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2020版高中数学 第一章 算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例课件 新人教B版必修3

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高中数学第一章算法初步1.3.1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课件2新人教A版必修3

高中数学第一章算法初步1.3.1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课件2新人教A版必修3

5.用更相减损术求294和84的最大公约数时,第一步是 【解析】由于294和84都是偶数,先用2约简. 答案:用2约简
.
一、辗转相除法与更相减损术 根据辗转相除法与更相减损术求两个正整数最大公约数的步骤,探究下列问题: 探究1:(1)用辗转相除法可以求两个正整数m,n的最大公约数,那么用什么逻辑 结构来设计算法?其算法步骤如何设计?
1.辗转相除法可解决下列问题中的 ( ) A.求两个正整数的最大公约数 B.多项式求值 C.求两个正整数的最小公倍数 D.排序问题 【解析】选A.辗转相除法可以求两个正整数的最大公约数.
2.用更相减损术可求得78与36的最大公约数是 ( ) A.24 B.18 C.12 D.6 【解析】选D.先用2约简得39,18;然后辗转相减得39-18=21, 21-18=3,18-3=15,15-3=12,12-3=9,9-3=6,6-3=3.所以所求的最大公约数为 3×2=6.
种算法由欧几里得在公元前300年左右首先提出,因而又叫
_____________. (2)算法步骤: 第一步,给定两个正整数m,n. 第二步,计算m除以n所得的余数r. 第三步,m=n,n=r. r=0 则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步. 第四步,若____,
欧几里得算法
2.更相减损术
莫忘记求得的相等两数乘以约简的数才是所求最大公约数.
二、秦九韶算法 根据秦九韶算法的含义和步骤探究下列各题: 探究1:秦九韶算法的实质是什么? 提示:秦九韶算法的实质是:求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1 +…+a1x+a0的值时,转化为求n个一次多项式的值,共进行n次乘法运算和n次加 法运算.这种算法的运算次数较少,是多项式求值比较先进的算法.

2019_2020学年高中数学第一章算法初步1.3算法案例课件新人教A版必修3

2019_2020学年高中数学第一章算法初步1.3算法案例课件新人教A版必修3

课堂探究·素养提升
题型一 求最大公约数 [例1] 分别用辗转相除法和更相减损术求779与209的最大公约数.
解:法一 辗转相除法: 779=209×3+152, 209=152×1+57, 152=57×2+38, 57=38×1+19, 38=19×2. 所以,779与209的最大公约数为19.
法二 更相减损术法: 779-209=570,570-209=361,361-209=152,209-152=57,152-57=95, 95-57=38,57-38=19,38-19=19. 所以779和209的最大公约数为19.
方法技巧
求两个正整数的最大公约数的问题,可以用辗转相除法,也可以用更 相减损术.
思考3:不同进位制之间的数是否能比较大小?
答案:能.都可以把其化为相同进位制的数,然后比较其大小.
名师点津
常见的进位制 (1)二进制:①只使用0和1两个数字;②满二进一,如1+1=10. (2)八进制:①使用0,1,2,3,4,5,6,7八个不同的数字;②满八进一,如 7+1=10. (3)十六进制:①使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F这十六个不 同的数码,其中A,B,C,D,E,F分别代表十进制中的10,11,12,13,14,15; ②满十六进一,如F+1=2+E=10.
新知导学·素养养成
1.求两个正整数的最大公约数的算法
(1)辗转相除法(欧几里得算法)的算法步骤: 第一步,给定 两个正整数m,n . 第二步,计算 m除以n所得的余数r . 第三步, m=n,n=r . 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于 m ;否则返回 第二步 .

