近世代数的应用(论文)

近世代数及其应用近世代数是一门研究几何形状及其变化的数学分支。

它主要关注形状如何在空间中进行旋转、平移和缩放等变化，以及这些变化如何可以通过线性变换来表示。

近世代数的研究内容包括几何变换、向量空间、矩阵、行列式、特征值和特征向量等。

近世代数在计算机图形学、机器人学、几何建模和计算机视觉等领域有广泛的应用。

在计算机图形学中，近世代数用于表示三维几何图形的旋转、平移和缩放等变换。

在机器人学中，近世代数用于表示机器人的运动轨迹和姿态。

在几何建模中，近世代数用于建立三维几何模型，并进行几何变换。

在计算机视觉中，近世代数用于表示图像的旋转、平移和缩放等变换。

1.计算机图形学在计算机图形学中，近世代数用于表示三维几何图形的旋转、平移和缩放等变换。

例如，在游戏开发中，近世代数可用于控制三维模型的运动和姿态，以生成真实感十足的动画效果。

在三维建模软件中，近世代数也可用于控制三维几何图形的变换，方便用户进行几何建模和设计。

2.3.机器人学在机器人学中，近世代数用于表示机器人的运动轨迹和姿态。

例如，在机器人抓取物体时，近世代数可用于控制机器人的末端机械臂的运动轨迹，使其能够精确地抓取目标物体。

在机器人导航时，近世代数也可用于表示机器人的位置和方向，方便机器人进行自主导航。

3.几何建模在几何建模中，近世代数用于建立三维几何模型，并进行几何变换。

例如，在机械设计中，近世代数可用于建立三维机械零件模型，并对其进行旋转、平移和缩放等变换，以方便设计师进行零件布局和装配规划计算机视觉4.在计算机视觉中，近世代数用于表示图像的旋转、平移和缩放等变换。

例如，在图像识别中，近世代数可用于对图像进行旋转、平移和缩放等变换，以提高图像识别的准确率。

在视频监控中，近世代数也可用于检测图像中的运动目标，并对其进行跟踪。

5.地理信息系统在地理信息系统中，近世代数用于表示地理数据的旋转、平移和缩放等变换。

例如，在地图制作中，近世代数可用于控制地图投影的旋转、平移和缩放，以生成适合不同使用场景的地图。

近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究摘要我们对集合并不陌⽣，我们所熟知的集合实际上是朴素集合.那么我们为什么要讨论集合的划分呢?因为它在商群、商环、商域等其他⽅⾯中有着极其重要的应⽤.我们要研究集合的划分就必须研究等价关系，因为它们是互相决定的。

因此我们先从等价关系开始说起，之后再来探讨集合的划分，然后观察集合的划分在各⽅⾯的应⽤.第⼀章等价关系与等价类定义1.1：设S 是⼀个⾮空集合，R 是关于S 的元素的⼀个条件.如果对S 中任意⼀个有序元素对（a ，b ），我们总能确定a 与b 是否满⾜条件R ，就称R 是S 的⼀个关系（relation ）.如果a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 有关系R ，记做aRb ;否则称a 与b ⽆关系R.关系R 也成为⼆元关系.定义1.2：设~是集合A 上的⼀个⼆元关系，若满⾜下列性质：（1）⾃反性：?a ∈A ,a~a;（2）对称性：?a,b ∈A,a~b,则b~a;（3）传递性：?a,b,c ∈A,a~b,b~c,则a~c.则称~A 上的⼀个等价关系.当a~b 时，称a 与b 等价.定义1.3：设⼀个集合A 分成若⼲个⾮空⼦集，使得A 中每⼀个元素属于且只属于⼀个⼦集，则这些⼦集的全体成为A 的⼀个分类。

