. 计算下列定积分：a) ∫[0,1] (x^2 - 3x + 2)dxb) ∫[π/2,π] (2sin(x) + 3cos(x))dxc) ∫[1,e] (ln(x) + x)dx解答:a) ∫[0,1] (x^2 - 3x + 2)dx = (1/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2x |[0,1] = (1/3) - (3/2) + 2 = -1/6b) ∫[π/2,π] (2sin(x) + 3cos(x))dx = -2cos(x) + 3sin(x) |[π/2,π] = -2cos(π) + 3sin(π) - (-2cos(π/2) + 3sin(π/2)) = -2c) ∫[1,e] (ln(x) + x)dx = xln(x) + (1/2)x^2 |[1,e] = e - 1 + (1/2)e^2 - (1/2) = (1/2)e^2 + e - (3/2)4. 求下列函数的极限：a) lim(x→3) (2x^2 - 5x + 3)b) lim(x→0) (3sin(x)/x)c) lim(x→∞) ((2x^2 + 3x + 1)/(x^2 + x))解答:a) lim(x→3) (2x^2 - 5x + 3) = 18b) lim(x→0) (3sin(x)/x) = 3c) lim(x→∞) ((2x^2 + 3x + 1)/(x^2 + x)) = 25. 解以下微分方程：a) dy/dx = 3x^2 + 2x - 1, y(0) = 1b) dy/dx + y = e^x, y(0) = 2c) d^2y/dx^2 + y = 0解答:a) dy/dx = 3x^2 + 2x - 1∫dy = ∫(3x^2 + 2x - 1)dxy = x^3 + x^2 - x + C将y(0) = 1代入得C = 1因此，y = x^3 + x^2 - x + 1b) dy/dx + y = e^x这是一个一阶线性非齐次微分方程解齐次方程dy/dx + y = 0得y = Ce^(-x)令特解为y = Ae^x，代入方程得 A = 1因此，y = Ce^(-x) + e^x将y(0) = 2代入得C + 1 = 2，解得C = 1因此，y = e^(-x) + e^xc) d^2y/dx^2 + y = 0这是一个二阶线性齐次微分方程特征方程r^2 + 1 = 0有两个虚根r = ±i因此通解为y = C1cos(x) + C2sin(x)通过以上测试题，我们可以巩固初级微积分的知识，包括函数的导数、不定积分、定积分、极限和微分方程的解法。

微积分试题及答案微积分试题及答案第⼀章函数极限与连续⼀、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶⽆穷⼩。

4、01sin lim 0=→xx kx 成⽴的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是⾮零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价⽆穷⼩，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

⼆、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是⽐β⾼阶的⽆穷⼩；（Ｂ）α是⽐β低阶的⽆穷⼩；（C ）α与β是同阶⽆穷⼩；（D ）βα~。

微积分试题及答案在高等数学中，微积分是一门重要的学科。

它研究函数的极限、导数、积分等概念，通过对这些概念的理解和应用，可以帮助我们解决各种实际问题。

本文将提供一些微积分的试题，并附带相应的答案，供读者参考。

一、查找函数的极限1. 计算函数f(x) = (2x^2 + 3x - 1) / (3x^2 - 2x + 1)的极限lim(x->1) f(x)。

解答：首先，我们将x代入函数f(x)中，得到：f(x) = (2(1)^2 + 3(1) - 1) / (3(1)^2 - 2(1) + 1)= 4 / 2= 2因此，lim(x->1) f(x) = 2。

二、求函数的导数2. 求函数f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 12x + 2的导数f'(x)。

解答：对于多项式函数，求导的规则是将指数乘以系数，并降低指数1。

根据这个规则，我们对函数f(x)进行求导：f'(x) = 4(3x^3) - 3(8x^2) + 2(6x) - 1(12)= 12x^3 - 24x^2 + 12x - 12三、计算定积分3. 计算积分∫(0,1) x^2 dx。

