近世代数中的模n的同余关系的应用

分类号O153编号2013010130毕业论文题目模n剩余类环及其应用学院数学与统计学院专业数学与应用数学姓名苏安兵班级09数应一班学号291010130研究类型基础研究指导教师唐保祥副教授提交日期2013年5月19日原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。

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论文作者签名：年月日论文指导教师签名：年月日模n剩余类环及其应用苏安兵(天水师范学院数学与统计学院, 甘肃天水741001)摘要:模n剩余类环是一种比较透彻的特殊环. 本文主要从模n剩余类环的定义和性质出发,系统论述了模n剩余类环及其相关性质,并列举了模n剩余类环在纯代数证明和完全及简化剩余系的性质方面的一些应用.关键词:模n剩余类环; 模n剩余类子环; 幂等元; 理想中图分类号: O153Modulo n Residue Class Ring and Its ApplicationSU An-bing( School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University,Tianshui Gansu,741001,China )Abstract: Modulo n residue class ring is a kind of thorough special ring. In this thesis, mainly based on the definition of modulo n residue class ring and its primary property, the author first completely expounds it and its relative properties. Then, some application in the proof of pure algebraic and the simplification of the remaining coefficients is listed. Key words: Modulo n residue class ring; Modulo n residual class ring; Idempotent element; Sub-ring ideal目录1引言 (1)2 基本知识 (1)2.1 模n剩余类环的基本概念 (1)2.2 模n剩余类环的基本性质 (2)3 主要结果及其证明 (3)Z的一般性质 (3)3.1 模n剩余类环n3.2 模n剩余类子环的相关命题 (4)3.3 模n剩余类加群相关性质列举 (8)3.4 模n剩余类乘法群及其幂等元的简单求法 (9)Z的理想 (12)3.5 模n剩余类环n3.6 剩余类环的应用 (13)参考文献 (15)模n 剩余类环及其应用1引言自从1910年狄德金和克隆尼克共同创立环论以来, 学者们就对各种环进行了深入系统的研究, 开辟了许多新的研究领域, 并取得了许多有意义的研究成果. 环是两个二元运算建立在群的基础上的一个代数系统, 因此它的许多基本概念与理论与群相似, 也是对群的相应内容的推广. 模n 剩余类环就是环中研究比较透彻的一类环, 常见于各类论著之中, 同时, 它也有很重要的应用.2 基本知识在集合Z 中, 固定n (n 可以是任意形式), 规定Z 中元素间的一个关系为R , 则aRb , 当且仅当)(|b a n -. 其中, )(|b a n -表示n 能整除)(b a -. 易见, 这是一个等价关系, 记这个等价关系为模n 的同余关系, 并用)(n b a ≡来表示. 我们知道一个等价关系决定一个分类, 所以该等价关系便决定了集合Z 的一个分类, 我们将如此得来的分类就叫作模n 的剩余类.2.1 模n 剩余类环的基本概念定义 2.1.1 对n N +∀∈, 令}1,,2,1,0{-=n Z n , 任取n Z j i ∈,, 规定j i j i +=+, ij j i =⋅为n Z 的两个代数运算, 可知n Z 作成一个环, 是一个n 阶有单位元的交换环, 我们称其为以n 为模的剩余类环, 或简称模n 剩余类环.显然, 该环关于加法作成一个n 阶循环群, 从而n Z 是n 阶循环环.定义2.1.2 对∀n Z i ∈, 类i 中若有一个整数与n 互素, 则这个类中的所有整数都同n 互素, 我们就说类i 与n 互素.定义 2.1.3 对∀0≠a n Z ∈, 若存在n Z 中的元素0≠b ,使得0=b a , 则称a 为环n Z 的一个左零因子.同样可定义右零因子, 若n Z 的左零因子与右零因子相等, 称其中任意一个为n Z的零因子.定义 2.1.4 ⋅〉+〈,,n Z 中, 若n Z e ∈∃使得n Z a ∈∀, 有a e a a e ==, 则称元素e 为环⋅〉+〈,,n Z 的单位元, 记作1.定义 2.1.5 ⋅〉+〈,,n Z 中, 若n Z a ∈∀, 有n Z b ∈, 使得1==a b b a , 则称b 是a 的逆元, a 与b 互逆.定义2.1.6 对n Z a ∈∀, a (对加法)有最大的阶n , 则称n 为⋅〉+〈,,n Z 的特征. 定义2.1.7 对于⋅〉+〈,,n Z 的任一非空子集N , 若N 满足:)1(N a ∈, N b a N b ∈-⇒∈;)2(N a ∈, N a b b a N b ∈⇒∈,.则称集合N 为n Z 的一个理想子环, 简称n Z 的理想.定义 2.1.8 设R 为任意一个环, N 是R 的理想. 则N R /对陪集的加法和乘法作成一个环, 称该环为R 关于N 的商环.定义2.1.9 ⋅〉+〈,,n Z 的乘法群G (n 为素数时, n Z 中的所有非零元做成G , n 为合数时, n Z 中的所有可逆元做成G )中, 对于G a ∈∀, 若a 满足:a a =2, 则称a 为⋅〉+〈,,n Z 的一个幂等元[1].定义 2.1.10 对于∀n Z b a ∈,, 若∃n Z q ∈, 使得q a b =, 则称a 整除b , 记作|a b --,否则, a 不整除b .2.2 模n 剩余类环的基本性质性质2.2.1 对n Z b a ∈∀,, 若b a =, 则(1,0,1)a b nk k =+=- . 性质2.2.2 对n Z a ∈∀, 0==++=na a a a a n .