每个⼦集称为⼀个类.类⾥任何⼀个元素称为这个类的⼀个代表.由定义可知，A 的⾮空⼦集族S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类当且仅当其满⾜下列性质：（1） Ii iA ∈=A; （2）当j i ≠时，=j i A A ?，即不同的类互不相交.定理1.1 设S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类，规定~为： a~b ?a 与b 同属于同⼀个类，则~是A 上的⼀个等价关系.证明：⾸先由分类的定义，~是A 的⼀个关系.⽽且，显然?a ∈A ，a~a ；⼜?a ，b ∈A ，若a~b ，则a 与b 属于同⼀个类，从⽽b~a ；?a ，b ，c ∈A ，若a~b ，b~c ，则a 与b 属于同⼀个类，b 与c 属于同⼀个类，于是a 与c 属于同⼀个类，从⽽a~c.因此~是A 上的⼀个等价关系.定理1.2 设~是A 上的⼀个等价关系，对于a ∈A ，令[a]={x|x ∈A,x~a},则A 的⼦集族是A 的⼀个分类.证明（1）?a ∈A ，因为,a~a ，所以a ∈[a]，从⽽[a]是⼀个⾮空⼦集，并且[]=∈ A a a A.（2）若[a] [b]≠?,则?c ∈[a] [b]，于是c~a ，c~b ，从⽽a~b.x ∈[a],有x~a ，于是x~b ，所以x ∈[b]，即[a]?[b].同理[b]?[a].这⾥就得到[a]=[b].所以不同的等价类互不相交.该定理中所构成的⼦集[a]称为A 的⼀个包含a 的~等价类.定义4：设~是A 上的⼀个等价关系，由A 的全体不同~等价类所组成的集合族称为A 关于~的商集，记作A/~.第⼆章商群我们研究商群必须要知道：它是由什么样的等价关系确定的什么样的等价类，然后由这些等价类构成的集合再定义⼀种什么样的运算才是商群，最后为了把⼀些较为复杂的群转化较为简单的群，再给出群的同态基本定理.⼀、什么样的等价关系我们知道由⼀个正整数m ，确定了整数间的⼀个等价关系m R ，即a m Rb ?m|a —b ，?a ，b ∈Z .其中Z 是⼀个由1⽣成的循环加群，（m ）是Z 的⼀个⼦加群，且从⽽m R 也可以认为是由Z 的⼀个⼦群（m ）所确定的.现在将这个思想推⼴到⼀般的群中，设H 是群G 的⼀个⼦群，在G 中定义⼀个关系R ：G b a H ab H a b aRb 1-1-∈?∈∈?，，且容易验证R 是⼀个等价关系.利⽤这个等价关系可以决定群G 的⼀个分类.⼆、什么样的等价类定义2.1 设H ≤G ，由等价关系R 所决定的类称为H 的陪集.定理2.1 设H ≤G ，则包含元素a 的陪集等于Ha aH 或.证明将包含元素a 的陪集记作[a].?b ∈[a]，有bRa ，即H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即b=a 1h =∈a h 2Ha aH =，所以有[a]aH ?=Ha .反之，?b ∈Ha aH =，?21h h ，∈H ，使b=a h ah 21=，于是H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即bRa ，从⽽b ∈[a]，所以有aH ]a [].a [Ha aH =?=因此.三、商群定理2.2 设G 是群，N G ，令G/N={aN |a ∈G},规定： ,/G bN aN N ab bN aN N ∈?=，，）（则（G/N,?）是⼀个群.证明⾸先证明?是G/N 的代数运算，即G/N 到G/N 的映射，也就是要证与代表元的选取⽆关.设aN N a 1=，，bN N b 1=则N n a a 111-∈=，.N n b b 21-1∈=因为N G ，所以11111使3111n b b n =，这样N n n n b b b n b b a a b b a ab 3231-111-111-11-111-∈====）（）（）（）（）（，从⽽（ab ）N=（11b a ）N ，所以?是G/N 的代数运算，⼜?,/G cN bN aN N ∈，，有=====N bc aN ]bc [a N ]c )ab [(cN N ab cN bN aN ）（）（）（）（），（cN bN aN ??从⽽?满⾜结合律，且,/G aN eN aN aN eN N ∈??=?，从⽽N=eN 是G/N 的单位元.?,/G aN N ∈存在,/G N a 1-N ∈使，eN aN N a N a aN -11-=?=?从⽽.aN N a 1-的逆元是因此G/N 是⼀个群. 该定理中够作的群G/N 称为G 关于N 的商群.四、有限阶群的阶和⼦群阶的关系定理2.3（Lagrange （拉格朗⽇））设G 是有限群，H 是G 的⼦群，则|G|=[G ：H]|H|证明因为G 是有限群，所以[G ：H]有限，设为k ，则G=U U H a H a 21…H a k U .