湖南省长沙市长郡中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.命题“数列{}n a 前n 项和是2n S An Bn =+的形式，则数列{}n a 为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0 【答案】C 【解析】考点：四种命题的真假判定． 2.下列说法正确的是（ ）A ．“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件B ．命题“0x R ∃∈，2010x +<”的否定是“2,10x R x ∀∈+>”C ．关于x 的方程()2120x a x a +++-=的两实根异号的充要条件是1a <D ．命题“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”的逆命题为真命题 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，对于A 中，如“23>-”，而“222(3)<-”，所以不正确；对于B 中，命题“0x R ∃∈，2010x +<”的否定是“2,10x R x ∀∈+≥”，所以不正确；对于C 中，关于x 的方程()2120x a x a +++-=的两实根异号，则1220x x a =-<，即2a <，所以不正确， 对于D 中，“在ABC ∆中，由正弦定理可得，若sin sin A B a b A B >⇒>⇒>”是正确的，故选D ． 考点：命题的真假判定．3.某工厂生产A B C 、、三种不同型号的产品，其产品的数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为（ ）A ．100B ．90C ．80D ．60 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，三种型号的产品中，产品的数量之比依次为2:3:5，所以可得162235n =++，解得80n =，故选C ．考点：分层抽样．4.设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为（ ） A ．14-B ．2C ．4D ．12- 【答案】C 【解析】考点：利用导数研究曲线在某点的切线的斜率．5.在Excel 中产生[]0,1区间上均匀随机数的函数为“()rand ”，在用计算机模拟估计函数sin y x =的图像、直线2x π=和x 轴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上部分围成的图形面积时，随机点()11,a b 与该区域内的点(),a b 的坐标变换公式为（ ） A ．11,2a ab b π=+= B ．()()1120.5,20.5a a b b =-=-C ．[]0,,0,12a b π⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦D ．11,2a a b b π== 【答案】D 【解析】试题分析：注意到0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的区间的长度为[]0,1的区间长度的2π倍，所以1a 与a 的关系式为12a a π=，因为10,2a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11sin b a =，所以1b 的取值范围为[]0,1，则1b b =，故选D ．考点：随机数的含义与应用．6.甲、乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲、乙两人的平均数与中位数分别相等，则:x y 为（ ）A ．3:2B ．2:3C ．3:1或5:3D ．3:2或7:5 【答案】D 【解析】考点：茎叶图的应用．7.已知命题*11:,23x xp x N ⎛⎫⎛⎫∀∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；命题*1:x N ,22x x q -∃∈+=，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】C 【解析】试题分析：根据指数函数的图象可知，命题*11:,23x xp x N ⎛⎫⎛⎫∀∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是真命题，又122222x x x x -+=+≥=，当且仅当222xx =，即x =是等号是成立的，所以命题q 为假命题，则q ⌝为真命题，所以()p q ∧⌝为真命题，故选C ． 考点：复合命题的真假判定．8.已知函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x R ∈，都有()23x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()3f 的值是（ ） A ．3 B ．7 C ．9 D ．12 【答案】C 【解析】考点：抽象函数的应用及函数值的求解．9.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线与,A B 两点，若()22,FA FB OA OB OB ==，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D 【答案】C 【解析】试题分析：因为()2OA OB OB =，所以()0OA OB OA -=，所以0OA AB = ,因为2FA FB = ，所以B 为FA 的中点，所以060BOF AOB AOx ∠=∠=∠=，所以0tan 60ba==，所以双曲线的离心率为2e ==，故选C ．考点：双曲线的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质的求解，其中解答中涉及到双曲线的离心率的求解、向量的运算，正切函数的求值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，解答中根据向量的运算，得到060AOx ∠=，即ba=是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．10.已知函数()234201712342017x x x x f x x =+-+-++ 设()()4F x f x =+，且函数()F x 的零点均在区间[](),,,a b a b a b Z <∈内，圆22x y b a +=-的面积的最小值是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 【答案】A 【解析】考点：导数在函数中的应用． 11.关于曲线22:1C xy --+=的下列说法：（1）C 关于直线0x y +=对称；（2）C 是封闭图形，面积大于2π；（3）C 不是封闭图形，与圆222x y +=无公共点；（4）原点到曲线的距离的最小值为4；（5）C 与曲线:D x y += ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：将方程中的,x y 换成,y x --方程不变，所以曲线22:1C x y --+=关于直线0x y +=对称，所以①是正确的；因为曲线22:1C xy --+=不是封闭图形，与坐标轴没有公共点，所以②不正确；曲线22:1C x y --+=与圆222x y +=联立无解，所以没有公共点，所以③是正确的；由曲线上点(,)P x y 到原点的距离为2422222211x x PO x y x x x =+=+=--，可得最小值为2，所以④不正确；由0,0x y >>时，曲线:D x y +=与曲线22:1C xy --+=只有一个公共点，根据对称性可得与曲线:D x y +=B ．考点：曲线与方程．【方法点晴】本题主要考查了曲线与方程问题，其中解答中考查两点间的距离公式，曲线的对称性，两曲线的位置关系的判定，以及曲线的形状等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中紧紧把握曲线221x y --+=的特征，利用曲线的性质是解答的关键，试题抽象性强，思维难度大，属于中档试题．12.已知函数()()3lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的函数()()21y f x bf x =-+有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．172,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．172,4⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】考点：函数的零点的判定及应用．【方法点晴】本题主要考查了函数的零点的判定及应用问题，其中解答中涉及到对数函数的图象与性质、二次函数的图象与性质的应用，试题思维量大，有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用，解答中正确作出分段函数的图象，合理转化为一元二次方程根的分别是解答的关键．第Ⅱ卷（非选择题共52分）二、填空题（本大题共4小题，每题4分，满分16分．）13.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为_____________．【答案】1 6【解析】考点：几何概型及其概率的计算．14.双曲线2213yx-=的右焦点为,F O，为坐标原点，以F为圆心，FO为半径的圆与此双曲线的两条渐近线分别交于点A B、（不同于O点），则AB=_____________．【答案】【解析】试题分析：由题意得，双曲线的右焦点(2,0)F，所以以F为圆心，FO为半径的圆的方程为22 (2)4 x y-+=，其中两条渐近线的方程为y=，联立22(2)4yx y⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得A，同理得(1,B，所以AB=．考点：双曲线的几何性质；直线与圆的位置关系．15.已知函数()()233xf x x x e=-+ ，设2t>-，函数()f x在[]2,t-上为单调函数时，则t的最大值为_____________． 【答案】0 【解析】考点：利用导数研究函数的单调性．【方法点晴】本题主要考查了导数的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、导数与函数的单调性的关系、导数的四则运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中正确求解函数的导数和掌握导数与函数的单调性的关系是解答的关键，属于中档试题．16.已知椭圆221,4y x A B +=、是椭圆的左右顶点，P 是椭圆上不与A B 、重合的一点，PA PB 、的倾斜角分别为αβ、，则()()cos cos αβαβ-=+_____________．【答案】35- 【解析】试题分析：设(cos ,2sin )P θθ，所以2sin 2sin tan ,tan cos 1cos 1θθαβθθ==+-，所以 2sin 2sin tan tan 4cos 1cos 1θθαβθθ=⋅=+-，则()()cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ-+=+- 1tan tan 1431tan tan 145αβαβ+-===-++．考点：椭圆的方程的应用；三角函数的化简求值．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的方程及三角函数的化简求值，其中解答中涉及到椭圆的参数方程的应用、三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据椭圆的参数方程，得出tan tan αβ的值是解答关键，试题涉及新颖，属于中档试题．三、解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题8分）设:p 实数a 满足不等式39a≤，:q 函数()()32331932a f x x x x -=++无极值点．（1）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数a 的取值范围； （2）已知“p q ∧”为真命题，并记为r ，且211:2022t a m a m m ⎛⎫⎛⎫-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若r 是t ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|15a a a <≤或2<；（2）312m ≤≤． 【解析】试题分析：（1）由题意得，求解命题:2p a ≤，命题:15q a ≤≤，根据“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，得命题p 与q 只有一个命题是真命题，分类讨论，即可求解实数a 的取值范围；（2）由“p q ∧”真命题，得出21215a a a ≤⎧⇒≤≤⎨≤≤⎩，求得关于a 一元二次不等式的解集，再由r 是t ⌝的必要不充分条件，即可求解实数m 的取值范围．（1）∵“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，∴p 与q 只有一个命题是真命题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 若p 为真命题，q 为假命题，则215a a a ≤⎧⎨<>⎩或1a ⇒<；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分若q 为真命题，p 为假命题，则22515a a a >⎧⇒<≤⎨≤≤⎩，于是，实数a 的取值范围为{}|15a a a <≤或2<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分∵r 是t ⌝的必要不充分条件，即t ⌝是r 的充分不必要条件，∴1122m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得312m ≤≤．