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答案一、填空题1、C,2、A,3、D,4、C,5、A,6、理科D 文科C,7、B,8、C,9、理科B 文科D,10、理科A 文科B,11、C,12、B 二、填空题13、55i -,14、理科2,文科2,15、71.24kg,16、理科30文科11(1)2nn -+ 三、解答题17、解（1）、曲线C 的普通方程为01=--y x ，曲线P 的直角坐标方程为03422=+-+x y x ． …6分 （2）、曲线P 可化为1)2(22=+-y x ，表示圆心在)0,2(，半径=r 1的圆， 则圆心到直线C 的距离为2221==d ，所以2222=-=d r AB ．…10分 18、（本小题满分12分）认为作业多 认为作业不多合计 喜欢电脑 10 2 12 不喜欢电脑 3 7 10 合计 13922（2）、由表中数据得K 2的观测值k =222(10732)1210139⨯-⨯⨯⨯⨯=112641755≈9.586>6.635 …11分所以，据此统计有99%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系． ……12分 19、（1）、()2ln f x x x =-∴'2()1f x x=-'(1)1,(1)1f f =-=∴f(x)的切线方程为：x+y-2=0 ……6分（2）、22'()1x f x x x-=-=令'()0f x = x=2∴f(x)在()0,2x ∈递减，在()2,x ∈+∞递增min ()(2)22ln 2f x f ∴==- ……12分20、【理科】解：（1）“有放回摸取”可看作独立重复试验，每次摸出一球是白球的概率为P ＝26＝13. ……2分记“有放回摸两次，颜色不同”为事件A ，其概率为P (A )＝49. ……4分（2）设摸得白球的个数为X ，则X 的取值为0,1,2，P (X ＝0)＝46×35＝25，P (X ＝1)＝46×25＋26×45＝815，P (X ＝2)＝26×15＝115.∴X 的分布列为X 0 1 2 P25815115……9分E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝23，……10分D (X )＝(0－23)2×25＋(1－23)2×815＋(2－23)2×115＝1645. ……12分【文科】解：每月生产x 吨的利润为：231()(24200)(50000200)512400050000(005f x x x x x x x =--+=-+-≥由2123'()240000200(200f x x x =-+==-=解得舍),xx 0 ()0,200200 ()200,+∞'()f x +-()f x最大值3max 1()(200)(200)24000200500003150000(5f x f ==-+⨯-=元）所以每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元。
2017-2018学年高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：每题5份，共16题，总分80分，请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）复数4+3i的虚部为．2．（5分）排列=．3．（5分）设A={1，2，3}，则集合A的子集有个．4．（5分）已知复数Z=i（1﹣i），则复数Z的共轭复数为．5．（5分）复数1+3i的模为．6．（5分）设平面α，β的法向量分别为=（1，2，﹣2），=（﹣3，﹣6，6），则α，β的位置关系为．7．（5分）若Z∈C，且（3+Z）i=1（i为虚数单位），则复数Z=．8．（5分）若向量=（4，2，4），=（6，3，﹣2），则（2﹣3）•（+2）=．9．（5分）已知向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），使⊥成立的x值为．10．（5分）若下列两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是．11．（5分）二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的量两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=2，求该二面角的大小．12．（5分）计算+++…+=．13．（5分）已知复数Z满足|Z|=，Z2的虚部是2．设Z，Z2，Z﹣Z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，则△ABC的面积为．14．（5分）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则•的值为．15．（5分）已知双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论．16．（5分）观察下列等式：①cos2α=2cos2α﹣1；②cos4α=8cos4α﹣8cos2α+1；③cos6α=32cos6α﹣48cos4α+18cos2α﹣1；④cos8α=128cos8α﹣256cos6α+160cos4α﹣32cos2α+1；⑤cos10α=mcos10α﹣1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α﹣1；可以推测，m﹣n+p=．二、解答题：共8题，共计120分，（17、18题，每题14分；19、20、21、22题，每题15分；23、24题，每题16分）．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（14分）（1）（﹣2﹣4i）﹣（7﹣5i）+（1+7i）（2）（1+i）（2+i）++（1﹣i）2．18．（14分）实数m为何值时，复数Z=（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i对应的点在：（1）实轴上；（2）在第一象限；（3）直线x+y+4=0上．19．（15分）（1）7位同学站成一排，甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2）7位同学站成一排，甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？（3）7位同学站成一排，甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有多少种？20．（15分）如图所示，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E 是棱CC1上的点，且BE⊥B1C．（1）求CE的长；（2）求证：A1C⊥平面BED；（3）求A1B与平面BDE夹角的正弦值．21．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D 是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值；（Ⅲ）试问线段A1B1上是否存在点E，使AE与DC1成60°角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．22．（15分）（1）如果a，b都是正数，且a≠b，求证：+＞+（2）设x＞﹣1，m∈N*，用数学归纳法证明：（1+x）m≥1+mx．23．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n=2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证数列{a n}中不存在三项按原来顺序成等差数列．24．（16分）设函数f（x）=x2e x﹣1﹣x3﹣x2（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N*，e x﹣1＞（其中n!=1×2×…×n）．参考答案与试题解析一、填空题：每题5份，共16题，总分80分，请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）复数4+3i的虚部为3．【分析】根据复数的概念进行求解即可．【解答】解：复数4+3i的虚部是3，故答案为：3【点评】本题主要考查复数的有关概念，比较基础．2．（5分）排列=6．【分析】根据排列数的定义与公式，计算即可．【解答】解：=3×2=6．故答案为：6．【点评】本题考查了排列数的定义与公式的应用问题，是基础题目．3．（5分）设A={1，2，3}，则集合A的子集有8个．【分析】根据集合子集的定义和公式即可得到结论．【解答】解：集合含有3个元素，则子集的个数为23=8个，故答案为：8【点评】本题主要考查集合子集个数的求解，含有n个元素的子集个数为2n个，真子集的个数为2n﹣1个．4．（5分）已知复数Z=i（1﹣i），则复数Z的共轭复数为1﹣i．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵复数Z=i（1﹣i）=i+1，则复数Z的共轭复数=1﹣i．故答案为：1﹣i．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（5分）复数1+3i的模为．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数1+3i的模==，故答案为：．【点评】本题考查了复数模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）设平面α，β的法向量分别为=（1，2，﹣2），=（﹣3，﹣6，6），则α，β的位置关系为α∥β或重合．【分析】利用平面与法向量的关系、向量共线定理即可判断出结论．