2018-2019学年高二数学上册基础巩固检测试题32

2018-2019学年度第一学期高二年级职业教育12月阶段考试数学试卷（文科）试卷分第Ⅰ卷和第II 卷两部分，第Ⅰ卷1至16题和第II 卷17至22题，共150分 考生注意：1、 答题前，考生务必将自己的座位号、姓名写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上的条形码与本人是否一致。

2、 选择题答案用2B 铅笔在答题卡对应标号涂黑。

填空题、解答题用黑色墨水笔在答题卡上作答，在本试卷上作答，答案无效。

3、 考试结束，将答题卡交回。

第I 卷（共80分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.下列语句中，不是命题的语句是（ ）A ．12＞5B ．若a 为正无理数，则也是正无理数C ．正弦函数是周期函数吗？D ．π∈{1，2，3，4}2.已知平面α，β，直线l ，m ，且有l α⊥，m β⊂，则下列四个命题正确的个数为（ ）．①若αβ∥，则l m ⊥； ②若l m ∥，则l β∥；③若αβ⊥，则l m ∥；④若l m ⊥，则l β⊥； A ．1B ．2C ．3D ．43.直线：x ＋y ＝0的倾斜角为 A.300B.450C.600D.13504.方程222460y x y x ++--=表示的图形是 A. 以(1,－2)为圆心，11为半径的圆 B. 以(－1,2)为圆心，11为半径的圆C. 以(－1,2)为半径的圆D. 以(1,2)5. “(1)(3)0x x -->”是“1x <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为平面BB 1C 1C 内一动点，且P 到BC 的距离与P 到C 1D 1的距离之比为2，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．椭圆7.某几何体的三视图如图所示，根据图中数据可知该几何体的体积为（ ）A. π34C. 43πD. 43π+8.已知直线l 1：70x my ++=和l 2：()2320m x y m -++=互相平行，则实数m =A. m =－1或3B. m =－1C. m =－3D. m =1或m =－39.直线21y kx k =-+恒过定点C ，则以C 为圆心， 5为半径的圆的方程为 A. ()()22215x y -+-= B. ()()222125x y ++-= C. ()()222125x y -+-= D. ()()22215x y +++= 10.已知椭圆的中点在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程为（ ）．A. 2213624x y += B. 2213620x y +=C. 2213236x y += D. 2213632x y += 11.直线3490x y --=与圆224x y +=的位置关系是（ ） A. 相切B. 相离C. 相交但不过圆心D. 相交且过圆心12.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率 为（ ）A ．12B C D 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.原命题“若A ∪B ≠B ，则A ∩B ≠A ”，则其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是 ________14.命题“2,1x R x x ∀∈+≥”的否定是________．15.过点，且与椭圆192522=+x y 有相同焦点的椭圆标准方程为___________．16.已知椭圆2214x y m+=的离心率为2，则实数m = ．三、解答题（本题共6道小题,第1题10分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题12分,共70分） 17. （本小题满分10分）设p :实数x 满足22320x ax a -+≤，其中0a >，命题q :实数x 满足1288x <<. （1）若2a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ，点E 为侧棱PB 的中点．求证：（1）PD ∥平面ACE ； （2）平面P AC ⊥平面PBD ．19.（本小题满分12分）求分别满足下列条件的直线方程：（Ⅰ）经过直线220x y ++=和310x y ++=的交点且与直线0532=++y x 平行； （Ⅱ）与直线l ：01243=-+y x 垂直且与坐标轴围成的三角形面积为6．20.（本小题满分12分）已知圆C 的方程为x 2+y 2=4.（1）求过点P (1，2)且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）直线l 过点P (1，2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB l 的方程.21. （本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点()0,2，离心率为23. （1）求椭圆的方程；（2）若椭圆左焦点为1F ，右焦点2F ，过1F 且斜率为1的直线交椭圆于A 、B ， 求2ABF ∆的面积.22. （本小题满分12分）设椭圆C: ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标。

镇雄县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 十进制数25对应的二进制数是（ ） A ．11001 B ．10011 C ．10101 D ．100012． i 是虚数单位，i 2015等于（ ）A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i3． 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（ ）A ．4πB ．12πC ．16πD ．48π 4． 下列函数中，为偶函数的是（ ）A ．y=x+1B ．y=C ．y=x 4D ．y=x 55． 设实数，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a ＜c ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜c 6． 已知点P （x ，y ）的坐标满足条件，（k 为常数），若z=3x+y 的最大值为8，则k 的值为（ ） A ．B ．C ．﹣6D ．67． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．2 8． 已知向量(,2)a m =，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅=，点(,)P m n 在圆225x y +=上，则|2|a b +=（ ）A B ． C ．D ．9． 在数列{a n }中，a 1=3，a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），则该数列的前2015项的和是（ ） A ．7049 B ．7052 C ．14098 D ．1410110．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．y=|x|（x ∈R ）B ．y=（x ≠0）C ．y=x （x ∈R ）D ．y=﹣x 3（x ∈R ）11．若直线l 的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A ．l ∥α B ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交但不垂直 12．“24x ππ-<≤”是“tan 1x ≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性.二、填空题13．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为2cm 和4cm ,侧棱长为2cm ,则其 表面积为__________2cm .14．已知三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3=AB ，3=AC ，32===BD CD BC ，则球O 的表面积为 . 15．给出下列四个命题：①函数f （x ）=1﹣2sin 2的最小正周期为2π； ②“x 2﹣4x ﹣5=0”的一个必要不充分条件是“x=5”；③命题p ：∃x ∈R ，tanx=1；命题q ：∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0，则命题“p ∧（￢q ）”是假命题；④函数f （x ）=x 3﹣3x 2+1在点（1，f （1））处的切线方程为3x+y ﹣2=0．其中正确命题的序号是 ．16．已知偶函数f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （﹣1）= ． 17．若6()mx y +展开式中33x y 的系数为160-，则m =__________．【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想． 18．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AC 所成的角是 °．三、解答题19．