性质2.2.3 设n Z b a ∈,, |a b ⇔(,)|a n b .在以下内容中, )(n T 表示n 的正因子的个数, )(n ϕ为Euler 函数, 表示不超过n , 与n 互素的元素的个数.3 主要结果及其证明3.1 模n 剩余类环n Z 的一般性质（1）⋅〉+〈,,n Z 是交换环.（2）⋅〉+〈,,n Z 中非零元m 是可逆元⇔1),(=n m , 且可逆元的个数为)(n ϕ个. 证明 设m 是⋅〉+〈,,n Z 的可逆元, 则∃s ∈⋅〉+〈,,n Z , 使得1==ms s m ,⇒)1(|-ms n , 即+∈∃N t , 使得nk ms =-1, ⇒1=-nk ms , ⇒1),(=n m . 反之, 若0≠m ,且1),(=n m ,则∃t s ,n Z ∈, 使1=+nt ms , ⇒t n s m +=1=+nt ms , 故s 是m 的可逆元, 故⋅〉+〈,,n Z 可逆元个数为)(n ϕ个.（3）对n Z m ∈≠∀0, 若1),(=n m , 则m 为⋅〉+〈,,n Z 的零因子, 且⋅〉+〈,,n Z 共有-n )(n ϕ1-个零因子.证明 当(,)m n d =1>时, 令ds m =, dt n =, 1t n ≤<. 易见0≠t , ⇒mt t m =ns = 0=, 故m 是⋅〉+〈,,n Z 的零因子. 又由于⋅〉+〈,,n Z 中, 对于∀0≠m , m 不是可逆元就是零因子, 故⋅〉+〈,,n Z 共有-n )(n ϕ1-个零因子.（4）⋅〉+〈,,n Z 中,其左右零因子均为零因子.（5）⋅〉+〈,,n Z 是无零因子环⇔n 为素数.（6）设⋅〉+〈,,n Z 为无零因子, 且1>n Z , 则⋅〉+〈,,n Z 中所有非零元素(对加法)的阶必相同.（7）对于p Z ,（1）p Z 是特征为p 的有单位元的可交换环;（2）环p Z 是域⇔p 为素数;（3）若p 为合数, 则环p Z 有零因子, 从而不是域.（8）n m ,+∈N , 则m n Z Z m n |~⇔.（9）除去零乘环外, 同构意义下, 循环环有且仅有整数环及其子环以及剩余类环及其子环.（10）设n s z ∈, 若1),(=n s , s t =, 则1),(=n t .（11）⋅〉+〈,,n Z 的循环子群可由n 的所有因子作为生成元生成（或可由n 与其所有因子的差作为生成元生成), 且共有)(n ϕ个.证明 设n 的所有因子为1,2;t t p p p p . 任取一个由a ),0(Z a n a ∈<<生成的循环子群><a ; 设),(n a d =; 即d 是n 的因子, 设该因子为t p , ⇒t t p k n p k a 21,==, ,,21Z k k ∈（)21k k <, 且(12,k k )1=, ⇒a 的阶为2k , 又∈a ><t p , ⇒><a =><t p , 则该循环子群可由n 的任一因子作为生成元生成, 可知这样的循环子群共有)(n ϕ个.3.2 模n 剩余类子环的相关命题命题3.2.1 环n Z 有且仅有)(n T 个子环, 且n Z 是一个n 阶循环环.证明 由于n Z ={0,1,2,1n - }对加法作成循环群, 所以n Z 为n 阶循环环; 又因为n 阶循环群有且仅有)(n T 个子群, 所以n 阶循环环有且仅有)(n T 个子环, 即⋅〉+〈,,n Z 有且仅有)(n T 个子环.命题3.2.2 ⋅〉+〈,,n Z 中任意两个不同的子环彼此不同构. 证明（1）若⋅〉+〈,,n Z 的两个子环不同阶, 成立.（2）设R 为n Z 的任意k 阶子环, 则n k |. 而>+<,Z 为n 阶循环群, 故对n 的每个正因数k , >+<,Z 有且仅有一个k 阶子群, 则n Z 有且仅有一个k 阶子环. 故n Z 的任意两个不同子环彼此不同构.命题 3.2.3 当)2(≥=s p n s , p 为素数时, n Z 的s p 阶)(s r <子环S 是含零因子无单位元的环.证明 设n Z 的s p 阶子环})1(,,,0{r s r r s p p p S ---= , 先证它是含有零因子的环.（1）当s r s ≥-22时,对0≠=∀-r s p k a , 0≠=-r s lp b , +∈N l k ,, ⇒0=ab ,故S 是有零因子的环.（2）当s r s <-22时,取0≠=-r s p a , 02≠=--r s s r p p b , ⇒0==s p ab , 故S 是有零因子的环.下证S 是无单位元的环.设S 有单位元r s pl e -=, 则对r s p k a -=∀, 1-≤≤s p k l , 有a ea =, 即有: r s r s r s kp p k p l ---=⋅,⇒s r s r s mp kp lkp +=--22, r s r rr s kp k mp l k mp lkp --+=⇒+=, 取1=k , 则r s r pp m l -+=11, 由r r s r s t s r <-⇒<-⇒<-0222, 所以r r s p m p 1|-, 而p 不整除l , 因此11+-r r s p m p 不整除, 则l 不是整数, 故S 无单位元.命题3.2.4 若pq n =, p 是素数, q 是大于1的正整数,则:(1)当1),(=q p 时, n Z 的p 阶子环S 是域; 且p Z S ≅;(2)当p q p =),(时,n Z 的p 阶子环S 是零环.证明 设n Z 的p 阶子环})1(,,0{q p q S -= ,（1）当p q p =),(时, 令q k b q k a S b a pd q 21,,,,==∈∀=对,021=⋅=pd k pd k ab ,故S 是零环.（2）当1),(=q p 时,q k k p mpq q k k q k q k 2122121|,,0⇒=⇒=⋅, 则对∈==∀q k b q k a 21, ,S 只要01≠=q k a , 21|,k p k p ⇒不整除, 由0=ab ,0,0=⇒≠b a , 即S 是无零因子环,又由于S 有限, 所以S 为域.设lq e =是S 的单位元, 则对S kq ∈∀,有kq kq lq =⋅, 即mpq kq lkq +=2, 取1=k , 得到qsp l 1+=. 因为l 为整数,只需选取适当的s 使l 为整数, 就可求得单位元. 命题3.2.5 设uv n =, u 是合数,1≠v , 则n Z 的u 阶子环是含零因子的无单位元的环.