解答：根据定积分的定义，我们需要计算被积函数x^2在0到1之间的面积。

∫(0,1) x^2 dx = [x^3/3] (0,1)= 1/3 - 0= 1/3四、求解微分方程4. 求微分方程 dy/dx = 2x 的通解。

解答：根据微分方程的性质，我们可以对方程两边同时积分，得到：∫dy = ∫2x dxy = x^2 + C其中，C为常数，代表特解的不确定常数。

这些例题涵盖了微积分中的一些基本概念和技巧。

希望通过这些试题的解答，读者能够更好地理解微积分的相关知识，并在实际应用中灵活运用。

总结：微积分是一门重要的数学学科，对解决实际问题具有广泛的应用。

本文介绍了微积分中的一些试题，并附带了详细的解答。

通过对这些试题的学习和理解，我们可以更好地把握微积分的核心概念和运算技巧。

微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理？A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案：B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$，求其导数$f'(x)$。

A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案：D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$，求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。

A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。

答案：$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。

答案：$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。

答案：$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念：导数和积分的关系。

答：导数和积分是微积分的两个基本概念，导数表示函数在某一点上的变化率，而积分表示函数在某一区间上的累积效果。

导数和积分互为逆运算，导数可以用来求解函数的斜率和最值，积分可以用来求解函数的面积和定积分。

2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要？答：微积分在物理学和工程学中具有重要作用，因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。

通过微积分，可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量，以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。

微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具，可以更准确地描述和解决实际问题。

四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。

答：$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。

答：$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案，希望对你的复习有所帮助。

微积分b1期末试题及答案一、选择题（共30分，每题2分）1. 在平面直角坐标系中，曲线y=ax³+bx²+cx+d (a≠0) 的图象为抛物线，其开口方向为(A) 向上 (B) 向下 (C) 不确定2. 曲线y = |x-2|的图象关于点(3,0)对称的图象是(A) y ≥ 0 (B) y ≤ 0 (C) 不确定3. 函数y=ln(ax+b)在x=0处的导数为(A) a (B) a/b (C) -a/b4. 函数y=3x²ex在x=0处的导数为(A) 3 (B) 0 (C) 15. 函数y=ln(x/ex)的反函数为(A) ey (B) ex (C) ex/y6. 函数y=sin(ax+b)在[a, a+2π]上为奇函数，则b的取值范围是(A) (-∞, -2π] (B) [2π, +∞) (C) (-2π, 2π)7. 设函数f(x) = x²+ax+2，其中a为常数，则f(x)有唯一极值点的条件是(A) a ≠ 0 (B) a = 0 (C) a = 18. 设f(x)=sin(ax+b)在区间[0,2π]上有两个临界点，则b的取值范围是(A) [0, 2π] (B) [0, π) (C) (0, 2π)9. 函数y=ln(kcosx+1)，当x∈(0,π)时关于x的导数不存在，其中k 为常数，则k的取值范围是(A) k > 1 (B) k < 1 (C) k ≠ 010. 设y=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀是n次多项式函数，其中a₀≠0，若f(1) = 0，则(A) a₀+a₁+...+aₙ = 0 (B) a₀+a₁+...+aₙ = 1 (C) a₀+a₁+...+aₙ = -111. 函数f(x) = 2x³+bx²+3x的图象经过点(1,11)，则b的值为(A) 6 (B) 7 (C) 812. 函数y = aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₀的函数值恒为0，则(A) a₀ = 0 (B) a₁ = 0 (C) a₀ = a₁ = ... = aₙ = 013. 若x为函数y = aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₀=0的一个解，则(A) a₀≠0 (B) aₙ≠0 (C) a₀ = ... = aₙ = 014. 设直线y=kx+b与曲线y=f(x)相切，其中k是常数，则b可取下列哪一个值？(A) f'(x₀) (B) f(x₀) (C) f''(x₀)15. 设f(x) = aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀是n次多项式函数，其中n≥ 2，若存在x₁ ≠ x₂，使得f(x₁) = f(x₂)，则(A) a₀ = 0 (B) a₁ = 0 (C) a₀ = a₁ = ... = aₙ = 0二、填空题（共30分，每题2分）1. 若函数f(x)为奇函数，且在区间[-1,1]上可导，则f'(x)[1, 0] =______2. 若函数f(x) = 2x³-3x²+5x-7的图像在点(x₁, f(x₁))处的斜率为3，则x₁的值为______3. 设函数f(x) = x³-2ax²+ax+1的图象与x轴相切，则a的值为______4. 若函数y = ax³+bx²+cx+d有两个互异的极值点，则b的取值范围是______5. 函数y = eˣsinx的极值点个数为______6. 若函数f(x)在区间[a, b]上的某一点x₀处取得最大值和最小值，则在区间(a, b)内至少存在一点x₁，使得f'(x₁) = ______7. 若(fg)'(x) = f'(x)g'(x)，则函数f(x)可以是______函数，g(x)可以是______函数8. 函数f(x) = x³+ax²+bx+c的图象在点(1, 3)处的斜率为2，则a、b、c的值分别为______9. 若函数y = (2x-1)eˣ的图象有切线经过点(0, -1)，则切线的斜率为______10. 若函数y = sinh(ax+b)在x=0处有一水平切线，则a、b的值分别为______11. 若函数f(x) = 2x³+ax²+3x的导数在x=1处的值为4，则a的值为______12. 函数f(x) = x³-ax²+ax+1在x=0处有一切线，且此切线平行于直线y = x，则a的值为______三、解答题（共40分）1. 设函数f(x) = kx³+3x²+4x-1，其中k为常数，已知f(-1) = 2，求k 的值。