（本小题满分12分）已知椭圆1C ：14822=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、，过点1F 作垂直于轴的直线，直线2l 垂直于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M . （1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）过点2F 作两条互相垂直的直线BD AC 、，且分别交椭圆于D C B A 、、、，求四边形ABCD 面积 的最小值.20．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()()3244f x x a x a b x c =+--++(),,R a b c ∈有一个零点为4，且满足()01f =.（1）求实数b 和c 的值；（2）试问：是否存在这样的定值0x ，使得当a 变化时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线互相平行？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由； （3）讨论函数()()g x f x a =+在()0,4上的零点个数.21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111,A A AB CB A ABB =⊥． （1）求证：1AB ⊥平面1A BC ；（2）若15,3,60AC BC A AB ==∠=，求三棱锥1C AA B -的体积．22．（本小题满分10分）已知曲线22:149x yC+=，直线2,:22,x tly t=+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与夹角为30的直线，交于点A，求||PA的最大值与最小值.23．已知函数f（x）=（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）的极大值为，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．24．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．镇雄县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：25÷2=12 (1)12÷2=6 06÷2=3 03÷2=1 (1)1÷2=0 (1)故25（10）=11001（2）故选A．【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．2．【答案】D【解析】解：i2015=i503×4+3=i3=﹣i，故选：D【点评】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．3．【答案】B【解析】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，∴几何体的体积V=π×22×3=12π．故选B．【点评】本题考查了圆柱的三视图，结构特征，体积，表面积计算，属于基础题．4．【答案】C【解析】解：对于A，既不是奇函数，也不是偶函数，对于B，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，对于C，定义域为R，满足f（x）=f（﹣x），则是偶函数，对于D，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，故选：C．【点评】本题主要考查了偶函数的定义，同时考查了解决问题、分析问题的能力，属于基础题．5．【答案】A【解析】解：∵，b=20.1＞20=1，0＜＜0.90=1．∴a ＜c ＜b ． 故选：A ．6． 【答案】 B【解析】解：画出x ，y 满足的可行域如下图：z=3x+y 的最大值为8， 由，解得y=0，x=，（，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣，故选B ．【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．7． 【答案】 B【解析】解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中的一个四面体1ACED ,其中11ED =，∴该三棱锥的体积为112(12)2323⨯⨯⨯⨯=，选B ． 8． 【答案】A 【解析】考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系. 9． 【答案】B【解析】解：∵a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），∴（a n+1﹣2）（a n ﹣2）=2，当n ≥2时，（a n﹣2）（a n ﹣1﹣2）=2， ∴，可得a n+1=a n ﹣1，因此数列{a n }是周期为2的周期数列． a 1=3，∴3a 2+2=2a 2+2×3，解得a 2=4， ∴S 2015=1007（3+4）+3=7052．【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．10．【答案】D【解析】解：y=|x|（x ∈R ）是偶函数，不满足条件，y=（x ≠0）是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件， y=x （x ∈R ）是奇函数，在定义域上是增函数，不满足条件， y=﹣x 3（x ∈R ）奇函数，在定义域上是减函数，满足条件， 故选：D11．【答案】B【解析】解：∵ =（1，0，2），=（﹣2，0，4），∴=﹣2，∴∥， 因此l ⊥α． 故选：B ．12．【答案】A【解析】因为tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且24x ππ-<≤，所以tan tan 4x π≤，即tan 1x ≤.反之，当tan 1x ≤时，24k x k πππ-<≤+π（k Z ∈），不能保证24x ππ-<≤，所以“24x ππ-<≤”是“tan 1x ≤”的充分不必要条件，故选A.二、填空题13．【答案】20 【解析】考点：棱台的表面积的求解.14．【答案】16π【解析】如图所示，∵222AB AC BC+=，∴CAB∠为直角，即过△ABC的小圆面的圆心为BC的中点O'，ABC△和DBC△所在的平面互相垂直，则球心O在过DBC△的圆面上，即DBC△的外接圆为球大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为2R=，球的表面积为24π16πS R==15．【答案】①③④．【解析】解：①∵，∴T=2π，故①正确；②当x=5时，有x2﹣4x﹣5=0，但当x2﹣4x﹣5=0时，不能推出x一定等于5，故“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”成立的充分不必要条件，故②错误；③易知命题p为真，因为＞0，故命题q为真，所以p∧（￢q）为假命题，故③正确；④∵f′（x）=3x2﹣6x，∴f′（1）=﹣3，∴在点（1，f（1））的切线方程为y﹣（﹣1）=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣2=0，故④正确．综上，正确的命题为①③④．故答案为①③④．16．【答案】 1 ．【解析】解：f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （1）=f （5）=1， f （x ）是偶函数，所以f （﹣1）=f （1）=1． 故答案为：1．17．【答案】2-【解析】由题意，得336160C m =-，即38m =-，所以2m =-．18．【答案】 60° °．【解析】解：连结BC 1、A 1C 1， ∵在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1A 平行且等于C 1C ， ∴四边形AA 1C 1C 为平行四边形，可得A 1C 1∥AC ，因此∠BA 1C 1（或其补角）是异面直线A 1B 与AC 所成的角， 设正方体的棱长为a ，则△A1B 1C 中A 1B=BC 1=C 1A 1=a ，∴△A 1B 1C 是等边三角形，可得∠BA 1C 1=60°，即异面直线A 1B 与AC 所成的角等于60°．故答案为：60°．【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小，着重考查了正方体的性质、空间角的定义及其求法等知识，属于中档题．三、解答题19．【答案】（1）x y 82=；（2）964. 【解析】试题分析：（1）求得椭圆的焦点坐标，连接2MF ，由垂直平分线的性质可得2MF MP =，运用抛物线的定义，即可得到所求轨迹方程；（2）分类讨论：当AC 或BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四边形ABCD 面积22b S =．当直线AC 和BD 的斜率都存在时，不妨设直线AC 的方程为()2-=x k y ，则直线BD 的方程为()21--=x ky ．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得AC ，BD ．利用四边形ABCD 面积BD AC S 21=即可得到关于斜率的式子，再利用配方和二次函数的最值求法，即可得出．（2）当直线AC 的斜率存在且不为零时，直线AC 的斜率为，),(11y x A ，),(22y x C ，则直线BD 的斜率为k 1-，直线AC 的方程为)2(-=x k y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=148)2(22y x x k y ，得0888)12(2222=-+-+k x k x k .111]∴2221218k k x x +=+，22212188k k x x +-=.12)1(324)(1||22212212++=-+⋅+=k k x x x x k AC .由于直线BD的斜率为k 1-，用k1-代换上式中的。