证明 u 是合数, 令st u =,n Z 的u 阶子环})1(,,2,,0{v u v v S -= , 取0≠=sv a ，0≠=lv b , 其中l s ,+∈N , ⇒0=ab , 故S 含有零因子. 设S 有单位元e , 且lv e =,对)11(-≤≤=∀v k kv a , 则有a ea =, 即k mu lkv kv lkv +=⇒=,2,⇒kvk mu l += )(*, （1) 设1),(≠=d v u 时, 在)(*式中取1=k ,vu m l 11+=, 若l 有整数解, 即方程:11=+-xv u m 中x 有整数解, 所以上述方程有整数解⇔1|),(v u , 矛盾, 所以S 无单位元.（2）设1),(=v u , 在)(*式中取11>-=u k ,⇒1)1,())1(,(=-=-u u u v u , vu u u m l k )1(1--+=, 则l 有整数解即为整系数方程:1)1(-=-+-u vx u u m k 有整数解x , 而x 有整数解⇔）（1|))1(,(--u v u u . 又由于1),(=v u , 故1))1(,(=-v u u 不整除1-u , 矛盾, 故S 无单位元.商环也是一种重要的子环, 这里我们探讨一下商环><><mn n /在什么情况下是域或者有零因子无单位元的环.命题 3.2.6 设n 是正整数, >=<n R 是由n 生成的环, 则商环><=t n R S /（t 是正整数, 且2≥t )是含零因子无单位元的环.证明 当2=t 时, 此时><>>=<<=22//n n n R S 是有限零环. 事实上,对S b a ∈∀,, 取n k a 1=,n k b 2=, ⇒0221==n k k ab ; 当2>t 时,})1(,,,0{1n n n S t -=- , 取0≠=n a ,02≠=-n n b t ,⇒0==t n ab , 所以S 是含零因子的环.设S 有单位元l e =n , 则对S kn a ∈=∀, 有a ea =, 即t mn kn lkn kn lkn +=⇒=22,, ⇒kn k mn l t +=-1, 取1=k ,⇒n n m l t 111+=-, 因为11|t n m n -,n 不整除1,n 不整除)1(11+-t n m , 故不存在整数l , 即S 无单位元.命题 3.2.7 设n 是正整数,p 为素数,>=<n R 是由n 生成的环, 则商环><=pn R S /,（1）当1),(=n p 时是域, 且p Z S ≅;（2）当p n p =),(时,S 是零环.证明 设})1(,2,,0{/n p n n pn n S ->=<>=< ,（1）当1),(=n p 时, 对S b a ∈∀,, 取n k a 1=,n k b 2=, 若,022121===n k k n nk k ab ⇒n k k p n k k pn 21221|,|⇒, 又1),(=n p , 所以21|k k p , 当01≠=n k a 时,,1k p 不整除⇒2|k p , 亦即0=b , 所以S 是无零因子的环, 则S 中消去率成立, 又因为S 有限, 所以S 是域.设e 是S 的单位元, 对p Z a ∈∀,有a 对应于a 、e , 即可得S Z p ≅.（2）当p n p =),(时, 令pd n =,对S b a ∈∀,, 有n k a 1=,0,2212==⇒=n k k ab n k b ,所以S 是零环.命题3.2.8设m n ,是正整数,且m 是合数,1≠n ,>=<n R 是由n 生成的环,则商环><=mn R S /是含零因子无单位元的环.证明设})1(,,,0{/n m n mn n S ->=<>=< 是m 阶环.设uv m =,u <1,m v <,取un a =,vn b =,则02==uvn ab ,所以S 是有零因子的环.设S 有单位元l e =n ,则对S kn a ∈=∀,有a ea =，即:l tmn kn lkn kn kn n +=⇒=⋅2,所以kn k tm l /)(+= )(*, 那么 当1),(≠=d n m 时, 在)(*式中取 1-=m k , 则有n m m t l k )1/()]1([--+=,/)1(n m -)]1([-+m m t k ,即可找到正整数y ,使得1)1(-=--m m t ny m k ,y 有整数解的充要条件是）（1|),)1((--m m n m ,而1),1(),)1((=-=-m m m n m ,与假设矛盾,所以S 无单位元.3.3 模n 剩余类加群相关性质列举定理 2.1>+<,n z 中元素m 是>+<,n z 的生成元的充分必要条件是1),(=n m ,且生成元的个数为)(n ϕ个.证明若1),(=n m , 则存在整数,,t s 使1=+nt ms , 于是便有:1=nt ms +=nt ms + =s m ms t ms ==+0∈><m ,所以>+<,n z >=<m ,且m 是>+<,n z 的生成元. 反过来,若m 是>+<,n z 的生成元，则>∈<m 1,⇒m s =1,而0=n ,所以,n t m s m s +==1，即1),(=n m .故>+<,n z 的生成元个数为)(n ϕ个. 定理2.2>+<,n z 有()n T 个子群.证明只需证明对n 的每个正因数k ,>+<,n z 有且只有一个k 阶子群. 易知>+<,n z 为n 阶循环群,令>=<m z n , 则n m =,设n k |,令kq n =,则k m q =,故><m q 是>+<,n z 的一个k 阶子群,令H m p >=<,则H 是循环群,且k m p =,但m p 的阶为),(n p n ,从而k n p n =),(,),(n k p n =,又由于kq n =,得到),(n p q =,且p q |,于是m p ∈><m q ,则><m p ⊆><m q ,但><m p ,><m q 的阶均为k ,故><m p =><m q ,换句话说>+<,n z 的k 阶子群唯一.由上述知：剩余类加群>+<,n z 的子群个数为()n T . 定理2.3>+<,n z 自同构的个数为)(n ϕ个.证明设g 为>+<,n z 的任一自同构,并设)(a g =b =a m ,a a s g =)(,则 a m a sm g =)(,由于g 是自同构,故b s a m s a ==)(,从而有,>>=<>=<<)(a g b a ,即在同构映射g 下生成元的象仍为生成元.