⼜因为在H 和H a i 之间存在⼀个双射，所以|H a i |=|H|，因此|G|=H a 1+…+H a k =k|H|=[G ：H]|H|. 五、群的同态基本定理定理2.4（同态基本定理）设f 是群G 到G ’的同态，则（1）Kerf G ；（2）G/ Kerf ?Imf.证明（1）因为e ∈ Kerf ，所以Kerf ≠?.⼜?a ，b ∈ Kerf ，x ∈G ，即f （a ）=f （b ）=e '，则f （a 1b -）= f （a ）1b f -）（= e '1e -= e ',f(xa -1x )=f(x)f(a)1x f -）（= f(x) e '1x f -）（=e '，从⽽a 1b -，xa -1x ∈ Kerf ，因此Kerf G.（2）在G/ Kerf 到Imf 间规定⼀个法则：Φ：aKerf f （a ）.a) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有aKerf=bKerf ?1a -∈Kerf ?f(1a -b)= e '1a f -）（f （b ）= e ' ? f （a ）=f （b ），从⽽Φ是⼀个G/ Kerf 到Imf 的映射.b ）?a ' ∈ Imf ，?a ∈G ，使 f （a ）= a '，于是Φ（aKerf ）= f （a ）=a '，从⽽Φ是满射.c) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有Φ( aKerf)= Φ( bKerf) ? f （a ）=f （b ）?1a f -）（ f （b ）=e ' ?f(1a -b)=e ' ? 1a -b ∈Kerf ? aKerf=bKerf ，从⽽Φ是单射.d) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有Φ( aKerf ?bKerf) =Φ( abKerf)=f(ab)= f （a ）f （b ）=Φ( aKerf)? Φ( aKerf)? Φ(bKerf)，从⽽Φ保持运算.因此Φ是同构.于是G/ Kerf ?Imf.第三章商环我们研究商环的思路是：在商加群的基础上再定义⼀种乘法运算，使得该种运算在某⼀⼦环下构成代数运算进⽽对该种运算构成半群且慢⾜：乘法运算对加法运算符合左分配律和右分配律，在学习过程中我们发现理想是可以在我们定义的乘法运算下满⾜上⾯条件的⼦环，因此我们先研究什么是理想，从⽽给出商环的定义，最后得出环的同态基本定理.⼀、理想定义3.1 设（R ，+，?）是⼀个环，（A ，+）是（R ，+）的⼀个⼦加群，（1）若?r ∈R ，a ∈A 有ra ∈A ，则称A 是R 的左理想；（2）若?r ∈R ，a ∈A 有ar ∈A ，则称A 是R 的右理想；（3）若A 既是R 的左理想，⼜是R 的右理想，则称A 是R 的⽴、理想，记作A R ．（4）若A R ，且A ≠R ，则称A 是R 的真理想.由定义可知理想⼀定是⼦环.⼆、商环定义3.2 设R 是环，A R ，在商群（R ，+）/(A ，+)={[x]|x ∈R}={x+A| x ∈R }中再规定：[x]?[y]=[xy]，? [x] ，[y] ∈R/A ，则（R/A ，+，?）是⼀个环（R/A 称为R 关于A 的商环或剩余类环，[x]=x+A 称为R 模A 的剩余类）.证明⾸先证明上⾯规定的乘法运算是代数运算，即与代表元的选取⽆关.设[x]=[1x ]，[y]=[1y ]，则x-1x ∈A ，y-1y ∈A.因为A 是R 的理想，所以xy-1x 1y =（x-1x ）y+1x （y-1y ）∈A ，从⽽[xy]= [1x 1y ].其次? [x]，[y] ，[z] ∈ R/A ，有（[x]?[y]）? [z]= [xy] ? [z]=[( xy)z]= [ x(yz)]= [x] ? [yz]= ([y] ? [z])，从⽽?满⾜结合律.且[x] ?（[y] +[z]）= [x] ?（[y] +[z]）=[x(y+z)]=[xy+xz]=[xy]+[xz]= [x]?[y]+ [x] ? [z] 从⽽?对+满⾜左右分配律.同理可证，?对+也满⾜右分配律.因此R/A 是⼀个环.三、环的同态基本定理定理3.1（同态基本定理）设f 是环R 到环R ’的同态，则（1） Kerf R ；（2） R/Kerf ?Imf.证明（1）Kerf 是(R ，+)的⼦加群，⼜a ?∈Kerf ，r ∈ R ，有f （ra ）=f （r ）f （a ）=f （r ）0'=0'， f （ar ）=f （a ）f （r ）=0’f(r)=0'，从⽽ra ，ar ∈Kerf R.（2）因为在R/Kerf 到Imf 间存在⼀个双射： ?：a+Kerf f （a ），且保持加法运算。