高中数学 第一章 算法初步 1.3 算法案例 新人教A版必修3

高中数学 第一章 算法初步 1.3 算法案例 新人教A版必修3

探究点二 秦九韶算法及其应用(规范解答) (本题满分 12 分)利用秦九韶算法求多项式 f(x)＝x6－5x5 ＋6x4＋x2＋3x＋2 当 x＝－2 时的值．
[解] 将多项式变式为 f(x)＝(((((x－5)x＋6)x＋0 )x＋1)x＋ 3)x＋2，(2 分)
v0＝1 ，(4 分) v1＝－2＋(－5)＝－7， v2＝－7×(－2)＋6＝20， v3＝20×(－2)＋0＝－40， v4＝－40×(－2)＋1＝81， v5＝81×(－2)＋3＝－159， v6＝－159×(－2)＋2＝320. (10 分)
2．秦九韶算法
功能
一元 n 次多项式改写后的形式
Hale Waihona Puke 用于计算f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝__(a_n_x_n_－_1_＋__a_n－__1x_n_－_2_＋__…__＋__a_1_)x_＋___a_0
一__元___n_次__多__项__式_ ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
的值
＝…
＝_(_…__(_(a_n_x_＋__a_n_－_1_)x_＋___a_n－_2_)_x_＋__…__＋__a_1_)_x_＋__a_0
计算方法
从括号最内层开始，由内向外逐层计算 v1＝anx＋an－1， v2＝v1x＋an－2， v3＝_v_2x_＋__a_n_－_3_， … vn＝vn－1x＋a0， 这样，求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n__个__一__次__多__项__式______的值
所以 119(10)＝315(6)．
探究点一 求最大公约数 用辗转相除法求 612 与 468 的最大公约数，并用更相减 损术检验所得结果． (链接教材 P36 例 1)

高中数学第一章算法初步13中国古代数学中的算法案例应用案巩固提升课件新人教B版必修3

高中数学第一章算法初步13中国古代数学中的算法案例应用案巩固提升课件新人教B版必修3

第一章 算法初步
5．m 是一个正整数，对于两个正整数 a，b，如果 a－b 是 m 的倍数，则称 a，b 对模 m 同余，用符号 a≡b(Mod m)表示， 则下列各式中不正确的为( ) A．12≡7(Mod 5) B．21≡10(Mod 3) C．34≡20(Mod 2) D．47≡7(Mod 40) 解析：选 B.逐一验证，对于 A，12－7＝5 是 5 的倍数；对于 B， 21－10＝11 不是 3 的倍数；对于 C，34－20＝14 是 2 的倍数； 对于 D，47－7＝40 是 40 的倍数，故选 B.
第一章 算法初步
12．已知多项式 p(x)＝3x5＋9x4＋x3＋kx2＋4x＋11，当 x＝3 时 值为 1 616，则 k＝________． 解析：由秦九韶算法，得 p(x)＝((((3x＋9)x＋1)x＋k)x＋4)x＋11. 则当 x＝3 时， p(3)＝(((((9＋9)×3＋1)×3)＋k)×3＋4)×3＋11 ＝(495＋3k＋4)×3＋11 ＝9k＋1 508＝1 616， 所以 k＝12. 答案：12
第一章 算法初步
解：(1)加法运算次数为 n，乘法运算次数为 1＋2＋3＋…＋n ＝n（n2＋1），所以共需 n＋n（n2＋1）＝n（n2＋3）(次)． (2)加法运算次数为 n 次，乘法也为 n 次，共需 2n 次．
第一章 算法初步
[B 能力提升] 11．若 int(x)是不超过 x 的最大整数(如 int(4.3)＝4，int(4)＝4)， 则下列程序的目的是( )
第一章 算法初步
9．求 324，243，135 的最大公约数． 解：(324，243)→(81，243)→(81，162)→(81，81)，故 81 是 324 与 243 的最大公约数． 又(135，81)→(54，81)→(54，27)→(27，27)， 故 27 是 81 与 135 的最大公约数． 所以 324，243，135 的最大公约数为 27.

高中数学第一章算法初步13中国古代数学中的算法案例课件新人教B版必修3

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2．用更相减损之术求得 68 和 86 的最大公约数是( )
A．2
B．4
C．6
D．16
解析：选 A.由更相减损之术得，86－68＝18，68－18＝50，50
－18＝32，32－18＝14，18－14＝4，14－4＝10，10－4＝6，
6－4＝2，4－2＝2，故 68 和 86 的最大公约数是 2.
秦九韶算法的步骤
当 x＝5 时，求多项式 f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7 的值． 解：f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7 ＝((((2x－5)x－4)x＋3)x－6)x＋7， v0＝2， v1＝2×5－5＝5， v2＝5×5－4＝21， v3＝21×5＋3＝108， v4＝108×5－6＝534， v5＝534×5＋7＝2 677. 所以 f(5)＝2 677.
复习课件
高中数学第一章算法初步1.3中国古代数学中的算法案例课件新人教B版必 修国古代数学中的算法案例课 件新人教B版必修3
第一章 算法初步
1．3 中国古代数学中的算法案例
第一章 算法初步
1.理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法． 2. 掌握等值算法、割圆术、秦九韶算法的程序及算法步骤．
v4＝87×2＋0＝174， v5＝174×2＋0＝348， v6＝348×2＋2＝698， v7＝698×2＋1＝1 397. 所以当 x＝2 时，f(x)＝1 397. 同理可求当 x＝－1 时，f(x)＝－1， 又因为 f(－1)f(2)＝－1 397<0， 则 f(x)在区间[－1，2]上有零点．
再求 49 与 133 的最大公约数： 133－49＝84， 84－49＝35， 49－35＝14， 35－14＝21， 21－14＝7， 14－7＝7. 所以 147，343，133 的最大公约数是 7. 所以每瓶最多装 7 g.

