2014年湖南高考数学及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页. 时量120分钟. 满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 满足ii z z +=（i 为虚数单位）的复数z = 【 B 】A. 11i 22+B. 11i 22- C. 11i 22-+ D. 11i 22--【解析】由题意i 11i i z =i i 122z z +=⇔=--,选B【考点定位】复数：复数四则运算.2. 对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ,则【 D 】A. 123=p p p <B. 231=p p p <C. 132=p p p <D. 123==p p p 【解析】简单随机抽样、系统抽样和分层抽样都是等概率抽样, 123==p p p ,选D. 【考点定位】统计：随机抽样.3. 已知(),()f x g x 分别是定义R 在上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)+(1)f g 【 C 】 A. 3- B. 1- C. 1 D. 3 【解析】由题意23()1,(),(1)(1)1f x x g x x f g =+=-+=,选C 【考点定位】函数：函数的奇偶性. 【 A 】C. 5D. 202k =时, ()232331102202T x y x y ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭,选A.q ：若x y >，则22x y >. 在命题③()p q ∧⌝； ④()p q ⌝∨【 C 】C. ②③D. ②④ 为真命题当命题,所以②③为真命题,故选C.6. 执行如图1所示的程序框图，如果输入的[t ∈-则输出的S 属于 D 】A. [6,2]--B. [5,1]--C. [4,5]-D. [3,6]- 【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(]32,6S t =-∈-(]2211,9t t =+∈,当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--, 则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【考点定位】算法：程序框图；二次函数.7. 一块石材的几何体三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于 【 B 】A. 1B. 2C. 3D. 4 【解析】由图可得该几何体为三棱柱, 所以最大球的半径为正视图直角三角 形内切圆的半径r ,则86r r -+-2r ⇒=, 故选B. 【考点定位8. 市这两年生产总值的年平均增长率为】A.2p q+ B.(1)(1)12p q ++- 1【解析】设前两年的平均增长率为x ,则有1-【考点定位】函数应用题9. 已知函数()sin()f x x ϕ=-，且230()f x dx π=⎰】5π7π C. 3x π=D. 6x π=22cos =0cos cos 33ππϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫-+⇔=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 2k π+，即3k πϕπ=+. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()sin()f x x ϕ=-的一个3k ππ+.故选A..10. 已知函数()(0)2f x x e x =+-<与2()ln()x x x a =++的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 【 B 】A. (,-∞B. (-∞C. (D. ( 【解析】由题可得函数()f x 的图像上存在点020001(,)(0)2x P x x e x +-<关于y 轴对称的点02001(,)2x Q x x e -+-在函数2()ln()g x x x a =++的图像上，正视图 侧视图从而有()0220001ln()2x x e x x a +-=-+-+,即001ln()02x e x a --+-=. 问题等价于函数1()ln()2x h x e x a =--+-在(),0x ∈-∞存在零点, 法一：1'()0x h x e x a=+>-+,()h x 在(),0x ∈-∞单调递增， 当x →-∞时，()h x →-∞，要使()h x 在(),0-∞存在零点，则1(0)1ln 02h a =-->， 从而a <法二：问题等价于函数1()2xx e φ=-与()x ϕ的图象在(),0-∞有交点,的图象，当()ln()x x a ϕ=-+(0)(0)h ϕ>即可，即a【考点定位】函数：指、对数函数；方程.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5（一）选做题：在11,12,1311. 在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，极坐标方程是 . 是O 的两条弦，,BC AB ⊥，则O 的半径等于 】几何证明选讲：垂径定理，相交弦定理，射影定理.5133x ⎫<<⎬⎭，则a = .3a =-,故填3-..（二）必做题（14~16题）14. 若变量,x y 满足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k = .【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2, 且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,A O CB 图3所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-, 当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-. 【考点定位】线性规划15. 如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b <O ，原点O 为AD 的中点，抛物线经过,C F 两点，则ba= . 【答案】1+【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩2220a b ab a b ⇒--=⇒【考点定位】抛物线16. 在平面直角坐标系中，O 为原点， (1A -1CD =，则OA OB OD ++的最大值是 .【答案】1【解析】动点D 的轨迹是以C 为圆心，1)，(2OD +=)sin ϕϕ==OA OB OD ++的取到最大值1.. 23和35. 现安排甲组. 120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望.【解析】记{E =甲组研发新产品成功}，{F =乙组研发新产品成功}.由题设知2132(),(),(),()3355P E P E P F P F ====且E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.（Ⅰ）记{E =至少有一种新产品研发成功}，则H EF =,于是122()()()3515P H P E P F ==⋅=,故所求的概率为13()1()15P H P H =-=. （Ⅱ）设企业可获利润为X ，则X 的可能取值为0,100,120,220.因122133(0)(),(100)(),35153515224236(120)(),(220)().35153515P X P EF P X P EF P X P EF P X P EF ===⋅====⋅====⋅====⋅=【考点定位】三角函数：解三角形.19.（本小题满分12分）如图6，四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，11111,,AC BD O AC B D O == 四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若60,CAB ∠=︒，求二面角11C OB D --的余弦值.【解析】（Ⅰ）如图（a ），因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥，同理1DC BD ⊥.因为11//CC DD ，所以1CC BD ⊥，而AC BD O =，因此1CC ⊥平面ABCD , 由题设知11//O O C C ，故1O O ⊥平面ABCD .（Ⅱ）解法1：如图（a ），过1O 作11O H B C ⊥于H ，连接1C H . 由（Ⅰ）知，1O O ⊥平面ABCD ，所以1O O ⊥平面1111A B C D 于是111O O AC ⊥,又四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等， 所以1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥,从而11AC ⊥平面11B BDD 所以111AC OB ⊥,于是1OB ⊥平面11O HC ，进而11OB C H ⊥, 所以11O HC ∠为二面角11C OB D --的平面角,不妨设2AB =,因为060CBA ∠=，所以11,OB OC OB = 在11Rt OO B ∆中，易知11111O O O H B O B O =⋅1C H =故1111cos O H O HC C H ∠====即二面角11C OB D --解法2：因为四棱柱1111-ABCD A B C D 因此AC BD ⊥,又1O O ⊥平面ABCD 如图（b ）,以1,,OB OC OO 所在直线分别为轴、轴、轴，2=, 1.1(0,1,2)C . (,,)x y z 是平面100OB OC ⋅=⋅=，即3，则x =.设二面角1C OB -二面角11C OB D --. 【考点定位】立体几何：线面垂直，二面角.20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足111,,*.nn n a a a p n N +=-=∈（Ⅰ）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值； （Ⅱ）若12p =，且{}2+1n a 是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式. 1【解析】（Ⅰ）因为数列{}n a 是递增数列，11.nn n n n a a a a p ++-=-=而11a =，因此2231,1,a p a p p =+=++又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而得230p p -=.