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分 考点：命题的真假判定及应用． 18.（本小题8分）如图1，在直角梯形ABCD 中，//,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直，如图2．（1）求证：平面BDE ⊥平面BEC ；（2）求平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）045． 【解析】试题分析：（1）由平面ADEF ⊥平面ABCD ，证得ED AD ⊥，得到ED ⊥平面ABCD ，进而得到ED BC ⊥，在直角梯形ABCD 中，利用勾股定理得BC BD ⊥，利用线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面BDE ．即可证明平面BDE ⊥平面BEC ；（也可建立空间直角坐标系利用向量法证明）（2）根据几何体的结构特征和线面位置关系，得到以EGD ∠是平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的平面角，即可求解平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的大小．（也可利用空间向量法，利用平面ABCD 与平面EFB 的法向量所成的角，求解二面角的大小）．所以222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又,ED BD ⊂平面,BDE ED BD D = ，所以BC ⊥平面BDE ．而BC ⊂平面EC B , …………………….4分.（法二）同法一，得ED ABCD ⊥ ， 以D 为原点，,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,1D B C E ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分所以()()()1,1,0,1,1,0,0,0,1BC DB DE =-==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分()1111000BC DB =-⨯+⨯+⨯= ，()1010010BC DE =-⨯+⨯+⨯= ，所以,BC DB BC DE ⊥⊥ ，．．．．．．．．．．．．．．．3分又,DB DE 不共线，,DE DB ⊂平面BDE ，所以BC ⊥平面BDE ，而BC ⊂平面BEC ，所以平面BDE ⊥平面BEC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分又//AB DG ，且1,2AB CD ==，所以G 为CD 中点，ABGD 也为正方形，易知BG ⊥平面ECD ，所以,BG EG BG DG ⊥⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分所以EGD ∠是平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的平面角，而045EGD ∠=，所以平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角为45°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（法二）由（1）知，平面ABCD 的一个法向量是()0,0,1m =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 设平面EFB 的一个法向量为(),,n x y z =，考点：平面与平面垂直的判定；二面角的求解．19.（本小题10分）双曲线()22122:10,b 0x y C a a b -=>>的一条渐近线方程为12y x =；点P 是圆222x y a +=上的动点，作PD x ⊥轴于D ，且DM DP = ． （1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）设直线y kx m =+与轨迹2C 相交于不同的两点A B 、，是否存在过点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l ，使得点A B 、关于l 对称，如果存在，求实数m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2212015x y +=；（2）当0k =时，(m ∈，当0k ≠时，3,102m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）由题意得，列出方程组，求得a =，在由DM = 化简，即可求得求点M 的轨迹2C 的方程；（2）由2234600y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 整理得()()2223484150k x kmx m +++-=，由∴0∆>， 整理得222015k m >-，设AB 的中点()00,Q x y ，则02434km x k =-+，2334m y k =+，根据对称，化简得2234m k =+，代入上式，即可求解实数m 的取值范围．（2）由2234600y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩， 消去y 整理得()()2223484150k x kmx m +++-=．．．．．．．．．．．．．．．5分∴()()()22284344150km k m ∆=-+⨯->，整理得：222015k m >-，①令()()1122,,,A x y B x y ，则()122212283441534km x x k m x x k ⎧+==-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 设AB 的中点()00,Q x y ，则()012214234km x x x k =+=-+， ()()1212021132234m y y y kx m kx m m kx k =+=+++=+=+， ①当0k =时，由题知，(m ∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ②当0k ≠时，直线l 的方程为112y x k+=-， 由()00,Q x y 在直线l 上，得2231434234m m k k +=++， 化简得2234m k =+，②把②式代入①中，可得()252315m m ->-，解得010m <<， 又由②得22340m k -=>，解得32m >，所以3102m <<．．．．．．．．．．．．．．9分 综上，当0k =时，(m ∈；当0k ≠时，3,102m ⎛⎫∈⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系的应用． 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆锥曲线的位置关系、以及中点公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，解答中把直线的方程和圆锥曲线的方程联立，转化为利用方程的根与系数的关系是解答的关键，试题运算量大，思维深度大，属于难题．20.（本小题10分）已知函数()()2ln 1f x ax x =++．（1）当14a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）当[)0,x ∈+∞时，函数()y f x =图像上的点都在00x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围； （3）求证：()()1248211112335592121n n n e -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++++< ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（其中*,n N e ∈，是自然对数的底数）．【答案】（1）单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,+∞；（2）(],0-∞；（3）证明见解析．【解析】知，当0a =时，ln(1)x x +≤在[0,)+∞上恒成立，利用次不等式，对所要证明的不是进行放缩，从而进行证明．试题解析：（1）当14a =-时，()()()21ln 114f x x x x =-++>-， ()()()()()211112121x x f x x x x x +-'=-+=->-++， 由()0f x '>解得11x -<<，由()0f x '<解得1x >，故函数()f x 的单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．2分②当0a >时，由()()22101x ax a g x x +-⎡⎤⎣⎦'==+， 因为[)0,x ∈+∞，所以0x =或112x a =-， ①若1102a -≤，即12a ≥时，在区间()0,+∞上，()0g x '>，则函数()g x 在()0,+∞上单调递增，()g x 在[)0,+∞上无最大值（或：当x →+∞时，()g x →+∞），此时不满足条件；②若1102a ->，即102a <<时，函数()g x 在10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，同样()g x 在[)0,+∞上无最大值，不满足条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分③当0a <时，由()()2211x ax a g x x +-⎡⎤⎣⎦'=+，∵[)0,x ∈+∞，∴()2210ax a +-<，∴()0g x '<，故函数()g x 在[)0,+∞上单调递减，故()()00g x g ≤=成立，综上所述，实数a 的取值范围是(],0-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．7分.()()124822335592121nn n -<++++⨯⨯⨯++ ， 111111111112212335592121221n n n -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， ∴()()1248211112335592121n n n e -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++++< ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：导数在函数中的综合应用；不等式的证明．【方法点晴】本题主要考查了导数在函数中的综合应用及不等式的证明，其中解答中涉及到导数的运算、利用导数研究函数的单调性以及求解函数的极值与最值、函数的恒成立问题的求解——分离参数和新函数的构造与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与分离、构造思想的应用，试题难度较大，属于难题，此类问题解答中多次用到转化思想和构造新函数的应用，平时注意总结和积累．：。

湖南省长郡中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题一、选择题(本大题共15个小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题p :x A ∀∈，2x B ∈，则( ）A ．p ⌝:x A ∃∈，2xB ∈ B ．p ⌝:x A ∃∉,2x B ∈C ．p ⌝：x A ∃∈，2x B ∉D ．p ⌝:x A ∀∉，2x B ∉【答案】C考点：命题的否定．2。

如果方程22143x y m m +=--表示双曲线，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,4 B ．()(),34,-∞+∞ C ．()4,+∞ D ．(),3-∞ 【答案】B【解析】试题分析：要使方程22143x y m m +=--表示双曲线，应有()()()()430430m m m m --<⇔-->,解得3x <或4x >，故选C 。

考点：双曲线的标准方程．3。

命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的逆否命题是（ ）A ．若220a b +≠，则0a ≠且0b ≠B ．若220a b +≠,则0a ≠或0b ≠C ．若0a =且0b =,则220a b +≠D ．若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠【答案】D【解析】试题分析：命题的逆否命题是条件和结论同时换位、换质,所以命题“若220a b +=,则0a =且0b ="的逆否命题是“若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠”，故选D.考点:逆否命题．4.已知具有线性相关的两个变量x ，y 之间的一组数据如表:且回归线方程是0.95 2.6y x =+,则t =( ）A ．6.7B ．6。

6C 。

6。

5D ．6.4【答案】 A考点:回归直线方程．5。