算法初步课件PPT

算法初步课件PPT

C. 答案： C
数学 必修3
第一章 算法初步
学案·新知自解 教案·课堂探究 练案·学业达标
秦九韶算法及其应用 多维探究型
用秦九韶算法求多项式 f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.166 67x3＋0.041 67x4＋
0.008 33x5 在 x＝－0.2 时的值. 解析： f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.166 67x3＋0.041 67x4＋0.008 33x5 ＝((((0.008 33x＋0.041 67)x＋0.166 67)x＋0.5)x＋1)x＋1， 而 x＝－0.2，所以有 υ0＝a5＝0.008 33，υ1＝υ0x＋a4＝0.04， υ2＝υ1x＋a3＝0.158 67，υ3＝υ2x＋a2＝0.468 27， υ4＝υ3x＋a1＝0.906 35，υ5＝υ4x＋a0＝0.818 73， 即 f(－0.2)＝0.818 73.
数学 必修3
第一章 算法初步
学案·新知自解 教案·课堂探究 练案·学业达标
1.1 443 与 999 的最大公约数是( )
A.99
B.11
C.111
D.999
解析： 用更相减损术，1 443－999＝444，999－444＝555，555－444＝111，
444－111＝333，333－111＝222，222－111＝111，所以 111 是最大公约数，故选
数学 必修3
第一章 算法初步
学案·新知自解 教案·课堂探究 练案·学业达标
进位制之间的转化 多维探究型
(1)把十进制数 89 化为三进制数. (2)把五进制数 3241(5)转化为八进制数. 解析： (1)具体的计算方法如下： 89＝3×29＋2；29＝3×9＋2；9＝3×3＋0；3＝3×1＋0；1＝3×0＋1. 所以 89＝10 022(3). 或用下面的除法算法表示. 把上式中各步所得余数从下向上排列，得 89＝10 022(3).

人教版高中数学必修三课件：1.3 算法案例(共55张PPT)


解:用辗转相除法求最大公约数:612=468×1+144,468=144×3+36,144=36×4,即612
和468的最大公约数是36. 用更相减损术检验:612和468均为偶数,两次用2约简得153和117,153-117=36,11736=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以612和468的最大公约数为
转化为求n个一次多项式的值.
预习探究
知识点二 进位制
1.进位制:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定“满k进一”就 是 k进制 ,k进制的基数(大于1的整数)就是 k . 2.将k进制数化为十进制数的方法:先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和 的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果. 3.将十进制数化为k进制数的方法是 除k取余法 .即用k连续去除十进制数所得 的 商 ,直到商为零为止,然后把各步得到的余数 倒序 写出.所得到的就是相应的k 进制数. 4.k进制数之间的转化:首先转化为十进制数,再转化为 k进制数.
第一章 算法初步
1.3 算法案例 第2课时 秦九韶算法与进位制
预习探究
知识点一 秦九韶算法
1.秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的一 个用于计算多项式值的方法. 2.秦九韶算法的方法: 把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写成下列的形式: f(x)=(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0= ((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…=

高中数学：1.1.3《中国古代数学中的算法案例》名师课件(新人教B版)

…… S64=S63+263
输出S64 结束
概念探究—变量
思考：能否用一个变量完成程序的设计？
输入
SS==231223,,ii==2312
S=SS+i
S=247S,=i=23123
输出
S=24,i=12
输入 S=42
S=S+5 i=i+1 SS==24+795
输出
SS==42,i,i==32
S=24,i=23
循环结构概念：
根据指定条件决定是否重复执行一条或多条 指令的控制结构称循环结构。
循环结构的一般格式：
先判断循
先执行一次
累计，后判
环条件，
断是否满足
再决定是 执行循环 体还是退
循 环 体
循环条件再 决定是执行 循环体还是
出循环体
退出循环体
概念深化—流程
开始
SS==000,,nn=1
10n12301≤1≤≤01100000? 否 是 SS=1S=1+=+10……S+0+6+3211+10+n100320
画出求解的流程图吗？
开始
Байду номын сангаас
顺序结构：
S1=1； S2=S1+2； S3=S2+22； S4=S3+23；
……
S64=S63+263
1次加法 1次加法 1次加法,2次乘法 1次加法,3次乘法
1次加法,63次乘法
缺点：在解决变量较多的问题时， 用顺序结构过程变得繁琐。
S1=1 S2=S1+2 S3=S2+4
分析：
n an an+1 an+2