第二讲证明不等式的基本方法单元检测(A)一、选择题(本大题共8小题，每小题7分，共56分)1a的最大值为()．A．10 B．11 C．12 D．132．用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，假设应为()．A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°3．在△ABC中三边长为a，b，c，若1a ，1b，1c成等差数列，则b所对的角是()．A．锐角B．直角C．钝角D．不能确定4．设m≠n，x＝m4－m3n，y＝n3m－n4，则x，y的大小关系是()．A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．不确定5．若a，b，c，d，x，y是正实数，且P Q，则()．A．P＝Q B．P≥QC．P≤Q D．P＞Q6．已知a，b，c，d都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1．则ac＋bd 的范围为( )．A ．[－1,1]B ．[－1,2)C ．(－1,3]D ．(1,2]7．已知a ＞b ＞c ＞0，A ＝a 2a b 2b c 2c ，B ＝a b ＋c b c ＋a c a ＋b ，则A 与B 的大小关系是( )．A ．A ＞B B ．A ＜BC ．A ＝BD ．不确定8．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0且abc ＞0，则111a b c＋＋的值( )．A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正负不能确定 .二、填空题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)9．设a ，b c a ，b ，c 的大小顺序是________．10．如果>，则实数a ，b 应满足的条件是__________．三、解答题(本大题共2小题，每小题14分，共28分)11．已知a ＞b ＞0，试比较2222a b a b－＋与a b a b －＋的大小．12．已知a ＞b ＞0n ∈N ，且n ＞1)．参考答案1. 答案：C2. 答案：B3. 答案：A解析：∵1a ，1b ，1c成等差数列，∴211a c b a c ac ＋＝＋＝.∴2ac b a c＝＋. 由余弦定理得222222224cos 22a c a c a c b a c B ac ac ()＋－＋－＋＝＝222242212a c ac ac a c ac a c ()≥()－＋＝－＋. 又∵(a ＋c )2＞2ac ，∴22<1aca c ()＋，从而cos B ＞0. 4. 答案：A解析：x －y ＝m 4－m 3n －n 3m ＋n 4 ＝m 3(m －n )－n 3(m －n )＝(m －n )(m 3－n 3) ＝(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)＞0. 5. 答案：C解析：Q≥P .6. 答案：A解析：因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤222222221222a cb d a bcd ＋＋＋＋＋＋＝＝．所以－1≤ac ＋bd ≤1．7. 答案：A解析：∵a ＞b ＞c ＞0，∴A ＞0，B ＞0.∴a a b b c cb c c a a b A a a b b c c B a a b b c c＝＝a a －b a a －c b b －c b b －a c c －a c c －b ＝a ba cb ca ab bc c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭－－－.∵a ＞b ＞0，∴>1a b，a －b ＞0，∴>1a ba b ⎛⎫ ⎪⎝⎭－.同理>1b cb c ⎛⎫ ⎪⎝⎭－，>1a ca c ⎛⎫ ⎪⎝⎭－.∴>1A B，∴A ＞B ． 8. 答案：B解析：∵a ＋b ＋c ＝0且abc ＞0，∴a ，b ，c 中必有一个正数两个负数．不妨设a ＜0，b ＜0，c ＞0，则111bc ac ab a b c abc ＋＋＋＋＝＝2222<0c a b ab ab c ab a b a b ab abc abc abc abc()()-＋＋－－＋－－＝＝＝ 9. 答案：a ＞b ＞c解析：a b －，而2288＝＋＝＋∴a －b ＞0，即a ＞b. 同理可得b ＞c.∴a ＞b ＞c. 10. 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b解析：若，则a＋，即2())>0a b－，∴有a≠b，且a≥0，b≥0.11.解：∵a＞b＞0，∴2222>0,>0a b a ba b a b－－＋＋.又∵22222222a ba b a ba ba b a b a ba b()()()()－－＋＋＝－＋－＋222a ba b()＋＝＋222222221>1a b ab aba b a b＋＋＝＝＋＋＋，∴2222>a b a ba b a b－－＋＋.12.证明：不成立，那么≤而n n⇒≤a≤b，这与已知条件a＞b＞0矛盾，所以假设不成立．因此，原不等式成立．沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

北师大版高中数学必修五第一学期期末考试高二文科数学试题一、选择题（每题5分，共70分）1．若命题p ：0是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列命题中为真的是( ) A ．p 且q B ．p 或q C ．非pD ．以上都不对2．与命题“若m ∈M ，则n ∉M ”等价的命题( ) A ．若m ∉M ，则n ∉M B ．若n ∉M ，则m ∈M C ．若m ∉M ，则n ∈MD ．若n ∈M ，则m ∉M3．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 B ．对任意x ∈R ，使得x 2<0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0 D ．不存在x ∈R ，使得x 2<04．“3πα=”是“212sin =α”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n s ，若854,18S a a 则-=等于（ ） A ．18B ．36C ．54 D ．726．若不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则b a -的值是（ ） A.－10 B.－14 C. 10 D. 147．已知a>0,b>0,且2是2a 与b 的等差中项,则错误！未找到引用源。

的最小值为( ) A.错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．2 D ．48．已知△ABC ，,30,320=∠=⋅>-->--BAC AC AB 错误！未找到引用源。

, 则△ABC 的面积为（ ）A.1B.2C.3D.49．若抛物线2ax y =的焦点为)1,0(F ，则a 的值为( ) A ．41B ．4C ．21D ．2 10．函数()3ln f x x x =+的单调递减区间是（ ）A ． ),1(e eB ． )1,0(eC ．)1,(e -∞D ． ),1(+∞e11．函数()y f x =在定义域3(,3)2-内可导，其图像如图所示．记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≤的解集为（ ）A ．[－13，1]∪[2，3） B ．[－1，12]∪[43，83]C ．[－32，12]∪[1，2）D ．（－32，－13]∪[12，43]∪[43，3）12．若,a b ,l 表示不同的直线，βα,表示两个不同的平面，给出如下四组命题： ①“直线,a b 为异面直线”的充分非必要条件是“直线,a b 不相交”； ②“l ⊥α”的充要条件是“直线l 垂直于平面α内的无数多条直线”；③“l ∥α”的充分非必要条件是“l 上存在两点到α的距离相等”． ④“α∥β”的必要非充分条件是“存在,l α⊂m α⊂且l ∥β,m ∥β”． 其中正确的命题是（ ） A ．④ B ．③④C ．①②D ．②13．过原点的直线l 与双曲线221y x -=有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A.(11)-，B ．(1)(1)--+，，∞∞C ．(10)(01)-，， D ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．设1F ，2F 是双曲线12222=-by a x 0(>a ，)0>b 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使0)(22=⋅+P F OF OP （O 为坐标原点），且||3||21PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．212+ B.12+ C.213+ D.13+二、填空题（每题5分，共20分） 15．设函数12y x =,则导函数'y =． 16．