解得1,0.3p p ==当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故13p =. （Ⅱ）{}2+1n a 是递增数列，因而2+1210n n a a -->，于是()()2+122210n n n n a a a a --+-> ①但2211122n n -<，所以 2+12n n a a -由①，②知，2210n n a a -->，因此221n n a a --=因为{}2n a 是递减数列，同理可得21n a +212n n a a +-=由③，④知，()111.2n n n na a ++--==于是1()n n a a -+-()()()1111111412112233212n nnn ------+++=+⋅+..1(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，离心率34,F F ，离心率为2e ，已知12e e =，且241F F . （Ⅰ）求12C C ，的方程； （Ⅱ）1F 过作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为 AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两 点时，求四边形APBQ 面积的最小值. 【解析】（Ⅰ）因为122e e =22212b a +=即4434a b -=，因此 F F222,a b =从而24(,0),,0)F b F241b F F -=，所以1b =，22a =故椭圆1C 方程为2212x y +=,双曲线2C 的方程为2212x y -=. （Ⅱ）因为直线AB 不垂直于y 轴且过点()11,0F -，故课设直线AB 的方程为1x my =-.由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得 ()222210my my +--=易知此方程的判别式大于0.因此()12122x x m y y +=+-直线PQ 的斜率为2m -，PQ 由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得()222m x -设点到直线PQ 的距离为d ，则点到直线PQ 的距离也为d ，所以)2220mx y +<，于是222y -,四边形面积122S PQ d =⋅=而2022m <-<，故当0m =时，S 取得最小值2. 四边形APBQ 面积的最小值为2.【考点定位】解析几何：椭圆，双曲线，直线与圆锥曲线位置关系.22.（本小题满分13分）已知常数0a >，函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x +-=++,（*） 因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,当1a ≥时,()'0f x ≥,此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增,单调递减上单调递减 ，（ⅰ）当10x -<<时，()2()2ln 2g x x x=-+-，所以222222'()x g x x x x -=-=因此，()g x 在()1,0-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<， 故当102a <<时，12()()0f x f x +< （ⅱ）当01x <<时，2()2ln 2g x x x=+-，所以222222'()x g x x x x-=-= 因此，()g x 在()0,1上单调递减，从而()(1)0g x g >=，故当112a <<时，12()()0f x f x +> 综上所述，满足条件的a 的取值范围是为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值，不等式.。

湖南师大附中2014届高三高考模拟卷（一）数学（文）试题命题：朱海棠 舒玻 洪利民 审题：高三文科数学备课组（考试范围：高中文科数学全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z=1a ii+-（a ∈R, i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则a=（ ） A ． -1B ．0C ． 1D ．22．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3}，B={3，4}，设集合M={a ，b}，若(U M A B ⊆U ð，则a+b 的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93．已知直线l 1：2(1)(3)750m x m y m ++-+-=和l 2：(3)250m x y -+-=，若l 1⊥l 2，则（ ） A ．m= -2 B ．m=3 C ．m=-1或3 D ．m=3或-24．已知某几何的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．83 B ．8C D ．5．设命题p ：∃x 0>0，使20x +2x 0+a=0（a 为实常数），则p ⌝为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．a <0 B ．a ≤-1 C ．a<l D ．a>-2 6．为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试，右图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是[50,150]，样本数据分组为[50, 70），[70,90) ,[90,110)，[110 ,130)，[130,150]．已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，则样本中每分钟输入汉字个数不小于70个且小于130个的人数是 A ．60 B ．66 C ．90 D ．135 7．已知函数f （x ）=Asin （x ωϕ+）（A>0，ω>0，2πϕ≤）在一个周期内的图象如图所示，则()6f π的值为A ．2B CD ．18．已知函数f （x ）=2x，设g （x ）=(),()22,()2f x y x f x ≥⎧⎨<⎩，则函数g （x ）的单调递减区间是 （ ）A ．[0,+∞）B ．[1,+∞）C ．（-∞，0]D ．（-∞，-1]9．设点P 是椭圆222516x y +=1上的动点，F 1为椭圆的左焦点，M （6，4）为定点，则|PM|+|PF 1|的最大值是（ ） A ．15B ．C ．10D ．10．设A ，B ，C 为圆O 上三点，且AB=3，AC=5，则AO uuu r ·BC =u u ur （ ）A ． -8B ．-1C ．1D ．8二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把各题答案的最简形式写在题中的横线上。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．满足(z ii i z +=为虚数单位）的复数z = A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i--2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、zxxk 系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,,p p p 则A ．123p p p =<B ．231p p p =<C ．132p p p =<D ．123p p p == 3．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则＝A ．－3B ．－1C ．1D ．34．51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是zxxk A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．205．已知命题22:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题 ①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中，真命题是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④6．执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于 A ．[6,2]-- B ．[5,1]-- C ．[4,5]- D ．[3,6]-7．一块石材表示的几何何的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于A ．1B ．2C ．3D ．48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A ．2p q + B ．(1)(1)12p q ++- C ．pq D ．(1)(1)1p q ++-9．已知函数230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且则函数()f x 的图象的一条对称轴是A ．56x π=B ．712x π=C ．3x π=D ．6x π= 10．已知函数zxxk 221()(0)()ln()2x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称的点，则a的取值范围是 A ．1(,)e -∞ B ．(,)e -∞ C ．1(,)e e - D ．1(,)e e- 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :,(1sin x C y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数）交于A B ，两点，则AB ｜｜＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 12．如图，已知,AB BC 是O 的两条弦，,3,22,AO BC AB BC ⊥==则O 的半径等于13．若关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51{|}33x x -<<，则a = （二）必做题（14－16题）14．若变量,x y 满足约束条件4y xx y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为－6，则k =15．如图，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点，则16．在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(0,3),(3,0),A B C -动点D 满足||1,CD OA OB OD =++则｜｜的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2335和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立． 求至少有一种新产品研发成功的概率； 若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．18． （本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，127.AD CD AC ＝，＝，＝ 求cos CAD ∠的值； 若721cos ,sin ,146BAD CBA ∠=-∠=求zxxk BC 的长．