高中数学第一章算法初步1.3.1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法A版获奖课件名师公开课


3.填空:问题2中的算法比问题1中的算法少了6次乘法运算,大大
简化了运算过程.问题2中的算法就叫秦九韶算法.
一般地,
f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+an-2xn-3+…+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…
146的公约数有什么关系? 提示8 251的最大约数是2 146的约数,同样6 105与2 146的公约数
也是8 251的约数,故8 251与6 105的最大公约数也是6 105与2 146 的最大公约数.
3.又6 105=2 146×2+1 813,同理,6 105与2 146的公约数和2 146
探究一
探究二
思维辨析
探究一 求两个正整数的最大公约数
【例1】 求下列两数的最大公约数: (1)228与2 223; (2)612与468. 分析228与2 223相差较大,用辗转相除法求最大公约数;612与468 相差较小,用更相减损术求最大公约数. 解:(1)用辗转相除法求228与2 223的最大公约数.
2 223=228×9+171, 228=171×1+57, 171=57×3.
所以228和2 223的最大公约数为57.
探究一
探究二
思维辨析
(2)首先612和468都是偶数,所以用2约简,得到306和234,还是偶数, 需要再用2约简,得到153和117,最后用更相减损术计算.
153-117=36, 117-36=81, 81-36=45, 45-36=9, 36-9=27, 27-9=18, 18-9=9.