近世代数中的域论研究近世代数是数学领域中的一个重要分支，它研究了一些基本的代数结构，其中域论就是其中之一。

域论主要研究域及其上的运算和性质，探讨了域的结构以及其在不同数学领域中的应用。

本文将从域的定义、性质和进一步的研究方向等方面展开叙述。

一、域的定义和性质1.1 域的定义在近世代数中，域是一种满足特定条件的代数结构。

具体地说，域是一个非空集合F，其中定义了两种运算：加法和乘法。

满足以下条件：1）F对于加法构成一个可交换群。

也就是说，对于任意的a、b和c∈F，满足结合律、交换律、存在零元素和相反元素等性质。

2）F中除去加法的单位元素0以外的所有元素对于乘法构成一个可交换群。

也就是说，对于任意的a、b和c∈F，满足结合律、交换律、存在单位元素和乘法逆元素等性质。

3）加法和乘法之间满足分配律。

即，对于任意的a、b和c∈F，有a(b+c)=ab+ac。

根据以上定义，可以得出整数集、有理数集和实数集等都是域的例子。

1.2 域的性质域具有许多重要的性质，下面列举一些常见性质：1）域中的加法和乘法都是可交换的，即对于任意的a和b∈F，有a+b=b+a和ab=ba。

2）域中的乘法满足消去律，即对于任意的a、b和c∈F，如果ab=ac且a≠0，则b=c。

3）域中的零元素和单位元素是唯一的，分别记作0和1。

4）域中的每个非零元素都有乘法逆元素，即对于每个a∈F，存在一个b∈F，使得ab=1。

5）域中的加法和乘法都满足分配律。

上述性质使得域成为一种非常有用的数学结构，它在代数、几何、密码学等领域都有广泛的应用。

二、域的进一步研究除了基本定义和性质之外，域论还涉及一些更深入的研究方向。

下面简要介绍其中的两个重要方向：域的扩张和代数闭包。

2.1 域的扩张域的扩张是指从一个给定的域F出发，构造一个包含F的更大的域K的过程。

具体地说，对于给定的域F，如果存在一个域K，并且F是K的子域，那么称K为F的扩张域。

扩张域的构造方法可以是代数扩张或者超越扩张。

第38卷第4期西南师范大学学报(自然科学版)2013年4月V o l.38N o.4J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)A p r.2013文章编号:10005471(2013)04014804G A P 在近世代数教学中的应用①刘建军西南大学数学与统计学院,重庆400715摘要:针对近世代数课程内容比较抽象的特点,以及当前近世代数教学中过多注重理论体系的完整性,忽视学生作为主体地位的现状,介绍了适合近世代数教学的软件G A P及其在教学中的具体运用.通过G A P的使用,可以变革近世代数内容的呈现方式,使得证明清晰化,计算简单化,以及结论直观化,从而使近世代数学习变得更生动㊁更形象㊁更具体,以促进近世代数教学质量的提高.关键词:近世代数;教学;数学软件中图分类号:G420文献标志码:A近世代数(又名抽象代数)是以研究代数系统的性质与构造为中心的一门学科,是现代数学的重要基础,对培养学生严谨的思维方法和数学素养,提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力都具有重要意义.本文试图利用数学软件G A P来辅助近世代数的教学,变革教学内容的呈现方式,使其变得形象直观,达到激发学生的学习兴趣,提高逻辑思维能力,开阔视野的目的.1国内近世代数课程的教学现状近世代数的研究对象是群㊁环㊁域等带有运算的集合,它把集合中运算的共同点抽象出来作为不同的代数结构进行研究,因此近世代数具有高度的抽象性和严密的逻辑性,许多初学者感到这门课程生涩难懂,不具体直观.在我国,一般的近世代数教学都是教师按照教学大纲的要求,对定义㊁引理㊁定理等在课堂上给学生进行理论上的推导和计算,直到学生们理解并记忆下来为止.这种以教师讲授为主的教学方式在传授系统知识时具有比较好的效果,但过多偏重理论体系的完整性,过多强调证明和推理,忽视了学生作为主体的地位,不利于培养学生主动获取知识的能力,使学生缺乏创新能力.因此,学生很难具备用近世代数的基本思想和理论来处理或解决具体问题的能力,从而直接影响了后继课程学习的热情[1-4].随着计算机技术的迅速发展,利用计算机软件(如M a t l a b,M a t h e m a t i c a,M a p l e等)来辅助各门课程的教学已经非常普遍(参见文献[5-9]).然而,这些软件很少被应用到近世代数的教学中.究其原因主要是这门课程研究的对象较抽象,在一般的软件上难以实现.2G A P介绍G A P(G r o u p s,A l g o r i t h m s a n dP r o g r a mm i n g)和M a g m a的出现可以说是一场革命,它们实现了抽象对象的计算机化.由于M a g m a的使用需要收取一定的费用,不是很普及,所以我们这里只介绍可以从其官方网站免费下载的G A P.G A P于1986年由德国RWT H A a c h e n大学的研究团队开发,它是计算离散代数领域内的一个优秀系统,主要专注于计算群论的计算.G A P提供了上千个由G A P语言写成的用于算法①收稿日期:20111001Copyright©博看网. All Rights Reserved.基金项目:中央基本科研业务费(X D J K2012C039);西南大学博士科研启动基金(S WU111052).作者简介:刘建军(1981),男,山西吕梁人,博士,讲师,主要从事有限群论的研究.补充方面的函数库,以及已经计算好的庞大的代数对象数据库.G A P 的软件系统是可扩展的,它支持面向对象的编程,用户可以使用G A P 语言编写需要的程序和建立自己的函数库.G A P 可用于群及其表示㊁环㊁向量空间㊁代数㊁组合结构等的研究.