在正方体1111ABCD A BC D -中，点M 是AB 的中点，则直线1DB 与MC 所成角的余弦值为（ ）A ．1515215 D 15【答案】B【解析】试题分析:设正方体的棱长为2,以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则()()()()10,0,0,2,2,2,2,1,0,0,2,0D B M C ，所以()()12,2,2,2,1,0DB MC ==-，因此11115cos ,235DB MCDB MC DB MC ⋅===⋅⨯，所以异面直线1DB 与MC 所成角的余弦值为1515,故选B 。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.命题“数列{}n a 前n 项和是2n S An Bn =+的形式，则数列{}n a 为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0 2.下列说法正确的是（ ）A ．“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件B ．命题“0x R ∃∈，2010x +<”的否定是“2,10x R x ∀∈+>”C ．关于x 的方程()2120x a x a +++-=的两实根异号的充要条件是1a <D ．命题“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”的逆命题为真命题3.某工厂生产A B C 、、三种不同型号的产品，其产品的数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为（ ）A ．100B ．90C ．80D ．604.设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为（ ） A ．14-B ．2C ．4D ．12- 5.在Excel 中产生[]0,1区间上均匀随机数的函数为“()rand ”，在用计算机模拟估计函数sin y x =的图像、直线2x π=和x 轴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上部分围成的图形面积时，随机点()11,a b 与该区域内的点(),a b 的坐标变换公式为（ ） A ．11,2a ab b π=+= B ．()()1120.5,20.5a a b b =-=-C ．[]0,,0,12a b π⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦D ．11,2a a b b π== 6.甲、乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲、乙两人的平均数与中位数分别相等，则:x y为（ ）A ．3:2B ．2:3C ．3:1或5:3D ．3:2或7:57.已知命题*11:,23x xp x N ⎛⎫⎛⎫∀∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；命题*1:x N ,22x x q -∃∈+=，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝8.已知函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x R ∈，都有()23xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()3f 的值是（ ） A ．3 B ．7 C ．9 D ．129.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线与,A B 两点，若()22,FA FB OA OB OB ==，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2 D10.已知函数()234201712342017x x x x f x x =+-+-++设()()4F x f x =+，且函数()F x 的零点均在区间[](),,,a b a b a b Z <∈内，圆22x y b a +=-的面积的最小值是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 11.关于曲线22:1C xy --+=的下列说法：（1）C 关于直线0x y +=对称；（2）C 是封闭图形，面积大于2π；（3）C 不是封闭图形，与圆222x y+=无公共点；（4）原点到曲线的距离的最小值为4；（5）C 与曲线:D x y += ）A ．2B ．3C ．4D ．512.已知函数()()3lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的函数()()21y f x bf x =-+有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．172,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．172,4⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题共52分）二、填空题（本大题共4小题，每题4分，满分16分．）13.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为_____________．14.双曲线2213y x -=的右焦点为,F O ，为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与此双曲线的两条渐近线分别交于点A B 、（不同于O 点），则AB =_____________．15.已知函数()()233x f x x x e =-+，设2t >-，函数()f x 在[]2,t -上为单调函数时，则t 的最大值为_____________．16.已知椭圆221,4y x A B +=、是椭圆的左右顶点，P 是椭圆上不与A B 、重合的一点，PA PB 、的倾斜角分别为αβ、，则()()cos cos αβαβ-=+_____________．三、解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题8分）设:p 实数a 满足不等式39a ≤，:q 函数()()32331932a f x x x x -=++无极值点． （1）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数a 的取值范围； （2）已知“p q ∧”为真命题，并记为r ，且211:2022t a m a m m ⎛⎫⎛⎫-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若r 是t ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18.（本小题8分）如图1，在直角梯形ABCD 中，//,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直，如图2．（1）求证：平面BDE ⊥平面BEC ；（2）求平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的大小．19.（本小题10分）双曲线()22122:10,b 0x y C a a b -=>>的一条渐近线方程为12y x =；点P 是圆222x y a +=上的动点，作PD x ⊥轴于D ，且3DM DP =． （1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）设直线y kx m =+与轨迹2C 相交于不同的两点A B 、，是否存在过点10,2N ⎛⎫-⎪⎝⎭的直线l ，使得点A B 、关于l 对称，如果存在，求实数m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．20.（本小题10分）已知函数()()2ln 1f x ax x =++．（1）当14a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）当[)0,x ∈+∞时，函数()y f x =图像上的点都在00x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围；（3）求证：()()1248211112335592121n n n e -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++++< ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（其中*,n N e ∈，是自然对数的底数）．：。

2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（3分）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．（3分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n3．（3分）设平面α的法向量为（1，﹣2，2），平面β的法向量为（2，λ，4），若α∥β，则λ=（）A．2B．4C．﹣2D．﹣44．（3分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=15．（3分）“α=”是“sinα=”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．（3分）曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等7．（3分）若A，B为互斥事件，则（）A．P（A）+P（B）＜1B．P（A）+P（B）＞1C．P（A）+P（B）=1D．P（A）+P（B）≤18．（3分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3B．2C．1D．9．（3分）如图是2016年在长郡中学高二年级矩形的演讲比赛中，七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84B．84，1.6C．85，1.6D．85，4 10．（3分）函数：f（x）=3+xlnx的单调递增区间是（）A．（0，）B．.（e，+∞）C．（，+∞）D．（，e）11．（3分）已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的虚轴为（）A．1B．2C．D．12．（3分）已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处取得极大值，则c的值为（）A．﹣6B．6C．4D．﹣413．（3分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，使cos的值介于到1之间的概率为（）A．B．C．D．14．（3分）如图所示，A，B，C是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．315．（3分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．（3分）（x+cosx）dx=．17．（3分）某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市家．18．（3分）已知点A（x1，a x1），B（x2，a x2）是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，sinx1），B（x2，sinx2）是函数y=sinx（x∈（0，π））的图象上任意不同两点，则类似地有成立．19．（3分）已知函数f（x）=x+lnx+cosx，若f（x2﹣4）≤f（3x），则实数x的取值范围为．20．（3分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21．（8分）在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n}的通项a n，并证明你的结论．22．（8分）已知m＞0，p：（x+2）（x﹣6）≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若m=5，“p∧q”为真命题，“p∨q”为假命题，求实数x的取值范围．23．（8分）在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（1）求证：BD⊥EG；（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．24．（8分）已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2满足|PF1|+|PF2|=4．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．25．（8分）已知函数．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（3分）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【解答】解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A．2．（3分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．3．（3分）设平面α的法向量为（1，﹣2，2），平面β的法向量为（2，λ，4），若α∥β，则λ=（）A．2B．4C．﹣2D．﹣4【解答】解：∵平面α的法向量为（1，﹣2，2），平面β的法向量为（2，λ，4），α∥β，∴，解得λ=﹣4．故选：D．4．（3分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=1【解答】解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．故选：C．5．（3分）“α=”是“sinα=”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵α=，∴sinα=，但sinα=，α可以等于2π+；故是充分不必要条件，故选：B．6．（3分）曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【解答】解：曲线=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8．对照选项，则D正确．故选：D．7．（3分）若A，B为互斥事件，则（）A．P（A）+P（B）＜1B．P（A）+P（B）＞1C．P（A）+P（B）=1D．