已知函数3221()3f x x a x ax b =+++，当1x =-时函数()f x 的极值为712-，则(2)f =．17．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线方程为22213x y m m -=+的焦距为6，则实数m=___________18．椭圆2214x y +=的弦AB 的中点为1(1,)2P ，则弦AB 所在直线的方程是．三、解答题（满分60分）19．（10分）某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间，油漆时间及有关数据如下： 工艺要求 产品甲 产品乙 生产能力/ （台/天） 制白坯时间/天 6 12 120 油漆时间/天 8 4 64 单位利润/元2024问该公司如何合理安排这两种产品的生产，以利用有限的能力获得最大利润． 20．（12分）在锐角△ABC 中，已知a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 所对应的边长，且b=2asinB ． （1）求角A 的大小；（2）若b=1，且△ABC 的面积为433，求a 的值． 21．（12分）已知数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和是n S ，且点(),2n n a S 在函数2y x x =+的图像上．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设121,2n n n nb T b b b S ==+++，求n T ．22．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，右焦点为F(1,0)．(1)求此椭圆的方程；(2)若过点F 且倾斜角为π4的直线与此椭圆相交于A 、B 两点，求|AB|的值．23．（14分）已知函数2()l n 20)f x a x a x=+-> (． （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x=的单调区间；（2）若对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；（3）记()()()g xf x x b b =+-∈R ．当1a =时，函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围．高二文科数学参考答案及评分标准一、选择题（每题5分，共70分） 1-7. BDADDAB 8-14AABAABD 二、填空题（每题5分，共20分）15.1212x - 16. 5317.218.220x y +-=三、解答题（共60分）19．（10分）甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获得最大利润272元 【解析】设x y ，分别为甲、乙两种柜的日产量，可将此题归纳为如下线性规划模型max 2024f x y =+，其中612120084610x y x x y y +⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≤≥≤≥．由图及下表：------4分()x y ， 2024f x y =+(010)，240 (00)， 0 (80)，160 (48)，272则显然最大值272f =．---------8分答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获得最大利润272元．----10分 20（12分）1Q 3Q2(48)Q ，试题解析：解：由2sin b a B =及正弦定理得sin sin 1sin 2sin 2a B a B Ab a B ===3分 又A 为锐角，所以6A π=6分（2）由△ABC 的面积为433得 133sin 24bc A =8分 又 1b =，6A π=，∴c =33212336sin 233==π11分由余弦定理得222232cos 1(33)2133192a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯= ∴19a =14分 21.（12分）【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意：22n n n S a a =+得21112n n n S a a +++=+，21112a a a =+221112n n n n n a a a a a +++∴=-+-，11a = 即22110n n n n a a a a ++---=所以()()1110n n n n a a a a +++⋅--= 3分0n a >11n n a a +∴-= 所以 n a n = 6分 （Ⅱ）()12n n n S +=()11111n b n n n n ∴==-++ 9分 所以 11111111223111n n T nn n n =-+-++-=-=+++ 12分 22.（12分）【解】 (1)由c a ＝22，c ＝1得a ＝2，b ＝1，∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1.---------5分(2)由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x －1，得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43.∴|AB|＝2|x 1－x 2|＝423.-------7分 23（14分）【解析】（Ⅰ）直线2y x =+的斜率为1． 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为22()af x x x'=-+，所以22(1)111a f '=-+=-，所以1a =． 所以2()ln 2f x x x =+-．22()x f x x-'=．由()0f x '>解得2x >；由()0f x '<解得02x <<．所以()f x 的单调增区间是(2,)+∞,单调减区间是(0,2)． ---4分（Ⅱ）2222()a ax f x x x x -'=-+=， 由()0f x '>解得2x a >；由()0f x '<解得20x a <<． 所以()f x 在区间2(, )a +∞上单调递增，在区间2(0, )a 上单调递减．所以当2x a =时，函数()f x 取得最小值，min 2()y f a=．因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立， 所以2()2(1)f a a>-即可．则22ln 22(1)2a a a a+->-．由2ln a a a >解得20a e <<． 所以a 的取值范围是2(0, )e． ------4分（Ⅲ）依题得2()ln 2g x x x b x =++--，则222()x x g x x +-'=．由()0g x '>解得1x >；由()0g x '<解得01x <<．所以函数()g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数．又因为函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，所以1()0,()0, (1)0. g e g e g -⎧⎪⎨⎪<⎩≥≥ 解得211b e e<+-≤． 所以b 的取值范围是2(1,1]e e+-．-------6分。

北师大版高中数学必修五高二上学期期中考试试题一、选择题（每小题5分，共50分）1、已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，则35是它的( )A ．第22项B ．第23项C ．第24项D ．第28项2、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 2＋ab ＋b 2＝c 2，则角C 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.π2 3、已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则sinA ＝( )A ．23 B ．21C ．43D ．34、下列结论正确的是（）A ．若ac>bc ，则a>bB ．若a 2>b 2，则a>bC ．若a>b,c<0，则 a+c<b+cD ．若a <b ，则a<b 5、在等差数列{a n }中，a 6＝2，a 8＝4，则a 10+a 4＝ ( )A ．9B ．10C ．6D ．86、已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧y ≤2xy ≥－2x.x ≤3则z ＝x －2y 的最小值是（ ）A.-9B.15C.0D.以上答案都不正确7、已知等比数列{a n }的首项为151，前4项的和是1，则数列的公比为（ ） A ．3 B ．2 C ．21D ．2 8、（文）在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 （理）在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．正三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形 9、(文)若2()1f x x ax =-+能取到负值，则a 的范围是（）A.2a ≠±B.－2<a<2C.a>2或a<－2D.1<a<3（理）不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(,2)-∞B ．(,2)-∞⋃(2,)+∞C ．(2,)+∞D ．(0,2)10、 (文)已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）A ．51<<xB ．135<<xC ．50<<xD ．513<<x（理）设ABC ∆的内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,,则下列命题中①若B A sin sin >,则b a >; ②若2c ab >,则3π>C ;③若c b a 2>+,则3π<C ; ④若ab c b a 2)(>+,则2π>C ;则其中真命题为( )A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③④二、填空题(每小题5分,共25分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上)11、数列1，12，14，18，116，…的一个通项公式为________．12、已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么对应三边之比a ∶b ∶c 等于。