反之, 设b a ,是>+<,n z >=<a 的两个生成元,易知,>>→<<a a g :,b S a S → 是><a 的一个自同构,所以><a 的生成元完全决定了><a 的自同构,即><a 有多少个生成元,它就有多少个自同构,而由定理 3.1知 >+<,n z 有)(n ϕ个生成元,故>+<,n z 有)(n ϕ个自同构.3.4 模n 剩余类乘法群及其幂等元的简单求法设n Z 是一个模n 剩余类环,考察环n Z 中的乘法群G （当n 为素数时,n Z 中非零元作成乘法群;当n 为合数时,n Z 中可逆的元作成乘法群）.由定义2.1.8知,群G 中的单位元e 是G 的一个幂等元, 且有===32e e e , 反之,若g 是环n Z 的一个幂等元,则g 必然是n Z 的一个乘法群的单位元;例如g 是一元群][g 的单位元.在一个低阶的模n 的剩余类环,例如18Z 中,不难通过测试的方法来确定其幂等元;一般地,在模n 剩余类环n Z 中可如下考虑:设e 是环n Z 中的一个幂等元, 那么,我们有)(mod e 2n e ≡）（1, 则≡-)1(e e ）（n mod 0 )2(, 即e 和1-e 是互素且相邻的整数;若n 为整数, 则有）（或n mod 10e ≡;若n 为合数,不妨设n =21n n , 不考虑）（或n mod 10e ≡的幂等元（换句话说e 既非环n Z 的零元也非n Z 单位元）,e 或)1(-e 将分别是n 的因子21n n 和的倍数;此时便可考虑取用该因子的倍数判断是否为环的幂等元.例2.1 设9218⨯==n ,于是在18Z 中若是取9=e ,首先我们有)19(9-⨯≡0)(mod n 或）（n mod 992≡, 即9=e 是18Z 中的一个幂等元;其次,由于9和8)19(=-互素,故11819=⨯-⨯在上式两端分别加上98-89⨯⨯, 则可推算出163-6479-88==⨯⨯, 并得到适合)2(式的两个相邻整数64和63, 则由）（modn 1064≡,）（modn 10102≡又可得到18Z 中的另一个幂等元10.对于上述18Z 中的两个幂等元9和10, 容易看出它们具有如下的性质:910+≡1（18mod ），910⨯≡0(18mod ), 从而, 我们有以下命题: 命题设R 是一个有单位元的环,e 是R 的非零非单位元的幂等元, 则e f -=1也是R 的幂等元, 并且具有性质:0,1==+ef f e .证明事实上，由e e e e e e -=+-=+-=-12121)1(22知:e f -=1是R 的一个幂等元;又1)1(=-+=+e e f e , 0)1(2=-=-=e e e e ef .故得证.运用该命题, 我们可以容易地从n Z 中的一个非零非单位元幂等元求出另外一个幂等元f .例2.2 已知e 13=是26Z 的一个幂等元,则由)(mod14121311n e f ≡-=-=-=知:f 14=也是26Z 的一个幂等元.由该命题, 我们还可以得出关于n Z 中的幂等元与n Z 元素之间另一关系如下:设=n 21n n , 且幂等元e 是1n 或1n 倍数,则n Z 中每一个元素k 均可表成n Z 中幂等元e 和f 的唯一组合:)(mod n f y e x k ⋅+⋅≡)(**, 其中)(mod 2n k x ≡, )(mod 1n k y ≡. 例2.3 在上述26Z 中, n 13226⨯==,幂等元e =13;任取k 17=, 则由)(**有:)26(mod 000f e +≡)26(mod 69144134117≡⨯+≡+≡f e)26(mod 18114121312125≡⨯+≡+≡f e其中)2(mod 117≡≡x , 而)13(mod 417≡≡y .以上讨论了模n 剩余类环n Z 中幂等元的存在和求法.那么,对于给定的一个整 数ε,ε可以是哪一个模n 剩余类环n Z 的幂等元呢? 若要ε为n Z 的幂等元,则应有:)1(|)(mod 0)1()(mod 2-⇔≡-⇔≡εεεεεεn n n ,于是对任意给定的一个整数ε,取定一个)1(-εε的因子n ,便可在模n 的最小非负剩余系中确定以ε为幂等元的包含于n Z 的群.为此,对ε,令)})1(,,2,,1{(εεε-≡n R )(***,则:)1(n Z 中以幂等元ε为单位元的乘法群R G ⊆;)2(R 中属于G 的元必须是一个关于R 和G 共同单位元ε的有逆元的元.为此,令:},|{)(111ε==∈∃∈=---rr r r R r R r R G 使得,则()G R 是一个满足要求的,由R 的可逆元作成的,包含幂等元ε的乘法群.例2.4 设ε=25，则n 是6002425)1(=⨯=-εε的一个因子,不妨设n =30,则有)30(mod 25252≡，而又由)(***式得=-=)}25)(130(,),25(2),25(1,0{ R 15,10,5,0{ }25,20)30(mod ,不难判断R 中关于单位元ε25=的可逆元为25,5,因此)30}(mod 25,5{)(30=Z G 为所求30Z 中包含幂等元ε25=的乘法群.至此,上面我们对模n 剩余类环n Z 及其乘法群的进行了一些讨论,阐述了群与环的部分关系;由群的单位元导出了其幂等元,并且给出了如何在n Z 中去确定其幂等元;反之,对于给定的任一整数,也可以确定以其为幂等元的环n Z 及其所构成的乘法群.3.5 模n 剩余类环n Z 的理想定理3.5.1模n 剩余类环n Z 的所有理想都是主理想.证明对循环子群(对加法), i ∀,根据理想的定义,>∈<∈∀i c b Z a n ,,有:（1）>∈<-=-i c b c b ;（2）>∈<++==i b b b ab b a a个. 同理：>∈<i a b ; 所以><i 作为一个理想,显然><i 是主理想.由定理及上叙定理的证明过程可以看出:循环子群(对加法)加上乘法是模n 剩余类环n Z 的主理想.定理3.5.2模n 剩余类环的子加群,子环,理想是一致的.定理3.5.3设n Z 是模n 剩余类环,则:（1）n 是素数,n Z 是域,则n Z 只有零理想和单位理想;（2）n Z 是域充分必要条件是(n )是Z 的极大理想.证明(1)显然成立.（2）由上述定理6知n Z 是域的充分必要条件是n 为素数. 因此只需要证明><n 是Z 的极大理想的充分必要条件是n 为素数.由于n Z 是有单位元的交换环,设主理想}|{Z k nk n ∈>=<,若><n 为极大理想,如果n 不是素数,则必有,,1,2121n n n n n n <<=,于是>∈<1n n ,但>∉<n n 1, 则><1n 是n Z 的真包含><n 的理想.