【解答】解：∵平面α，β的法向量分别为=（1，2，﹣2），=（﹣3，﹣6，6），满足：=﹣3，∴α∥β，或重合故答案为：α∥β或重合．【点评】本题考查了平面与法向量的关系、向量共线定理，考查了推理能力与空间想象能力，属于中档题．7．（5分）若Z∈C，且（3+Z）i=1（i为虚数单位），则复数Z=﹣3﹣i．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵（3+Z）i=1，∴（3+Z）i（﹣i）=﹣i，∴3+Z=﹣i，可得Z=﹣3﹣i．故答案为：﹣3﹣i．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）若向量=（4，2，4），=（6，3，﹣2），则（2﹣3）•（+2）=2．【分析】由已知条件利用向量坐标运算公式能求出结果．【解答】解：∵向量=（4，2，4），=（6，3，﹣2），∴（2﹣3）•（+2）=﹣3+4﹣6=+﹣6=2+24+6﹣8﹣6=2×6+32﹣6×7=2．故答案为：2．【点评】本题考查向量数量积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量坐标运算公式的合理运用．9．（5分）已知向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），使⊥成立的x值为．【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵向量=（2，﹣1，3），=（﹣4，2，x），⊥，∴=﹣8﹣2+3x=0，解得x=．故答案为：．【点评】本题考查满足向量垂直的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．10．（5分）若下列两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）．【分析】先求出当两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0和x2+2ax﹣2a=0都没有实数根时a的范围，再取补集，即得所求．【解答】解：当两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0和x2+2ax﹣2a=0都没有实数根时，（a﹣1）2﹣4a2＜0①，且4a2﹣4（﹣2a）＜0 ②．解①求得a＜﹣1，或a＞，解②求得﹣2＜a＜0．可得此时实数a的取值范围为（﹣2，﹣1）．故当a∈（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）时，两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0中至少有一个方程有实数根，故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．11．（5分）二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的量两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=2，求该二面角的大小．【分析】将向量转化成=，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出向量，的夹角，即可求出二面角的大小．【解答】解：由条件，知，=．∴||2=62+42+82+2×6×8cos＜，＞=（2）2，∴cos＜，＞=﹣，即＜，＞=120°，∴二面角的大小为60°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（5分）计算+++…+=1﹣．【分析】由于=（n≥2），利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：∵=（n≥2），∴+++…+=++…+=1﹣，故答案为：1﹣．【点评】本题考查了阶乘的性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）已知复数Z满足|Z|=，Z2的虚部是2．设Z，Z2，Z﹣Z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，则△ABC的面积为4或1．【分析】写出所给的三个复数的表示式，根据代数形式的表示式写出复数对应的点的坐标，即得到三角形的三个顶点的坐标，求出三角形的面积．【解答】解：设Z=x+yi（x，y∈R），由题意得Z2=（x﹣y）2=x2﹣y2+2xyi∴故（x﹣y）2=0，∴x=y将其代入②得2x2=2，∴x=±1故或故Z=1+i或Z=﹣1﹣i；（2）当Z=1+i时，Z2=2i，Z﹣Z2=1﹣i所以A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1）∴当Z=﹣1﹣i时，Z2=2i，Z﹣Z2=﹣1﹣3i，A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，3），S△ABC=×4×2=4，即△ABC的面积为4或1，故答案为：4或1，【点评】本题考查三角形面积的计算，根据条件先求出复数，结合复数的几何意义求出对应点的坐标是解决本题的关键．14．（5分）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则•的值为a2．【分析】利用向量的三角形法则、数量积运算即可得出．【解答】解：如图所示，∵，．∴•==+==．故答案为：．【点评】本题考查了向量的三角形法则、数量积运算，属于基础题．15．（5分）已知双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论ch（x﹣y）=chx•chy﹣shx•shy．【分析】利用双曲正弦函数和双曲余弦函数，验证ch（x﹣y）=chx•chy﹣shx•shy，即可得到结论．【解答】解：∵，=，=，∴ch（x﹣y）=chx•chy﹣shx•shy．故答案为：ch（x﹣y）=chx•chy﹣shx•shy．（填入ch（x+y）=chx•chy+shx•shy，sh（x﹣y）=shx•chy﹣chx•shy，sh（x+y）=shx•chy+chx•shy也可）【点评】本题考查类比推理，考查学生的探究能力，属于基础题型．16．（5分）观察下列等式：①cos2α=2cos2α﹣1；②cos4α=8cos4α﹣8cos2α+1；③cos6α=32cos6α﹣48cos4α+18cos2α﹣1；④cos8α=128cos8α﹣256cos6α+160cos4α﹣32cos2α+1；⑤cos10α=mcos10α﹣1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α﹣1；可以推测，m﹣n+p=962．【分析】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等．观察等式左边的α的系数，等式右边m，n，p的变化趋势，我们不难归纳出三个数的变化规律，进而得到结论．【解答】解：因为2=21，8=23，32=25，…，128=27所以m=29=512；每一行倒数第二项正负交替出现，1×2，﹣2×4，3×6，﹣4×8，5×10，可推算出p=50，然后根据每行的系数和都为1，可得n=﹣400．所以m﹣n+p=962．故答案为：962．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．二、解答题：共8题，共计120分，（17、18题，每题14分；19、20、21、22题，每题15分；23、24题，每题16分）．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（14分）（1）（﹣2﹣4i）﹣（7﹣5i）+（1+7i）（2）（1+i）（2+i）++（1﹣i）2．【分析】根据复数的代数运算法则，进行化简运算即可．【解答】（1）解：（﹣2﹣4i）﹣（7﹣5i）+（1+7i）=（﹣2﹣7+1）+（﹣4+5+7）i=﹣8+8i；（2）解：（1+i）（2+i）++（1﹣i）2=（2+3i+i2）++（1﹣2i+i2）=（1+3i）++（﹣2i）=（1+i）+（2+3i）=3+4i．【点评】本题考查了复数的代数运算与应用问题，是基础题目．18．（14分）实数m为何值时，复数Z=（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i对应的点在：（1）实轴上；（2）在第一象限；（3）直线x+y+4=0上．【分析】求出复数对应点的坐标，根据复数的几何意义建立方程或不等式关系进行求解即可．【解答】解：（1）若z对应的点在实轴上，则m2﹣2m﹣15=0，（2分）解得m=﹣3或m=5．（5分）（2）若点在第一象限，则m2+5m+6＞0且m2﹣2m﹣15＞0（2分）m＞5或m＜﹣3（5分）（3）复数z对应的点为（m2+5m+6，m2﹣2m﹣15），∵z对应的点在直线x+y+4=0上，∴（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）+4=0，（2分）得（5分）【点评】本题主要考查复数的几何意义的应用，根据复数和点的对应关系是解决本题的关键．19．（15分）（1）7位同学站成一排，甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2）7位同学站成一排，甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？（3）7位同学站成一排，甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有多少种？【分析】对这几个事件不同排法和数的计算，根据分步原理与分类原理直接计算即可．【解答】解（1）先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A66A22=1440种．