数学分析思想在中学数学解题中的应用

中学数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解中学数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解在转化过程中，应遵循三个原则：1、熟识化原则，即将生疏的问题转化为熟识的问题;2、简洁化原则，即将困难问题转化为简洁问题;3、直观化原则，即将抽象总是详细化.策略一：正向向逆向转化一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，假如从下面入手思维受阻，不妨从它的正面动身，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，状况困难，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简洁多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较困难的数学问题却须要从总体上去把握事物，不纠缠细微环节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体全部棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，简洁出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培育学问迁移实力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相像性，奇妙进行类比转换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.二、逻辑划分思想例题1、已知集合A= ，B= ，若B A，求实数a 取值的集合.解A= ：分两种状况探讨(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种状况探讨：(i) B={-1}，则=-1，a=-1(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)综合上述所求集合为.例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满意1x4的一切x值都有f(x) 0，求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.于是可以知道解本题必需分类探讨，其划分点为.小结：分类探讨的一般步骤：(1)明确探讨对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行探讨);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级探讨.;(3)逐类探讨，获得阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

数学分析思想在高中数学解题中的应用汤吉龙(江苏省泰兴市第二高级中学㊀２２５４００)摘㊀要:高中数学作为高中三大主科之一ꎬ在难度上呈现出 极差化 ꎬ学习难度大大增加.在学习高中数学的过程中ꎬ应当着重训练解题方法及分析思想.教师应当引导学生运用数学分析思想思考解题思路ꎬ培养自身的学习习惯ꎬ促进思维以及逻辑水平的提高进步ꎬ从而有效解题.本文着重探讨数学分析思想在高中数学解题中的应用ꎬ希望能够为高中数学教师的教学工作提供一些新的思路和想法.关键词:高中数学ꎻ数学分析思想ꎻ数学解题ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)１５－００３１－０２收稿日期:２０２１－０２－２５作者简介:汤吉龙(１９６９.９－)ꎬ男ꎬ江苏省泰兴人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀由于高中数学知识点与难度大幅增加ꎬ再加上课程进度快ꎬ从而导致很多学生因为适应不了课堂进度和难以解题以至于六神无主㊁无从下手.高中数学知识较为复杂ꎬ许多知识点之间相互联系ꎬ有可能因为一部分没有学好而使得接下去的课程无法接受ꎬ致使很多学生学习效率低下ꎬ出现解题步骤没有逻辑等问题.所以在高中数学的学习中ꎬ教师应当注重学生对数学分析思想的培养及运用ꎬ这样才能提高课堂效率ꎬ达到教学有效输出的目的.㊀㊀一㊁数学分析思想对高中数学解题的影响从前学生习惯了套用 解题模板 来进行答题.而高中数学相对复杂ꎬ如果再像之前一样依靠类型题的解题步骤进行照葫芦画瓢是行不通的.唯有掌握好知识点ꎬ多做题ꎬ试图从做题的过程中发现解题思路ꎬ在下一次遇到此类题型时能够马上想到这个知识点ꎬ活学活用ꎬ通过学生的独立思考以及题海战术将所学知识铭记于心ꎬ培养学生的数学分析思想ꎬ这对于高中学生数学解题是很重要的.另外ꎬ教师在教学过程中注重对学生数学分析思想的培养与教育ꎬ可以使得学生在解题过程中养成良好的习惯ꎬ并且具有更加严谨的逻辑思维能力ꎬ对于学生在解题过程中提高效率具有非常关键的作用ꎬ同时教师在进行思想培养教育的过程中ꎬ其实也是对解题方法的一种优化.因此ꎬ数学分析思想对于高中数学解题而言ꎬ不仅可以提高学生的解题能力ꎬ还能够提高教师的教学效率及为创新教师的教学方式提供条件.㊀㊀二㊁以 函数 为例介绍数学分析思想在高中数学解题中的应用㊀㊀不等式的证明是高中数学中的一个重要内容ꎬ方法繁多ꎬ思路灵活ꎬ技巧性强.本质上来说用函数思想解决不等式问题ꎬ就是研究相对应函数的零点㊁正负区间㊁单调性的问题ꎬ所以ꎬ通过运用函数思想来解决这类问题ꎬ可以轻松找到解题方向ꎬ进而提高解题效率.例如:已知不等式ｘ２＋ｍｘ＋３>４ｘ＋ｍ恒成立ꎬ同时０ɤｍɤ４ꎬ求ｘ的取值范围.首先在解题之前通过对题目进行详细分析ꎬ我们发现可以将ｍ作为自变量建立相应的函数ꎬ即ｙ＝(ｘ－１)ｍ＋ｘ２－４ｘ＋３ꎬ于是不等式也就转变成为ｙ>０恒成立ꎬ加上题目给出的条件范围０ɤｍɤ４ꎬ对于ｘ的取值范围自然呼之欲出ꎬ再进行解答就变得非常容易.事实上ꎬ对于这一类的题目都可以通过先转换形式ꎬ然后根据题目条件进行分析解题的方式ꎬ在这个过程中ꎬ教师可以让学生体会到学习高中数学并非如他们想象的那么困难ꎬ只要注意掌握思想方法ꎬ所有类似的题目都可以迎刃而解.㊀㊀三㊁通过数列公式对问题进行分析思考递推数列的题型多样ꎬ求递推数列的通项公式的方法也非常灵活ꎬ往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决ꎬ亦可采用不完全归纳法的方法ꎬ由特殊情形推导出一般情形ꎬ进而用数学归纳法加以证明ꎬ因而求递推数列的通项公式问题成为了１３Copyright©博看网 . All Rights Reserved.高考命题中颇受青睐的考查内容.笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略ꎬ它们是:公式法㊁累加法㊁累乘法㊁待定系数法㊁对数变换法㊁迭代法㊁数学归纳法㊁换元法㊁不动点法㊁特征根的方法.教师可以在课堂上仔细讲解一下递推关系式的特征ꎬ让学生在解题过程中能够辨析题目的特征并准确选择恰当的方法ꎬ进而能够更加迅速求出通项公式.１.利用公式法求通项公式公式法求解通项的前提条件就是学生能够从题目当中发现其中蕴含的知识点ꎬ然后根据这个知识点的具体特征来匹配相对应的公式ꎬ进而根据这个公式求解题目.比如我们来看这样一道例题:已知数列{Ａｎ}满足Ａｎ＋１＝２Ａｎ＋３ ２ｎꎬＡ１＝２ꎬ求数列{Ａｎ}的通项公式.这道题应该算是初学数列的典型例题ꎬ也是高考中位于数列题的第一小题ꎬ相对简单ꎬ也很容易犯错ꎬ但是我们一旦掌握了相对应的思想方法ꎬ我们就很容易能够从中发现错误点ꎬ并且在解题过程中对其进行详细注意ꎬ那解题错误率无疑会减少很多.我们试着用数学分析思想进行解题应用ꎬ首先ꎬ我们要先确定这是求通项公式的哪一种方法ꎬ由题目可知ꎬ这道题要求我们用公式法求通项ꎬ确定了正确的方法以后ꎬ离成功解出这一道题目就只差一半儿了.接下来再继续分析ꎬ本题的关键是把递推关系式Ａｎ＋１＝２Ａｎ＋３ ２ｎ转化为Ａｎ＋１/２(ｎ＋１)－Ａｎ/２ｎ＝３/２ꎬ说明数列{Ａｎ/２ｎ}是等差数列ꎬ再直接利用等差数列的通项公式求出Ａｎ/２ｎ＝１＋(ｎ－１) ３/２ꎬ进而求出数列{Ａｎ}的通项公式.等把思路完全理清后ꎬ我们便可以根据我们的思考思路依次写出步骤ꎬ并求得答案.这样一道题就解出来了.虽然这道题很简单ꎬ但是在学数列过程中ꎬ如果不将最基本的题目搞清楚ꎬ明白其中的来由及思维ꎬ很难循序渐进地攻克难题ꎬ甚至会打击学生学习其他章节知识的自信心.而掌握了基本题目解题思维方式之后ꎬ学生的数学分析能力会相应地增强ꎬ相信学生有足够的信心应对下面的题目ꎬ对于类似的题目更是游刃有余.２.累加法求通项公式的分析前面我们分析了数列的公式法ꎬ现在我们再来看一下累加法求通项公式的题目ꎬ这种方法也是需要学生在进行解题的前期就要先进行深入思考ꎬ能够规划出大体的解题步骤ꎬ然后再一步步地进行正式解题.下面我们来看例题:已知数列{Ａｎ}满足Ａｎ＋１＝Ａｎ＋２ｎ＋１ꎬＡ１＝１ꎬ求数列{Ａｎ}的通项公式.第一步ꎬ我们还是一样先引导学生分析题目ꎬ考虑需要用到求通项公式的哪一种方法才能将此题完整无误地解答出来ꎬ或者是可以先尝试哪种方法比较妥当.我们可以看到题目 Ａｎ＋２ｎ＋１ 是具有一定的规律性ꎬ如果我们将它进行累加ꎬ可以逐步得到答案ꎬ那么ꎬ我们可以确定这一题用累加法就可以求得例题的通项公式.第二步ꎬ我们要考察到本题的关键是把递推关系式Ａｎ＋１＝Ａｎ＋２ｎ＋１转化为Ａｎ＋１－Ａｎ＝２ｎ＋１ꎬ进而将它们累加得出(Ａｎ－Ａｎ－１)＋(Ａｎ－１－Ａｎ－２)＋ ＋(Ａ２－Ａ１)＋Ａ１ꎬ即可得出数列{Ａｎ}的通项公式.最后一步ꎬ再将题目中给出的信息进行代入所求得的式子当中ꎬ即可求出最终答案.通过分析以上题目ꎬ我们可以知道ꎬ在做任何一道题的时候ꎬ做题思路往往比做题更重要ꎬ因为题目是永远做不完的ꎬ但是方法是万变不离其宗ꎬ很多道题目都可能是考察同一个知识点的不同应用ꎬ数学分析思想在高中数学解题就显得极其重要了ꎬ一个正确的思考方向可以让解题进入正确的轨道ꎬ而如果拿到题目没有预先思考ꎬ而是马上动笔的话ꎬ很容易出现连环错误ꎬ高中数学注重考察学生的思考能力和严谨能力ꎬ做题不能想当然也不能套用做题模板.具体来讲ꎬ首先要确定这题考察学生什么知识ꎬ然后再分析这题应该运用哪种方法进行解题ꎬ确认完这些之后ꎬ学生方可进行答题.总之ꎬ数学分析思想的重要性不言而喻ꎬ它可以有助于学生的数学思维能力以及数学涵养的培养ꎬ对高中生而言ꎬ这是学习数学的必备思想之一.在学习数学的过程中ꎬ教师需要培养学生严谨的解题思路及方法ꎬ要引导学生学会自己思考ꎬ也要让学生懂得数学分析思维在高中数学解题的重要性ꎬ从入门时便培养学生的数学分析思维ꎬ能够大大减少错误及盲目做题的方式.培养谨慎㊁细心的做题习惯ꎬ我相信题目再难再复杂ꎬ学生都能很好地攻克.㊀㊀参考文献:[１]杨小敏.探究数学分析思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].甘肃教育ꎬ２０１９(２０):１８７.[２]刘少华.浅谈数学分析思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１９(０５):１４５.[３]蒋珊珊.数学分析思想在高中数学解题过程中的应用[Ｊ].中学数学ꎬ２０１７(１５):７５－７７.[４]麦康玲.数学分析思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].科教文汇(下旬刊)ꎬ２０１５(０５):１１０－１１１.[责任编辑:李㊀璟]２３Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