由><n 为极大理想知n Z n >=<1.但>∉<11n , 矛盾,所以n 是素数.反之,设n 是素数,A 是n Z 的理想,且A n Z A n n >≠<⊆>⊆<,,则存在>∉<∈n a A a ,. 因为n 是素数, 所以n 与a 互素,则存在Z v u ∈,,使1=+nv ua ,由A a n ∈,可知Z A A vn ua =∈+=则,1.因为Z n n >≠<±≠,1, 所以><n 是极大理想.3.6 剩余类环的应用在此我们主要给出剩余类环对Euler 函数关系式, Eisenstei n 判别法, 整系数多项式无整数根,Euler 定理及Fermat 小定理等数论的古典结果给出纯代数的证明.并从代数的角度观察熟知完全及简化剩余系的一些性质.例2.5 (Euler 函数关系式)ϕ为Euler 函数,当1),(=n m 时,)()()(n m mn ϕϕϕ=.证明当1),(=n m 时,)/()/()/(><⨯><=><n Z U m Z U mn Z U , 而)/(><mn Z U = )(mn ϕ,)()/(n n Z U ϕ=><,)()/(m n Z U ϕ=><,所以)()()(n m mn ϕϕϕ=.注:为方便起见下面出现的函数ϕ,都是Euler 函数.例2.6 (Eisenstei n 判别法)设011)(a x a x a x f n n n n +++=-- 是一个整系数多项式,如果有一个素数p ,使得p 满足条件: )1(p 不整除n a ;)2( p |i a (1,1,0-=n i );)3( 2p 不整除0a .那么)(x f 在][x Z 中不可约.证明首先,令])[/()(0x p Z x a x f n i i i ∈=∑=,其中a 表示a 的模p 剩余类.假设f 在][x Z 中可约,令gh f =, 其中0111b x b x b x b g s s s s ++++=-- ,0111c x c x c x c h m m m m ++++=-- ,n s m <,n s m =+.于是h g f =,而另一方面011)(a x a x a x f n n n n +++=-- .因为p |i a (10-≤≤n i ),p 不整除n a ,故n n x a f =, 令s x g α=,m x h β=, 即g 的常数项00=b ,h 的常数项00=c ,那么p |0b , 且p |0c ,则2p |000a c b =, 这与2p 不整除0a 矛盾,故)(x f 不可约.例 2.7 (整系数多项式无整数根)设01)(a x a x a x f k k +++= 是整系数多项式,且0a 和∑=k i i a0都是奇数,则)(x f 无整数根.证明令∑=><∈=ki i i x Z x a x f 0][2/)(,其中i a 表示i a 的模2剩余类,假设)(x f 有一整数根n ,而0=n 或1=n ,若0=n , 则有0)0()(0===a f n f ,故有2|0a 矛盾.若1=n ,则有0)1()(0===∑=k i i a f n f , 故2|∑=ki k a 0, 矛盾.故假设不成立,即)(x f 无整数根. 例2.8 (Euler 定理)设n 是大于1的整数,1),(=n a , 则)(mod 1)(n a x ≡ϕ.证明因为1),(=n a ,))/((n Z U a ∈,但单位群))/((n Z U 的阶为)(n ϕ,所以1)(=n a ϕ,即1)(=n a ϕ, 所以)(mod 1)(n a n ≡ϕ).例2.9 (Fermat 小定理)若p 是素数,则)(mod p a a p ≡.证明若1),(=p a ,由Euler 定理及1)(-=p p ϕ得)(mod 11p a p ≡-,所以)(m o d p a a p =,若0),(≠p a ,则a p |,故)(mod p a a p ≡.下面从代数的角度来观察完全及简化剩余性质例2.10设110,,,,1),(-=n a a a n a 为模n 的完全剩余系, 则110,,,-n aa aa aa 也是模n 的完全剩余系.证明由题设知)/(},,,{110n Z a a a n =- ,由1),(=n a 知a 可逆,故有)/(},,,{110n Z aa aa aa n =- , 所以110,,,-n aa aa aa 也是模n 的完全剩余系.例 2.11 设1)(10,,,,1),(-=n a a a n a ϕ 为模n 的简化剩余系, 则1)(10,,,-n aa aa aa ϕ 也是模n 的简化剩余系.证明由题设知))/((},,,{1)(10n Z U a a a n =-ϕ ,由1),(=n a ,知a 可逆,故))/((},,,{1)(10n Z U aa aa aa n =-ϕ , 所以1)(10,,,-n aa aa aa ϕ 是模n 的简化剩余系.参考文献[1] 杨子胥.近世代数[M].北京:高等教育出版社,2003,175-200.[2] 吴品三.近世代数[M].北京:人民教育出版社,1979,143-153.[3] 张禾瑞.近世代数基础[M].北京:人民教育出版社,1978,157-163.[4] 单桂华,张琴,叶涛.模n 的剩余类><n Z /的几点应用[ J ].湖南大学学报(自然科学版), 1999,10(1):23-24.[5] 杨树生.模n 的剩余类加群>+<,n z 及模n 剩余类环>+<,.,n Z 的若干性质[ J ].河套大学学报,2004,17(1):72-74.[6] 李伯葓.模n 的剩余类环的子环[ J ].南京师大学报(自然科学版),1992,(3):61-62.[7] 唐再良.论模n 剩余类环n Z 的性质与扩张[ J ].绵阳师范学院学报,2008,27(8):125-127.[8] 潘庆年.剩余类环及若干数论问题[ J ].阜阳师范学院学报(自然科学版),1999,16(1):51-52.致谢论文完成之际，谨向所有曾给予我帮助和指导的老师、同学和朋友们致以衷心的感谢！首先，我要感谢唐老师,从选题到开题报告,从写作提纲到一遍又一遍地指出每稿中的具体问题，严格把关，循循善诱,在此我表示衷心感谢.感谢在天水师范学院学习的这四年来，给我授课的各位老师,是你们用渊博的知识教育了我,正是你们的教育,数学与统计学院2013届毕业论文我才能顺利完成这篇文章.在此,让我向你们表示深深的谢意.借此机会,我也向一直默默支持和关心我的父母和好友们表示感谢,祝他们身体健康.17。