（2）将甲、乙和丙三个同学插入到除甲、乙和丙之外4人全排所形成的5个空中的3个，故有A44A53=1440种．（3）甲站排头，或乙站排尾有2A66﹣A55种不同的排法，∴甲不站排头，且乙不站排尾有：种不同的排法．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，本题在计数时根据具体情况选用了捆绑法等方法，做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义，属于中档题．20．（15分）如图所示，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E 是棱CC1上的点，且BE⊥B1C．（1）求CE的长；（2）求证：A1C⊥平面BED；（3）求A1B与平面BDE夹角的正弦值．【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出、，利用•=0，即可求得结论；（2）证明⊥且⊥，可得A1C⊥DB，A1C⊥BE，从而可得A1C⊥平面BED；（3）由（2）知=（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求A1B与平面BDE夹角的正弦值．【解答】（1）解：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）．设E点坐标为（0，2，t），则=（﹣2，0，t），=（﹣2，0，﹣4）．∵BE⊥B1C，∴•=4+0﹣4t=0．∴t=1，故CE=1．（2）证明：由（1）得，E（0，2，1），=（﹣2，0，1），又=（﹣2，2，﹣4），=（2，2，0）∴•=4+0﹣4=0，且•=﹣4+4+0=0．∴⊥且⊥，即A1C⊥DB，A1C⊥BE，又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE，即A1C⊥平面BED．（3）解：由（2）知=（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一个法向量．又=（0，2，﹣4），∴cos＜，＞==．∴A1B与平面BDE夹角的正弦值为．【点评】本题考查线线垂直，线面垂直，考查线面角，考查空间向量的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D 是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值；（Ⅲ）试问线段A1B1上是否存在点E，使AE与DC1成60°角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）证明线面平行，可以利用线面平行的判定定理，只要证明A1B∥OD即可；（Ⅱ）可判断BA，BC，BB1两两垂直，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面ADC1的法向量、平面ADC的法向量，利用向量数量积可求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值；（Ⅲ）假设存在满足条件的点E，根据AE与DC1成60°角，利用向量的数量积，可得结论．【解答】（Ⅰ）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，所以A1B∥OD，因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（4分）（Ⅱ）解：由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB1两两垂直．如图建立空间直角坐标系B﹣xyz．设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A （0，2，0），C1（2，0，1），D（1，0，0）．所以，设平面ADC1的法向量为=（x，y，z），则有所以取y=1，得=（2，1，﹣2）．平面ADC的法向量为=（0，0，1）．由二面角C1﹣AD﹣C是锐角，得．…（8分）所以二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为．（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E．因为E在线段A1B1上，A1（0，2，1），B1（0，0，1），故可设E（0，λ，1），其中0≤λ≤2．所以，．因为AE与DC1成60°角，所以．即，解得λ=1，舍去λ=3．所以当点E为线段A1B1中点时，AE与DC1成60°角．…（12分）【点评】本题考查线面平行，考查面面角，考查存在性问题的探究，解题的关键是掌握线面平行的判定定理，正确运用向量的方法解决面面角、线线角．22．（15分）（1）如果a，b都是正数，且a≠b，求证：+＞+（2）设x＞﹣1，m∈N*，用数学归纳法证明：（1+x）m≥1+mx．【分析】（1）方法一，用综合法，即利用作差法；方法二，分析法，两边平方法；（2）要证明当x＞﹣1时，（1+x）m≥1+mx，我们要先证明m=1时，（1+x）m≥1+mx成立，再假设m=k时，（1+x）m≥1+mx成立，进而证明出m=k+1时，（1+x）m≥1+mx也成立，即可得到对于任意正整数m：当x＞﹣1时，（1+x）m≥1+mx．【解答】（1）证明方法一用综合法+﹣﹣===＞0，所以+＞+．方法二用分析法要证+＞+，只要证++2＞a+b+2，即要证a3+b3＞a2b+ab2，只需证（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b），即需证a2﹣ab+b2＞ab，只需证（a﹣b）2＞0，因为a≠b，所以（a﹣b）2＞0恒成立，所以+＞+成立．（2）证明①当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；②假设当m=k（k≥1，k∈N*）时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx，则当m=k+1时，因为x＞﹣1，所以1+x＞0．于是在不等式（1+x）k≥1+kx两边同时乘以1+x得（1+x）k•（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x．所以（1+x）k+1≥1+（k+1）x，即当m=k+1时，不等式也成立．综合①②知，对一切正整数m，不等式都成立．【点评】本题考查了综合法和分析法以及数学归纳法证明不等式成立的问题，掌握这些方法的步骤是关键，属于中档题．23．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n=2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证数列{a n}中不存在三项按原来顺序成等差数列．【分析】（1）由条件，再写一式，两式相减，可得{a n}是首项为1，公比为的等比数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（2）利用反证法，假设存在三项按原来顺序成等差数列，从而引出矛盾，即可得到结论．【解答】（1）解：当n=1时，a1+S1=2a1=2，则a1=1．又a n+S n=2，所以a n+1+S n+1=2，两式相减得a n+1=a n，所以{a n}是首项为1，公比为的等比数列，所以a n=．（2）证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p+1，a q+1，a r+1（p＜q＜r，且p，q，r∈N*），则2•=+，所以2•2r﹣q=2r﹣p+1．①又因为p＜q＜r，所以r﹣q，r﹣p∈N*．所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证．【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．24．（16分）设函数f（x）=x2e x﹣1﹣x3﹣x2（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N*，e x﹣1＞（其中n!=1×2×…×n）．【分析】（1）利用导数求函数的单调区间，关键点有二，一是求对导函数，二是解不等式f′（x）＞0，得到x的范围，再兼顾函数的定义域，列出当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况表，将能很轻松的解答问题；（2）本问根据要证明的不等式：∀n∈N*，e x﹣1＞．构造出函数设g n（x）=e x ﹣1﹣，在利用数学归纳法证明出当n∈N*时有假设n=k时不等式成立，即g k （x）=e x﹣1﹣＞0，这还要借助于导数来解答．【解答】（1）解：f′（x）=2xe x﹣1+x2e x﹣1﹣x2﹣2x=x（x+2）（e x﹣1﹣1），令f′（x）=0，可得x1=﹣2，x2=0，x3=1．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数y=f（x）的增区间为（﹣2，0）和（1，+∞），减区间为（﹣∞，﹣2）和（0，1）；（2）证明：设g n（x）=e x﹣1﹣，当n=1时，只需证明g1（x）=e x﹣1﹣x＞0，当x∈（1，+∞）时，g1′（x）=e x﹣1﹣1＞0，所以g1（x）=e x﹣1﹣x在（1，+∞）上是增函数，所以g1（x）＞g1（1）=e0﹣1=0，即e x﹣1＞x；当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即g k（x）=e x﹣1﹣＞0，当n=k+1时，因为g′k+1（x）=e x﹣1﹣=e x﹣1﹣＞0，所以g k+1（x）在（1，+∞）上也是增函数．所以g k+1（x）＞g k+1（1）=e0﹣＞0，即当n=k+1时，不等式成立．由归纳原理，知当x∈（1，+∞）时，∀n∈N*，e x﹣1＞．【点评】本题是一道好题，利用导数研究函数的性态是高考常考，重点考查的内容，本题还明确要求利用数学归纳法证明不等式，与本例中具体函数的性质结合紧密，这也是高考考题的新颖设计，在解答本题时要仔细领会其中的深意，将对自己的解题能力水平有很大帮助和提高．。