数学分析在中学数学中的应用数学分析是数学的一个分支，它的主要研究对象是实数、复数和函数。

数学分析在中学数学中有着广泛的应用。

它不仅帮助学生理解和掌握中学数学的基础知识，还能培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

首先，数学分析能够帮助中学生深入学习和理解函数的性质和特点。

函数是中学数学的重要内容之一，而数学分析的基础概念和理论恰恰对函数的研究有着重要的作用。

通过数学分析的学习，学生能够更好地理解函数的定义、性质和图像，并能够准确地描述和分析函数的变化规律。

从而帮助学生更深入地学习和理解中学数学的相关知识。

其次，数学分析能够帮助中学生提高问题解决能力。

数学分析的研究对象是实际问题，通过数学分析的学习，学生能够培养抽象思维和推理能力，能够将实际问题转化为数学模型，并利用数学知识解决问题。

在中学数学中，学生常常遇到一些复杂的问题，需要灵活运用数学知识进行分析和解决。

而数学分析的学习可以帮助学生掌握问题解决的方法和技巧，从而提高他们解决问题的能力。

此外，数学分析还能够帮助中学生理解和应用数列和级数的概念。

数列和级数是中学数学中的重要内容之一，而数学分析对数列和级数的研究具有重要的意义。

通过数学分析的学习，学生能够深入了解数列和级数的性质和特点，并能够利用数学分析的方法求解数列和级数的相关问题。

例如，通过数学分析的学习，学生能够学习到级数的和的求解方法、数列的极限和收敛性等重要概念和定理，从而更好地理解和应用数列和级数的知识。

最后，数学分析还能够帮助中学生理解和应用微积分的概念和方法。

微积分是数学分析的重要内容之一，而微积分的学习对于学生进一步深入理解中学数学的基础知识具有重要的作用。

通过数学分析的学习，学生能够学习到导数和积分的定义和计算方法，并能够理解和应用微分学和积分学的基本概念和定理。

例如，通过数学分析的学习，学生能够学习到导数在中学数学中的应用，如求解函数的极值、判断函数的单调性等；同时，学生还能够学习到积分在中学数学中的应用，如求解曲线下面积等。