太仓市第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．设集合A={x|y=ln（x﹣1）}，集合B={y|y=2x}，则A B（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1） D．（1，2）2．已知复合命题p∧（￢q）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（）A．（￢p）∨q B．p∨q C．p∧q D．（￢p）∧（￢q）3．设命题p：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于y轴对称；命题q：函数y=|2x﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（）A．p为假B．￢q为真C．p∨q为真 D．p∧q为假4．是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于（）A．667B．668C．669D．6705．如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）6．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（）A．B．C．D．7．如图所示，程序执行后的输出结果为（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．28． 已知双曲线的渐近线与圆x 2+（y ﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．（，+∞）B ．（1，）C ．（2．+∞）D ．（1，2）9． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．1410．已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个11．已知函数f （x ）=a x ﹣1+log a x 在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为a ，则实数a 为（ ）A ．B ．C ．2D ．412．方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0表示的图形是（ ） A ．两个点 B ．四个点C ．两条直线D ．四条直线二、填空题13．定义在R 上的函数)(x f 满足：1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，则不等式3)(+>xxe xf e （其中为自然对数的底数）的解集为 . 14．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的值为 ．15．在等差数列}{n a 中，20161-=a ，其前n 项和为n S ，若2810810=-S S ，则2016S 的值等于 .【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度.16．方程（x+y ﹣1）=0所表示的曲线是 ．17．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B为 .18．已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f （x ）=k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题19．已知曲线21()f x e x ax=+（0x ≠，0a ≠）在1x =处的切线与直线2(1)20160e x y --+=平行．（1）讨论()y f x =的单调性；（2）若()ln kf s t t ≥在(0,)s ∈+∞，(1,]t e ∈上恒成立，求实数的取值范围．20．（本题12分）正项数列{}n a 满足2(21)20n n a n a n ---=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前项和为n T .21．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°． （1）求∠BDA 的大小 （2）求BC 的长．22．数列{a n }满足a 1=，a n ∈（﹣，），且tana n+1•cosa n =1（n ∈N *）．（Ⅰ）证明数列{tan 2a n }是等差数列，并求数列{tan 2a n }的前n 项和；（Ⅱ）求正整数m ，使得11sina 1•sina 2•…•sina m =1．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．（1）若不等式1()21(0)2f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；（2）若不等式()2|23|2yyaf x x ≤+++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值．24．已知函数f（x）=，求不等式f（x）＜4的解集．太仓市第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：集合A={x|y=ln（x﹣1）}=（1，+∞），集合B={y|y=2x}=（0，+∞）则A∪B=（0，+∞）故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．【答案】B【解析】解：命题p∧（￢q）是真命题，则p为真命题，￢q也为真命题，可推出￢p为假命题，q为假命题，故为真命题的是p∨q，故选：B．【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q全假时假，p∧q全真时真．3．【答案】C【解析】解：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到y=sin（2x+）的图象，当x=0时，y=sin=，不是最值，故函数图象不关于y轴对称，故命题p为假命题；函数y=|2x﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．故命题q为假命题；则￢q为真命题；p∨q为假命题；p∧q为假命题，故只有C判断错误，故选：C4．【答案】C【解析】由已知，由得，故选C答案：C5．【答案】B【解析】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），可得：2sinφ=，即sinφ=，由于|φ|＜，解得：φ=，即有：f（x）=2sin（2x+）．由2x+=kπ，k∈Z可解得：x=，k∈Z，故f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z当k=0时，f（x）的图象的对称中心是：（，0），故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．6．【答案】A【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=．故选：A．【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．7．【答案】B【解析】解：执行程序框图，可得n=5，s=0满足条件s＜15，s=5，n=4满足条件s＜15，s=9，n=3满足条件s＜15，s=12，n=2满足条件s＜15，s=14，n=1满足条件s＜15，s=15，n=0不满足条件s＜15，退出循环，输出n的值为0．故选：B．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确判断退出循环时n的值是解题的关键，属于基础题．8．【答案】C【解析】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．9．【答案】A【解析】考点：得出数列的性质及前项和．【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“10a>，0d<”判断前项和的符号问题是解答的关键．10．【答案】B【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A⊆B，A⊆C；∴A⊆B∩C={0，2}∴集合A可能为{0，2}，即最多有2个元素，故最多有4个子集．故选：B．