遵化市2017-2018学年度第二学期期末考试高二数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，全集，则集合中的元素共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】分析：根据并集和交集的定义，求出全集和，再根据补集的定义，即可求出答案.详解：集合，，全集，，集合中的元素共有3个.故选A.点睛：本题考查集合的混合运算，解题的关键是理解集合并、交和补的意义.2. 设，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则可求.详解：故选D.点睛：本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.3. 若，且，则是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】C【解析】，则的终边在三、四象限；则的终边在三、一象限，，，同时满足，则的终边在三象限。
4. 已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个边长为1，高为1的三角形，三棱锥的高为1，根据三棱锥的体积公式得到结果.详解：由三视图可知，几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个边长为，高为的三角形，面积，三棱锥的高是，所以故选C.点睛：当已知三视图去还原成几何体直观图时，首先根据三视图中关键点和视图形状确定几何体的形状，再根据投影关系和虚线明确内部结构，最后通过三视图验证几何体的正确性．5. 若将一颗质地均匀的骰子（一种六个面分别注有1,2,3,4,5,6的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．详解：基本事件共个，点数和为4的有（共3个，故故选B．点睛：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题6. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 3B. -6C. -15D. 10【答案】D【解析】试题分析：当时，为奇数，，；当时，为偶数，，；当时，为奇数，，；当时，为偶数，，；当时，输出．考点：程序框图．7. 函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据基本初等函数的性质，确定函数在上是增函数，且满足，，结合函数的零点判定定理可得函数的零点所在的区间.详解：由基本初等函数可知与均为在上是增函数，所以在上是增函数，又，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是.故选B.点睛：本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题.8. 已知命题：所有有理数都是实数，命题：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由命题：所有有理数都是实数，是真命题，命题：正数的对数都是负数，是假命题，知是假命题，是真命题，由此能求出结果．详解：∵命题：所有有理数都是实数，是真命题，命题：正数的对数都是负数，是假命题，∴是假命题，是真命题，∴是假命题，是假命题，是假命题，是真命题，故选：C．点睛：本题考查复合命题的真值判断，属基本题．9. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题可知，坐标原点到直线的距离为，可得，再结合离心率公式即可得出答案.详解：以线段为直径的圆与直线相切，原点到直线的距离，化简得：.椭圆的离心率.故选A.点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质，直线与圆相切的性质，点到直线距离公式，考查了推理能力与计算能力.10. 已知向量，，且，若实数满足不等式，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据，得到，直线的截距为，作出不等式表示的平面区域，通过平推法确定的取值范围.详解：向量，，且，，整理得，转换为直线满足不等式的平面区域如图所示.画直线，平推直线，确定点A、B分别取得截距的最小值和最大值.易得,分别将点A、B坐标代入，得，故选A.点睛：本题主要考查两向量垂直关系的应用，以及简单的线性规划问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力和数形结合思想的应用.目标函数型线性规划问题解题步骤：（1）确定可行区域（2）将转化为，求z的值，可看做求直线，在y轴上截距的最值。
高二数学试卷答案遵化市2018-2019学年度第二学期期中考试一、填空题二、填空题13、【理】－56 【文】xy1=0 14、i=i+2 15、 16、三、解答题17、（本小题满分12分）解：（1）因为bcosAacosB=2c 所以sinBcosA－sinAcosB=2sinＣ即sinBcosA－sinAcosB=２ｓｉｎ（Ａ+Ｂ）即sinBcosA－sinAcosB=２sinAcosB+２cosAsinB即－ｓｉｎＢｃｏｓＡ＝３ｓｉｎＡｃｏｓＢ可得ｔａｎＢ＝－３ｔａｎＡ------------------------------------6分（2）因为所以cosA==所以A=由（1）知tanB=-3tanA=-3 C= 所以a=c所以=== 所以a=2-------------12分18、解：【理】(1)ＰＡ，ＡＤ平面ＡＢＣＤ，所以ＰＡ，由已知条件得：ＡＤ，ＡＰＡＣ＝Ａ，所以ＡＤ5分（2）由（1）结合已知条件以点Ａ为原点，ＡＣ，ＡＤ，ＡＰ分别为ｘ，ｙ，ｚ轴建立空间直角坐标系，则：体重各点坐标为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｐ，所以F――――――――――――――――――――7分设是平面ＰＣＤ的一个法向量，则，即：，取ｚ＝１，则得：同理可求：平面ＰＡＦ的一个法向量10分设：平面ＰＣＤ和平面ＰＡＦ成角为，则ｃｏｓ＝＝＝――――――――――１２分【文】解:(Ⅰ)因为PAD，PH平面PAD,所以AB又因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD，ABBD=A，AB平面ABCD, AD平面ABCD所以PH---------------------------------------------------------------6分(II)=因为E是PB中点，PH，所以点E到于是--------------------------------------12分19、解：（1）由题意得解得，b=．所以椭圆C的方程为---------------------------------4分（2）由题意显然直线L的斜率存在，设直线L的方程为y=k，由得直线L与椭圆C交于不同的两点M,N所以 ，解得.设M,N的坐标分别为则-----------------------------8分+=因为所以220、解（1）平均数=155=174或------------------3分中位数为------------------------6分（2）假设体育锻炼与身高达标没有关系----------------------8分--------------------------------10分所以有95把握认为体育锻炼与身高达标有关系--------------------------12分21、解：（Ⅰ）当a=1时，f--------------------2分故曲线y=f在x=2处切线的斜率为 --------------------------------4分（Ⅱ）-------------------------------------5分①a0时，由于x，故ax-1所以f的单调递减区间为-----------------------------------6分②当a时，由得x=在区间上，，在区间上，所以，函数f的单调递减区间为，单调递增区间为-----------7分综上，当a0时，f的单调递减区间为；当a时，函数f的单调递减区间为，单调递增区间为----------------------------------------------8分（Ⅲ）根据（Ⅱ）得到的结论，当，即0时，f在区间上的最小值为ff=ae-1--------------------------------------------------------------------------------10分当即a时，f在区间上的最小值为ff=1+lna-----------------------------------------------------------------11 分综上，当0时，f在区间上的最小值为ae-1，当------------------------------12分（22）解：（Ⅰ）曲线C是以为圆心，以a为半径的圆；L的直角坐标方程为x+由直线L与圆C相切可得，解得a=1-------------------------------4分（Ⅱ）不妨设A的极角为，B的极角为＋，则＝2cos＋2cos＝3cos＝23cos当时取得最大值210分（23）解：（Ⅰ）当x时，f；当时f；当x时，．故当x＝－1时，f取得最大值m=2----------------------------------------4分（Ⅱ），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时取得最大值1----------10分。