数学系指导教师提供论文选题题目理论研究室一．汪义瑞老师备选题目：1．中学数学的高等数学背景研究。

2．关于一道数学分析题的猜想。

3．数学分析中某个问题的探索与研究。

4．点集拓扑中某个问题的探索与研究。

5．一道中学不等式证明题的推广（2010年中考与高考题中某个问题的探索与研究）。

二．石卫国老师备选题目：1．升本院校学生考研现状的调查研究；（如：对我校学生考研现状进行调查（可采用问卷调查并辅之以座谈、个别访谈），对收集的资料进行统计分析，总结分析，提出建议或对策。

）2．立足考研的高等数学研究（可对某一类问题进行研究，如：从一类考研题看不定积分与变限定积分的关系等）；3．数学分析某一内容的研究；（如：数学分析思想在中学数学解题中的应用；浅谈幂指函数的性质与应用；浅谈反例在函数连续性学习中的作用及构造研究；对称性在积分中的应用；等）；4.（中学、大学）数学竞赛某一内容的研究；（如：一道数学竞赛题的简解与推广）；三．邵春芳老师备选题目：1．原函数与定积分的关系；2．对2010年一道高考题的联想；3．泰勒展开式在求解函数极限中的应用；4．新课程下的教师角色的转变。

四．吴苏朋老师备选题目：1数学创新教育的课堂设计（以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则）2推测和猜想在数学中的应用3微分中值定理的再讨论4二阶变系数齐次微分方程的求解问题5利用几何知识求函数最值（不等式证明的若干方法）数学教育研究室李善明推荐1.谈谈反证法2.向量方法在中学几何中的应用研究3.双曲面渐近锥面的一些性质研究4.浅谈数学中的构造法5.数学归纳法教学研究6.初等函数值域的求法浅谈数学教学中“愤”、“悱”情境的创设.数形结合思想及其应用9.中学数学渗透数学史知识的作用与意义10.二次曲面的计算机作图11.数学的文化性研究12.高等数学在中学数学中的应用成波1.导数在初等数学中的应用研究。

2.导数在经济生活中的应用研究。

3.数学分析中的一些重要不等式（如Cauchy，Schwarz不等式等）的证明及应用。

简析数学分析在中学数学教学中的作用作者：盖新宇来源：《科技创新导报》 2015年第11期盖新宇赤峰克什克腾旗经棚镇中心完小内蒙古赤峰 025350摘要：中学时期的数学教学内容都是以课程知识点的掌握作为教学任务核心重点。

在整个中学数学课程教学阶段，数学分析方法是中学数学课堂掌握知识点的有力武器，它强调通过定义、运算法则、定理及公式应用等进行教学，故此中学数学教学通过数学分析可以有效提高教学效率，并且可以促使学生提高逻辑推理、数形结合、语言表达等方面的数学分析能力，在课堂教学及学生掌握解题思路等方面具备重要现实意义。

关键词：中学数学数学分析教学微积分三角函数中图分类号：G412文献标识码：A 文章编号：1674-098X(2015)04(b)-0164-02当前，数学分析不仅属于中学数学课堂教学实践阶段中较为常见的辅助教学方式，同时数学分析也是未来许多学生在学习高级微积分等工科专业的必修课程之一。

因此，在中学数学专业课程学习实践阶段，应用数学分析方法，提高学生逻辑推理等抽象思维能力，就必须对数学分析方法有一个初步了解，从而为三角函数和导数概念的学习打下基础，逐步的提高学生对数学分析的应用。

数学分析是以初等数学为基础，在长期的解决初等数学问题的实践中而逐渐发展形成起来的。

特别是在解决某些初等数学问题时，数学分析提供了新的方法和手段。

通过数学分析，我们可以在一个更高点上去观察初等问题，从而确定解题思路，同时还可以帮助我们了解一些问题的本质。

与此同时，还可以借助高等数学的思想去拟造一些初等问题。

因此，在中学数学教学中，数学分析占有重要的地位。

1 在中学数学教学中，数学分析的重要指导作用1.1 培养能力，增强素质可以说，对于学习中学数学课堂的绝多数学生而言，其数学分析能力高低，也间接决定着其逻辑推理、几何分析、语言表达等抽象思维能力的高低。

换言之，数学分析的一个重要作用就是沉淀和积累所学的数学知识，即数学分析能力的培养和知识积累水平的高低是息息相关的。

内蒙古师范大学硕士学位论文波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用姓名：***申请学位级别：硕士专业：学科教学·数学指导教师：***20051010中文摘要乔治·波利亚对数学教育的研究麓贡献举世瞩目，他在数学教育上的成就主要包括解题理论、数学教育理论和教师教育理论三个方面，这三个方面的理论对我国的数学谦程与数学教学改蕈、数学教师的培养与培训都有着十分重要的指鼯意义。

本文通过对波翻耍畜关著箨麓磷究，把其中鲶波裂亚关予数学壤嚣思维理论，比较全面系统地整理出来，从宏观和微观两个方丽加以论述，使其形成一个较为完善的体系。

渡利亚的解题理论强调盼是数学憨维的教学，钝把解霪作为一种手段，通过怎样解题的教学，启迪学生的数学思维，达到培养学生分析和解决惩题麓力魏霆鳇。

解题的元认知结构是数学解题认知结构的重要组成部分，波利亚的解题理论给出＿『没有冠以心理学名词的勰题元认知理论体系。

数学解题元认鲡能力盼携高，有赖予解遂学习者善于运霜波翻亚的“穗示语”，以及蒋于提炼具有个人风格的“提示语”。

近年寒，在素质教育滋下，人钔深入｛爨究莠实载波穰亚的解题愚想。

教育创新的提嫩不仅符合时代和社会发展的要求，符合培养全面发展人的需要，而且像符合教育自身发展的客观规律，符合世界教育改革的大趋势，论文遥ｊ建借鉴渡翻驻的数学解遂愚怒，阐述了教学过程孛如俺培养学生良好的思维方式和创新精神。