11．【答案】A【解析】解：分两类讨论，过程如下：①当a ＞1时，函数y=a x ﹣1 和y=log a x 在[1，2]上都是增函数， ∴f （x ）=ax ﹣1+log a x在[1，2]上递增，∴f （x ）max +f （x ）min =f （2）+f （1）=a+log a 2+1=a ，∴log a 2=﹣1，得a=，舍去；②当0＜a ＜1时，函数y=a x ﹣1 和y=log a x 在[1，2]上都是减函数， ∴f （x ）=ax ﹣1+log a x在[1，2]上递减，∴f （x ）max +f （x ）min =f （2）+f （1）=a+log a 2+1=a ，∴log a 2=﹣1，得a=，符合题意； 故选A ．12．【答案】B【解析】解：方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0则x 2﹣4=0并且y 2﹣4=0，即，解得：，，，，得到4个点． 故选：B ．【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，方程的应用，考查计算能力．二、填空题13．【答案】),0(+∞ 【解析】考点：利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题是一道利用导数判断单调性的题目,解答本题的关键是掌握导数的相关知识,首先对已知的不等式进行变形,可得()()01>-'+x f x f ,结合要求的不等式可知在不等式两边同时乘以xe ,即()()0>-'+xxxe xf e x f e ,因此构造函数()()xxe xf e xg -=,求导利用函数的单调性解不等式.另外本题也可以构造满足前提的特殊函数,比如令()4=x f 也可以求解.114．【答案】 ．【解析】解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin （43°﹣13°）=sin30°=，故答案为．15．【答案】2016-16．【答案】 两条射线和一个圆 ．【解析】解：由题意可得x 2+y 2﹣4≥0，表示的区域是以原点为圆心的圆的外部以及圆上的部分．由方程（x+y ﹣1）=0，可得x+y ﹣1=0，或 x 2+y 2=4，故原方程表示一条直线在圆外的地方和一个圆，即两条射线和一个圆，故答案为：两条射线和一个圆．【点评】本题主要考查直线和圆的方程的特征，属于基础题．17．【答案】4π 【解析】考点：正弦定理．【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是︒180，消去多余的变量，从而解出B 角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出现.18．【答案】 （0，1） ．【解析】解：画出函数f （x ）的图象，如图示：令y=k ，由图象可以读出：0＜k ＜1时，y=k 和f （x ）有3个交点，即方程f （x ）=k 有三个不同的实根，故答案为（0，1）．【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．三、解答题19．【答案】（1）()f x 在1(,)e -∞-，1(,)e +∞上单调递增，在1(,0)e -，1(0,)e 上单调递减；（2）1[,)2+∞. 【解析】试题解析：（1）由条件可得221'(1)1f e e a=-=-，∴1a =， 由21()f x e x x=+，可得2222211'()e x f x e x x -=-=， 由'()0f x >，可得2210,0,e x x ⎧->⎨≠⎩解得1x e >或1x e <-；由'()0f x <，可得2210,0,e x x ⎧-<⎨≠⎩解得10x e -<<或10x e <<． 所以()f x 在1(,)e -∞-，1(,)e +∞上单调递增，在1(,0)e -，1(0,)e上单调递减． （2）令()ln g t t t =，当(0,)s ∈+∞，(1,]t e ∈时，()0f s >，()ln 0g t t t =>，由()ln kf s t t ≥，可得ln ()t t k f s ≥在(0,)x ∈+∞，(1,]t e ∈时恒成立， 即max ln ()t t k f s ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦max()()g t f s ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故只需求出()f s 的最小值和()g t 的最大值． 由（1）可知，()f s 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增， 故()f s 的最小值为1()2f e e=， 由()ln g t t t =可得'()ln 10g t t =+>在区间(1,]e 上恒成立，所以()g t 在(1,]e 上的最大值为()ln g e e e e ==， 所以只需122e k e ≥=， 所以实数的取值范围是1[,)2+∞.考点：1、利用导数研究函数的单调性及求切线斜率；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.20．【答案】（1）n a n 2=；（2）=n T )1(2+n n .考点：1．一元二次方程；2．裂项相消法求和．21．【答案】【解析】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得…=…∴∠BDA=60°…（2）∵AD⊥CD，∴∠BDC=30°…在△ABC中，由正弦定理得，…∴．…22．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：∵对任意正整数n，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．故tan2a n+1==1+tan2a n，∴数列{tan2a n}是等差数列，首项tan2a1=，以1为公差．∴=．∴数列{tan2a n}的前n项和=+=．（Ⅱ）解：∵cosa n＞0，∴tana n+1＞0，．∴tana n=，，∴sina1•sina2•…•sina m=（tana1cosa1）•（tana2•cosa2）•…•（tana m•cosa m）=（tana2•cosa1）•（tana3cosa2）•…•（tana m•cosa m﹣1）•（tana1•cosa m）=（tana1•cosa m）==，由，得m=40．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．23．【答案】【解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．24．【答案】【解析】解：函数f（x）=，不等式f（x）＜4，当x≥﹣1时，2x+4＜4，解得﹣1≤x＜0；当x＜﹣1时，﹣x+1＜4解得﹣3＜x＜﹣1．综上x∈（﹣3，0）．不等式的解集为：（﹣3，0）．。

数学人教版A4-5第四讲数学归纳法证明不等式单元检测(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用数学归纳法证明当n∈N＋时，1＋2＋22＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为()A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3＋4 D．1＋2＋22＋23＋242．从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有f(n)种走法，则下面的猜想正确的是() A．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n≥3) B．f(n)＝2f(n－1)(n≥2) C．f(n)＝2f(n－1)－1(n≥2) D．f(n)＝f(n－1)f(n－2)(n≥3)3．用数学归纳法证恒等式1－12＋13－14＋…＋121n-－12n＝11n+＋12n+＋…＋12n，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边应同时加上()A.121k+B．121k-+C.12(1)k+D.112122k k-++4．凸n边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n ＋1)为()A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－25．下列说法中正确的是()A．若一个命题当n＝1,2时为真，则此命题为真命题B．若一个命题当n＝k时成立且推得n＝k＋1时也成立，则这个命题为真命题C．若一个命题当n＝1,2时为真，则当n＝3时这个命题也为真D．若一个命题当n＝1时为真，n＝k时为真能推得n＝k＋1时亦为真，则此命题为真命题6．若命题A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立．现知命题对n＝n0(n0∈N＋)时成立，则有() A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到() A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－18．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y 整除”时，第二步正确的证明方法是()A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)时成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)时成立，证明n ＝2k ＋3时命题也成立D ．