2017-2018学年度高二年级期中考试数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( )A ．k1>k2B ．k1<k2C ．k1＝k2D ．不确定2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥D ．存在0x R ∈,都有200x <3．设z 是复数,则下列命题中的假命题是（ ）A ．若20z ≥, 则z 是实数B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <4．一物体以速度v ＝(3t2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是（ ）A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m5．3．复数31iz i +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题：①p 或¬q 是真命题；②p 且¬q 是真命题；③¬p 且¬q 是假命题；④¬p 或q 是假命题．其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．三次函数f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m<1C ．m≤0D ．m≤18．已知抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( )A ．20B ．9C ．－2D ．29．设f(x)=cos 2tdt ，则f =( )A.1B.sin 1C.sin 2D.2sin 410．“ a=b ”是“直线与圆22()()2x a y b -++=相切的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件11．设函数f(x)的图象如图，则函数y ＝f ′(x)的图象可能是下图中的( )12．若关于x 的不等式x3－3x2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．若曲线f(x)＝x4－x 在点P 处的切线垂直于直线x －y ＝0，则点P 的坐标为________14．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝2，则a 等于________．15．220(4)x x dx --=⎰_______________．16．已知z C ，且|z|=1，则|z-2i|（i 为虚数单位）的最小值是________三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分) (1) 求导数22sin(25)y x x =+ (2)求定积分：10(1)x x dx +⎰18. (本题满分12分)设：x2-8x-9≤0，q ：，且非p 是非q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19．(本题满分12分)已知z 为复数，i z +和i z-2均为实数，其中i 是虚数单位. （Ⅰ）求复数z 和||z ；（Ⅱ）若immzz27111+--+=在第四象限，求m的范围.20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．21．(本题满分12分) 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋4.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求直线y=2x+4与y=f(x)所围成的图形的面积.22．(本题满分12分) 设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，4)，且在点P处有相同的切线y=4x+4.(1)求a，b，c，d的值.(2)若存在x≥-2时，f(x)≤k-g(x)，求k的取值范围.20[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.21[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.22【解题指南】(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，可将P(0，2)分别代入到y=f(x)和y=g(x)中，再利用在点P处有相同的切线y=4x+2，对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导，列出关于a，b，c，d的方程组求解.(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x)，然后求导，判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.【解析】(1)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4.而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c).故b=2，d=2，a=4，d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2.(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)=0，即2(x+2)(kex-1)=0，得x1=-lnk，x2=-2.①若1≤k<e2，则-2<x1≤0，从而当x∈(-2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，+∞)时，F′(x)>0，即F(x)在x∈(-2，x1)上单调递减，在x∈(x1，+∞)上单调递增，故F(x)在[-2，+∞)上有最小值为F(x1).F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).②若当k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，当x>-2时，F′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞)上单调递增，而F(-2)=0，故当且仅当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).③若k>e2，则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围为[1，e2].。
2017-2018学年河北省唐山市遵化市高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）i是虚数单位，复数z=1+i，则=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i2．（5分）函数y=x2cosx的导数为（）A．y′=2xcosx﹣x2sinx B．y′=2xcosx+x2sinxC．y′=x2cosx﹣2xsinx D．y′=xcosx﹣x2sinx3．（5分）点的极坐标为（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）=lnx﹣2x的递减区间是（）A．B．和C．D．和5．（5分）在同一直角坐标系中，曲线C：x2+y2=1经过伸缩变换后曲线C变为（）A．B．C．9x2+4y2=1D．6．（5分）若复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．5﹣i D．5+i7．（5分）已知函数，则f'（2）=（）A．1B．﹣1C．D．8．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+ax是R上的增函数，则a的取值范围（）A．（0，3）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．[0，3]D．（﹣∞，0]∪[3，+∞）9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出的结果为（）A．2B．5C．11D．2310．（5分）已知z=x+yi（x，y∈R）且|z|=1，则的最大值（）A．B．2C．1D．11．（5分）学校艺术节对绘画类的A、B、C、D四项参赛作品，只评一项一等奖．在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品观测如下：甲说：“C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）A．A B．B C．C D．D12．（5分）设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0且g（﹣3）=0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（3，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量对应的复数是．14．（5分）若函数f（x）=x（x﹣a）2在x=2处取得极小值，则a=．15．（5分）某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如表所示：根据上表可得回归直线方程，根据模型预测身高为174厘米高三男生体重为．16．