微积分考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 1 \) 处的导数是：A. 1B. 2C. 3D. 42. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 13. 曲线 \( y = x^3 \) 与 \( x \) 轴围成的面积是：A. 1/4B. 1/3C. 1/2D. 2/34. 函数 \( y = \sin(x) \) 的不定积分是：A. \( -\cos(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( \sin(x) \)D. \( \ln(\sin(x)) \)二、填空题（每题5分，共20分）5. 如果 \( f'(x) = 6x \)，则 \( f(x) = _______ + C \)。

6. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是 _______。

7. 定积分 \( \int_{1}^{e} e^x dx \) 的值是 _______。

8. 曲线 \( y = e^x \) 与 \( x \) 轴围成的面积在 \( x = 0 \) 到 \( x = 1 \) 之间的值是 _______。

三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的导数。

10. 计算定积分 \( \int_{0}^{2} (2x + 1) dx \)。

11. 求曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 4x \) 相交的点。

12. 求函数 \( y = \ln(x) \) 在 \( x = e \) 处的切线方程。

四、答案一、选择题答案1. B2. B3. B4. B二、填空题答案5. \( 3x^2 + C \)6. \( 1/x \)7. \( e^e - 1 \)8. \( e - 1 \)三、解答题答案9. \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)10. \( \int_{0}^{2} (2x + 1) dx = x^2 + x \bigg|_{0}^{2} = 4 + 2 = 6 \)11. 令 \( x^2 = 4x \)，解得 \( x = 0 \) 或 \( x = 4 \)，所以交点为 \( (0, 0) \) 和 \( (4, 16) \)。