19． （本小题满分12分） 如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等，11111,,AC BD O AC B D O == 四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形． 证明：1;O O ABCD ⊥底面若1160,CBA C OB D ∠=-- 求二面角的余弦值．20． （本小题满分13分）已知数列{n a }满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； 若12p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，zxxk 求数列{n a }的通项公式．21． （本小题满分13分）如图，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线22222:1x y C a b -=的左、右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ．已知123,2e e =且24||3 1.F F =-求12,C C 的方程；过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB 的中点．当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．22． （本小题满分13分）已知常数20,()ln(1).2xa f x ax x >=+-+函数 讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；若()f x 存在两个极值点12,,x x 且12()()0,f x f x +>求a 的zxxk 取值范围．2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学理科参考答案 一.选择题. 1.【答案】B 【解析】由题可得()111122z i i i z i zi z i i z i z i +-=⇒+=⇒-=-⇒==--,故选B. 【考点定位】复数2.【答案】D 【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D. 【考点定位】抽样调查3.【答案】C【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=()()111f g ⇒+=,则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=,故选C.【考点定位】奇偶性4.【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则2n =时, ()()2532351121022022nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A. 【考点定位】二项式定理5.【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词6.【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=- ,故选D.【考点定位】程序框图 二次函数7.【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则2286862r r r -+-=+⇒=,故选B.【考点定位】三视图 内切圆 球8.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++()()111x p q ⇒=++-,故选D.【考点定位】实际应用题9.【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++,因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 所以23k πϕπ=+或423k ππ+,则56x π=是其中一条对称轴,故选A.【考点定位】三角函数图像 辅助角公式10.【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=,当0x 取决于负无穷小时,()001ln 2xe x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的,所以()01ln 002e a -+->ln ln a e a e ⇒<⇒<,故选B.【考点定位】指对数函数 方程二.填空题.11.【答案】2sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+,因为弦长2AB =,所以圆心()2,1到直线l的距离0d =,所以圆心在直线l上,故1y x =-2sin cos 1sin 42πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭,故填2sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 【考点定位】极坐标 参数方程12.【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,则2BD DC ==,由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =,由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒= ,则直径332AE r =⇒=,故填32.【考点定位】勾股定理 双割线定理13.【答案】3-【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-.【考点定位】线性规划15.【答案】21+【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩21a b ⇒=+,故填21+. 【考点定位】抛物线16.【答案】23【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则设为()[)()3c o s,s i n 0,2θθθπ+∈,则()()223cos 1sin 3OA OB OD θθ++=+-++ ()82cos 3sin θθ=++,因为cos 3sin θθ+的最大值为2,所以OA OB OD ++的最大值为1223=,故填23.【考点定位】参数方程 圆 三角函数17.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 17.【答案】(1)1315(2)详见解析 【解析】(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件,则事件B 为一种新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23,35, 则()2312211353515P B ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据对立事件概率之间的公式可得()()13115P A P B =-=,所以至少一种产品研发成功的概率为1315. (2)由题可得设该企业可获得利润为ξ,则ξ的取值有0,1200+,1000+,120100+,即0,120,100,220ξ=,由独立试验的概率计算公式可得:()2320113515P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;()23412013515P ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭;()2311001355P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭;()232220355P ξ==⨯=;所以ξ的分布列如下:ξ0 120 100 220 ()P ξ215 41515 25则数学期望24120120100220151555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯322088130=++=. 【考点定位】分布列 期望 独立试验的概率18.如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,7AD CD AC ===. (1)求cos CAD ∠的值; (2)若7cos 14BAD ∠=-,21sin 6CBA ∠=,求BC 的长.18.【答案】(1) 27cos 7CAD ∠=(2)67【解析】解:(1)由DAC ∆关于CAD ∠的余弦定理可得222cos 2AD AC DC CAD AD AC +-∠= 174217+-=⨯⨯277=,所以27cos 7CAD ∠=. (2)因为BAD ∠为四边形内角,所以s i n 0BAD ∠>且sin 0CAD ∠>,则由正余弦的关系可得sin BAD ∠=21891cos 14BAD -∠=且221sin 1cos 7CAD CAD ∠=-∠=,再有正弦的和差角公式可得()sin sin sin cos sin cos BAC BAD CAD BAD CAD CAD BAD ∠=∠-∠=∠∠-∠∠18927217147714⎛⎫=⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭=333714+37=,再由ABC ∆的正弦定理可得 sin sin AC BC CBA BAC =∠∠737216BC ⇒=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭67=. 【考点定位】正余弦定理 正余弦之间的关系与和差角公式19.如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O == ,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形. (1)证明:1O O ⊥底面ABCD ;(2)若060CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.19.【答案】(1) 详见解析 (2)25719【解析】(1)证明: 四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等 ∴四边形ABCD 和四边形1111A B C D 均为菱形11111,AC BD O AC B D O == ∴1,O O 分别为11,BD B D 中点四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形 ∴1//OO 11//CC BB 且11,CC AC BB BD ⊥⊥ 11,OO BD OO AC ∴⊥⊥又 AC BD O = 且,AC BD ⊆底面ABCD 1OO ∴⊥底面ABCD .(2)过1O 作1B O 的垂线交1B O 于点E ,连接11,EO EC .不妨设四棱柱1111ABCD A BC D -的边长为2a . 