数学课件：1-3-1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法


[正解] 4)x＋2，
f(x)＝3x4＋0· x3＋2x2＋4x＋2＝(((3x＋0)x＋2)x＋
v1＝3×(－2)＋0＝－6； v2＝－6×(－2)＋2＝14； v3＝14×(－2)＋4＝－24； v4＝－24×(－2)＋2＝50. 故f(－2)＝50.
基础巩固训练
1．辗转相除法可解决下列问题中的( A．求两个正整数的最大公约数 B．求多项式求值 C．进位制的转化计算 D．排序问题
v*x＋a v＝__________
i＝i－1 WEND PRINT v END
设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的 结构是( )
A．顺序结构 B．条件结构 C．循环结构 D．以上都有
[答案] D
思路方法技巧
辗转相除法和更相减损术的应用
学法指导 更相减损术与辗转相除法都能求两个数的最大公约数， 二者的区别与联系如下表.
[答案] D
B．i＞＝11 D．i＜11
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修3
科目一考试 驾驶员理论考试 科目二考试 场地考试 科目三考试 实际道路考试 科目四考试 安全文明驾驶常识考试 2016年驾驶员试题网学车试题大全
名称
辗转相除法 ①以除法为主． ②两个整数差值 较大时运算次数
更相减损术 ①以减法为主． ②两个整数的差值较大时，运 算次数较多． ③相减，两数相等得结果． ④相减前要做是否都是偶数的 判断．
区别 较少． ③相除余数为零 时得结果．
名称
辗转相除法
更相减损术
①都是求最大公约数的方法． 联系 ②二者的实质都是逆归的过程． ③二者都要用循环结构来实现.
偶数 ．若是，用___ 2 约简；若不是，执行第二步． _____ 减 去较小的数，接着把所得的差与 第二步，以较大的数___ 大 数减___ 小 数．继续这个操作，直到所 较小的数比较，并以___
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v3＝40×2－160＝－80， v4＝－80×2＋240＝80， v5＝80×2－192＝－32， v6＝－32×2＋64＝0. ∵f(2)＝0，即 x＝2 时，原多项式的值为 0.
变式训练 已知函数 f(x)＝x4－2x2－5x＋6，用秦九韶算法，求 f(10)的值． 解：f(x)＝x4＋0×x3－2x2－5x＋6＝(((x＋0)x－2)x－5)x＋6， 所以 v0＝1， v1＝1×10＋0＝10， v2＝10×10－2＝98， v3＝98×10－5＝975， v 4＝975×10＋6＝9 756， ∴f(10)＝9 756.
1.3 中国古代数学中的算法案例
1.了解割圆术中无限逼近的数学思想． 2.理解更相减损之术的含义，了解其执 课标 行过程．(重点) 解读 3.掌握秦九韶算法的计算过程，并了解 它提高计算效率的实质．(难点、易错 点)
知识一 求两个正整数最大公约数的算法 【问题导ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】 1．如何求 18 与 54 的最大公约数？ 【提示】 短除法． 2．要求 6 750 与 3 492 的最大公约数，上述法还好用吗？ 【提示】 数值太大，短除法不方便用．
(1)更相减损之术(等值算法) 用两个数中较大的数减去较小的数，再用差数 和 较小的数 构成新的一对数，对这一对数再用大数 减小数，以同样的操作一直做下 去，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数． (2)辗转相除法(欧几里得算法) 用较大的数除以较小的数所得的余数 和较小的数 构成新的一对数， 继续做上面的除法，直到 大数被小数除尽 ，这个较小的数就是最大 公约数.
【防范措施】 理解并掌握秦九韶算法，直接法乘法运算的次数 最多可达n(n2＋1)次，秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最 多 n 次，加法最多 n 次．
P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0， 令 vk＝ (…(anx＋an－1)x＋…＋an－(k－1))x＋an－k，
秦九韶算法中的运算次数理解错误 典例 已知 f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6，用秦九韶算法求这 个多项式当 x＝2 时的值时，做了几次乘法？几次加法？
【错解】 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式 f(x)＝((((x ＋2)x＋3)x＋4)x＋5)x＋6.
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当 x＝2 时的值： v1＝2＋2＝4；v2＝2v1＋3＝11；v3＝2v2＋4＝26；v4＝2v3＋5＝57； v5＝2v4＋6＝120.
显然，在 v1 中未做乘法，只做了 1 次加法；在 v2，v3，v4，v5 中 各做了 1 次加法，1 次乘法．因此，共做了 4 次乘法，5 次加法．
【错因分析】 在 v1 中虽然“v1＝2＋2＝4”，而计算机还是做了 1 次乘法“v1＝2×1＋2＝4”．因为用秦九韶算法计算多项式 f(x)＝anxn＋an －1xn－1＋…＋a1x＋a0 当 x＝x0 时的值时，首先将多项式改写成 f(x)＝ (...(anx＋an－1x＋…＋a1)x＋a0，然后再计算 v1＝anx＋an－1，v2＝v1x＋an －2，v3＝v2x＋an－3…，vn＝vn－1x＋a0，无论 an 是不是 1，这次的乘法都 是要进行的．
知识2 割圆术 用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算 圆周率π
的一种方法. 知识3 秦九韶算法 【问题导思】
1．怎样计算多项式 f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1 当 x＝5 时的值呢？ 统计所做的计算的种类及计算次数分别是什么？
【提示】 f(5)＝55＋54＋53＋52＋5＋1＝3 906.根据我们的计算统 计可以得出我们共需要 10 次乘法运算，5 次加法运算．
所以 319 与 261 的最大公约数是 29. 等值算法：319－261＝58,261－58＝203,203－58＝145,145－58 ＝87,87－58＝29,58－29＝29. 即 (319,261)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(58,29)→(29,29)． 所以 319 与 261 的最大公约数是 29.
变式训练 用“等值算法”(更相减损之术)求下列两数的最大公约数． (1)98,280；(2)72,168. 解：(1)(98,280)→(98,182)→(98,84)→(14,84)→
(14,70)→(14,56)→(14,42)→(14,28)→(14,14)． ∴最大公约数为 14. (2)(72,168)→(72,96)→(72,24)→(48,24)→(24,24)． ∴最大公约数为 24.
则递推公式为
v0＝an vk＝vk－1x＋an－k
其中
k＝1,2，…，n.
(2)计算 P(x0)的方法 先计算 最内层括号 ，然后 由内向外 逐层计算， 直到 最外层括号 ，然后加上 常数项 .
类型一 最大公约数的求法 例 1 分别用辗转相除法和等值算法求 319 和 261 的最大公约数．
解：辗转相除法：319÷261＝1(余 58)，261÷58＝4(余 29)，58÷29 ＝2(余 0)．
类型二 秦九韶算法 例 2 用秦九韶算法计算多项式 f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2 －192x＋64 当 x＝2 时的值． 解：将 f(x)改写为 f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64， 由内向外依次计算一次多项式当 x＝2 时的值． v0＝1， v1＝1×2－12＝－10， v2＝－10×2＋60＝40，
2．我们把多项式变形为 f(x)＝x2(1＋x(1＋x(1＋x)))＋x＋1，再统 计一下计算当 x＝5 时的计算的种类及计算次数分别是什么？
【提示】 从里往外计算仅需 4 次乘法和 5 次加法运算即可得出 结果．
(1)把一元 n 次多项式 P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 改写为