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。

3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。

0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。

=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。

)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。

=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。

8. 。

='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。

Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。

11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。

=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。

当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。

微积分试题题库(含答案)一、单项选择题（每小题4分，共20分）1．函数24x x f -=)(有界且单调增加的区间是（B ）． A ．),(22- B ．),(02- C ．)2,0( D ． ),(+∞2 2．当时，x x sin +2是关于的（ D ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量D ．等价无穷小量3．在] ,[11-上满足罗尔定理的函数是（ A ）． A ．2x e y -= B ．32x y = C ．211x y -=D ．xxy sin =4． 下列等式中正确的是（ D ）． A ．C x f dx x f +='⎰)(])([B ．)()(x f x df =⎰C ．)(])([x f dx x f d =⎰D ．C x f dx x f +='⎰)()(5．由曲线21x y -=与直线x y =，y 轴所围平面图形绕轴旋转一周生成的旋转体体积等于（ C ）． A ．dx x x 222021)(--⎰πB ．dx x x 222021)(⎰--π C ．dx x x ])[(2222021--⎰πD ．dx x x ])([2222201--⎰π1．函数x x x f arctan )sin()(+=2在),(+∞-∞内是（ C ）．A ．无界奇函数B ．无界偶函数C ．有界奇函数D ．有界偶函数2．当0→x 时，x x arcsin -3是关于x 的（ C ）．A ．高阶无穷小量B ．低阶无穷小量C ．同阶但不等价无穷小量D ．等价无穷小量3．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆xx f x x f x )()3(lim 000（ B ）． A ． 4- B ．3-C ． 2-D ．1-44． 下列命题中正确的是（ D ）． A ．极小值必小于极大值B ．若)(x f 在0x x =处有00=')(x f ，则)(0x f 必为极值 C. 若)(0x f 为)(x f 的极值，则必有00=')(x f0→x x xD. 若)(0x f 为可导函数)(x f 的极值，则必有00=')(x f5．=+'⎰dx x f x f 24)]([)(（ A ）． A ．C x f +221)(arctan B ．C x f +441)(arctanC ．C x f ++)(ln 221D ． C x f ++)(ln 21．函数x x x f arctan )cos()(+=2在),(+∞-∞内是（ D ）．A ．无界奇函数B ．无界偶函数C ．有界奇函数D ．有界偶函数2．当0→x 时，x x 22tan -是关于x 的（ C ）．A ．高阶无穷小量B ．低阶无穷小量C ．同阶但不等价无穷小量D ．等价无穷小量3．设00=)(f ，10=')(f ，则=→xx f x 2)(lim 0（ B ）． A ．B ．21 C ． 1D ．不存在4． 曲线xxe x f 2)(=在)1,2(--内（ B ）．A ．单减且凹B ．单减且凸 C. 单增且凹 D. 单增且凸5．设x sin 是)(x f 一个原函数，则='⎰dx x f x )(（ A ）．A ．C x x x +-sin cosB ．C x x x +-sin cos C ．C x x x +-cos sinD ．C x x x +-cos sin二、填空题（每小题4分，共28分）1．若k xx e x =-→21)(lim ，则___-2__．2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0021x a x x e x f x , ,)(在点连续，则__21___．3．曲线x xe y 2-=的拐点坐标是_),(211e _． 4．设yx e z =，则=∂∂∂y x z2 y xe y x y)(+-31_．5．=+⎰-dx x x x 1123 )cos ( _32__． 6．更换积分次序，=⎰⎰dx y x f dyyy1),(dy y x f dxxx ⎰⎰12),(．7．微分方程y x e dxdy-=满足初始条件01=)(y 的特解是)ln(e e y x -+=1． =k 0=x =a1．若=-→xx x 1031)(lim __3-e ___．2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≤-=10 20 3x axx x x e x f x ,tan sin ,cos )(在点0=x 连续，则=a _1____．