假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时成立，证明n ＝2k ＋1时命题也成立 9．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N ＋)时，从k 到k ＋1，左边需要增加的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.211k k ++ D.231k k ++ 10．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋112n -＞12764成立时，起始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n ，总有2n ＞n 3时”，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n 0应当是__________．12．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N ＋都成立，那么a ＝______，b ＝____，c ＝______.13．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n ＞n 2”时，验证的第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是________．14．用数学归纳法证明“n 3＋5n (n ∈N ＋)能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为________．15．用数学归纳法证明212＋213＋214＋…＋21(1)n +＞12－12n +，假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标是__________．三、解答题(本大题共6小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(8分)求数列：113⨯，135⨯，157⨯，…，1(21)(21)n n -+，…的前n 项和S n .17．(8分)设{x n }是由x 1＝2，x n ＋1＝12n nx x +(n ∈N ＋)定义的数列，求证：x n1n.18.(8分)若n ∈N ＋，求证：2！·4！·6！·…·(2n )！≥[(n ＋1)！]n . 19．(10分)若不等式11n +＋12n +＋13n +＋…＋131n +＞24a 对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．20.(8分)证明等差数列通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d .21．(8分)用数学归纳法证明42n ＋1＋3n ＋2能被13整除，其中n ∈N ＋.参考答案1. 答案：D 左边＝1＋2＋22＋…＋25n －1，所以n ＝1时，应为1＋2＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24.2. 答案：A 分别取n ＝1,2,3,4验证，得f (n )＝,1,2,(1)(2), 3.n n f n f n n =⎧⎨-+-⎩≥ 3．答案：D4. 答案：C 由题意易知增加的对角线条数为(n －1)条．5. 答案：D 由完全归纳法可知，只有当n 的初始取值成立且由n ＝k 成立能推得n ＝k ＋1时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可．A ，B ，C 项均不全面．6. 答案：C 数学归纳法证明的结论只是对n 的初始值及后面的正整数成立，而对于初始值前的正整数不一定成立．7. 答案：D 由条件知，左边是从20,21一直到2n －1都是连续的，因此当n ＝k ＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ，而右边应为2k ＋1－1.8. 答案：D 假设的n 的取值必须取到初始值1，且后面的n 的值比前面的值大2.9. 答案：B 当n ＝k 时左边的最后一项是2k ，n ＝k ＋1时左边的最后一项是2k ＋2，而左边各项都是连续的，所以n ＝k ＋1时比n ＝k 时左边少了(k ＋1)，而多了(2k ＋1)(2k ＋2)．因此增加的代数式是(21)(22)1k k k +++＝2(2k ＋1)．10．答案：B 原不等式可化为11()2112n--＞12764，即12(1)2n -＞12764， 即2－112n -＞12764，所以2－12764＞112n -，即164＞112n -，即612＞112n -. 故26＜2n －1，即n －1＞6，故n ＞7，所以起始值最小取8. 11. 答案：10 当n ＝1时，21＞13，成立； 当n ＝2时，22＞23，不成立； 当n ＝3时，23＞33，不成立； 当n ＝4时，24＞43，不成立； 当n ＝5时，25＞53，不成立； 当n ＝6时，26＞63，不成立； …当n ＝9时，29＝512＞93，不成立； 当n ＝10时，210＝1 024＞103，成立．12. 答案：1214 14取n ＝1,2,3，得 122313(),1233(2),123333(3).a b c a b c a b c ⎧=-+⎪+⨯=-+⎨⎪+⨯+⨯=-+⎩解得a ＝12，b ＝14，c ＝14.13. 答案：5 将n ＝2,3,4,5分别代入验证，可得n ＝2,3,4时，2n ≤n 2，而n ＝5时，25＞52.14．答案：(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6 首先必须应用归纳假设，然后采用配凑法．15. 答案：212＋213＋214＋…＋21(2)k +＞12－13k + 注意不等式两边含变量“n ”的式子，因此当n ＝k ＋1时，应该是含“n ”的式子发生变化，所以n ＝k ＋1时，应为212＋213＋…＋21(1)k +＋21(2)k +＞12－1(1)2k ++.16. 解：S 1＝113⨯＝13＝1211⨯+； S 2＝113⨯＋135⨯＝25＝2221⨯+；S 3＝113⨯＋135⨯＋157⨯＝37＝3231⨯+；…由以上计算可猜想数列的前n 项和S n ＝113⨯＋135⨯＋157⨯＋…＋1(21)(21)n n -+＝21n n +. 下面用数学归纳法证明此等式对任何n ∈N ＋都成立． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝113⨯＝13，右边＝1211⨯+＝13，等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立，即113⨯＋135⨯＋…＋1(21)(21)k k -+＝21k k +. 当n ＝k ＋1时，113⨯＋135⨯＋…＋1(21)(21)k k -+＋1[2(1)1][2(1)1]k k +-++＝21k k +＋1[2(1)1][2(1)1]k k +-++＝21k k +＋1(21)(23)k k ++＝2231(21)(23)k k k k ++++＝123k k ++＝12(1)1k k +++，这就是说，当n ＝k＋1时，等式成立，即S n ＝113⨯＋135⨯＋…＋1(21)(21)n n -+＝21n n +. 根据(1)(2)知，等式对于任何n ∈N ＋都成立． 17. 提示：x k ＋1＝2k x ＋1kx＞2x n证明：(1)当n ＝1时，x 1＝2＜1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即x k1k，那么，当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝2k x ＋1kx . 由归纳假设，x k1k，则2k x＜2＋12k ， 1kx＞11k.∵x k1k x＜2. ∴x k ＋1＝2k x ＋1k x＋12k＋12k11k +. 即x k ＋111k +. ∴当n ＝k ＋1时，不等式x n1n成立． 综上，得x n1n(n ∈N ＋)．18. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝2！＝2，右边＝(2！)1＝2，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，不等式成立，即 2！·4！·6！·…·(2k )！≥[(k ＋1)！]k 成立， 则n ＝k ＋1时，2！·4！·6！·…·(2k)！·(2k＋2)！≥[(k＋1)！]k·(2k＋2)！，其中(2k＋2)！＝(2k＋2)(2k＋1)…(k＋3)[(k＋2)！]，∵k＋3＞k＋2，k＋4＞k＋2，…，2k＋2＞k＋2，∴(2k＋2)！＞(k＋2)k·(k＋2)！.上面不等式对k≥1都成立，∴2！·4！·6！·…·(2k)！·(2k＋2)！≥[(k＋1)！]k·(2k＋2)!＞[(k＋1)！]k·(k＋2)k·(k＋2)！＝[(k＋2)！]k·(k＋2)！＝[(k＋2)！]k ＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，所证不等式对一切n∈N＋都成立．19.证明：当n＝1时，111+＋112+＋1311⨯+＞24a，即2624＞24a，∴a＜26.而a∈N＋，∴取a＝25.下面用数学归纳法证明11n+＋12n+＋…＋131n+＞2524.(1)n＝1时，已证．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，11k+＋12k+＋…＋131k+＞2524.