同余与模运算是数学中一种重要的概念，并且在许多不同的领域得到了广泛的应用。

同余关系是指当两个数除以某个正整数得到的余数相等时，它们就具有同余关系。

模运算是指在同余关系下对数进行运算的操作。

同余与模运算的应用可以追溯到古代。

中国古代的算盘就是一种利用同余关系和模运算的计算工具。

算盘上的珠子可以被分为两组，每组五个。

当珠子在同一组内发生变化时，可以通过观察两组珠子的总数和余数的变化来进行计算。

这就是利用同余与模运算的基本原理。

算盘的使用在古代非常普遍，因为它能够快速、准确地进行大量的计算。

同余与模运算也在密码学中得到了广泛的应用。

在现代密码学中，同余与模运算被称为“模指数运算”，它是一种非常重要的密码学工具。

模指数运算的基本思想是利用同余关系进行加密和解密操作。

具体地说，给定一个明文m和加密密钥e，加密操作可以通过计算m的e次方模n得到密文c。

解密操作可以通过计算c的d次方模n得到明文m。

在这个过程中，由于计算m的e次方和c 的d次方模n得到的结果是相同的，所以可以确保密文只能被持有密钥的人解密。

同余与模运算还在算法设计和数据结构中广泛应用。

许多算法的设计和效率分析都依赖于同余与模运算的性质。

例如，在快速排序算法中，通过选择一个枢纽元素将数组划分为两个部分，然后对每个部分继续进行快速排序。

这个枢纽元素的选择可以通过利用同余与模运算的性质来提高排序的效率。

另一个例子是哈希函数的设计。

哈希函数是将一段输入数据映射为一个固定长度的输出。

同余与模运算可以用于对哈希函数进行设计和优化，提高哈希表的性能。

除此之外，同余与模运算在数论、代数学、图论等许多领域都有广泛的应用。

例如，在数论中，同余关系可以用于证明数学定理；在代数学中，同余关系可以用于解决方程和构造数学模型；在图论中，同余与模运算可以用于解决路径问题和连通性问题。

总之，同余与模运算是数学中一种重要的概念，并且在许多不同的领域得到了广泛的应用。

无论是古代的算盘计算，还是现代的密码学和算法设计，都离不开同余与模运算的支持。

数学公式知识：同余与模运算的定义、性质及其应用同余与模运算是数学中一个重要的概念，它们在整数与群论、代数数论、数论几何等不同数学分支中都有着广泛的应用。

本文将着重介绍同余与模运算的定义、性质以及其在数学中的应用。

一、同余和模运算的定义1、同余定义同余是数学中一个非常基本的概念，它是指模相同的两个整数之间的差值是模的整数倍。

换句话说，若整数a与b满足a – b能够被整数n整除，那么就称a和b在模n意义下同余，记为a ≡ b (mod n)。

例如，对于n = 5，可以得到以下同余关系：3 ≡ 13 (mod 5)14 ≡ -1 (mod 5)25 ≡ 0 (mod 5)同余运算具有传递性、反对称性以及自反性，即若a ≡ b (mod n)，b ≡ c (mod n)，则有a ≡ c (mod n)；若a ≡ b (mod n)，则不成立b ≡ a (mod n)；对于任意整数a，有a ≡ a (mod n)。