3．曲线352)(-=x y 的拐点坐标是_____),(02_______________．4．设)sin(2+=y x z ，则=∂∂∂yx z2________)cos(2+y _________________． 5．=++⎰-dx x x x x 114231 )sin (52． 6．设平面区域D 由直线x y =，1=x 与x 轴所围，则=⎰⎰Ddxdy 21． 7．微分方程y x e dxdy+=的通解是C e e y x =+-． 1．若=--∞→n n n n )(lim 1e 1．2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-+≤+=0 ,110 ,)(2x xx x x x a x f 在点0=x 连续，则=a _1/2____．3．曲线x xe y 3-=的拐点坐标是__________),(23232-e __________．4．设2y x ez +=，则=∂∂∂yx z2_________22y x ye +________________． 5． =++⎰-dx x xxx 11 223)31cos (_____2______． 6．设平面区域D 由直线x y =，1=y 与y 轴所围，则=⎰⎰dxdy D2__1___．7．微分方程y x y x '=-)(22的通解是____________222x eCx y -=__________________．三、解答题（共52分）1．（本题5分）求极限.arctan lim2x tdt xx ⎰→ 解：.lim arctan lim arctan lim2121122002=+==→→→⎰x x x x tdt x x xx2．（本题7分）求曲线)sin(xy e e y x =-在),(00点的切线方程． 解： 方程)sin(xy e e y x =-两边同时对x 求导，可得))(cos(y x y xy y e e y x '+='⋅-化简可得yx e xy x xy y e y +-='cos cos100000000=+-='e e y cos cos ),(故曲线)sin(xy e e y x =-在),(00点的切线方程为)(010-=-x y即 x y =.3．（本题7分）设函数),(y x z z =由方程xyz z =sin 确定，求dz ． 解：设xyz z z y x F -=sin ),,(,yz F x-='，,xz F y -=',cos xy z F z -=' xyz yz F F x zz x -=''-=∂∂cos ； xy z xzF F y z z y -=''-=∂∂cos ; 所以dy xyz xzdx xy z yz dz -+-=cos cos .4．（本题7分）求微分方程x y xy =-'1的通解． 解：由题意知，,)(xx P 1-=x x Q =)(， 则 )()())(()()()()(C x x C dx xe e C dx e x Q e y dx x dx x dxx P dxx P +=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰----11所以原方程通解为：.Cx x y +=25．（本题8分）求函数x x x f 2332-=)(在],[21-上的最大值和最小值． 解：求函数的一阶导数，得)()(3131311222x xxx f -=-='--因此x x x f 2332-=)(在),(21-内有不可导点01=x 和唯一的驻点12=x ， 比较下列值：044325111003>-==-==)( ,)( ,)( ,)(f f f f故x x x f 2332-=)(在],[21-上的最大值为,)(51=-f 最小值为00=)(f .6．（本题9分）计算.dx e x ⎰-1解：令,x t -=则,,tdt dx t x 22==且x 从10→时，t 从10-→.ee edt e tetde tdt e dx ett tt tx42122221110111-=--=-===------⎰⎰⎰⎰)()(7．（本题9分）计算dxdy y x D⎰⎰+22sin，其中{}22224ππ≤+≤=y x y x D ),(．解：积分区域D 的图形为上图阴影所示圆环域，在极坐标下{}πππθθ220≤≤≤≤='r r D ,),(=+⎰⎰dxdy y x D22sin =⎰⎰'θdrd r r D sin ⎰⎰πππθ220rdr r d sin =.)cos (sin 2262ππππ-=-r r r1．（本题5分）求极限.limcos 212xdt e xt x ⎰-→解：.)sin (limlimcoscos ex x e x dt e xx xt x 2122221=-⋅-=-→-→⎰2．（本题7分）求曲线0=-+e e xy y 在),(10点的切线方程 解： 方程0=-+e e xy y 两边同时对x 求导，可得:0='+'+y e y x y y化简可得ye x yy +-='e ey 101110-=+-='),( 故曲线0=-+e e xy y 在),(10点的切线方程为：)0(11--=-x ey即 .exy -=13．（本题7分）设函数),(y x z z =由方程333a xyz z =-确定，求dz ． 解：设333a xyz z z y x F --=),,(,yz F x3-='，,xz F y 3-=',xy z F z 332-=' xyz yz xy z yz F F x zz x -=---=''-=∂∂22333； xyz xzxy z xz F F y z z y -=---=''-=∂∂22333. 所以 )(xdy ydx xyz zdz +-=2.4．（本题7分）求微分方程xxx y y sin =+'满足初始条件1=)(πy 的特解．