它还有如下的特点:拥有多种数学运算功能,内存自动管理,对一些关键的抽象对象加入了嵌入式数据类型,有灵活的菜单管理和完整的记录保存.国内已有很多学者在群论的研究中用到了G A P (参见文献[10-11]).因此,G A P 比较适合应用于近世代数的教学当中.3 G A P 在近世代数教学中的一些应用我们可以借助G A P 对近世代数的相关内容作较为直观的认识.另外,G A P 给出的结果反过来可以指导我们研究的方向,并能极大地减轻计算负担.下面我们介绍G A P 在近世代数教学中的一些应用.3.1 将繁琐证明清晰化近世代数的很多证明非常繁琐和抽象,可以用G A P 来具体说明,使得某些证明更加清晰和顺理成章.例1 证明凡200阶群都不是单群[1].解析 主要应用S y l o w 第三定理来证明.S y l o w 定理是近世代数教学中的一个难点.学生要理解它的具体用法比较难.课本给出的证明是:判断阶为200的群必然有正规子群.在这个过程中会有阶的分解㊁同余等知识的灵活应用,理解起来有一定的困难,而G A P 的使用可以很好地解决这个问题,降低学生理解的难度.下面我们用G A P 来具体说明.输入程序:g a p >A :=A l l S m a l l G r o u p s (S i z e ,200,I s S i m p l e ,t r u e ); #直接寻找200阶的单群输出:[]这表明不存在这样的群.如果我们想了解更多200阶群的信息,也可以将所有200阶群的结构输出,只需输入命令:g a p >B :=A l l S m a l l G r o u p s (200);L i s t (B ,S t r u c t u r e D e s c r i p t i o n );3.2 将复杂计算简单化几乎所有的数学软件都有非常好的计算功能,G A P 也不例外.在近世代数中出现的某些计算,使用G A P 之后会变得非常简单.3.2.1 共轭类中的G A P 计算由于有限群G 中与它的元素a 共轭的元素个数为|G ʒC G (a )|,因此要计算某个群中元素的共轭类需要计算它的中心化子.当群G 比较大的时候这个计算量将非常的大,但是用G A P 计算就显得非常容易了.例2 计算5次对称群S 5的所有共轭类的代表元及每类所含元素的个数.输入程序:g a p >G :=S y mm e t r i c G r o u p (5); #5次对称群g a p >c l :=C o n j u g a c y C l a s s e s (G );#S 5的共轭类输出:[()ɡG ,(1,2)ɡG ,(1,2)(3,4)ɡG ,(1,2,3)ɡG ,(1,2,3)(4,5)ɡG ,(1,2,3,4)ɡG ,(1,2,3,4,5)ɡG ]g a p >L i s t (c l ,R e p r e s e n t a t i v e );#共轭类代表元输出:[(),(1,2),(1,2)(3,4),(1,2,3),(1,2,3)(4,5),(1,2,3,4),(1,2,3,4,5)]g a p >L i s t (c l ,S i z e );#每个类所含的个数输出:[1,10,15,20,20,30,24]3.2.2 元素相乘及元素统计的G A P 计算例2中的S 5包含有120个元素,若要验证每个元素之间的性质,计算量将比较大.下面的两个例子将更能体现G A P 在计算方面的优势.例3 找一个S 5中的元,与给定的5阶元相乘,得另一个给定的5阶元.输入程序:g a p >G :=S y mm e t r i c G r o u p(5);251西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.g a p >a :=(1,4,3,2,5);b :=(1,2,3)(5,4);g a p >f o r g i nGd o #使用循环语句>i f g *b =a t h e n >P r i n t (g , , );>f i ;>o d ;输出:(1,2,4)(3,5)下面我们介绍如何用G A P 来统计满足某些性质的元素的个数.例4 找某个群的固定阶元并统计个数.输入程序:g a p >G :=G r o u p ((1,2),(1,2,3,4,5,6));g a p >i :=0;A :=[];g a p >f o r a i nGd o >i fO r d e r (a )=2t h e n >A d d (A ,a );>i :=i +1;>f i ;>o d ;g a p >A ;#可以得到群G 的每个2阶元g a p >i ;#群G 的所有2阶元的个数输出:753.3 将抽象结论直观化近世代数中抽象内容多,具体例子少,命题㊁定理多,推理㊁论证各式各样,使得学生较难理解和掌握[12].与抽象的内容相比,学生更易于识记生动㊁形象和有趣的知识和结论.G A P 强大的功能可以做到这一点.例5 4次交错群A 4无6阶子群.解析 在近世代数中这是一个非常基本的结论,常常会在构造反例及基本证明中用到,但是很难让学生有深刻的体会.下面我们用G A P 来具体说明.输入程序:g a p >L o a d P a c k a g e ( s o n a t a );#调用 s o n a t a ,为了使用命令s u b g r o u p s g a p >G :=A l t e r n a t i n g G r o u p (4);#4次交错群g a p >S :=S u b g r o u p s (G );g a p >L i s t (S ,S i z e );#列出所有子群的阶输出:[1,2,2,2,3,3,3,3,4,12]g a p >L i s t (S ,S t r u c t u r e D e s c r i p t i o n );#列出所有子群的结构输出:[ 1 , C 2 , C 2 , C 2 , C 3 , C 3 , C 3 , C 3 , C 2ˑC 2 , A 4 ]其中C 2表示2阶循环群,C 2ˑC 2表示两个2阶循环群的直积.