（5分）给出下列等式：×=1﹣；；…由以上等式推出一个一般结论：对于n∈N*，=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在直角坐标系xOy中，直线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．（1）求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；（2）设直线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．18．（12分）某班主任对该班22名学生进行了作业量的调查，在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多．（1）根据以上数据建立一个2×2列联表．（2）对于该班学生，能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系？下面临界值表仅供参考：参考公式：．19．（12分）已知函数f（x）=x﹣2lnx．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求y=f（x）的最小值．20．（12分）某工厂生产某种产品，已知该产品的产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为，且生产x吨的成本为R=50000+200x 元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入﹣成本）21．（12分）已知函数f（x）=ax﹣x2﹣lnx，a∈R．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大于，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.2[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a=1，证明：当x＞0时，f（x）＜e x﹣1．2017-2018学年河北省唐山市遵化市高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）i是虚数单位，复数z=1+i，则=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i【解答】解：∵z=1+i，∴==2i+1﹣i=1+i．故选：C．2．（5分）函数y=x2cosx的导数为（）A．y′=2xcosx﹣x2sinx B．y′=2xcosx+x2sinxC．y′=x2cosx﹣2xsinx D．y′=xcosx﹣x2sinx【解答】解：y′=（x2）′cosx+x2（cosx）′=2xcosx﹣x2sinx故选：A．3．（5分）点的极坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：由点，可得ρ==2，tanθ=，取θ=．极坐标为．故选：D．4．（5分）函数f（x）=lnx﹣2x的递减区间是（）A．B．和C．D．和【解答】解：∵f（x）=lnx﹣2x，x＞0∴f′（x）=﹣2=，当f′（x）＜0时，解得x＞，故函数的单调递减区间为（，+∞），故选：C．5．（5分）在同一直角坐标系中，曲线C：x2+y2=1经过伸缩变换后曲线C变为（）A．B．C．9x2+4y2=1D．【解答】解：∵，∴，把代入曲线C：x2+y2=1，得：（3x′）2+（）2=1，整理，得=1，∴曲线C：x2+y2=1经过伸缩变换后曲线C变为=1．故选：A．6．（5分）若复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．5﹣i D．5+i【解答】解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，∴z﹣3=，∴z=5+i，则．故选：C．7．（5分）已知函数，则f'（2）=（）A．1B．﹣1C．D．【解答】解：∵f′（x）=x+2f′（2）﹣，∴f′（2）=2+2f′（2）﹣1，∴f′（2）=﹣1故选：B．8．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+ax是R上的增函数，则a的取值范围（）A．（0，3）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．[0，3]D．（﹣∞，0]∪[3，+∞）【解答】解：根据题意，函数f（x）=x3﹣ax2+ax，其导数f′（x）=3x2﹣2ax+a，若f（x）在R上为增函数，则有f′（x）=3x2﹣2ax+a≥0恒成立，则有（﹣2a）2﹣4×3×a=4a2﹣12a≤0，解可得：0≤a≤3，即a的取值范围为[0，3]；故选：C．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出的结果为（）A．2B．5C．11D．23【解答】解：模拟执行程序，可得本程序框图为计算并输出y的值，循环体为“直到型”循环结构，由框图，可得：x=2y=5不满足条件|x﹣y|＞8，执行循环体，x=5，y=11，不满足条件|x﹣y|＞8，执行循环体，x=11，y=23，满足条件|x﹣y|＞8，退出循环，输出y的值为23．故选：D．10．（5分）已知z=x+yi（x，y∈R）且|z|=1，则的最大值（）A．B．2C．1D．【解答】解：由已知可设x=cosα，y=sinα，∴=cos=．∴的最大值为2．故选：B．11．（5分）学校艺术节对绘画类的A、B、C、D四项参赛作品，只评一项一等奖．在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品观测如下：甲说：“C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）A．A B．B C．C D．D【解答】解：根据题意，A，B，C，D作品进行评奖，只评一项一等奖，假设参赛的作品A为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；假设参赛的作品B为一等奖，则甲、丁的说法都错误，乙、丙的说法正确，符合题意；假设参赛的作品C为一等奖，则乙的说法都错误，甲、丙、丁的说法正确，不符合题意；假设参赛的作品D为一等奖，则乙、丙、丁的说法都错误，甲的说法正确，不符合题意；故获得参赛的作品B为一等奖；故选：B．12．（5分）设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0且g（﹣3）=0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（3，+∞）【解答】解：设F（x）=，则F′（x）=，∵当x＜0时，f′（x）g（x）﹣f （x）g′（x）＞0，∴g′（x）f （x）﹣g（x）f′（x）＜0，∴F′（x）=＜0，∴F（x）在（﹣∞，0）上为减函数；∵f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴F（﹣x）==﹣F（x），∴F（x）为R上的奇函数，故F（x）在（0，+∞）上亦为减函数．∵g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．可知F（x）＜0的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．∵不等式f（x）g（x）＜0⇔f2（x）•＜0⇔F（x）＜0，∴f（x）g（x）＜0的解集就是F（x）＞0的解集（﹣3，0）∪（3，+∞）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量对应的复数是5﹣5i．【解答】解：∵向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，∴向量==2﹣3i+3﹣2i=5﹣5i故答案为：5﹣5i14．（5分）若函数f（x）=x（x﹣a）2在x=2处取得极小值，则a=2．【解答】解：求导函数可得f'（x）=3x2﹣4ax+a2，∴f'（2）=12﹣8a+a2=0，解得a=2，或a=6，当a=2时，f'（x）=3x2﹣8x+4=（x﹣2）（3x﹣2），函数在x=2处取得极小值，符合题意；当a=6时，f'（x）=3x2﹣24x+36=3（x﹣2）（x﹣6），函数在x=2处取得极大值，不符合题意，∴a=2．故答案为：215．（5分）某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如表所示：根据上表可得回归直线方程，根据模型预测身高为174厘米高三男生体重为71.24Kg．【解答】解：根据上表可得，=×（160+165+170+175+180）=170，=×（63+66+70+72+74）=69，代入回归直线方程中，求得=69﹣0.56×170=﹣26.2，∴=0.56x﹣26.2，当x=174时，=0.56×174﹣26.2=71.24，根据模型预测身高为174厘米高三男生体重为71.24Kg．故答案为：71.24Kg．16．（5分）给出下列等式：×=1﹣；；…由以上等式推出一个一般结论：对于n∈N*，=1﹣．【解答】解：由已知中的等式：×=1﹣；；…由以上等式我们可以推出一个一般结论：对于n∈N*，=1﹣．故答案为：=1﹣．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在直角坐标系xOy中，直线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．（1）求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；（2）设直线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．