P（A）+P（B）≤1【解答】解：由已知中A，B为互斥事件，由互斥事件概率加法公式可得：P（A）+P（B）≤1当A，B为对立事件时，P（A）+P（B）=1故选：D．8．（3分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3B．2C．1D．【解答】解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选：A．9．（3分）如图是2016年在长郡中学高二年级矩形的演讲比赛中，七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84B．84，1.6C．85，1.6D．85，4【解答】解：根据茎叶图中的数据，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据的平均数为=×（84+84+86+84+87）=85，方差为s2=×[（84﹣85）2×3+（86﹣85）2+（87﹣85）2]=1.6．故选：C．10．（3分）函数：f（x）=3+xlnx的单调递增区间是（）A．（0，）B．.（e，+∞）C．（，+∞）D．（，e）【解答】解：由函数f（x）=3+xlnx得：f（x）=lnx+1，令f′（x）=lnx+1＞0即lnx＞﹣1=ln ，根据e＞1得到此对数函数为增函数，所以得到，即为函数的单调递增区间．故选：C．11．（3分）已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的虚轴为（）A．1B．2C．D．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），准线方程为直线x=﹣2，∵双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，∴双曲线的右焦点坐标为F（2，0），∴双曲线的左焦点坐标为F′（﹣2，0），∵|PF|=5，∴点P的横坐标为3，代入抛物线y2=8x，y=±2，不妨设P（3，2），∴根据双曲线的定义，|PF'|﹣|PF|=2a 得出﹣=2a，∴a=1，∵c=2，∴b=，∴双曲线的虚轴长为：2．故选：D．12．（3分）已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处取得极大值，则c的值为（）A．﹣6B．6C．4D．﹣4【解答】解：f′（x）=（x﹣c）2+2x（x﹣c），f′（2）=（2﹣c）2+2×2（2﹣c）=0，解得c=6或2．验证知当c=2时，函数在x=2处有极小值，舍去，故c=6，故选：B．13．（3分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，使cos的值介于到1之间的概率为（）A．B．C．D．【解答】解答：解：在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，即x∈[﹣1，1]时，要使的值介于到1之间，需使，∴，区间长度为1，由几何概型知的值介于到1之间的概率为故选：B．14．（3分）如图所示，A，B，C是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．3【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，设A（m，n），则m2+n2=c2，又﹣=1，解得m=，n=，即有A（，），B（﹣，﹣），又F（c，0），由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，可设C（x，y），即有•=﹣1，又（c+）2+（）2=（x﹣c）2+y2，可得x=，y=﹣，将C（，﹣）代入双曲线方程，可得﹣=1，化简可得（b2﹣a2）=a3，由b2=c2﹣a2，e=，可得（2e2﹣1）（e2﹣2）2=1，对照选项，代入检验可得e=成立．另解：设双曲线的另一个焦点为E，令|BF|=|CF|=|AE|=m，|AF|=n，由双曲线的定义有，|CE|﹣|CF|=|AE|﹣|AF|=2a，在直角三角形EAC中，m2+（m+n）2=（m+2a）2，代入2a=m﹣n，化简可得m=3n，又m﹣n=2a得n=a，m=3a，在直角三角形EAF中，m2+n2=（2c）2，即为9a2+a2=4c2，可得e==．故选：A．15．（3分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，即f（x）﹣g（x）＞0在x∈[1，e]时有解，设F（x）=f（x）﹣g（x）=a（x﹣）﹣2lnx+=ax﹣2lnx＞0有解，x∈[1，e]，即a，则F′（x）=，当x∈[1，e]时，F′（x）=≥0，∴F（x）在[1，e]上单调递增，即F min（x）=F（1）=0，因此a＞0即可．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．（3分）（x+cosx）dx=2．【解答】解：∵（x2++sinx）′=x+cosx，∴（x+cosx）dx=（x2+sinx）=2．故答案为：2．17．（3分）某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市20家．【解答】解：∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，∴共有超市200+400+1400=2000，∵按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，∴每个个体被抽到的概率是，∴中型超市要抽取400×=20家，故答案为：20．18．（3分）已知点A（x1，a x1），B（x2，a x2）是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，sinx1），B（x2，sinx2）是函数y=sinx（x∈（0，π））的图象上任意不同两点，则类似地有成立．【解答】解：由题意知，点A、B是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结成立；而函数y=sinx（x∈（0，π））其变化率逐渐变小，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论．故答案为：．19．（3分）已知函数f（x）=x+lnx+cosx，若f（x2﹣4）≤f（3x），则实数x的取值范围为（2，4] ．【解答】解：根据题意，函数f（x）=x+lnx+cosx，其定义域为（0，+∞），其导数f′（x）=1+﹣sinx＞0，则函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，若f（x2﹣4）≤f（3x），必有，解可得2＜x≤4，即x的取值范围为（2，4]；故答案为：（2，4]．20．（3分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为1．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故答案为：1三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21．（8分）在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n}的通项a n，并证明你的结论．【解答】解：（1）当n≥2时，a1=1，由a n=得∴a2=，a3=，a4=，（2）猜想：a n=，①当n=1时，猜想成立，②假设当n=k时，猜想成立，即a k=，===，那么当n=k+1时，a k+1∴当n=k+1时猜想成立，由①②可得，对任意n∈N*，a n=都成立．22．（8分）已知m＞0，p：（x+2）（x﹣6）≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若m=5，“p∧q”为真命题，“p∨q”为假命题，求实数x的取值范围．【解答】解：p：﹣2≤x≤6．（1）∵p是q的充分不必要条件，∴[﹣2，6]是[2﹣m，2+m]的真子集∴，解得m≥4，当m=4时，q为[﹣2，6]，不合题意，故舍去∴实数m的取值范围是（4，+∞）．（2）当m=5时，q：﹣3≤x≤7．据题意有，p与q一真一假p真q假时，由，解得x∈∅p假q真时，由，解得﹣3≤x＜2或6＜x≤7，∴实数x的取值范围为[﹣3，﹣2）∪（6，7]．23．（8分）在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（1）求证：BD⊥EG；（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．【解答】解法1（1）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．…（2分）过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．…（4分）∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG，…（6分）又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．…（7分）∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．…（8分）（2）解：∵AE⊥平面BCFE，AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面BCFE由（1）可知GH⊥EF，∴GH⊥平面AEFD∵DE⊂平面AEFD，∴GH⊥DE…（9分）取DE的中点M，连接MH，MG∵四边形AEHD是正方形，∴MH⊥DE∵MH∩GH=H，MH⊂平面GHM，GH⊂平面GHM，∴DE⊥平面GHM，∴DE⊥MG∴∠GMH是二面角G﹣DE﹣F的平面角，…（12分）在△GMH中，，∴…（13分）∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为．…（14分）解法2（1）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．…（2分）以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0）．…（4分）∴，，…（6分）∴，…（7分）∴BD⊥EG．…（8分）（2）解：由已知得是平面DEF的法向量．…（9分）设平面DEG的法向量为，∵，∴，即，令x=1，得．…（12分）设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为θ，则…（13分）∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为．…（14分）24．（8分）已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2满足|PF1|+|PF2|=4．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2满足|PF1|+|PF2|=4∴2a=4，∵离心率e=，∴a=2，c=，∴b=1故椭圆M的方程为：．（2）不妨设直线AB的方程x=ky+m．由，消去x得（k2+4）y2+2kmy+m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，…①为以AB为直径的圆过点C，所以．，得（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，得（k2+1）y1y2+k（m﹣2）（y1+y2）+（m﹣2）2=0…②．由①②得m=，或m=2（舍去）∴，直线AB过定点D（，0）△ABC的面积s=DC|y1﹣y2|==令t=，0，△ABC面积s=当t=时，△ABC面积的最大值为25．（8分）已知函数．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．【解答】解：（1）∵f（1）=1﹣=0，解得：a=2，此时f（x）=lnx﹣x2+x，（x＞0），f′（x）=﹣2x+1=，（x＞0），由f′（x）＜0，得2x2﹣x﹣1＞0，又x＞0，∴x＞1，∴f（x）的递减区间是（1，+∞）；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，（x＞0），∴g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，（x＞0），当a≤0时，∵x＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）递增，又∵g（1）=﹣a+2＞0，∴关于x的不等式f（x）不恒成立，当a＞0时，g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=﹣，令g′（x）=0，解得：x=，∴当x∈（0，）时，g′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）递减，∴g（x）在最大值是g（）=﹣lna，令h （a ）=﹣lna ，∵h （1）=＞0，h （2）=﹣ln2＜0，又∵h （a ）在a ∈（0，+∞）递减， ∴a ≥2时，h （a ）＜0， ∴整数a 的最小值是2．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =第21页（共22页）①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x第22页（共22页）。