经过软件G A P 的运算之后,4次交错群A 4的所有子群摆在了我们的面前,非常直观.4 小 结从上面的例子可以看到,利用G A P 辅助近世代数教学,可以让抽象的数学理论具体化㊁直观化,复杂的计算简单化.而且这种教学不仅是简单的演示,更大程度上能让学生亲身参与,并培养学生解决实际问题的能力.这在一定程度上实现了从被动接受的学习方式到主动发现和探索的过程,而且能增强数学学习兴趣,提高分析和解决问题的能力,最终达到提高教学质量的目的.351第4期 刘建军:G A P 在近世代数教学中的应用Copyright ©博看网. All Rights Reserved.451西南师范大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.c n第38卷G A P作为一个辅助教学工具应用于近世代数教学中,主要功能在于协助教师教学,辅助学生学习.毫无疑问,G A P不能替代逻辑推理,如果一味追求其形象直观这一优势而不考虑其它因素,势必将会淡化主体,影响学习效果.因此,在实践中,教师需要根据每个章节具体的教学内容㊁教学目标以及学生的认知水平来决定是否有必要使用G A P.参考文献:[1]杨子胥.近世代数[M].北京:高等教育出版社,2003.[2]赵建伟,罗敏霞.关于近世代数教学的探讨[J].运城学院学报,2008,26(5):1-2.[3]吕恒,徐海静.关于近世代数中群论学习的探讨[J].西南师范大学学报:自然科学版,2012,37(2):131-133.[4]夏静波,邹庭荣,张四兰. 近世代数 的教学技巧[J].大学数学,2009,25(1):5-8.[5]王小华.基于M a t h e m a t i c a的高等数学教学实践[J].重庆科技学院学报:自然科学版,2010,12(4):14-16.[6]鲍四元,孙洪泉,陈旭元.M a t h e m a t i c a在振动波问题中的应用[J].物理与工程,2010,20(4):22-26.[7]堵秀凤,张水胜,李晓红.在大学数学中开设数学实验的实践研究[J].大学数学,2009,25(3):21-25.[8]戚景南,黄玉明.MA T L A B软件在构建潜流人工湿地水力学模型中的应用[J].西南大学学报:自然科学版,2008,30(5):145-148.[9]宋海珍,卢成,张鸿军.基于M a p l e的理论力学教学实践[J].实验室研究与探索,2011,30(7):11-14.[10]B E D A I W I SA,L I S h a n g-z h i.A n I n v e s t i g a t i o no nt h eP a r a b o l i cS u b g r o u p o f t h eG e n e r a lL i n e a rG r o u p sb y G A P[J].C h i n e s eQ u a r t e r l y J o u r n a l o fM a t h,2004,19(3):221-231.[11]B E D A I W I SA,李尚志.某些子群的正则结构的研究及其诱导特征标的计算[J].中国科学技术大学学报,2006,36(7):704-711.[12]李桃生.怎样克服近世代数学习中的困难[J].高等函授学报,1995(5):9-16.O nE x p l o r a t i o n i nT e a c h i n g A b s t r a c t A l g e b r a A s s i s t e dw i t hG A PL I UJ i a n-j u nS c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,S o u t h w e s t U n i v e r s i t y,C h o n g q i n g400715,C h i n aA b s t r a c t:I n t h i s p a p e r,G A P,am a t h e m a t i c a l s o f t w a r e,i s i n t r o d u c e d f o r t e a c h i n g o f a b s t r a c t a l g e b r a.B y m e a n so fG A P,t e d i o u s p r o o fw i l l b e c o m e c l e a r,c o m p l e x c a l c u l a t i o n s s i m p l e a n d a b s t r a c t c o n c l u s i o n s i n t u-i t i v e.I t i s g e n e r a l l y b e l i e v e d t h a t t h eu s e o fG A Pw i l l i m p r o v e t h e q u a l i t y o f a b s t r a c t a l g e b r a t e a c h i n g. K e y w o r d s:a b s t r a c t a l g e b r a;t e a c h i n g;m a t h e m a t i c a l s o f t w a r e责任编辑廖坤Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