则当n＝k＋1时，有1 (1)1 k++＋1(1)2k++＋…＋131k+＋132k+＋133k+＋13(1)1k++＝(11 k+＋12k+＋…＋131k+)＋(132k+＋133k+＋134k+－11k+)＞2524＋[132k+＋134k+－23(1)k+]．∵132k+＋134k+＝26(1)9188kk k+++＞23(1)k+，∴132k+＋134k+－23(1)k+＞0.∴1(1)1k++＋1(1)2k++＋…＋13(1)1k++＞2524也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，都有11n+＋12n+＋…＋131n+＞2524，∴a的最大值为25.20.证明：(1)当n＝1时等式成立．(2)假设当n＝k时等式成立，即a k＝a1＋(k－1)d，则a k＋1＝a k＋d ＝a1＋[(k＋1)－1]d，即n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d对一切n∈N＋都成立．21.证明：(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除；(2)假设当n＝k时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，则当n＝k＋1时，42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除，∴当n＝k＋1时也成立．由(1)(2)知，当n∈N＋时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．。

第24课时平面向量数量积的物理背景及其含义1.理解平面向量数量积的含义；了解平面向量数量积与投影的关系；掌握数量积的性质．2．掌握平面向量数量积的几何意义；掌握平面向量数量积的运算律．1a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a|·|b|cosθ.规定零向量与任一向量的数量积为零，其中θ是a与b的夹角．2．|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做b在a方向上的投影．3．两个非零向量互相垂直的等价条件是a·b＝0.4．a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．5．向量数量积的运算律为：(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.一、选择题1．给出以下五个结论：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)·c ＝a·(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3 D．4答案：C解析：①②③显然正确；(a·b)·c与c共线，而a·(b·c)与a共线，故④错误；a·b是一个实数，应该有|a·b|≥a·b，故⑤错误．2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案：C解析：由题意，知a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ⊥b ，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为( )A ．1 B.77C ．－1 D.277 答案：A解析：设θ为向量a －2b 与向量a 的夹角，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为|a －2b |cos θ.又cos θ＝(a －2b )·a |a －2b |·|a |＝a 2－2a ·b |a －2b |·|a |＝1|a －2b |，故|a －2b |cos θ＝|a －2b |·1|a －2b |＝1. 4．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a ＋b )＝0，则a 与b 的夹角是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案：D 解析：设向量a 与b 的夹角为θ，则a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a |·|b |·cos θ＝1＋1×2×cos θ＝1＋2cos θ＝0，∴cos θ＝－12.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°，选D.5．若|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，且(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则k ＝( ) A ．－6 B ．6 C ．3 D ．－3 答案：B解析：由题意，得(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，由于a ⊥b ，故a ·b ＝0，又|a |＝|b |＝1，于是2k －12＝0，解得k ＝6.6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC→等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 答案：D解析：AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝|AC →|2＝16 二、填空题7．一物体在力F 的作用下沿水平方向由A 运动至B ，已知AB ＝10米，F 与水平方向的夹角为60°，|F |＝5牛顿，物体从A 至B 力F 所做的功W ＝__________.答案：25焦耳解析：由物理知识知W ＝F·s ＝|F|·|s|cos θ＝5×10×cos60°＝25(焦耳)．8．如果a ，b ，a －b 的模分别为2,3，7，则a 与b 的夹角为________．答案：π3 解析：设a 与b 的夹角为θ，由|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2，得7＝13－12cos θ，即cos θ＝12.又0≤θ≤π，故θ＝π3.9．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________．答案：等边三角形解析：AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝60°.又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．三、解答题10．已知e 1与e 2是两个夹角为60°的单位向量，a ＝2e 1＋e 2，b ＝2e 2－3e 1，求a 与b 的夹角．解：因为|e 1|＝|e 2|＝1，所以e 1·e 2＝1×1×cos60°＝12， |a |2＝(2e 1＋e 2)2＝4＋1＋4e 1·e 2＝7，故|a |＝7， |b |2＝(2e 2－3e 1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e 1·e 2＝7，故|b |＝7，且a ·b ＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－727×7＝－12，所以a 与b 的夹角为120°.11．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ，b 的夹角为60°. (1)若(2a －b )·(a ＋b )；(2)若(a ＋b )⊥(λa －2b )，求实数λ的值．解：(1)由题意，得a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝1×4×12＝2. ∴(2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝2＋2－16＝－12. (2)∵(a ＋b )⊥(λa －2b )，∴(a ＋b )·(λa －2b )＝0， ∴λa 2＋(λ－2)a ·b －2b 2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0， ∴λ＝12.12．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π解析：由于|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π. 13．设两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由已知得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos60°＝1.∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t ＋7<0，得－7<t <－12. 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ<0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝tλ，∴2t 2＝7.∴t ＝－142，此时λ＝－14.即t ＝－142时，向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π. ∴当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.。