数学痘发法是波剩亚予１９４５年嚣绕“怎样勰题”提出的一静教学思想。

２０世纪８０年代初期美国提出“问题解决教学思想，给出了数学启发法一种新的解释理论。

另外，本文还对波剁亚著作中的合情推理进行了分析，指出合情推理在数学发现麓创造思维中的重瑟作用，结合我溺的数学谍程改革探讨了合情推理在数学教学中的独特优势。

关键词：波利戏，数学思维，闯题解决，数学教学ＧｅｏｒｇｅＰｏｌｙａ’Ｓｒｅｓｅａｒｃｈａｎｄｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｅｄｕｃａｔｉｏｎｗａｓｗｏｒｌｄ－ｆａｍｏｕｓ．Ｈｉｓａｃｈｉｅｖｅｍｅｎｔｏｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｅｄｕｃａｔｉｏｎｍａｉｎｌｙｉｎｃｌｕｄｅｄｔｈｅｏｒｙｏｆｐｒｏｂｌｅｍｓｏｌｖｉｎｇ，ｔｈｅｏｒｙｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｅａｃｈｉｎｇａｎｄｔｈｅｏｒｙｏｆｔｅａｃｈｅｒｅｄｕｃａｔｉｏｎ．ＴｈｅｓｅｔｈｒｅｅｋｉｎｄｓｏｆｔｈｅｏｒｉｅｓｈａｄｇｒｅａｔｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅｏｎｔｈｅｒｅｆｏｒｍｏｆｍｏｄｅｒｎｃｉｒｒｏｃｕｍｕｌｉｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄｔｅａｃｈｅｒｓｔＯｔｅａｃｈｉｎｇ，ｔｈｅｃｕｌｔｉｖａｔｉｏｎａｎｄｔｒａｉｎｉｎｇｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｅａｃｈｅｒｓ幻ｏｕｒｃｏｕｎｔｒｙ．ＴｈｒｏｕｇｈｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆＰｏｌｙａ’ｓｗｏｒｋｓ，ｔｈｅａｒｔｉｃｌｅｃｌｅａｒｓｕｐｈｉｓｔｈｉｎｋｉｎｇｔｈｅｏｒｙｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎ，ａｎｄｄｉｓｃｕｓｓｅｓｉｔｆｒｏｍｂｏｔｈｍｉｃｒｏａｎｄｍａｃｒｏｐｈａｓｅｓｔｏｄｅｖｅｌｏｐａｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅｌｙｃｏｍｐｌｅｔｅｓｙｓｔｅｍ．ＴｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｓｏｌｖｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓＰｏｌｙａｅｍｐｈａｓｉｚｅｓｉｓａｋｉｎｄｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｈｉｎｋｉｎｇ，ｗｈｏｒｅｇａｒｄｓｓｏｌｖｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓａｓａｍｅａｎｓａｎｄｔｅｌｌｓｐｅｏｐｌｅｈｏｗｔｏｅｎｌｉｇｈｔｅｎｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｈｉｎｋｉｎｇｗｈｉｃｈｍａｙａｒｒｉｖｅａｔｔｈｅａｉｍｏｆｅｄｕｃａｔｉｎｇｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓ’ａｂｉｌｉｔｙｔｏａｎａｌｙｚｅａｎｄｓｏｌｖｅｐｒｏｂｌｅｍｓ。