同构及同态在代数中的应用摘要：在近世代数的主要内容是研究所谓代数系统，即带有运算的集合，而在近世代数中同态与同构又是其一等重要的概念，在近世代数中有重要的作用。

在不同的代数系统中同态成为同构的条件不同，本文给出了同态成为同构的条件，论述了同构在不同代数系统上的一些应用，从中说明了同态与同构的重要性。

关键词：同态；同构；群；环1 代数系统的同态与同构1.1同态映射及同态的定义一个A 到A 的映射φ，叫做一个对于代数运算 和 来说的，A 到A 的同态映射，假如，在φ之下，不管a 和b 是A 的哪两个元，只要a a →，b b →就有 a b a b →定义1：假如对于代数运算 和 来说，就有一个A 到A 的满射的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算 和 来说，A 与A 同态。

定义2: 我们说，一个A 与A 间的一一映射φ是一个对于代数运算 与 来说的，A 与A 间的同构映射（简称同构），假如在φ之下，不管a ，b 是A 的哪两个元，只要a a →，b b →就有 a b a b →1.2同态与同构的联系1）从定义上看2）一个无限集可以与它的子集同态或同构，但一个有限集只能与它的子集同态而不能同构关于代数系统的同态有以下定理：定理1 :假定，对于代数运算 和 来说，A 与A 同态。