1OO ⊥底面ABCD 且底面ABCD //面1111A B C D 1OO ∴⊥面1111A B C D 又11O C ⊆ 面1111A B C D 111OC OO ∴⊥四边形1111A B C D 为菱形 1111O C O B ∴⊥ 又111OC OO ⊥ 且1111OO O C O = ,111,O O O B ⊆面1OB D 11O C ∴⊥面1OB D 又1B O ⊆ 面1OB D 111B O OC ∴⊥又11BO O E ⊥ 且1111O C O E O = ,111,O C O E ⊆面11O EC 1B O ∴⊥面11O EC∴11O EC ∠为二面角11C OB D --的平面角,则1111cos O EO EC EC ∠= 060CBA ∠= 且四边形ABCD 为菱形 11O C a ∴=,113,BO a =22111112,7OO a B O B O OO a ==+=, 则1111111112221sin 377O O a O E B O O B O B O a a B O a=∠===再由11O EC ∆的勾股定理可得22221111121977EC O E O C a a a =+=+=, 则1111cos O E O EC EC ∠=221257719197a a ==,所以二面角11C OB D --的余弦值为25719. 【考点定位】线面垂直 二面角20.已知数列{}n a 满足111,nn n a a a p +=-=,*n N ∈.(1)若{}n a 为递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求P 的值;(2)若12p =,且{}21n a -是递增数列,{}2n a 是递减数列,求数列n a 的通项公式. 20.【答案】(1)13p = (2) 1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩ 为奇数为偶数【解析】解:(1)因为数列{}n a 为递增数列,所以10n n a a +-≥,则11n nn n n n a a p a a p ++-=⇒-=,分别令1,2n =可得22132,a a p a a p -=-=2231,1a p a p p ⇒=+=++,因为123,2,3a a a 成等差数列,所以21343a a a =+()()224113130p p p p p ⇒+=+++⇒-=13p ⇒=或0,当0p =时,数列n a 为常数数列不符合数列{}n a 是递增数列,所以13p =.(2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以2121n n a a +->且222n n a a +<,则有22221221222121n n n n n n n n a a a a a a a a +-++-+-<-⎧⇒-<-⎨<⎩,因为 (2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以21210n n a a +-->且2220n n a a +-<()2220n n a a +⇒-->,两不等式相加可得()21212220n n n n a a a a +-+--->2212221n n n n a a a a -++⇒->-,又因为2212112n n n a a ---=22212112n n n a a +++>-=,所以2210n n a a -->,即2212112n n n a a ---=,同理可得2322212n n n n a a a a +++->-且2322212n n n n a a a a +++-<-,所以212212n n n a a +-=-,则当2n m =()*m N ∈时,21324322123211111,,,,2222m m m a a a a a a a a ---=-=--=-= ,这21m -个等式相加可得2113212422111111222222m m m a a --⎛⎫⎛⎫-=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212222111111111224224113321144m m m -----=-=+-- 22141332m m a -⇒=+ .当21n m =+时, 2132432122321111,,,,2222m m m a a a a a a a a +-=-=--=-=- ,这2m 个等式相加可得2111321242111111222222m m m a a +-⎛⎫⎛⎫-=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2122211111111224224113321144m m m ---=-=--- 21241332m m a +=- ,当0m =时,11a =符合,故212241332m m a --=- 综上1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩ 为奇数为偶数. 【考点定位】叠加法 等差数列 等比数列21.如图7,O 为坐标原点,椭圆1:C ()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知1232e e =,且2431F F =-. (1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.【答案】(1) 2212x y += 2212x y -= (2)4 【解析】解:(1)由题可得2212221,1b b e e a a=-=+,且22122F F a b =-,因为1232e e =,且222224F F a b a b =+--,所以22223112b b a a -+= 且222231a b a b +--=-2a b ⇒=且1,2b a ==,所以椭圆1C 方程为2212x y +=,双曲线2C 的方程为2212x y -=. (2)由(1)可得()21,0F -,因为直线AB 不垂直于y 轴,所以设直线AB 的方程为1x ny =-,联立直线与椭圆方程可得()222210n y ny +--=,则222A B n y y n +=+,则22m n y n =+,因为(),M M M x y 在直线AB 上,所以2222122M n x n n -=-=++,因为AB 为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得21222222222M n AB e x n =+=++()224212n n +=+,则直线PQ 的方程为2M M y n y x y x x =⇒=-,联立直线PQ 与双曲线可得22202n x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭2284x n ⇒=-,22224n y n =-则24022n n ->⇒-<<,所以,P Q 的坐标为2222228282,,,4444n n n n n n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭,则点,P Q 到直线AB 的距离为22212281441n n n nd n +---=+ ,22222281441n n n nd n -----=+ ,因为点,Q P 在直线AB 的两端所以()222221222222282244411n n n n n n d d n n ++---+==++ ,则四边形APBQ 面积()1212S AB d d =+= 22184n n +-25814n =--,因为2440n ≥->,所以当242n n =⇒=±时, 四边形APBQ 面积取得最小值为4.【考点定位】弦长 双曲线 椭圆 最值22.已知常数0a >,函数()()2ln 12x f x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围.【答案】(1)详见解析【解析】解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a ≤时, ()()21'0a a f x x a -=⇒=±,则函数()f x 在区间()210,a a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递减,在()21a a a ⎛⎫- ⎪+∞ ⎪⎝⎭单调递增的. (2) 解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a <时, ()()21'0a a f x x a -=⇒=±,则函数()f x 在区间()210,a a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递减,在()21a a a ⎛⎫- ⎪+∞ ⎪⎝⎭单调递增的. (2)函数()f x 的定义域为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭,由(1)可得当01a <<时,()()21'0a a f x x a-=⇒=±,则()21a a a --1a >-⇒ 12a ≠,则()21a a a-±为函数()f x 的两个极值点, ()()()()()12ln 121ln 12141f x f x a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+=+-+--+-⎣⎦⎣⎦()()ln 14141a a a a =--+-⎡⎤⎣⎦,因为112a <<或102a <<,则()1012a a <-<,则设()1t a a =-102t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,则()()()212ln 144f x f x t t +=-+,设函数()()2ln 144g x x x =-+102t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭, 后续有待更新!!! 【考点定位】导数 含参二次不等式 对数。

2014年高考文科数学真题（三角函数）一．选择题（共10小题）1．（2014•广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣2．（2014•广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．3．（2014•河南）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞04．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④ D．①③5．（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度6．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增8．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．9．（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称10．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为_________．12．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=_________．13．（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于_________．14．（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=_________．15．