2017年8月解法探究数学分析思想在高中数学解题过程中的应用!!苏省宜兴中学蒋珊珊数学是高中课程的必修课，也是高中学习的主要学 科，在高考中占有重要地位.作为高中生，数学的学习情 况直接影响着高考的成绩，也影响我们所要选择的学 校.所以，高中数学的学习至关重要，如何把它学好成为 我们应当思考、探讨的大事情.为了提高数学学习效率，为了更好地利用数学这一门学科，笔者反复思考经常做 过的习题，努力寻找蛛丝马迹破解数学学习的难关.笔 者发现只是单纯的依靠做题，做再多的题，思维依旧是 固化的，根本无法从根本上解决数学难题.只有独立思 考、发散思维、学会分析问题、掌握分析思想才是高中数 学解题的核心.―、概述数学分析思想—2实理论基础高中数学和小学、初中的数学不同，小、初数学知识 点少、知识结构简单、知识点之间的联系少，而高中的数 学随着我们的身心发展和逻辑思维能力的发展，它也在 不断扩充.高中数学涉及的知识点比较多，知识面也比 较广泛.在课堂上，老师对数学的教学有一个普遍的流 程，即先学习理论知识指的就是先学习相关的概念、定 义、定理，然后老师带着学生做题进行应用，接着通过习 题的练习巩固和强化学生对知识的掌握与运用.在这个 过程中，我们不能只单纯地听老师讲，然后盲目、惯性的 做题，我们一定要抓住运用的部分，善于动脑、总结分析 发现知识点中蕴含的数学分析思想.在学习过程中，经 自己总结积累形成的数学分析思想是提高数学学习质 量的关键.当我们掌握了数学分析思想，再面对高中数 学题时迎刃而解，节省了时间，提高了效率，保证了正确 率，对高考也有很大的助益.现将数学分析思想进行分类概述如下:第一，转化 与化归的思想，指在遇到数学难题或没有见过的新题型 时，想办法利用所有数学知识和方法进行转化，把复杂的问题简单化，把烦琐的问题进行拆解，拆解成我们可 以解决的各个小问题，使复杂的大问题转化成可以解决 的数学知识点.第二，数形结合的思想，“数”指数量关 系，“形”则是图形、模型，数形结合的思想有两种用法，一是利用“数”准确地描述“形”的特性，或依据“形”形象 直观的展示与“数”之间的关系.数形结合思想的运用，其实就是我们抽象思维与形象思维的结合运用，锻炼我 们思维方式的同时，使高中数学复杂的问题变得简单 化，抽象的问题变得具体化，从而提高我们的解题效率，优化我们的解题技巧.第三，函数思想，利用函数思想去 分析问题或把问题进行转化.函数思想是一个很特别、很奇妙的数学分析思想，只利用一个简短的公式就能包 含无尽的数据.依据函数的思想去思考数学问题，将大 大减少数学问题的解题步骤，提高数学解题效率.为了使同学们深人了解数形结合思想，熟练地将其 应用于高中数学的解题过程中，笔者对它的应用原则进 行补充，以促使同学们更好地理解并实践.在运用数形 结合原则时，同学们一定要注意等价性原则，如果“数”与“形”之间没有等价性，那研究就是徒劳的，完全没有 意义.为了避免我们的付出是无用功，我们一定要重视 起“数”与“形”之间的等价关系.另外，需要认清的是，“数”可能是无限的值，而图形的表现力是有限的，它只 能直观地、片面地对“数”进行反应;其次，数形结合思想 还需注意双向原则，“数”与“形”两者是一体的，同时出 现同时作用于同一事物，故我们在高数解题过程中，既 要关注抽象的实数，又要注意直观的图形，二者相辅相 成、缺一不可.单纯的关注其一，只会让你在解题的过程 中跑得越来越远;再者，数形结合思想的另一原则，择简 而行.当我们确定用数形结合思想解决高中数学中的难 题时，一定选取简单的方法进行解答，加快做题速度，培 养简化思维.高中版十炎75参谋_.解法探究二、培养数学分析思想——提升数学素养仅仅知道理论知识如纸上谈兵没有实际意义，所以 我们需要锻炼，需要在实践中培养出数学分析思想.数 学分析思想是我们在学习数学时，对数学规律慢慢形成 的一种认知.所以为了使我们尽早形成数学分析思想，我 们应从以下几方面进行培养和锻炼.第一，培养自主学 习的能力，同一个老师教出来的学生为什么数学素养不 一样的，这主要取决于我们自己，老师不可能时时指导 我们进行学习，老师也不可能陪我们考试，所以我们一 定要强大我们自己，培养独立学习的好习惯.独立学习、自主思考不仅对我们数学思想的养成有促进作用，同时 对我们以后的学习和更好的生活都有很大的助益.我们 应从课前的预习开始我们的自主学习，高中数学内容涵 盖广，知识点加深，如果单纯依靠老师上课讲解，很难跟 上老师的节奏，无法很好地掌握知识，所以为了数学思 维早日养成，课前预习不可少.其次，我们在课堂上的状 态，直接影响了我们数学思维的培养，紧跟教师的思路，认真听讲，勤思考，是培养数学分析思想的关键.再者，课下的复习，也是非常重要的.我们需要对老师讲课的 过程和思路进行回忆，内化为我们自己的数学思想，提 高我们的数学素养.第二，提高审题能力，在高中数学解 题过程中，学生的审题起到了关键的作用，只有审题审 的好，才能清楚的理解题干，才能在思考问题的过程中 形成思路，进一步发现问题中隐藏的条件，推动问题的 解答.审题是一项细腻的工作，需要我们细心、仔细，初 次见某问题时冷静不慌张，用自己的慧眼、慧心发现数 学问题中潜藏的知识点，然后分门别类地进行解答.如 果学生审题不认真，粗枝大叶，会漏掉很多解题信息，导 致无法正确解答出题目，所以我们一定要养成认真、细 心的习惯，提高审题效率，从而正确选择解题的指导思 想.第三，我们要重视常用的数学思想，并对其进行总结 和领悟.与普通的数学知识不同，数学思想的形成对我 们的学习和成长都有积极的促进作用，它伴随我们学习 数学的整个过程，是一种特殊的数学意识，隶属于思维 层面，它直面高中数学的所有问题，并对问题的解决提 供了指导思想.为了更好地运用数学思想，使其在实践 中发挥作用，产生对应的数学解题方法，我们必须更加 深人地领悟数学思想和方法，才能将别人的解题技巧与 教材知识相融合，形成属于我们自己的数学素养.第四，利用网络技术拓宽我们的知识面，促进数学分析思想的 形成.最近几年，高中的数学试题越来越开放，越来越注重学生能力的发展.我们作为学生可以自己从网上搜集 最新的数学信息，丰富自己的数学素养，同时搜集不同 的题型，开阔我们的视野，促使数学思维早日形成.数学分析思维的培养还需基于教材进行深人挖掘，毕竟万法不离其宗，我们要仔细分析课本内容，研究其 解题思路，分析其蕴含的数学思想，并对其进行总结，平 时考试或高考，出题教师不可能背离教材中的数学思 想，所以我们要通过深人地研究课本内容，丰富我们的 数学思想.综上所述，我们培养独立思考的能力，主动地 去学习消化知识，寻找数学思想;养成细心的习惯，提高 审题能力，从而发现数学思想，并准确合理地将其应用 出来;养成总结领悟的良好习惯，结合常规思维使我们 的数学分析思维更加完善;拓展知识面，以开放的胸怀 吸纳更多的数学新思想，最终熟练运用数学分析思维解 决遇到的问题.三、运用数学分析思想——畅游数学天地我们学习数学分析思想的终极目的，不是为了把它 捧得高高在上，而是为了利用数学分析思想，提高解题 效率，提升数学成绩.我们已经掌握了数学分析思想，现 在我们来谈一谈它在高中数学解题过程中的应用.(1)当我们遇到没有见过的题型时，需要运用转化 与化归思想，把陌生的数学难题转变为我们熟悉的题 型.诚然，教材内容是客观一定的，里面的概念、定义、原 理也是一定的，是不能改变的，但不断变化的数学题型，却从不同程度不同侧面来考查学生，所以，当我们遇到 陌生题型时不要慌，别害怕，我们要利用转化思想，把它 转化为我们熟悉的数学分析思想，转化的过程中需要辅 助元素，构建起已知条件与所求问题之间的某种联系，而这种联系靠辅助元素来搭建，通过已知条件、辅助元 素、所求问题、熟知的数学分析思想，问题迎刃而解.例如，“求函数"=2$+4!/1&$的值域”，在第一次遇 到这个函数问题时，我们先冷静、仔细分析已知条件，我 们没有见过带根号求值域的题目，单纯地分析$，"毫无头 绪，此时我们利用数学分析思想中的转化思想试一试，把没有见过的带根号的式子利用辅助元素进行转化，变成熟悉的题型呢.下面我们就借助辅助元素'，令'，依据偶次根式的性质，我们都知道'"0,而已知条件中 的原函数转化为我们熟知的关于'的二次函数.令('，则'"0，所以1&'2,现将1&'2，代人已知条件变成 了y=2( 1&'2)+4'，经化简成为 y(-2'2+4'+2=-2 ('-1)2%4，需 要特别注意的是，辅助元素0.现在我们所要求得问题2017年8月76十•？炎，？高中版2017年8月解法探究高考中导数问题的若干求解策略#!苏省海门实验学校蒋程导数不仅是近几年高考的热点与高频考点，更是作 为2017年各个省市高考与模考的压轴题.这个模块上常 常立意创新.本文是笔者通过这几年的教学实践来谈谈 解决这类问题的思维策略，总结一些导数的经验和看 法，希望大家批评指正.―、对于零点问题的处理策略一一函数分离在近几年的考试中，零点个数问题考查比较深人. 在对函数求导探究单调性的过程中，对于一些基本函 数，如!=e*，!=ln(，y=(2等，常常分离开来，放在一边单独 讨论，部分题目与数形结合思想相结合，会对问题的解 决有不少帮助.例 1已知函数■-a lm c(a$R).转化成了 !"-2*-1 )2+4($!0)，这是我们常见的题型，解 决起来非常容易.因为$"1时，！的值最大等于4，y没有最 小值.所以原函数的值域是(-!, 4 ].利用转化思想解决 这道函数问题时一定要注意辅助元素的取值范围.(2)利用逆向思维的数学分析思想，有些题型正面 解决非常麻烦，我们可以尝试逆向思维来解决.换一种 思路数学解题就换了一片天地.(3 )例如，我们在解答“问一元二次方程(a+2 )(2-8(+ a=0在a满足什么的条件下至少存在一个正实数根.”从正 面解答的话，我们需要分析方程的解存在两正实数根、两 负数根、一正根一负根还有无解的情况，过于麻烦和烦 琐，但如果反过来思考，找到所求的对立面其补集就是 我们要的结果.至少一个正实根的对立面是方程两个解 都是负数，这样解决起来就方便多了.类比与归纳思想 在数学分析中的应用，即把所要解决的问题与相类似的 题型联系起来，找到共同点的一种简化数学分析思想.(1)若（（)在("2处取得极值，求（（)在点（1，（ 1))处 的切线方程.(2) a>0时，若（（)有唯一的零点(。