2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共15小题，每小题3分，共45分）1．已知命题p：若x2+y2=0，则x、y全为0；命题q：若a＞b，则．给出下列四个复合命题：①p且q，②p或q，③¬p④¬q，其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．若A，B为互斥事件，则（）A．P（A）+P（B）＜1 B．P（A）+P（B）＞1 C．P（A）+P（B）=1 D．P（A）+P（B）≤13．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A．2 B．3 C．5 D．74．同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）A．B．C．D．5．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2=r16．双曲线kx2+5y2=5的一个焦点是（0，2），则k等于（）A．B．﹣C． D．﹣7．抛物线y=4x2的准线方程为（）A．y=﹣B．y=C．y=D．y=﹣8．命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥49．“a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．D．11．若在双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．e＞2 D．1＜e＜212．ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．13．设椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．14．经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q两点，则|MP|•|MQ|为定值，其值为（）A．a2B．b2C．c2D．ab15．曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线C2：（a＞0，b＞0）的右焦点，且曲线C1与曲线C2交点连线过点F，则曲线C2的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）16．抛物线y2=4px（p＞0）上一点M到焦点的距离是a（a＞p），则点M的横坐标是．17．给出以下命题：①∀x∈R，有x4＞x2；②∃α∈R，使得sin3α=3sinα；③∃a∈R，对∀x∈R 使x2+2x+a＜0．其中真命题的序号是．18．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图：则新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为．19．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，...，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分．如果第一部分编号为0001，0002， (0020)从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为．20．椭圆的焦点为F1，F2，点P是椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是．三、解答题（共5小题，每题8分，共40分）21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．22．已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．23．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．24．如图，已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1）．（1）求AB直线方程；（2）求p的值．25．如图，已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A（3，1），离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）过点A且斜率为1的直线交椭圆E于A、C两点，过原点O与AC垂直的直线交椭圆E于B、D 两点，求证A、B、C、D四点在同一个圆上．2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，共45分）1．已知命题p：若x2+y2=0，则x、y全为0；命题q：若a＞b，则．给出下列四个复合命题：①p且q，②p或q，③¬p④¬q，其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】复合命题的真假．【专题】阅读型．【分析】利用实数的性质及不等式的基本性质，我们易判断出命题p与命题q的真假，进而根据复合命题的真值表，对题目中的四个命题逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：若x2+y2=0，根据实数的性质得，a=b=0，即x、y全为0，则命题p为真命题；若a＞0＞b，则，即命题q：若a＞b，则．为假命题；故：①p且q为假命题，②p或q为真命题，③¬p为假命题，④¬q为真命题，故选B【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假，其中根据实数的性质及不等式的基本性质，判断出命题p与命题q的真假，是解答本题的关键．2．若A，B为互斥事件，则（）A．P（A）+P（B）＜1 B．P（A）+P（B）＞1 C．P（A）+P（B）=1 D．P（A）+P（B）≤1【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】阅读型．【分析】由已知中，A，B为互斥事件，则A∪B为随机事件，当A，B为对立事件时，A∪B为必然事件，根据随机事件及对立事件的概率我们易得到结论．【解答】解：由已知中A，B为互斥事件，由互斥事件概率加法公式可得：P（A）+P（B）≤1当A，B为对立事件时，P（A）+P（B）=1故选D【点评】本题考查的知识点是互斥事件概率加法公式，其中当A，B为对立事件时，A∪B为必然事件，概率为1，易被忽略而错选A．3．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A．2 B．3 C．5 D．7【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．故选D．【点评】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．4．同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率；互斥事件与对立事件．【专题】计算题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次，共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是正面，有1种结果，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是正面，有1种结果，∴至少一次正面向上的概率是1﹣=，故选A．【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是对于比较复杂的事件求概率时，可以先求对立事件的概率，这样使得运算简单．5．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2=r1【考点】相关系数．【专题】计算题．【分析】求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．【解答】解：∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），=11.72∴这组数据的相关系数是r=，变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），∴这组数据的相关系数是﹣0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选C．【点评】本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系．6．双曲线kx2+5y2=5的一个焦点是（0，2），则k等于（）A．B．﹣C． D．﹣【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线kx2+5y2=5化为，可得a2，b2，利用c2=a2+b2即可得出．【解答】解：双曲线kx2+5y2=5化为，∴a2=1，b2=﹣．又∵双曲线的一个焦点坐标是（0，2），∴c=2．∵c2=a2+b2．∴4=1﹣，解得k=﹣．故选：B．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．7．抛物线y=4x2的准线方程为（）A．y=﹣B．y=C．y=D．y=﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】先将抛物线化简为标准形式，进而可确定p的值，即可得到准线方程．【解答】解：由x2=y，∴p=．准线方程为y=﹣．故选D【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．8．命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥4【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】常规题型．【分析】原命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．【解答】解：命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是“若x≤﹣2，或x≥2，则x2≥4”；故选：D．【点评】本题考查了原命题与逆否命题之间的关系，是基础题．9．“a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，cos2a=cos（4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2kπ+⇒a=kπ+（k∈Z），或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z），故选A．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q 为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．10．点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出点M的坐标，表示出直线AM、BM的斜率，进而求出它们的斜率之积，利用斜率之积是，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点M的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），因为A（﹣5，0），B（5，0）所以k AM=（x≠﹣5），k BM=（x≠5）由已知， =化简，得4x2﹣9y2=100（x≠±5）即：．故选：C．【点评】本题重点考查轨迹方程的求解，解题的关键是正确表示出直线AM、BM的斜率，利用条件建立方程．11．若在双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．e＞2 D．1＜e＜2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先设出双曲线右支任意一点坐标，根据到右焦点的距离和到中心的距离相等，利用两点间距离公式建立等式求得x，进而利用x的范围确定a和c的不等式关系，进而求得e的范围，同时根据双曲线的离心率等于2时，右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，所以不能等于2，最后综合求得答案．【解答】解：设双曲线右支任意一点坐标为（x，y）则x≥a，∵到右焦点的距离和到中心的距离相等，由两点间距离公式：x2+y2=（x﹣c）2+y2得x=，∵x≥a，∴≥a，得e≥2，又∵双曲线的离心率等于2时，c=2a，此时右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，所以不能等于2故选C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是求得a和c的不等式关系，考查了学生转化和化归的思想．12．ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣故选B．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．13．设椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．14．经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q两点，则|MP|•|MQ|为定值，其值为（）A．a2B．b2C．c2D．ab【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设出点M的坐标，根据点M在双曲线上，得到；再根据条件求出P，Q 两点的坐标，代入|MP|•|MQ|整理即可求出结论．【解答】解：经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q两点，设M（x，y），则有：⇒①且P（﹣y，y），Q（y，y），∴=（﹣y﹣x，0），=（y﹣x，0）∴|MP|•|MQ|==（﹣y﹣x）•（y﹣x）+0=x2﹣y2=﹣y2=a2．故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的基本性质以及向量的数量积，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．15．曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线C2：（a＞0，b＞0）的右焦点，且曲线C1与曲线C2交点连线过点F，则曲线C2的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点，曲线C1与曲线C2交点连线MN过点F，由对称性可得，交线垂直于x轴，分别令x=c，x=，求得弦长，得到a，b，c的方程，再由离心率公式解方程即可得到．