那么，（1）若 适合结合律， 也适合结合律；（2）若 适合交换律， 也适合交换律。

定理2:假定，⊗，⊕都是集合A 的代数运算，⊗，⊕都是集合A 的代数运算，并且存在一个A 到A 的满射φ，使得A 与A 对于代数运算⊗，⊗来说同态，对于代数运算⊕，⊕来说也同态。

那么，（1）若⊗，⊕适合第一分配律，⊗，⊕也适合第一分配律；(2)若⊗，⊕适合第二分配律，⊗，⊕也适合第二分配律。

2群的同态与同构2.1群的同态与同构定义定义3： 给定群(),G 和群(),G ⨯称集G 到集G 的一个映射φ：G G →是群G 到群G 的一个同态映射（简称同态），如果对任意a ，b ∈G ，有()()()a b a b φφφ=⨯当φ是单（满）射时，称φ为单（满）同态；当φ是一一映射时，称φ为G 与G 间的同构映射（简称同构，记为G G ≅）； 当φ是群G 到群G 得一个同态时，令ker φ={x G ∈|()x e φ'=，e '是G 的单位元}，称之为φ的核。

近世代数中结合律、交换律及同态的应用作者：吴双权来源：《读书文摘（下半月）》2017年第04期摘要：在近世代数的主要研究对象是所谓代数系统，即带有运算的集合。

近世代数在数学的其他分支和自然科学的许多领域里都有很重要的应用，而在近世代数中，结合律、交换律以及同态是一个重要的概念。

本文探讨了同态和代数运算中结合律的应用以及交换律成立的简便方法。

关键词：结合律；交换律；同态定义：一个[A×B到D]的映射叫做一个[A×B到D]的代数运算。

例题：[A={3}，B={2}，D={对，错}]0：（3.2）→对3[∘]2是一个[A×B到D]的代数运算。

定义：假如[∘]是[A×A到A]的代数运算，我们就说，集合[A]对于代数运算[∘]来说是闭的，也说，[∘]是[A]的代数运算或二元运算。

定义：设[∘]是集合[A]的一个代数运算，如果[∀a，b，c∈A]都有[a∘b∘c=a∘（b∘c）]，则称[∘]满足结合律。

定义：假如对于[A]的n（n≥2）个固定的元[a1，a2，…，an]来说，所有的[π（a1∘a2∘…∘an）]都相等，我们就把由这些步骤可以得到的唯一的结果，用[a1∘a2∘…∘an]来表示。

定理：假如一个集合[A]的代数运算[∘]满足结合律，那么对于[A]的任意n（n≥2）个元[a1，a2，…，an]来说，所有的[π（a1∘a2∘…∘an）]都相等；因此符号[a1∘a2∘…∘an]也就总有意义。

例题：结合律是否成立？思路：考虑[（x∘y）∘z]和[x∘（y∘z）]，共有54个，比较繁琐因为[a∘x=x，x∘a=x]所以[x，y，z]取[a]的话等式成立，只需考虑[x，y，z]取[b，c]情况即可。

定义：一个[A×A到D]的代数运算[∘]适合交换律，如果[∀a，b∈A]都有[a∘b=b∘a]。

定理：设[A]的代数运算[∘]同时满足结合律和交换律，那么[a1∘a2∘…∘an]中的元的次序可以任意掉换。

近世代数的应用班级：2009214101 学号：09212604 序号：28 姓名：蔡忠忠近世代数（又名抽象代数）是现代数学的重要基础，在计算机科学、信息科学、近代物理与近代化学等方面有广泛的应用，是从事现代科学技术人员所必需的数学基础。

抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。

被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。

他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。

伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。

他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。

伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。

最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。

同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。

<<近世代数>>是以研究代数系统的性质与构造为中心的一门学科，是现代科学技术的数学理论基础之一，在计算机科学、信息科学、数字通信（开关电路、编码、密码）、系统工程、近代物理与近代化学等方面有广泛的应用。

（一）近世代数与代数方程求解：我们知道，任何一个一元二次代数方程可用根式表示它的两个解。

对于一元三次和四次代数方程，古人们经过长期的努力也巧妙地做到了这一点。

于是人们自然要问：是否任何次代数方程的根均可用根式表示？许多努力都失败了，但这些努力促使了近世代数的产生，并最终解决了这个问题。

19世纪初，法国青年数学家伽罗瓦（Galois）在研究五次代数方程的解法时提出了著名的伽罗瓦理论，成了近世代数的先驱。