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为_________．16．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B= _________．17．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于_________．18．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=_________；sinA=_________．三．解答题（共8小题）19．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．21．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．22．（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．23．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．24．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．25．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．26．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．2014年高考文科数学真题（三角函数）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2014•广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．2．（2014•广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．解答：解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．点评：本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．3．（2014•河南）若tanα＞0，则（）A．s inα＞0 B．c osα＞0 C．s in2α＞0 D．c os2α＞0考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．解答：解：∵tanα＞0，∴，则sin2α=2sinαcosα＞0．故选：C．点评：本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．4．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．解答：解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为=π，②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，③y=cos（2x+）的最小正周期为=π，④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．5．（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．解答：解：∵由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1，∴要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度．故选：A．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．6．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是π，故选：B．点评：本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．8．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．解答：解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．点评：本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．9．（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由cos=cos（﹣）=0即可得到正确选项．解答：解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．即f（x）=cosx．∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos（﹣）=0，∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．故选：D．点评：本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．10．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．二．填空题（共8小题）11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为1．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求．解答：解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）．∴f（x）的最大值为1．故答案为：1．点评：本题考查两角和与差的正弦，考查了正弦函数的值域，是基础题．12．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：哟条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx，可得2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．解答：解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x﹣）+φ）]=sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，∴2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，∴ω=，φ=，∴f（x）=sin（x+），∴f（）=sin（+）=sin=．故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．13．（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式可得sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，结合x∈[0，2π]，可得x值，求和即可．解答：解：∵sinx+cosx=1，∴sinx+cosx=，即sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，又∵x∈[0，2π]，∴x=，或x=，∴+=故答案为：点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．14．（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的数量积公式求得2sinθcosθ﹣cos2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ解答：解：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0，0＜θ＜，∴2sinθ﹣c osθ=0，∴tanθ=，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期解答：解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．16．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B=或．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用正弦定理列出关系式，将a，sinA，b的值代入求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：∵在△ABC中，A=，a=1，b=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵a＜b，∴A＜B，∴B=或．故答案为：或点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于1．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．解答：解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，解得：c=1，则AB=c=1，故答案为：1点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=2；sinA=．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．解答：解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；∵cosC=，C为三角形内角，∴sinC==，∴由正弦定理=得：sinA===．故答案为：2；点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．三．解答题（共8小题）19．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出．解答：解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=点评：本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．解答：解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．22．（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos （α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）•（sinα﹣cosα），即（sinα﹣cosα）=•（cosα﹣sinα）2•（sinα+cosα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．23．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f（）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．24．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．考点：余弦定理的应用；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．25．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，∴f（）=Asin（+）=Asin=，∴．（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）=3[（）﹣（）]=3•2sinθcos=3sinθ=，∴sinθ=，∴cosθ=，∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）3cosθ=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．26．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用三角形的面积公式，求出sinA=，利用平方关系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．解答：解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．点评：本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．。