【解答】解：曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），则双曲线的c=，曲线C1与曲线C2交点连线MN过点F，由对称性可得，交线垂直于x轴，令x=c，代入双曲线方程得，y2=b2（﹣1）=，解得，y=，则|MN|=，令x=，代入抛物线方程可得，y2=p2，即y=±p，则|MN|=2p，则2p=，即有b2=2ac=c2﹣a2，即有e2﹣2e﹣1=0，解得，e=1+．【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）16．抛物线y2=4px（p＞0）上一点M到焦点的距离是a（a＞p），则点M的横坐标是a﹣p ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，利用抛物线的定义结合已知得答案．【解答】解：如图，由题意知|MF|=a（a＞p），∵抛物线y2=4px的准线方程为x=﹣p，由抛物线定义得x M+p=a，则x M=a﹣p．故答案为：a﹣p．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查了抛物线的定义，是基础题．17．给出以下命题：①∀x∈R，有x4＞x2；②∃α∈R，使得sin3α=3sinα；③∃a∈R，对∀x∈R 使x2+2x+a＜0．其中真命题的序号是②．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】证明题．【分析】命题的真假判断，逐一击破，全称命题为假，列举反例，存在性命题为真，列举一例即可．【解答】解：当x=1时，x4=x2，故①错误；当α=0时，sin3α=3sinα，故②正确；对于③由于抛物线开口向上，一定有函数值大于0，故③错误【点评】判断命题的真假，直接利用相关定义、定理、公理判断．有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．18．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图：则新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为0.3 ．【考点】频率分布直方图．【专题】压轴题；图表型．【分析】观察频率分布直方图在（2700，3000）上的高，根据小长方形的面积=组距×，建立等式关系，解之即可．【解答】解：频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，∴新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为0.001×300=0.3故答案为：0.3【点评】频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，是解决频率分布直方图常用的结论，值得大家重视，属于基础题．19．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，...，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分．如果第一部分编号为0001，0002， (0020)从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为0795 ．【考点】系统抽样方法．【专题】计算题．【分析】因为系统抽样是先将总体按样本容量分成k=段，再间隔k取一个，所以只需找到k的值，就可计算第40个号码为多少．【解答】解：∵系统抽样是先将总体按样本容量分成k=段，再间隔k取一个．又∵现在总体的个体数为1000，样本容量为50，∴k=20∴若第一个号码为0015，则第40个号码为0015+20×39=0795故答案为0795【点评】本题考查了抽样方法中的系统抽样，掌握系统抽样的规律．20．椭圆的焦点为F1，F2，点P是椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（x，y），则，可得y2=4．由于∠F1PF2为钝角，可得＜0，解出即可．【解答】解：由椭圆的标准方程可得：a2=13，b=2，∴=3．F1（﹣3，0），F2（3，0）．设P（x，y），则，∴y2=4．∵∠F1PF2为钝角，∴=（x+3，y）•（x﹣3，y）=x2﹣9+y2＜0，∴x2﹣9+4＜0．化为x2，解得＜x＜．∴点P的横坐标的取值范围是，故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量夹角公式与数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，每题8分，共40分）21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意可知n，，，进而可得，，代入可得b值，进而可得a值，可得方程；（Ⅱ）由回归方程x的系数b的正负可判；（Ⅲ）把x=7代入回归方程求其函数值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知n=10， ===8， ===2，故l xx==720﹣10×82=80，l xy==184﹣10×8×2=24，故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．【点评】本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．22．已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．【分析】思路一：“按题索骥”﹣﹣解不等式，求否命题，再根据充要条件的集合表示进行求解；思路二：本题也可以根据四种命题间的关系进行等价转换，然后再根据充要条件的集合表示进行求解．【解答】解：解法一：由p：|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴“非p”：A={x|x＞10或x＜﹣2}、由q：x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴“非q”：B={x|x＞1+m或x＜1﹣m，m＞0=由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：B⊆A.解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．解法二：由“非p”是“非q”的必要而不充分条件．即“非q”⇒“非p”，但“非p”“非q”，可以等价转换为它的逆否命题：“p⇒q，但q p”．即p是q的充分而不必要条件．由|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴p={x|﹣2≤x≤10}由x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴q={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}由p是q的充分而不必要条件可知：p⊆q⇔解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．【点评】本题考查了绝对值不等式与一元二次不等式的解法，又考了命题间的关系的理解；两个知识点的简单结合构成了一道难度不太大但是要么得分不高，要么因为这道题导致整张卷子答不完，所以对于此类问题要平时加强计算能力的培养．23．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】（1）确定基本事件总数，求出函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数对应的事件数，利用古典概型概率的计算公式，即可得到结论；（2）以面积为测度，计算试验的全部结果所构成的区域的面积及事件A构成的区域的面积，利用公式可得结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且…若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1若a=3则b=﹣1，1…记B={函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数}，则事件B包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴…（2）依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，其面积…事件A构成的区域：由，得交点坐标为，…∴，∴事件A发生的概率为…【点评】本题考查概率的计算，明确概率的类型，正确运用公式是关键．24．如图，已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥O B，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1）．（1）求AB直线方程；（2）求p的值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由D的坐标求出OD所在直线的斜率，进一步得到AB所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得答案；（2）设出A，B的坐标，由OA⊥OB得到A，B横纵坐标的关系，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的方程后利用根与系数的关系求解．【解答】解：（1）∵点D的坐标为（2，1），∴，又AB⊥OD，且AB过D（2，1），∴AB：y﹣1=﹣2（x﹣2），整理得：2x+y﹣5=0；（2）设点A的坐标（x1，y1），点B的坐标（x2，y2），由OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0，由（1）知AB的直线方程为y=﹣2x+5∴y1y2﹣（y1+y2）+5=0，①联立y=﹣2x+5与y2=2px，消去x得：y2+py﹣5p=0，y1+y2=﹣p，y1y2=﹣5p，②把②代入解得，经检验满足△＞0．∴p=．【点评】本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力．是中档题．25．如图，已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A（3，1），离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）过点A且斜率为1的直线交椭圆E于A、C两点，过原点O与AC垂直的直线交椭圆E于B、D 两点，求证A、B、C、D四点在同一个圆上．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设出椭圆的方程，利用椭圆E经过点A（3，1），离心率，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆E的方程；（2）确定B，C，D的坐标，求出过这三点的圆，验证A满足方程即可．【解答】（1）解：设椭圆方程为（a＞b＞0），因为离心率，所以a2=3b2，…所以椭圆方程为，又因为经过点A（3，1），则，…所以b2=4，所以a2=12，属于椭圆的方程为．…（2）证明：直线AC的方程为y=x﹣2，与椭圆方程联立，可得x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（0，﹣2）直线BD的方程为y=﹣x，与椭圆方程联立，可得x2=3，∴x=，∴B（），D（）设经过B，C，D三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有∴D=﹣1，E=﹣1，F=﹣6，∴圆的方程为x2+y2﹣x﹣y﹣6=0，∵点A（3，1）也适合，∴A（3，1）在圆上，∴A、B、C、D四点在同一个圆上．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．。