【标题】高等数学在中学数学中的应用【作者】丁海云【关键词】高等数学中学数学联系应用【指导老师】陈强【专业】数学与应用数学【正文】1 引言近几年来，高等师范院校数学系的不少大学生对学习高等数学存在不少看法，如“现在学的高等数学好像与初等数学没有多大联系”，“学习高等数学对今后当中学数学教师作用不大”，有的甚至提出“高等数学在中学教学里根本用不上”等等．这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的那样：“新的大学生一入学就发现，他面对的问题好像和中学里学过的东西一点也没有联系似的，当然他很快就忘了中学学的知识．但是毕业以后当了老师，他们又突然发现，要他们按老师的教法来教传统的初等数学，由于缺乏指导，他们很难辨明当前数学内容和所受大学数学训练之间的联系，于是很快坠入相沿成习的教学方法，而他们所受的大学训练至多成为一种愉快的回忆，对他们对教学毫无影响”．然而在新的数学教材中已经出现了一些基础的高等数学知识，可以说是数学发展的一种必然．现在的中学数学教师必须掌握高等数学的基础知识以适应数学发展和教材改革，而高等数学知识在开阔视野、指导数学解题、指导数学教学、对初等数学问题加以诠释等方面的作用就尤为突出了．本文探讨一些高等数学知识和方法在初等数学中的应用．2 初等数学与高等数学的联系一般说来,数学史家把数学的发展分成四个阶段(萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期)或五个时期(再加上“当代时期”)．无论何种方法，都把第二发展时期叫做“初等数学时期”，这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”,而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”,这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”．理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯(Engles)的经典分法：所谓初等数学就是指常量数学，高等数学就是指变量数学，并把笛卡尔(R?Descartes)1637年发明的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志．而教育意义下的初等数学和高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的，即视普通初等、中等教育(即中、小学教育)阶段的数学主要内容为初等数学，视高等教育阶段的数学主要内容为高等数学．当然，由于社会和教育的思想、方法、手段尤其是教育内容都在不断发展，“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象，两者没有严格的概念区别．事实上，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力在于各部分之间的有机联系，只从学科表面上看，难以看清两者之间的内在联系，这就需要深入研究初等数学，理清其中最基本的思想和方法，努力寻求初等数学和高等数学的结合点．2.1 知识方面的联系高等代数在知识上是中学数学的继续和提高．它能解释许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等．从以下几个方面说明：首先，中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则.高等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论；中学代数给出了多项式因式分解的常用方法.高等代数首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定；中学代数讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系.高等代数接着讲一元n次方程根的定义，复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一元n次方程根的特点，有理系数一元n次方程有理根的性质及求法，一元n次方程根的近似解法及公式解简介；中学代数讲二元一次、三元一次方程组的消元解法．高等代数讲线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法、讲线性方程组解的判定及解与解之间的关系.中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子；中学代数学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子．中学代数中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子.其次，中学几何的内容体系主要是由平面几何、立体几何和平面解析几何三部分构成．平面几何研究由点的集合而形成的平面几何图形的性质；立体几何研究空间几何图形的性质诸如直线、平面及旋转体；平面解析几何研究形与数结合的问题，重点是二次曲线理论的研究．侧重研究直线间的合同、相似极度量关系，就二次曲线而言也侧重于定义的直观描述和各自所具有的性质．作为高等几何而言，侧重于对直线形的结合关系、顺序关系及二次曲线一般理论的研究，具有普适性、全面性．中学几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型，三角形不等式为欧氏空间中两点间距离的性质提供模型，线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型.第三，高等数学分支之一数学分析的形成和发展体现了数学发展的每个新时期，不仅内容上更加丰富，更在思想方法上发生了根本性的变化．它的形成是深深扎根于初等数学基础之上，它的一些基本概念如导数、积分、无穷级数的收敛等，都是在初等数学有关问题的基础上发展起来的．如导数是在运用代数运算求直线斜率这一问题的基础上，发展成为运用极限方法求曲线上的点的斜率而形成的．可以这样讲，数学分析的形成是初等数学发展到一定阶段的必然结果．第四，集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论．它的建立是数学发展史上的一个里程碑，它给数学奠下了坚实的基础，其思想已渗透到数学的各个领域．它是整个数学的基础，它是数学的基本语言，同时也树立了现代数学的传统．我国中学数学中已经渗透了集合论的内容，如集合、映射及分类的思想，并使用了点集、解集合等集合论语言．综上所述可知，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高.它不但解释了许多中学数学未能说清楚的如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等问题，而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统．这对用现代数学的观点、原理和方法指导中学数学教学是十分有用的.2.2 思想方面的联系中学数学思想和方法主要体现为三个层次，第一层次指数学各分科的具体解题方法和解题模式，如代数中的加减消元法、代入消元法、韦达法、判别式法、公式法、非负数法、放缩法、错位相消法、复数法、数学归纳法等等；几何中的平移、旋转、对称、相似、辅助线及辅助面的作法、面积方法、体积方法、图形及几何体的割补方法、三角形奠基法等等；还有在解题教学中教师概括出来的具体解题模式、教科书给出的各种具体的解题程序和模式．第二层次指适用面很广的一些“通法”，如配方法、换元法、待定系数法、分离系数法、消元法、降次法、数形结合法、一般化与特殊化法、参数法、反证法、同一法、观察与实验、比较与分类、分解与组合、分析与综合、归纳与演绎、类比与联想、抽象与概括等等．第三层次指数学观念，即人们对数学的基本看法和概括认识，如推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识、数学美的意识等等．在高等数学教育活动中，上述数学思想和方法将得到进一步强化，高等数学各分支学科中几乎渗透了三个层次的思想和方法，在空间解析几何、高等几何、微分几何等学科中明显渗透着第一层次的思想和方法，第二、第三层次的思想和方法是数学学习和研究的重要方法，在各层次的数学教学活动中都应该重视这些思想和方法的训练．除上述所举的思想和方法外，高等数学各分支学科中也渗透着许多新的思想和方法，如分析中的极限法、微分法、积分法等等;代数中的求公因式法、线性方程组的矩阵解法、二次型的正负判定法、线性变换法等等．现代中学数学和高等数学教学的一个显著特征就是注重知识形成过程的教学，形成和发展学生的数学思想和方法，会用数学思想和方法来解决问题．3 高等数学在中学数学中的应用用高等数学的观点、原理和方法，认识、理解和解决中学数学问题是我们大多数人的共同目的，也是高等数学价值的一种体现，尤其是在指导教学、指导解题、诠释初等数学问题等方面，体现非常明显．3.1 高等数学在中学数学教学中的作用我们知道，初等数学与高等数学之间无论在观点上还是在方法上都有着很大的区别．正因为这个原因，有许多学者就认为：学生不需要懂得什么高等数学知识，教师只要能照本本讲下去就可以了，其实这是一种误解．诚然，我们在课堂上不能把高等数学知识传授给学生，但我们作为一名教师倘若仅仅停留在本本上，那是很不够的，有时甚至连自己对一些初等数学问题也可能会感到费解，这是因为：一方面，高等数学是初等数学的继续和提高；另一方面，初等数学里很多理论遗留问题必须在高等数学中才能得以澄清．因此，我们对高等数学在初等数学教学中的作用不能掉以轻心，下面就这个问题谈谈笔者的一些初浅的体会．3.1.1 高等数学原理与中学数学教学首先，注重高等数学对初等数学的指导作用,运用原理，把握本质.多数教育工作者实践中认识到：教师只有深人研究高等数学，才能深刻把握初等数学的本质，使数学课堂教学不失科学性，做到居高临下，把课教活．如有这样一道题目：例1 解方程．解此题若按三次方程求解相当困难．但若将“”看作“未知数”，看作常量，则是一个关于“”的“一元二次方程”，，解之得= ．所以原方程的解为，.可以看出,该题很好的把握了题目的主旨—变量和函数的观点.虽然变量与函数是数学分析研究的对象,中学数学中以常量问题为主,但有时若将这些问题中的字母,甚至常数看作变量,而将字母间的关系看作函数关系,运用变量和函数的观点去考察它,会使一些问题变得容易或为解题提示一种可行的思路.