2、模运算定义模运算可以看做是一种求余数的运算，它的操作是将一个整数除以另一个整数，然后取余数。

例如，对于a和b两个整数，并设n是一个正整数，则a对n取模为r，可以写成a mod n = r。

这里，r表示整数a除以n所得到的余数，称为模n意义下的a的余数。

二、同余与模运算的性质1、同余的基本性质同余运算具有可加性、可乘性和可减性，即若a₁ ≡ b₁ (mod n)，a₂ ≡ b₂ (mod n)，则有a₁ + a₂ ≡ b₁ + b₂ (mod n)a₁ × a₂ ≡ b₁ × b₂ (mod n)a₁– a₂ ≡ b₁ - b₂ (mod n)2、模运算的基本性质模运算具有基本的反转性和线性性质，即若a₁ mod n = r₁，a₂mod n = r₂，则有a₁ + a₂ mod n ≡ (r₁ + r₂) mod na₁ × a₂ mod n ≡ (r₁ × r₂) mod n3、Euler定理性质Euler定理是基于费马小定理而得到的一个命题。

代数结构中的模与同态代数结构是数学中研究代数运算和代数对象的一个分支，其中模和同态是代数结构中重要的概念。

在本文中，我们将探讨模和同态的定义、性质以及它们在代数结构中的应用。

一、模的定义与性质在代数结构中，模是指具有一种代数运算的集合。

一个模通常由两个主要部分组成：一个定义了加法运算的交换群和一个定义了乘法运算的环。

具体而言，一个模M是一个交换群，对于任意的m、n∈M，满足以下性质：1. 加法运算的封闭性：对于任意的m、n∈M，m+n∈M。

2. 加法运算的结合律：对于任意的m、n、k∈M，(m+n)+k=m+(n+k)。

3. 加法运算的交换律：对于任意的m、n∈M，m+n=n+m。

4. 存在加法单位元：存在一个元素0∈M，使得对于任意的m∈M，m+0=m。

5. 存在加法逆元：对于任意的m∈M，存在一个元素-n∈M，使得m+(-n)=0。

6. 乘法运算的封闭性：对于任意的a∈A、m∈M，am∈M。

7. 乘法运算与加法运算的结合性：对于任意的a、b∈A、m∈M，(ab)m=a(bm)。

8. 乘法运算关于1的单位元：对于任意的m∈M，1m=m。

模在代数结构中有广泛的应用，例如线性代数中的向量空间就是一个模，其中加法是向量加法，乘法是标量与向量的乘法。

通过研究模的性质，我们可以深入理解代数结构中的运算规律和性质。

二、同态的定义与性质同态是代数结构中一个重要的概念，用于描述集合之间的映射关系。

设有两个代数结构M和N，若存在一个映射f:M→N，满足以下性质：1. 结构保持性：对于任意的m1、m2∈M，有f(m1+m2)=f(m1)+f(m2)。

2. 封闭性：对于任意的m∈M，有f(am)=af(m)，其中a为M中的标量。

则称映射f为从M到N的同态。

同态可以理解为保持代数结构运算的映射，它在保持运算规律和性质方面起着重要的作用。

同态的定义和性质使得我们可以在代数结构之间建立起映射关系，并通过这种映射关系进行结构之间的研究。

关于模n剩余类的一点思考通过对模n剩余类的一点思考，总结出模n剩余类环的子环和理想的规律：所有理想为主理想，可以由n的所有因子作为生成元生成，且这些主理想的个数为n的欧拉数。

使我们得以迅速求解其子环和理想。

模n剩余类是近世代数里研究比较透彻的一种代数结构。

一，定义：在一个集合A里，固定n（n可以是任何形式），规定A元间的一个关系R，aRb，当而且只当n|a-b的时候这里，符号n|a-b表示n能整除a-b。

这显然是一个等价关系。

这个等价关系普通叫做模n的同余关系，并且用≡a b(n)来表示（读成a同余b模n）。

这个等价关系决定了A的一个分类。

这样得来的类叫做模n的剩余类。

二，我们规定A的一个代数运算，叫做加法，并用普通表示加法的符号来表示。

我们用[a]来表示a所在的剩余类。

规定：[a]+[b]=[a+b];[0]+[a]=[a];[-a]+[a]=[0];根据群的定义我们知道，对于这个加法来说，A作成一个群。

叫做模n剩余类加群。

这样得到的剩余类加群是循环群，并且[1]是其生成元，[0]是其单位元。

三，我们再规定A的另一个代数运算，叫做乘法，并且规定：[a][b]=[ab]；根据环的定义我们知道，对于加法和乘法来说，A作成一个环。

叫做模n剩余类环。

四，关于理想的定义：A环A的一个非空子集叫做一个理想子环，简称为理想，假如：A(i) a,b∈A⇒a-b∈；A∈A；(ii)a∈,b∈A⇒ba,abA所以如果一个模n剩余类环A的子环要作为一个理想，需要满足：A⇒∈A；(i) [a],[b]∈[a-b](ii)[a]∈A,[b]∈A⇒[ba],[ab]∈A；由以上四点可得到对一个模n剩余类环，求其所有子环和理想的一个方法。

思路：第一，模n剩余类环对加法构成加群，根据群的定义，找出所有子群；第三，对所有子群，根据环的定义，对乘法封闭，从所有子群里找出所有环；第四，对所有子环，根据理想的定义，找出所有理想。

例题:找出模12的剩余类环的所有理想。

- 91 -第18卷第1期 呼伦贝尔学院学报 No.1 V ol.18 2010年02月 Journal of Hulunbeier College Published in February.2010代数中的同余关系以及同构在代数中的应用吴双全1 刘 霞2( 1、呼伦贝尔学院教务处 内蒙古 海拉尔 021008 2、陈巴尔虎旗二小 内蒙古 陈巴尔虎 021500 )摘 要:同余关系以及同构在每一个代数分支的研究中都占据着重要的地位。