一、选择题1．(0分)[ID ：13005]设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ）A ．1936B ．1136C ．712D ．122．(0分)[ID ：13004]在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 ( )A ．11347250C C C B ．20347250C C C C ．1233250C C C +D ．1120347347250C C C C C + 3．(0分)[ID ：12997]在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．144．(0分)[ID ：12996]一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ）A ．这组新数据的平均数为mB ．这组新数据的平均数为a m +C ．这组新数据的方差为an D．这组新数据的标准差为5．(0分)[ID ：12988]甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（ ）A ．221212,x x s s >> B ．221212,x x s s >< C ．221212,x x s s << D ．221212,x x s s <> 6．(0分)[ID ：12987]已知变量,x y 之间满足线性相关关系ˆ 1.31yx =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示：则实数m =（ ） A ．0.8B ．0.6C ．1.6D ．1.87．(0分)[ID ：12983]AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI 的统计数据.则下列叙述正确的是（ ）A ．这12天的AQI 的中位数是90B ．12天中超过7天空气质量为“优良”C ．从3月4日到9日，空气质量越来越好D ．这12天的AQI 的平均值为1008．(0分)[ID ：12975]有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．159．(0分)[ID ：12965]微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（ ）A ．1.19B ．1.23C ．1.26D ．1.3110．(0分)[ID ：12953]三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A．2.6B．3C．3.1D．1411．(0分)[ID：12936]《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为()A．7B．4C．5D．1112．(0分)[ID：12929]若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（）A．16B．112C．536D．51813．(0分)[ID：13021]抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（）A．23B．13C．12D．5614．(0分)[ID：13016]同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）A．78B．58C．38D．1815．(0分)[ID：13015]某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元二、填空题16．(0分)[ID ：13110]在区间[-3，5]上随机取一个实数x ，则事件“11422x≤≤（）”发生的概率为____________．17．(0分)[ID ：13095]在可行域1030x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，内任取一点(),M x y ，则满足20x y ->的概率是______．18．(0分)[ID ：13087]甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________. 19．(0分)[ID ：13079]下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A ＝{1，3}，B ＝{3，5，6}，A ，B 为互斥事件，但不是对立事件；③某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m ，n ，若一模考试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为na mb m n+； ④如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行或相交． 其中真命题的序号是__________．20．(0分)[ID ：13077]以下四个命题错误的序号为_______ (1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=. (3) 若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.21．(0分)[ID ：13066]以下说法正确的是_____________ . ①类比推理属于演绎推理.②设有一个回归方程ˆ23yx =- ，当变量每增加1个单位，y 平均增加3个单位. ③样本相关系数r 满足以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱.④对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅.22．(0分)[ID ：13041]如果执行下面的程序框图，那么输出的s ＝______________.23．(0分)[ID ：13037]在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A ＝{0，1，2，3，4，5}内取值的点中任取一个点，此点正好在直线y x =上的概率为________． 24．(0分)[ID ：13104]在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________．25．(0分)[ID ：13062]某班全体学生参加英语成绩的频率分布直方图如图，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是__________．三、解答题26．(0分)[ID ：13194]己知集合()[][]{},0,2,1,1M x y x y =∈∈-.（1）若, x y M ∈，且, x y 为整数，求0x y +≥的概率； （2）若,x y M ∈，求0x y +≥的概率.27．(0分)[ID ：13193]下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：参考数据：∑y i 7i=1=9.32，∑t i y i 7i=1=40.17，√∑(y i −y ̅)27i=1=0.55，√7≈2.646.参考公式：相关系数r =∑(t −t )(y −y ̅)ni=1√∑(t i −t )2∑(y i −¯)2ni=1i=1回归方程y ̂=a ̂+b ̂ t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑(t i −t )(y i −y ̅)ni=1∑(t i −t )2ni=1，a ̂=y ̅−b̂ t . 28．(0分)[ID ：13181]随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份x 2014 2015 2016 2017 2018 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y （千亿元）56789（1）求y 关于t 的回归方程y bt a =+；（2）试预测该地区在建国一百周年时的的储蓄存款，并求y 关于x 的回归方程.附：()()()1122211n ni i i ii in ni ii it t y y t y nt ybt t t nt====---==--∑∑∑∑，a y bt=-.29．(0分)[ID：13178]每年七月份，我国J地区有25天左右的降雨时间，如图是J地区S 镇2000-2018年降雨量（单位：mm）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：（1）假设每年的降雨天气相互独立，求S镇未来三年里至少有两年的降雨量超过350mm的概率；（2）在S镇承包了20亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总利润为31.1万元．而乙品种水果的亩产量m（kg/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种水果的单位利润为32-0.01×m（元/kg），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使利润ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）；降雨量[100，200）[200，300）[300，400）[400，500）亩产量50070060040030．(0分)[ID：13152]2019年的流感来得要比往年更猛烈一些.据四川电视台4SCTV-“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上.这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院.某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：日期1月20日2月20日3月20日4月20日5月20日6月20日昼夜温差()x℃1011131286就诊人数(y人222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．()1若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y bx a=+；()2若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？(参考公式：b()1122211()()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxyx x x nx====---==--∑∑∑∑，a y bx=-)【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．D3．C4．D5．B6．D7．C8．C9．C10．C11．C12．C13．A14．A15．B二、填空题16．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的17．【解析】【分析】画出可行域求出面积满足的区域为图形中的红色直线的下方的四边形其面积为由几何概型的公式可得的概率为：；【详解】约束条件的可行域如图：由解得可行域d面积为由解得满足的区域为图形中的红色直18．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种19．①④【解析】分析：根据方差定义互斥与对立概念平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；所以①对因为基本事件空间是Ω＝{123456}若事20．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关21．③④【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式即可判断；③利用线性相关指数的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断详解：对于①类比推理是合情推理的重要形式则不22．46【解析】第一次执行程序执行第二次程序执行第三次程序执行第四次程序符合判断框条件退出循环输出故填46点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题属于中档题处理此类问题时一般模拟程序的运行经过几次运算即可23．【解析】【分析】试验发生包含的事件是横纵坐标都在内任取一个点共有种结果满足条件的事件是点正好在直线上可以列举出结果数得到概率【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率∵试验发生包含的事件是横纵坐标都24．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：25．【解析】由图可知低于分的频率为故该班人数为故答案为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．A解析：A【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，方程x2+mx+n=0有实根要满足m2−4n⩾0，当m=2，n=1m=3，n=1，2m=4，n=1，2，3，4m=5，n=1，2，3，4，5，6，m=6，n=1，2，3，4，5，6综上可知共有1+2+4+6+6=19种结果∴方程x2+mx+n=0有实根的概率是19 36；本题选择A选项.2．D解析：D【解析】【分析】由题意，恰好两件都是次品，共有23C种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C种不同的取法，即可求解．【详解】由题意，从含有3件次品的50件产品中，任取2件，共有250C种不同的取法，恰好两件都是次品，共有20347C C种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C种不同的取法，所以至少取到1件次品的概率为1120347347250C C C CC+，故选D．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理分类讨论，利用组合数的公式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．3．C解析：C【解析】【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果.【详解】总的可选答案有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共11个，而正确的答案只有1个，即得5分的概率为111 p=.故选：C.【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题. 4．D解析：D【解析】【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为. 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.5．B解析：B 【解析】 【分析】计算18x =，27.2x =，210.4s =，22 2.16s =得到答案.【详解】17888985x ++++==，26677107.25x ++++==，故12x x >.()()()()()222222178888888980.45s -+-+-+-+-==；()()()()()222222267.267.277.277.2107.2 2.165s -+-+-+-+-==，故2212s s <.故选：B. 【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.6．D解析：D 【解析】分析：由题意结合线性回归方程的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：12345 2.542x +++===，0.1 3.14 1.844m my +++==+， 线性回归方程过样本中心点，则：1.8 1.3 2.514m+=⨯-， 解得：8.1=m . 