数学试卷 第1页（共45页） 数学试卷 第2页（共45页） 数学试卷 第3页（共45页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.满足ii z z +=（i 为虚数单位）的复数z =( )A .11i 22+B .11i 22-C .11i 22-+D .11i 22--2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ,2p ,3p ,则( ) A .123p p p =＜ B .231p p p =＜ C .132p p p =＜D .123p p p ==3.已知()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则(1)(1)f g += ( ) A .3-B .1-C .1D .34.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是 ( )A .20-B .5-C .5D .205.已知命题p ：若x y ＞,则x y -＜-；命题q ：若x y ＞,则22x y ＞.在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中,真命题是( )A .①③B .①④C .②③D .②④6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于 ( )A .[6,2]--B .[5,1]--C .[4,5]-D .[3,6]-7.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .48.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A .2p q+ B .(1)(1)12p q ++-CD19.已知函数()sin()f x x ϕ=-,且2π30()d 0f x x =⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A .5π6x =B .7π12x =C .π3x =D .π6x = 10.已知函数21()e (0)2x f x x x =+-＜与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A.(-∞ B.(-∞ C.( D.(二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）11.在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos ,1sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ,B 两点,且||2AB =.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 .12.如图3,已知AB ,BC 是O 的两条弦,AO BC ⊥,AB =BC =则O 的半径等于 .13.若关于x 的不等式|2|3ax -＜的解集为51{|}33x x -＜＜,则a = . （二）必做题（14～16题）14.若变量x ,y 满足约束条件,4,,y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥且2z x y =+的最小值为6-,则k = .15.如图4,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b ＜,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =＞经过C ,F 两点,则ba= . 16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0)A -,(0,3)B ,(3,0)C ,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120 万元；若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.-----在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------姓名________________ 准考证号_____________图1图2图3图4数学试卷 第4页（共45页） 数学试卷 第5页（共45页） 数学试卷 第6页（共45页）18.（本小题满分12分）如图5,在平面四边形ABCD 中,1AD =,2CD =,AC （Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD ∠=,sin CBA ∠= 求BC 的长.19.（本小题满分12分）如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,AC BD O =,11111AC B D O =,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足11a =,1||n n n a a p +-=,*n ∈N .（Ⅰ）若{}n a 是递增数列,且1a ,22a ,33a 成等差数列,求p 的值； （Ⅱ）若12p =,且21{}n a -是递增数列,2{}n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.21.（本小题满分13分）如图7,O 为坐标原点,椭圆1C ：()222210x y a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b -=的左、右焦点分别为3F ,4F ,离心率为2e .已知12e e =且241F F . （Ⅰ）求1C ,2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点.当直线OM 与2C 交于P ,Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.（本小题满分13分）已知常数0a ＞,函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0+)∞，上的单调性； （Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,且12()()0f x f x +＞,求a 的取值范围.图5图6图73 / 152014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析【提示】根据复数的基本运算即可得到结论. 【考点】复数的四则运算 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.【提示】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可. 【考点】二项式定理 5.【答案】C【解析】根据不等式的性质可知，若x y >，则x y -<-成立，即p 为真命题，当1x =，1y =-时，满足x y >，数学试卷 第10页（共45页）数学试卷 第11页（共45页） 数学试卷 第12页（共45页）但22x y >不成立，即命题q 为假命题，则①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ∧⌝为真命题；④()p q ⌝∨为假命题，故选：C.【提示】根据不等式的性质分别判定命题p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论. 【考点】非、或、且，真假命题 6.【答案】D【解析】当[2,0)t ∈-时，运行程序如下，221(1,9]t t =+∈，(26]3,S t -=∈-，当[0,2]t ∈时，[,1]33S t ∈--=-，则(2,6][3,1][3,6]S ∈---=-，故选D.r5 / 15【提示】由题意可得001e ln()0x x a ---+=有负根，采用数形结合的方法可判断出a 的取值范围.BD DC AD DE DE =⇒=O 的半径等于R ，先计算AD ，再计算数学试卷 第16页（共45页）数学试卷 第17页（共45页）数学试卷 第18页（共45页）【提示】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C ，F 两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p 后，得到a ，b 的关系式，再寻求b的值.||OA OB OD ++=||OA OB OD ++的取值范围为cos,sin )θθ，求得||8OA OB OD ++=+||OA OB OD ++的最大值.【提示】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，AC AD7 / 15数学试卷 第22页（共45页）数学试卷 第23页（共45页） 数学试卷 第24页（共45页）21277217147⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 37sin 23sin 216AC BACCBA∠=∠. 【提示】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos CAD ∠的值.（Ⅱ）根据cos CAD ∠，cos BAD ∠的值分别，求得sin BAD ∠和sin CAD ∠，进而利用两角和公式求得sin BAC ∠的值，最后利用正弦定理求得BC . 【考点】解三角形，余弦定理，正弦定理19.【答案】（Ⅰ）如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥. 同理1DD BD ⊥.因为11CC DD ∥，所以1CC BD ⊥. 而ACBD O =，因此1C C B D C A ⊥底面.由题设知，11O O C C ∥. 故1C O B D O A ⊥底面.（Ⅱ）如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC . 由（Ⅰ）知，1C O B D O A ⊥底面， 所以11111O O A B C D ⊥底面， 于是111O O AC ⊥.又因为四棱柱1111A B ABC C D D -的所有棱长都相等，所以四边形1111A B C D 是菱形，11112OO O BOB=19【提示】（Ⅰ）由已知中，四棱柱1111ABCD A B C D-的所有棱长都相等，AC BD O=，11111AC B D O=，四边形11ACC A和四边形11BDD B均为矩形.可得111O O CC BB∥∥且1CC AC⊥，1BB BD⊥，进而1OO AC⊥，1OO BD⊥，再由线面垂直的判定定理得到1O O ABCD⊥底面；（Ⅱ）由线面垂直，线线垂直推得111AC OB⊥，11OB C H⊥，所以11C HO∠是二面角11C OB D--的平面角.再由三角函数求得二面角11C OB D--的余弦值.【考点】线线关系、线面关系，二面角9 / 15数学试卷 第29页（共45页） 数学试卷 第30页（共45页）11(1)32nn -- 【解析】解（Ⅰ）因为{}n a 1(1)2n n --++112121()121n ---+11 / 1511(1)32nn --. }n 的通项公式为11(1)32nn --. 【提示】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令1n =，2代入求出2a 和3a ，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{}n a 是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“1||n n n a a p +-=”、不等式的可加性，求出221n n a a --和1n n a a +-，再对数列{}n a 的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{}n a 的奇数项、偶数项对应22a b a +=，从而2(F数学试卷 第34页（共45页）数学试卷 第35页（共45页） 数学试卷 第36页（共45页） 22212m m ++，22214m m ++.2222213|222122m d m m +==-+--. S 取得最小值2.13 / 15【提示】（Ⅰ）由斜率公式写出1e ，2e 把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入三角形面积公式得四边形APBQ n数学试卷第40页（共45页）数学试卷第41页（共45页）数学试卷第42页（共45页）【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决. 【考点】函数单调性，极值，导数的性质与应用15 / 15。

永州市2014年高考第三次模拟考试试卷数 学（文科）命题人：陈拥军（祁阳一中） 刘洞春（江华二中） 席俊雄（东安一中） 审题人：唐作明（永州市教科院） 注意事项：1、本试卷分试题卷与答题卷，考试结束后，只交答题卷．2、本试卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内．） 1. 设集合{|13}A x x =≤≤，{|2}B x x =≥，则AB =A ．{}2,3B ．(2,3)C ．[2,3]D ．[1,)+∞2. 复数21i+（i 为虚数单位）的虚部是 A ．1 B ．1- C ．i - D ．i3. 下列命题中的真命题．．．是 A ．2,0x R x ∀∈> B ．1,2x R x x∀∈+≥ C ．000,sin cos 2x R x x ∃∈+= D ．0001,ln ()2xx R x ∃∈>4. 随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由列联表和公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算出2K ，并由此作出结论：“有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关”，则2K 可以为 附表：A ．3.565B ．4.204C ．5.233D ．6.8425. 某三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A ．2B ．3C ．4D ．6 6. 直线1y kx =+与曲线3y ax x b =++相切于点()1,5，则a b -=6.635（第5题图）俯视图A ．2-B ．0C ．2D ．6 7. 执行右边的程序框图，那么输出S 的值为 A ．9 B ．10 C ．45 D ．55 8. 在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，12BD DC =，120o ADB ∠=，2AD =，若ADC ∆AB =A ．1BCD．9. 己知抛物线22(0)y px p =>的准线恰好过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点，两条曲线的交点的连线过双曲线的右焦点，则该双曲线的离心率为 AB ．2 CD110．已知集合{}(,)|()x y y f x Ω==，若对于任意点P 11(,)x y ∈Ω，总存在点Q 22(,)x y ∈Ω（22,x y 不同时为0），使得12120x x y y ⋅+⋅=成立，则称集合M 是“正交对偶点集”．下面给出四个集合：①{}(,)||1|x y y x Ω==-；②{(,)|x y y Ω==； ③1(,)|2x x y y e ⎧⎫Ω==-⎨⎬⎩⎭； ④{}(,)|tan x y y x Ω== 其中是“正交对偶点集”的序号是 A ．①② B ．②C ．③D ．②④第II 卷二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．）11. 已知向量||1a =，||2b =，1a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为______. 12. 已知点A 是圆2cos ρθ=的圆心，则点A 到直线cos sin 7ρθθ=的距离是 .13. 已知函数212,2(2)2,2x x x f x x ⎧+>⎪-=⎨≤⎪⎩，则(1)f =______.14. 已知Ω＝{(,)|6,0,0}x y x y x y +<>>，{(,)|04,0,440}A x y x y x y =<<>-+>，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 中的概率为 ．15. 把数对(,)x y（,x y N+∈）按一定规律排列成如图所示的三角形数表，令ij a表示数表中第i行第j个数对.（1）64a表示的数对为.（2）已知ija对应的数对为(2,)m n（,m n为正整数），则i j+=（结果用含,m n的式子表示）.三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A xωϕ=+(0,0,)2Aπωϕ>><的部分图象如图所示.（1）求函数()f x的解析式；（2）若锐角α满足：()()16f fπαα--=，求α.17.（本小题满分12分）从某校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图和频率分布直方图如下.（1）求频率分布直方图中m的值；（2）若要从有网上购物经历的人数在区间[30,40]内的班级中任取两个班，求其中至少有一个班有网上购物经历的人数大于36的概率.18. （本小题满分12分）如图，矩形ABCD所在的平面与平面ABF互相垂直，在ABF∆中，AB=2AF，=1BF，O P、分别为AC和AF的中点.（1）求证：AB CF⊥；（2）若四棱锥F ABCD-的体积为1，求直线OP与平面ABF所成角的大小.15题图）第4行第3行第2行第1行……　……　……　……　……　……（4，1）（3，2）（2，3）（1，4）（3，1）（2，2）（1，3）（2，1）（1，2）（1，1）（第15题图）（第16题图）PODFCAB（第18题图）（第17题图）2019.（本小题满分13分）在数列{}n a 中，已知121,3a a ==，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，对于任意的2,n n N ≥∈，112(1)n n n S S S +-+=+都成立． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若1n n T a λ+≤对*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围．20.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xoy中，已知四点A，()20B -，，)1C，(D 中有且只有三点在椭圆22221(0)x y E a b a b+=＞＞：上．（1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是圆2212x y +=上的一个动点，过动点P 作直线12l l 、，使得12l l 、与椭圆E 都相切，求证：12l l ⊥．21.（本小题满分13分）已知函数()x f x e =，2()g x ax = (,0)a R a ∈≠.（1）求函数()()g x y f x =的单调区间； （2）①已知11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x <为函数()y g x =图象上的两点，g ()y x '=为()y g x =的导函数，若12012g ()y y x x x -'=-，求证：012(,)x x x ∈；②类比函数()y g x =，①中的结论在函数()y f x =中是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.永州市2014年高考第三次模拟考试试卷数学（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共50分） 1-5 CBDDA 6-10 ADCAB二、填空题（每小题5分，共25分）11．3π 12．3 13．19 14．13 15．(1) （4，3）；(2) 41m n +-三、解答题（本大题共6个小题，共75分）16.（本小题12分）解：（1）由图知2A =，4612T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭22Tπω∴== ()2s i n (2f x x ϕ∴=+ ……………………3分 由()2sin(2)2226662=⨯+=⇒⨯+=+f k ππππϕϕπ()26k k Z πωπ∴=+∈又2πϕ<，6πω∴=()2s i n (2)6f x x π∴=+ ……………………6分（2）由()()16f f παα--=⇒2sin(2)2sin 21666πππαα⎡⎤⎛⎫+--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 得1sin 2cos cos 2sinsin 2coscos 2sin66662ππππαααα+-+=1cos 202α∴=> …………………10分 又α是锐角236ππαα∴==即 ……………………12分17. （本小题12分）解：（1）由茎叶图可知，第三组的频数为4，频率为40.220=, ……………………3分 则0.20.045m == ……………………6分 （2）记事件Q ：至少有一个班有网上购物经历的人数大于36.