另外,中学数学教材中的数学知识,由于充分考虑到数学的社会性原则和学生的可接受性原则,往往是以教育形态(不是学术形态)的呈现,因此中学数学教材中的一些知识内容不可能严谨透彻,例如高中代数中的指数函数（a> 0且a≠1）,由于中学阶段指数概念仅推广到有理数,而指数函数的定义域是实数集.然而要在中学阶段讲清这个问题是不大容易的,需要涉及极限理论.事实上,指数函数是群(R, +)到群(R+, )的同构映射,且保持序结构.同时,一些重要的数学基本定理,根据其在中学数学中的地位与作用,大都以“公理”的形式直接加以肯定,并予以直观的描述,严格的证明需通过高等数学的知识加以证明和完善.可以说,运用高等数学的知识能将中学数学中不能或很难彻底解决的基本理论加以严格地证明;反过来,中学数学中的问题也为高等数学的理论提供可靠的背景和模型.因此,教师学习和运用高等数学知识可以加深理解中学数学教学内容的安排意图,更利于提高高师生数学解题能力.其次，在教学中讲解高等数学在初等数学中的渗透，深化对中学知识的掌握高等数学中的概念、思想、方法很多已渗透到中学数学中，在教学中注意这方面的讲解，就能使学生充分地认识到高等数学对中学数学教学的指导意义，也说明教师充分认识到了“居高临下”的重要性．另外在中学数学中，对有些概念和方法没有加以解释和说明，就交给学生应用，虽然使用时能解决问题，但深入理解是不可能的．而作为未来的中学数学教师，对这些概念的理解与掌握就不能只停留在中学时的水平上，而应该更清楚和深刻．如：中学数学中把“形如a+bi(a,b都是实数)的数”叫作复数.这里的“+”是什么意思？a与bi是两个不同单位的元素，怎么可以相加？因此，这里的“+”只能看作是将a与bi连结成一个整体的符号．那么，能不能把这个符号理解为普通实数的加法符号呢？为此，就必须学习了近世代数中复数的构造性理论后才能解答.C是复数集，+，分别表示复数的加法与乘法，则（C；+，）是一个域，叫复数域.在对应关系：（a,0） a之下可证集合与实数域同构，故可把（a,0）看成实数a,即（a,0）=a，从而复数域就是实数域的一个扩域.由复数乘法的定义得.因此复数（0，1）和的性质相同.它是方程的一个根，令（0，1）=i，i为虚数单位.故任意复数（a，b）就可以写成（a，b）=（a,0）+(0,b)=a+bi中的“+”不仅是形式上的符号，它与实数算术运算中的“+”完全一致.3.1.2 高等数学观点与中学数学教学中学数学教学以渗透高等数学思想、观点,使它们相结合．现代高等数学的新思想、新理念、新观点及许多美妙而诱人的技巧和方法,使它更具有魅力．3.1.2.1 数学分析的辩证观点与中学数学教学数学分析不仅继承了初等数学的方法,而且又引进新的思想方法———极限法．运用极限方法,“常量”与“变量”、“直”与“曲”、“均匀”与“非均匀”等可实现相互转化．所以，从方法论的角度来讲，数学分析的有关知识和方法对理解和解决一些中学数学问题会起导向作用．例2 设有三次函数y= (p、q∈R)，用微分方法求函数极值.解所以当>0时，无驻点，因而也无极值点；当=0时，驻点=0，但此时在=0两侧不变号，故=0不是极值点，即=0时无极值点；当 0时，有二驻点，又所以函数在处取得极大值在处取得极小值.这从思想、方法上更有指导性的是数学分析中的辩证观点,运用这样的方法，将会使我们中学数学问题的解决思路大为开阔,方法更加灵活有效,从而摆脱对问题束手无策或盲目乱试的困境.另外高等数学知识进一步探讨和学习，可增强学生的求知欲，达到培养学生的学习兴趣．教师运用高等数学知识可以提高对学生提出的一些问题的回答的正确性及敏捷性.3.1.2.2 高等几何思想与中学数学教学高等几何对教材内容的安排一般不同于中学几何，它是先给出定义、定理而后直观解释和证明，中学几何一般是先通过实例描述而后给出重要的概念和定理．前者训练抽象思维,后者训练形象思维,出发点不同，对同一问题得出的结论相同．全面了解欧氏几何、仿射几何、射影几何的联系与区别，从本质上认识，从整体上把握，又从局部上深入，才能深刻认识动与静、特殊与一般的辩证关系．就内容而言，高等几何比中学几何丰富，而且分析问题、处理问题的观点新颖，方法独特．如对偶原则，在研究点几何的同时，也研究了线几何的内容，对二次曲线的定义，既有几何定义，又有代数定义，开拓了认识眼界．从方法论来看，高等几何对具体问题处理的方法独特，而且灵活，对解决中学几何的有关命题提供了一种新的模式，也为中学几何的有关问题提供了知识背景．如利用中心射影投影一直线到无穷远来证明中学几何问题：若在平面上给定一个与直线有关的本质上是射影性质的几何命题，则只要恰当选择射影中心和向平面，总可以使直线的象直线是上的无穷远直线．由于无穷远直线的特殊性，有时可以将原命题化成上容易证明的新命题．既然射影变换保持射影性质不变，那么只要证明了新命题,则原命题也得到了证明．3.1.2.3 集合论的观点和方法与中学数学教学集合论是整个数学的基础，它不仅是数学的基本语言，而且树立了现代数学的传统.它蕴含着极其深刻的数学思想和丰富的数学方法，对分析和理解中学数学具有指导意义.映射是集合论的有力研究工具，也是数学中十分重要的化归方法，利用映射可以把不容易研究的集合上的问题转化到容易研究的集合上去，从而实现由未知(难、复杂)到已知(易、简单)的转化.映射方法的基本思想是：当处理某问题甲有困难时，可联想适当的映射，把问题甲及关系结构R映成与它有一一对应关系且易于考察的问题及关系结构；在新的关系结构中对问题处理完毕后,再把所得结果通过逆映射反演到R,求得关于问题甲所需的结果.这样启发了解题思路,又可用来指导数学发现.如：数学模型方法. 数学模型方法是指把所考察的实际问题化为数学问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究,使实际问题得以解决的一种数学方法.中学数学中的解应用题是最简单的数学模型方法.过程如下图:图1：运用数学模型方法解题过程框图3.2 高等数学在中学数学解题过程中的作用初等数学是高等数学的基础，二者有本质的联系．将高等数学的理论应用于初等数学,使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作，是一个值得研究的课题．俗话说，站得高才能看得远．因此，笔者认为,作为中学教师，除掌握中学数学各种类型题的已熟知的初等方法外，还应善于用高等数学方法解决中学数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学方法则易于解决的中学数学问题,从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学．下面略几举例说明之：3.2.1 变换角度，化繁为简例3 求满足方程.解如果从中学数学考虑的话那颇费周折.但换种思路从变量和函数的观点来看是两个变量，上面的方程只能确定之间的函数关系，而不能求出其具体的值.茅盾的根源在于：中学数学中求未知数总是方程的个数和未知数的个数相同才能求出，但题目里面却是两个未知数一个方程．可以得出启发：应当设法构造出两个关于的方程.在实数范围内，将一个等式分成几个等式，最常见的方法是利用非负数，即若几个非负数之和为零，则其中每个必须为零.根据此思路，可将方程变形为进而变为，由是锐角知，上式中两项均为负，故都都等于零．从而解得.另外，许多初等数学中的问题，往往蕴含着数学中的较高层次理论的再实践的问题．如能在教学中有意将高等数学的原理、方法应用于一些初等数学的证明、计算，不仅可以开拓学生的视野，而且可使学生体会到教师所使用的高等数学的原理、方法在解决初等数学问题时的驾轻驭熟的感觉，进而更加有兴趣学习数学．3.2.2 利用函数的单调性证明不等式不等式是数学中不可缺少的工具之一，有许多不等式在数学研究中有着重要的作用.但用初等数学知识证明一些不等式比较困难，下面利用高等数学的原理和方法，就不等式的证明给出证法以帮助理解.我们知道对定义在区间（a，b）内的函数，若>0（或<0），则函数在（a,b）内严格增加（或严格减少），根据函数的单调性，可证明不等式.例4 证明不等式(其中x>0)．证明：先证：.设，则在[0,+ )单调增加，又,当时，，即：.再证：．设，则, 当时，，即：.以上方法体现了用初等数学知识证明比较难的不等式时，可充分利用高等数学的原理和方法思考，进而收到很好的效果．3.2.3 利用高等几何思想解初等几何问题在中学数学教学中往往会碰到一些初等几何问题,欲用传统的综合证法,苦于找不到解决问题的思路,而用解析法却轻而易举,可又不能将此法告知学生,面临如何将它转化为纯几何的证明方法的问题,往往十分棘手．但利用高等几何知识进行思考，可收到很好的效果．例5 过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED交AB弦于P、Q.求证:PM=MQ. (蝴蝶定理)分析:如图2,此题若局限在平面几何范围内去研究，虽能找到多种不同的证法，如：为使、是全等三角形的对应边，宜将沿直线翻折至,则有, ,故知.这样，又将线段相等归结为角的相等，而角的相等关系在圆上又可利用圆周角定理进行转化，即因，故内接于圆.再由内接于圆和、对称得出结论.但以上结论的得出来之不易，如果我们利用高等几何的交比来证明，就非常容易了.证明:如图，E(AF，DB)=C(AF，DB) (1)E(AF，DB)=(AM，QB) (2)E(AF，DB)=(AP，MB) (3)由(1)、(2)、(3)式得(AM，QB)=(AP，MB)(AM,QB)=(AP,MB)即亦即(4)因为 AM=BM,设PM=x，MQ=y，AM=BM=a，则由(4)式得图2所以故 PM=MQ这种证法不仅简单地证明了结论，而且还把结论推广到了二次曲线的情形.即如果把“蝴蝶定理”中的园换成椭圆、双曲线、抛物线，一对平行线或一对相交直线，结论仍成立.高等数学的许多方法和技巧都能直接应用于中学数学解题，常能起到以简驭繁，并能使问题得以深化和拓广的作用．以上只是给出两个实例说明高等数学能指导中学数学解题（初等代数和初等几何），且收到了很好的效果．在教学过程中，结合具体内容，不失时机地介绍给学生，对于丰富学生的解题方法，特别是作为教师在将来的数学教学中用它来预测答案，确定初等解法的路线，构造习题，检验结果都有重要的作用．3.2.4 微积分在中学数学解题中的指导作用微积分在高等数学里占有非常高的地位，它之所以能解决初等数学不能解决的问题，其根本原因是在初等数学的基础上它引进了一种新的思想方法——极限法．俗话说，站得高才能看得远．笔者认为，作为中学数学教师，利用微积分思想解决中学数学问题特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用微积分思想则易于解决的中学数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平．例6 分解因式.解把看作变量，看作常量.令,求对的导数得。