【解答】解：（1）由曲线C的参数方程为为参数），消去参数t得到曲线C的普通方程为x﹣y﹣1=0；∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线P在极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，∴曲线P的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3=0．（2）曲线P可化为（x﹣2）2+y2=1，表示圆心在（2，0），半径r=1的圆，则圆心到直线C的距离为，故|AB|==．18．（12分）某班主任对该班22名学生进行了作业量的调查，在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多．（1）根据以上数据建立一个2×2列联表．（2）对于该班学生，能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系？下面临界值表仅供参考：参考公式：．【解答】解：（1）根据题意填写列联表为：……（6分）（2）由表中数据计算K2的观测值为k==≈9.586＞6.635，…（11分）所以，据此统计有99%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系．……（12分）19．（12分）已知函数f（x）=x﹣2lnx．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求y=f（x）的最小值．【解答】解：（1）根据题意，f（x）=x﹣2lnx，则，又由f′（1）=﹣1，f（1）=1，则f（x）的切线方程为：x+y﹣2=0；（2）根据题意，由（1）的结论，令f'（x）=0，解可得x=2，∴f（x）在x∈（0，2）递减，在x∈（2，+∞）递增；∴f（x）min=f（2）=2﹣2ln2．20．（12分）某工厂生产某种产品，已知该产品的产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为，且生产x吨的成本为R=50000+200x 元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入﹣成本）【解答】解：设生产x吨产品，利润为y元，则y=px﹣R=（50000+200x）=+24000x﹣50000（x＞0）+24000，由y'=0，得x=200∵0＜x＜200时y'＞0，当x≥200时y'＜0∴当x=200时，y max=3150000（元）答：该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润是3150000（元）21．（12分）已知函数f（x）=ax﹣x2﹣lnx，a∈R．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大于，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）当a=0时f′（x）=﹣﹣2x＜0对（0，+∞）恒成立，所以f（x）的递减区间是（0，+∞），无递增区间，（2）f′（x）=﹣，因为f（x）存在极值，所以f′（x）=﹣=0在（0，+∞）上有根，即方程2x2﹣ax+1=0 在（0，+∞）上有根．设方程2x2﹣ax+1=0的两根为x1，x2，由韦达定理得：，所以方程的根必为两不等正根．f（x1）+f（x2）=a（x1+x2）﹣（x12+x22）﹣（lnx1+lnx2）=﹣+1﹣ln＞5﹣ln，∴a2＞16，又a2＞16满足方程2x2﹣ax+1=0判别式大于零，故所求取值范围为（4，+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.2[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a=1，证明：当x＞0时，f（x）＜e x﹣1．【解答】解：（Ⅰ）导数法研究单调性，先求出定义域（﹣1，+∞），，①当时，f'（x）≥0恒成立，且当a=时仅仅在处取到等号，故函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；②当a＜时，令x2+x+a=0，得到，接下来将其中的小根和﹣1作比较，当﹣1＜时，即0＜a＜时，x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当﹣1=时，即a=0时，x∈时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当﹣1＞时，即a＜0时，x∈时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，综上所述，当时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，+∞），无单调递减区间；当0＜a＜时，单调递增区间为和，单调递减区间为；当a≤0时，单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）证明：当a=1时，，欲证明x＞0时，f（x）＜e x﹣1，即证明x＞0时，恒成立．令，只需要证明g（x）max＜0即可．，令，则，当x＞0时，h'（x）＜0恒成立，故函数g'（x）单调递减，则有g'（x）＜g'（0）=0，即有x＞0时，g'（x）＜0恒成立，则x＞0时，函数g（x）单调递减，即有g（x）＜g（0）=0恒成立，即证明了x＞0时，f（x）＜e x﹣1．。
2018-2019学年河北省遵化市高二上学期期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.在直角坐标系中，直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：直线x的斜率等于-,设此直线的倾斜角为θ，则tanθ=-，又0≤θ＜π，∴θ=，,故选C．考点：本题主要是考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小.点评：解决该试题的关键是先求出直线的斜率tanθ 的值，根据倾斜角θ 的范围求出θ的大小.已知三角函数值求角是解题的难点．2.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为A. πB. πC. 4πD. π【答案】B【解析】球半径，所以球的体积为，选B.3.直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于（）A. B. 2 C. 2 D. 4【答案】B【解析】如图,圆(x＋1)2＋y2＝3的圆心为M(−1,0)，圆半径|AM|=，圆心M(−1,0)到直线x+y−1=0的距离：|，∴直线x+y−1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长：.故选B.点睛: 本题考查圆的标准方程以及直线和圆的位置关系.判断直线与圆的位置关系一般有两种方法： 1．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二元方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大． 2．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．当直线与圆相交时,可利用垂径定理得出圆心到直线的距离,弦长和半径的勾股关系.4.已知P是△ABC所在平面外一点，P A，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的（）A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心【答案】C【解析】【分析】连接，分别证明这是三角形的三条高，由此确定点为的垂心.【详解】画出图像如下图所示.先证，由于，所以平面，所以，由于是点在平面内的射影，所以平面，所以，故平面，所以.同理可证得，故是三角形的垂心.所以选C.【点睛】本小题主要考查空间线面垂直、线线垂直的相互转化，考查三角形垂心的几何性质.三角形有四心：内心、外心、重心和垂心.内心是角平分线的交点，也是内切圆圆心；外心是垂直平分线的交点，也是外接圆圆心；重心是中线的交点；垂心是三条高的交点.对于等边三角形来说，四心合一，称为中心.5.已知直线L1：ax+3y﹣3＝0，与直线L2：4x+6y﹣1＝0平行，则a的值是（）A. 8B. 4C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】根据两条直线平行的条件列方程，解方程求得的值.【详解】由于两条直线平行，所以，解得，故选C.【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件.属于基础题.由于直线的斜率有可能不存在，如果两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线平行.当两条直线斜率都存在时，要两条直线平行，则需要斜率相等和截距不相等，这两个条件必须同时满足.如果一条直线斜率存在，另一条直线斜率为零，则这两条直线垂直.6. 设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若l∥α，l∥β，则α∥βB. 若l⊥α，l⊥β，则α∥βC. 若l⊥α，l∥β，则α∥βD. 若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解析】A中，α与β可能平行，也可能相交，A错；B中，l⊥α，l⊥β ⇒α∥β，正确；C中，可得α⊥β；C错；D中，可得l∥β或l⊂β，或l⊥β，D错．7.