本文叙述了泛代数中的同余关系、半群的同余关系以及同构在向量空间、群上的一些应用。

关键词: 同余关系； 半群； 同构中图分类号：O156.1 文献标识：A 文章编号：1009-4601（2010）01-0091-02一、泛代数中的同余关系设A 是一个Ω-代数,Ω-是有限算子集,A×A 为A 的二重积Ω-代数，A×A 的一个非空子集Φ如果满足：(1)Φ是A 上的一个等价关系； (2)Φ是A×A 的子Ω-代数；则称Φ为Ω-代数A 上的一个同余关系，并可按自然方式得到商Ω-代数A=A/Φ二、半群的同余关系设A 是一个半群，Φ是A×A 的非空子集，且Φ是A 上的等价关系，如果对任意的11(,)x y ，22(,)x y ∈Φ，有1122(,)x y x y ∈Φ，则称Φ为A 上的同余关系，并可得到商半群A =A/Φ例1 设f 是半群A 到半群B 的同态，Φ={(x ，y)|x ，y ∈A ，f(x)=f(y)}，则Φ是A 上的同余关系，且A=A/Φ≌f(A)例2 设A 是可换幺半群，S 是A 的子半群，令Φ={(,)x y |,x y ∈A ，1s ，2s ∈S ，使12xs ys =}，则Φ为A 上的同余关系.设A 是一个半群，S 是A 的一个非空子集，若对任意的s ∈S 和a ∈A ，有sa ，as ∈ S ，则称S 是A 的理想，记为S A.例3 设A 是一个半群，S A ，令Φs={(a ，b)|a ，b ∈S ，或a ，b ∈A ，a=b}，则Φs 为A 上的同余关系，且A=A/Φs={s ，{x}|x ∈A\S}.由例2、例3易知命题1 设A 是一个半群，Φ(A)={Φ|Φ是A 上的同关系}，S(A)={S|S 是A 的理想}，则|S(A)|≤|Φ(A)|.若半群A 上的一个等价关系Φ满足：对任意a ∈A ，(x ，y)∈Φ，有(ax ，ay)∈Φ，则称Φ为A 上的一个左同余关系。

同余与模运算的性质与应用在数学中，同余是一个重要的概念，它与模运算密切相关。

同余关系是指对于两个整数a 和b，若它们除以某个整数m 所得的余数相等，则称 a 与 b 同余，记作a ≡ b (mod m)。

同余关系具有以下性质和应用，下面将逐一进行探讨。

一、性质：1. 反身性：对于任意整数 a，有a ≡ a (mod m)。

2. 对称性：如果a ≡ b (mod m)，则b ≡ a (mod m)。

3. 传递性：如果a ≡ b (mod m) 且b ≡ c (mod m)，则 a ≡ c (mod m)。

4. 同余定理：如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，则a±c ≡ b±d (mod m)，ab ≡ cd (mod m)。

其中 ±表示加法或减法。

二、应用：1. 模重复性：对于一个模 m，同余式的结果具有周期性的特点。

例如，对于任意整数 a，a+2m ≡ a (mod m)，即 a 与 a+2m 同余。

这种周期性的特点在计算中具有很大的应用价值。

2. 素数判定：同余关系可以用于判定一个数是否为素数。

根据费马小定理，对于任意素数 p 和不为 p 的整数 a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

因此，如果对于某个 a，a^(p-1) ≢ 1 (mod p)，则 p 一定不是素数。

这为素数的判定提供了一种有效的方法。

3. 数据加密与安全：同余关系在数据加密和安全领域有广泛应用。

其中最典型的例子就是 RSA 加密算法。

RSA 算法基于大数的分解困难性问题，通过同余关系实现了数据的加密和解密过程。

4. 数字校验：同余关系可以用于数字校验，例如校验码的生成和校验等。

通过对数据进行同余计算，可以检测数据在传输或存储过程中是否发生错误。

5. 互模运算：互模运算是同余关系的另一种扩展形式。

对于给定的两组模数 m1 和 m2，如果两个整数 a 和 b 满足a ≡ b (mod m1) 且a ≡ b (mod m2)，则称 a 与 b 互模同余。

近世代数论文、上半学期学习总结第一章基本概念1、集合的幕集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为p（A）或2\ （含n个元素的集合的子集有2•个，即無集中的元素共有2,个）2、积（笛卡尔积）：AXB={ （a, b）|aEA, b€B}叫 A 与 B 的积。

（A XBHBXA）3、A到B的对应法则0为A到B的映射u>①VxWA, x有象②Vxe A, x的象唯一@Vxe A, X的象在B中。

4、若A是含n个元素的集合，则A的映射共有n"个，一一映射共有n!个。

5、代数运算：一个AXB到D的映射叫做一个AXB到D的代数运算。

（。

为AXB到D的代数运算oV（a, b）WAXB, anb有意义，且aob唯一，属于D）。

6、满射：VyG A,设y二0 （x）,求出x （x为y的函数），若x存在且xGA,则0为满射。

（4中的每一个元素都有原象）：单射：Va, beA,若aHb,则0 （a） H0 （b）。

（元素不同象不同）：一一映射：即单•乂满。

（一一映射都有逆映射，若A与B间是一一映射，则A、B有限且元素个数相同）7、一个A到A的映射叫做A的一个变换:有限集A的一个一一变换，叫做A的一个置换。

& 一个A到才的映射叫做一个对于代数运算。

申"来说的，A到才的同态映射，假如满足：Va, b€A, a-> a* b~*b则aob~*aob （运算的象二象的运算）；A与力同态u>A与4存在同态满射0°9、一个A到力的一一映射0，叫做一个对于代数运算。

和0来说的，A到4的同构映射。

（同构映射的逆映射也是同构映射）。

10、若R为法则，若R满足Va, bEA,要么aRb,要么龍乩唯一确定，则称R为A的元间的一个关系；集合A的元间的一个关系~叫做一个等1价关系，假如满足①反射律（VaGA,有a〜a）②对称律③推移律11、A的一个分类即为A的一些子集41、金、…令满足：① A】U 金U ...U A n =A. ®A t r\Aj-（b（iH j ）（不相交）。