解：由题意可知，所求微分方程变形为一阶非齐次线性微分方程，,)(xx P 1=,sin )(x xx Q =)cos ()sin ()sin ()sin ())((ln )()(C x xC xdx x C xdx x x e C dx e xx e C dx e x Q e y x dx x dx xdx x P dxx P +-=+=+=+=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰1111将初始条件1=)(πy 代入上式，得1-=πC故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为： )cos (x xy --=11π5．（本题8分）求函数1)(2+=x x x f 在]1,21[-的最大值和最小值．解：求函数的一阶导数，得22)1(2)(++='x x x x f因此1)(2+=x x x f 在)1,21(-内有唯一的驻点0=x .比较下列值：21)1(,0)0(,21)21(===-f f f故1)(2+=x x x f 在]1,21[-上的最大值为,21)1()21(==-f f 最小值为.0)0(=f6．（本题9分）求dx x x ⎰-123 .解：令x t 23-=，则232t x -=，.tdt dx -=0=x 时，3=t ；1=x 时，1=t ..5233102)3(21)(232331531331 4221 321 0 -=-=-=--=-⎰⎰⎰t t dtt t dt t t dx x x7．（本题9分）计算D dxdy y yD其中,sin ⎰⎰由曲线x y x y ==,所围的闭区域. 解：积分区域为右图所示阴影部分，则=⎰⎰dxdy y yDsin dyy y y dyy y y y dx y ydy yy⎰⎰⎰⎰-=-==1 021 0 1 0)sin (sin )(sin sin 21sin 1sin 1cos 1cos 1cos cos cos cos sin 10110101 01-=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰y ydy y y y yyd ydy1．（本题5分）求极限.sin lim3x tdt t xx ⎰→解：=⎰→3sin limx tdt t xx .313sin lim 3sin lim020==→→x x x x x x x2．（本题7分）求曲线021=+-y y x sin 在),(00点的切线方程 解： 方程021=+-y y x sin 两边同时对x 求导，可得:0211='⋅+'-y y y cos 化简可得 yy cos -='22202200=-='cos ),(y故曲线021=+-y y x sin 在),(00点的切线方程为：)(020-=-x y即 .x y 2=3．（本题7分）设函数),(y x z z =由方程yx e xyz -=确定，求.dz解：设y x e xyz z y x F --=),,(,y x xe yz F --='，,y x y e xz F -+=',xy F z =' xz xz xy yz xyz xy yz e xy e yz F F x zy x y x z x -=-=-=--=''-=∂∂--； 0yyz z xy xyz xz xy e xz F F y z y x z y +-=+-=+-=''-=∂∂-.则 dy yz yz dx x zxz dz +--=.4．（本题7分）求微分方程122--='xy x y x 满足初始条件11=)(y 的特解 解：将所求微分方程变形为，212xx y x y -=+'此方程为一阶非齐次线性微分方程.,)(x x P 2=,)(21xx x Q -=)())(()()())((ln )()(C x x xC dx x x C dx x x x e C dx e xx e C dx e x Q e y x dx x dx xdx x P dxx P +-=+-=+⋅-=+-=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰211111222222222将初始条件11=)(y 代入上式，得23=C 故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为：223121xx y +-=5．（本题8分）求函数)1ln(2+=x y 在]3,1[-的最大值和最小值． 解：求函数的一阶导数，得12)(2+='x xx f 因此)1ln(2+=x y 在)3,1(-内有唯一的驻点0=x .比较下列值：10ln )3(,0)0(,2ln )1(===-f f f ,故)1ln(2+=x y 在]3,1[-上的最大值为,10ln )3(=f 最小值为0)0(=f . 6．（本题9分）求dx xx ⎰-23231.解：令,sin t x = 则.cos tdt dx =0=x 时，0=t ；23=x 时，3π=t . 2453221241)cos 3cos (cos )1(cos cos )sin (cos cos sin 13033023023032323=+-=-=-=-==-⎰⎰⎰⎰ππππt t td t t d t tdt ttdx xx7．（本题9分）计算,⎰⎰Ddxdy x y其中D 由21x ≤+2y 4≤，x x y ,=轴所围解：积分区域如下图所示，在极坐标系下，122=+y x 的方程化为1=r ，422=+y x 的方程化为2=r ，由图可知，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤='40 ,21 ),(πθθr r D=⎰⎰Ddxdy xy⎰⎰''D dr rd θθtan ⎰⎰⋅=4021tan πθθrdr d.2ln 43cos ln 23cos cos 232cos sin 404021240=-=-=⋅=⎰⎰πππθθθθθθd rd12yxxy =。

微积分试题及答案第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。