直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0（k∈R）所经过的定点是（）A. （5，2）B. （2，3）C. （﹣，3）D. （5，9）【答案】B【解析】【分析】将原方程重新合并同类项，即将含有的项合并，其它合并，由此列方程解出定点的坐标.【详解】直线方程可化为，故，解得定点坐标为，故选B.【点睛】本小题主要考查含有参数的直线方程经过的定点问题，主要的方法是重新合并同类项，属于基础题.8. 一个几何体的三视图及其尺寸，如图所示，则该几何体的侧面积为（）A. 80B. 40C. 48D. 96【答案】A【解析】试题分析：三视图复原的几何体是正四棱锥，斜高是5，底面边长是8，侧面积为×4×8×5=80；故选：A．考点：由三视图求面积、体积．9.点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A. （x﹣2）2+（y+1）2=1B. （x﹣2）2+（y+1）2=4C. （x+4）2+（y﹣2）2=1D. （x+2）2+（y﹣1）2=1【答案】A设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则x02＋y02＝4，连线中点坐标为(x，y)，则⇒代入中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1，选C.10.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则与平面所成的角是A. B. C. D.【答案】A【解析】记点B到平面AB1C1的距离为d，BB1与平面AB1C1所成角为θ，连接BC1，利用等体积法，V A-BB1C1＝V B-AB1C1，即×××2×3＝d××2×2，得d＝，则sinθ＝＝，所以θ＝.视频11.已知圆（x﹣4）2+（y﹣4）2＝4与直线y＝kx的交点为P、Q，原点为O，则|OP|•|OQ|的值为（）A. 2B. 28C. 32D. 由k确定【答案】B【解析】【分析】先求得通过出过原点圆的切线长，再根据切割线定理求得值.【详解】设圆的圆心为，半径为，故，过原点圆的切线长为.根据切割线定理可得.【点睛】本小题主要考查圆的方程，考查直线和圆的位置关系，考查切割线定理，考查运算求解能力，属于基12.在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由过圆内一点的最长弦和最短弦分别为和，可知最长弦为直径，最短弦为过点且与直径垂直。
遵化市20172018学年度第二学期期中考试高二数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 是虚数单位，复数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由复数的乘方和除法运算可得解.详解：由复数，可得.故选C.点睛：本题主要考查了复数的乘方和除法运算，属于基础题.2. 函数的导数为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由即可的解.详解：函数，求导得：.故选A.点睛：本题主要考查了两函数乘积的求导运算，属于基础题.3. 点的极坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由，，结合点所在象限可得极角，从而得解.详解：由点，可得.，且点在第四象限，所以.点的极坐标为.故选D.点睛：本题主要考查了直角坐标与极坐标的互化，属于基础题.4. 函数的递减区间是（）A. B. 和C. D. 和【答案】C【解析】分析：先求函数定义域，再由可得减区间.详解：函数，定义域为求导得：.令，解得.所以函数的减区间为：.故选C.点睛：本题主要考查了利用函数导数求函数的单调区间，属于基础题.5. 在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后曲线变为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由伸缩变换，可得代入曲线C可得解.详解：由伸缩变换，可得,代入曲线，可得：，即为.故选A.点睛：本题主要考查了图象的伸缩变换，属于基础题.6. 复数满足（是虚数单位），则的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算，共轭复数的定义即可得出．详解：∵∴∴故选C.点睛：复数的除法：除法的关键是分子分母乘以分母的共轭复数，解题时要注意及复数的共轭复数为.7. 已知函数，则（）A. 1B. -1C.D.【答案】B【解析】分析：函数求导，令，即可得解.详解：函数，求导得：.令，得，解得：.故选B.点睛：本题主要考查了函数导数的运算，属于基础题.8. 已知函数是上的增函数，则的取值范围（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：由函数单增得在上恒成立，即,所以有，从而得解.详解：函数，求导得：.由函数是上的增函数，可得在上恒成立.即,所以有：.解得.故选C.点睛：函数单调性的应用(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则≥0在区间(a，b)上恒成立；要检验不能恒为0.(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则≤0在区间(a，b)上恒成立；要检验不能恒为0.9. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）A. 2B. 5C. 11D. 23【答案】D【解析】分析：分析程序框图，循环体为“直到型”循环结构，按照循环结构进行运算，即可求出满足题意的值．详解：根据题意，本程序框图为求的和，循环体为“直到型”循环结构，输入.第一次循环：，，；第二次循环：，，；第三次循环：，，结束循环，输出．故选D.点睛：本题考查了算法和程序框图的应用问题，主要考查循环结构的理解和运用以及赋值语句的运用问题，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．10. 已知且，则的最大值（）A. B. 2 C. 1 D.【答案】B【解析】分析：由可得，可设，，，可得，进而利用正弦函数的性质求出答案．详解：∵且∴设，，.∴∴的最大值是故选B.点睛：本题主要考查复数的求模公式及三角函数的性质，解答本题的关键是利用三角换元结合三角函数的性质求函数的最值．11. 学校艺术节对同一类的A、B、C、D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖” 乙说：“B作品获得一等奖”丙说：“A、D两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（）A. C作品B. D作品C. B作品D. A作品【答案】C【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．详解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.12. 设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：构造函数，可得x<0时,是增函数，由函数的奇偶性得函数的简图，不等式等价于不等式，从而得解.详解：∵当时，，∴，∴当x<0时,是增函数,又，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以为奇函数.∴f的图象关于原点对称，函数f(x)g(x)的单调性的示意图，如图所示：∵f(−3)=0,∴f(3)=0,∴不等式等价于不等式，可得x<−3或0<x<3，故原不等式的解集为，故选：B.点睛：本题主要考查构造函数，常用的有：，构造xf(x)；2xf(x)+x2f′(x)，构造x2f(x)；，构造;，构造；，构造.等等.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设是原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应的复数是__________．【答案】【解析】分析：由即可得解.详解：向量对应的复数分别为，，.故答案为：.点睛：本题主要考查了向量的减法运算，属于基础题.14. 已知函数在处取得极小值，则__________．【答案】2【解析】分析：通过对函数求导，根据函数在处有极值，可知，解得的值，再验证可得结论．详解：∵函数∴∵函数在处取得极小值∴∴或当时，，函数在处取得极小值，符合题意；当时，，函数在处取得极大值，不符合题意.∴故答案为.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. 15. 某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，根据模型预测身高为174厘米高三男生体重为__________．【答案】71.24kg【解析】分析：先计算，将(,)代入，得，再将x=174代入方程可得解.详解：由表中数据可得，∵(,)一定在回归直线方程上，∴69=0.56×170+a，解得a=−26.2∴y=0.56x−26.2，当x=174时，y=0.56×174−26.2=71.24.故答案为：71.24kg.点睛：本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.16. 给出下列等式：；；，由以上等式推出一个一般结论：对于，__________.【答案】【解析】试题分析：根据题意，由于下列等式：，，，……，由以上等式推测到一个一般的结论：左边为和式，右边为1减去项数加1乘以2的项数次幂的倒数，故可知对于n∈，考点：归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。