数学分析在中学数学中的应用数学，作为一门基础学科，在中学教育中占据着重要地位。

而数学分析作为高等数学的一个重要分支，其理论和方法在中学数学中也有着广泛而深入的应用。

它不仅能够帮助学生更好地理解数学知识，还能培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

一、函数的单调性与极值在中学数学中，函数是一个核心概念。

函数的单调性和极值问题是常见的考点。

数学分析中的导数概念为解决这类问题提供了有力的工具。

通过求导，可以判断函数的单调性。

当导数大于零，函数单调递增；当导数小于零，函数单调递减。

例如，对于函数 f(x) ＝ x² 2x，其导数为 f'（x) ＝ 2x 2。

令 f'（x) ＝ 0，解得 x ＝ 1。

当 x ＜ 1 时，f'（x) ＜ 0，函数单调递减；当 x ＞ 1 时，f'（x) ＞ 0，函数单调递增。

因此，x ＝ 1 为函数的极小值点。

利用导数求函数的极值，能够让学生更加清晰地理解函数的变化趋势，而不仅仅是依靠图像来直观判断。

二、不等式的证明不等式的证明在中学数学中具有一定的难度，但数学分析的方法可以使证明过程更加简洁和严谨。

比如，利用函数的单调性证明不等式。

假设要证明 a ＞ b，可以构造一个函数 f(x)，使得 f(a) ＞ f(b)，且能证明 f(x)单调递增。

这样就通过函数的性质完成了不等式的证明。

再如，柯西不等式在中学数学中也有应用。

对于两组实数a₁, a₂,，aₙ 和 b₁, b₂,， bₙ，有（a₁²＋ a₂²＋＋ aₙ²)（b₁²＋ b₂²＋＋bₙ²) ≥ （a₁b₁＋ a₂b₂＋＋ aₙbₙ)²。

通过巧妙地构造和运用，可以解决一些复杂的不等式问题。

三、曲线的切线问题曲线的切线是中学数学中解析几何部分的重要内容。

数学分析中的导数定义与几何意义为解决切线问题提供了理论基础。

对于给定的曲线方程 y ＝ f(x)，在点（x₀, y₀) 处的切线斜率即为函数在该点的导数 f'（x₀)。