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】这12天的AQI 指数值的中位数是959293.52+= ，故A 不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B 不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C 正确；这12天的AQI 指数值的平均值为110，故D 不正确. 故选 C ．8．C解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可. 【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.10．C解析：C 【解析】模拟执行程序，可得：6n =，3sin 60S =︒=，不满足条件S p ≥，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24.故 3.1p =. 故选C ．11．C解析：C 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-； 3i =，()282131645m a a =--=-； 4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束； 令329367a -=，解得5a =. 故选C.12．C解析：C 【解析】由图表可知,点数和共有36种可能性,其中是6的共有5种,所以点数和是6的概率为536,故选C.点睛:本题考查古典概型的概率,属于中档题目.具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝．13．A解析：A 【解析】 【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件B 发生的概率，又通过列举可得事件A 和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，∴P(A)2163==，P(B)2163==，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（A∪B）＝P(A)+P(B)112 333 =+=，故选：A．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．14．A解析：A【解析】【分析】先根据古典概型概率公式求没有正面向上的概率，再根据对立事件概率关系求结果.【详解】因为没有正面向上的概率为112228=⨯⨯，所以至少有1枚正面向上的概率是1-1788=，选A.【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.15．B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y++++++====，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ， ∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程二、填空题16．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的解析：38【解析】 【分析】解不等式11422x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，可得出所求事件的区域长度，又可求出所有基本事件构成的区域长度，由几何概型可求出概率． 【详解】设事件A 表示11|422xx ⎧⎫⎪⎪⎛⎫≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由11422x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭得2111222x -⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21x -≤≤， 即构成事件A 的区域的长度为12=3+.又因为所有的基本事件构成的区域的长度为53=8+， 所以事件A 的概率3()8P A =. 故答案为38．【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，属基础题．17．【解析】【分析】画出可行域求出面积满足的区域为图形中的红色直线的下方的四边形其面积为由几何概型的公式可得的概率为：；【详解】约束条件的可行域如图：由解得可行域d 面积为由解得满足的区域为图形中的红色直解析：58【解析】 【分析】画出可行域，求出面积，满足20x y ->的区域为图形中的红色直线的下方的四边形，其面积为1541322-⨯⨯=，由几何概型的公式可得20x y ->的概率为：55248=；【详解】约束条件1030x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域如图：由103x y x y --=⎧+=⎨⎩解得()2,1A ， 可行域d 面积为12442⨯⨯=， 由32x y y x +=⎧=⎨⎩，解得()1.2B ． 满足20x y ->的区域为图形中的红色直线的下方的四边形，其面积为1541322-⨯⨯=， 由几何概型的公式可得20x y ->的概率为：55248=；故答案为58．【点睛】本题考查了可行域的画法以及几何概型的概率公式的运用.考查数形结合以及计算能力．在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．18．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有 种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 种解析：16 【解析】 【分析】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ⋅⋅ 种，由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率．【详解】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ⋅⋅ 种，故则最后一小时他们同在一个景点的概率为 33554466616A A A A ⋅⋅=⋅， 故答案为 16． 【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．19．①④【解析】分析：根据方差定义互斥与对立概念平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；所以①对因为基本事件空间是Ω＝{123456}若事解析：①④. 【解析】分析：根据方差定义、互斥与对立概念、平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假. 详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；所以①对 因为基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A ＝{1，3}，B ＝{3，5，6}，A ，B 不为互斥事件，所以②错；因为某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m ，n ，若一模考试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为ma nbm n++，所以③错； 因为如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行（同侧时）或相交（异侧时），所以④对. 因此真命题的序号是①④.点睛：对命题真假的判断，主要要明确概念或公式.20．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4） 【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x 0，y 0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案． 对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9x l y k x y x y =+=-'=-∴'=-：（）．，， 又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x （）+=- 与曲线33y x x =- 相切于切点22-（，）时，9k =-． 若直线与曲线切于点0002x y x ≠（，）（）， 则320000000002232122y y k y x x x x x x ++==-∴=-----，，， 又200|33k y x x x ='==-，2220000021332240x x x x x ∴---=-∴--=，， 200021330x x k x ≠∴=-∴=-=，，，故直线l 的方程为9160x y +-=或2y =-．故(2)错； 对于(3)，若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是25111,⨯+= ，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误. 故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..21．③④【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式即可判断；③利用线性相关指数的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断详解：对于①类比推理是合情推理的重要形式则不解析：③④ 【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式，即可判断；③利用线性相关指数r 的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断. 详解：对于①，类比推理是合情推理的重要形式，则不属于演绎推理，故①错误；对于②，根据回归方程为ˆ23yx =-，可得当变量每增加1个单位，y 平均减少3个单位，故②错误；对于③，在回归分析中，r 具有以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱，故③正确；对于④，根据复数的乘法运算律，对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅，故④正确.故答案为③④.点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，考查相关关系及复数的运算，是一个考查的知识点比较多的题目，解题本题的关键是理解概念及掌握运算公式，如在回归分析中，r 具有的性质，复数遵循的运算律等．22．46【解析】第一次执行程序执行第二次程序执行第三次程序执行第四次程序符合判断框条件退出循环输出故填46点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题属于中档题处理此类问题时一般模拟程序的运行经过几次运算即可解析：46 【解析】第一次执行程序2,2(11)4i s ==⨯+=，执行第二次程序3,2(41)10i s ==⨯+=，执行第三次程序4,2(101)22i s ==⨯+=，执行第四次程序5,2(221)46i s ==⨯+=，符合判断框条件，退出循环，输出46s =，故填46．点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题。

湖南省长沙市长郡中学2016-2017学年高二第一次模块检测数学（理）试题第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 要完成下列两项调查:（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（）A. (1)用系统抽样法， (2)用简单随机抽样法B. (1)用分层抽样法,(2)用系统袖样法C. (1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法D. (1)(2)都用分层抽样法2. 某校共有1200名学生，现采用分层抽样方法抽取一个容量为200的样本进行健康状况调查，若抽到男生比女生多10人，则该校男生共有（）A. 700名B. 600名C. 630名D. 610名3. 利用系统抽样从含有45个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中每个个体被抽到的可能性是（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 与第几次被抽取有关4. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数利中位数分别（）A. 23与26B. 31与26C. 24与30D. 26与305. 从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A. 480B. 481C. 482D. 4836. 某校高三(1)班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间错误！未找到引用源。

内，将该班所有同学的考试分数分为七组：错误！未找到引用源。

，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112 分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A. 10B. 12C. 20D. 407. 数据5，7，7，8，10，11的标准差是（）A. 8B. 4C. 2D. 18. 已知错误！未找到引用源。