由茎叶图可知, 有网上购物经历的人数在区间[30,40]内的班级共有5个, 不妨设为,,,,A B C D E ,其中有网上购物经历的人数大于36的2个班级为,A B .则从,,,,A B C D E 中任取2个,有AB ，AC ,AD ,AE ,BC ,BD ,BE ,CD ,CE ,DE 共10种, ……………………8分 其中,A B 至少有一个的有AB ,AC ,AD ,AE ,BC ,BD ,BE 共7种, ……10分所以7()0.710p Q ==. ……………………12分 18. （本小题12分）解：（1）ABF AB ∆在中，=2AF ，=1BF222AB BF AF ∴+= AB BF ∴⊥ ………2分 而矩形ABCD 中AB CB ⊥∴AB ⊥平面CFB ………4分 又CF BCF ⊂平面AB CF ⊥ ………6分（2）11=1=133F ABCD ABCD V S BF BC -=⋅⨯矩形BC ∴= ……………………8分 CB ⊥平面ABFCFB ∴∠为直线CF 与平面ABF 所成的角在Rt ABC 中，1BF = ，tan BCCFB BF∴∠==60o CFB ∴∠= ……………………10分又O P 、分别为AC 和AF 的中点 OP ∴∥CF∴直线OP 与平面ABF 所成角的大小等于直线CF 与平面ABF 所成角的大小，∴直线OP 与平面ABF 所成角为60o . ……………………12分19. （本小题13分）解：(1)由题意, 112(1)n n n S S S +-+=+, 当2n =时, 35a = …………………1分 当3n ≥时, 212(1)n n n S S S --+=+,两式相减得, 112n n n a a a +-+=,由等差中项性质可知{}n a 是从第二项起的等差数列, …………………3分 又21322a a a a -=-=,所以1(1)221n a a n n =+-⨯=- ……………………6分 (2) 由(1)得,111111()(21)(21)22121+==--+-+n n a a n n n n , 所以111111111[()()()()]2133557212121n nT n n n =-+-+-++-=-++, ………9分 又1210n a n +=+>,所以11n n n n T T a a λλ++≤⇔≥恒成立max 1()n n Ta λ+⇔≥ 又22111(21)44144+===+++++n n T n n a n n n n nPODFCAB （第18题图）[)1=441+++∞y n n 又在，上单调递增，∴1=n 时，11=9,9+⎛⎫= ⎪⎝⎭n min n max T y a 所以19≥λ. ……………………13分 20. （本小题13分）解：（1）由椭圆的对称性可知，点A，(D -必在椭圆E 上，即22231a b += ① ……………………2分 若点()20B -，，在椭圆上，则2,a b =0a b ＞＞不符，故点)1C在椭圆上，则22611a b += ② 联立①②解得228,4==a b ，所以，椭圆E 的方程为22184x y += ……………………5分 (2) ①当12,l l 中有一条直线的斜率不存在时，不妨设1l 的斜率不存在，因为1l与椭圆相切，则其方程为x =±当1l的方程为x =时，此时1l 与圆2212x y +=交于点2)-， 则2l 为2y =或2y =-，显然12l l ⊥；同理可证直线1l的方程为x =-12l l ⊥． ………………8分 ②当12,l l 的斜率都存在时，设点00(,)P x y ，有220012x y +=. 设经过点00(,)P x y 与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+，由0022()184y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2220000(12)4()2()80t x t y tx x y tx ++-+--=由0∆=化简整理得，2220000(8)240x t x y t y -++-=.因为220012x y +=， 所以有2220000(8)2(8)0x t x y t x -++-=. ………………11分 设直线12,l l 的斜率分别为12,t t ，因为12,l l 与椭圆都相切， 所以12,t t 满足方程2220000(8)2(8)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ⊥．综合①②知，12l l ⊥． ……………………13分21.（本小题13分）解：（1）由题意得，2(2)(),(0)x xax ax x y a e e -''==≠ ……………………1分 若0a >，则当02x x <>或时，0y '<；当02x ≤≤时，0y '≥；所以0a >时，函数()()g x y f x =的单调递减区间为(,0)(2,)-∞+∞和， 单调递增区间为[0,2]； ……………………4分 同理得0a <时，函数的单调递减区间为[0,2]，单调递增区间为(,0)(2,)-∞+∞和. ……………………5分 （2）①证明：在函数2()(0)g x ax a =≠中，22121200121212()()()2()g x g x ax ax g x ax a x x x x x x --'====+--12012(,)2x x x x x +⇒=∈，结论成立. ……………………8分 ②对于函数()y f x =，①中的结论也成立. 下面给出证明：在函数()xf x e =中，12012()()()f x f x f x x x -'=-,则有 120121212x x x y y e e e x x x x --==--. 又 12121210212x x x x x x x e e x x x e e e e e x x -<<⇔<<⇔<<- …………………10分令222()(),()=--+<xx x F x e x x e e x x 则 22()()0xF x x x e '=-<()F x ∴在2(,)x -∞上递减,则12()()F x F x >11212()∴->-x x x e x x e e ,即12112x x x e e e x x -<-. ……………………12分 同理可证 12212x x x e e e x x -<-, 综上,012(,)x x x ∈. …………………13分。

2014年湖南省怀化市高考理科数学二模试题及答案解析数 学（理科）试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1．复数534i+的共轭复数为 Ａ．34i - Ｂ．3455i - Ｃ．34i + D ．3455i + 2．已知命题2:,12p x R x x ∃∈+<；命题:q 不等式210x mx -->恒成立，那么 A ．“p ⌝”是假命题 B ．q 是真命题C ．“p 或q ”为假命题D ．“p 且q ”为真命题3．右图是2014年在怀化市举行的演讲比赛，七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，44．若223x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2x yz x+=的取值范围是 A ．2，5B ．1，5C ．12，2 D ．2，6 5．如右图，程序框图输出的结果为A.910 B ．1910 C ．1011 D ．21116．关于x 的不等式0>-b ax 的解集为)1,(-∞， 则不等式20x ax b->-的解集为 A ．(1,2)- B ．(,1)(1,2)-∞ C ．(1,2) D ．(,1)(1,2)-∞--7．已知O 为坐标原点，向量(3sin ,cos )OA αα=，(2sin ,5sin 4cos )OB ααα=-，3(,2)2παπ∈，且OA OB ⊥，则tan α值为A ．43-B ．45- C ．45D ．348．抛物线24y x =上一点P 到直线1x =-的距离与到点(2,2)Q 的距离之差的最大值为A ．3 BC ．5 D9．在空间中有一棱长为a 的正四面体，其俯视图的面积的最大值为8 9 4 4 6 4 7 37 9A ．2a B ．22a C ．24D ．24a10．已知{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，A U ∈，B U ∈，映射:f A B →.对于直线l 上任意一点A ，()B f A =，若B l ∈，我们就称f 为直线l 的“相关映射”，l 称为映射f 的“相关直线”.又知(,)(3,2)f x y y x =，则映射f 的“相关直线”有多少条A ．1B ．2C ．3D ．无数第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.（一）选作题（请考生在11、12、13三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分） 11．在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos si n 0ρθθ-=，则1C 与2C 的两个交点间的距离为 .12．AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 切线，A 为切点，⊙O 上 有两点M 、N ，直线BMN 交AD 的延长线于点C ， NC MN BM ==，2=AB ，则⊙O 的半径是_______. 13．若221x y +=，则2x y +的最大值为______.（二）必作题（14~16题）14．有4名同学站成一排，要求甲、乙两名同学必须相邻，有____种不同的站法（用数字作答）. 15．若函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，1()()2xf x =，则不等式1()2f x ≥的解集为______. 16．如图所示，在边长为3的正方形ABCD 中，有一束光线从P 点射出，到Q 点反射，1AP =，1BQ =，之后会不断地被正方形的各边反射， 当光线又回到点P 时，（1）光线被正方形各边一共反射了________次； （2）光线所走的总路程为_______________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)1的同心圆，将大圆分成两部分，小圆内部区域记为2环，圆环区域记为1环，某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚. 假设他每次必定会中靶，且投中靶内各点是随机的.（I ）求该同学在一次投掷中获得2环的概率；（II ）设X 表示该同学在3次投掷中获得的环数，求X 的分布列及数学期望.18．(本小题满分12分)如图所示，某建筑工地准备建造一间两面靠墙的三角形露天仓库堆放材料， 已知已有两面墙CA 、CB 的夹角为60°（即60ACB ∠=），现有可供建造第三面围墙的材料6米（两面墙的长均大于6米）， 为了使得仓库的面积尽可能大，记ABC θ∠=，问当θ为多少时， 所建造的三角形露天仓库的面积最大，并求出最大值？19．(本小题满分12分)如图所示，空间中有一直角三角形POA ，O ∠为直角，4OA =，3PO =，现以其中一直角边PO 为轴，按逆时针方向旋转60后，将A 点所在的位置记为B ，再按逆时针方向继续旋转120后，A 点所在的位置记为C .（I ）连接BC ，取BC 的中点为D ，求证：面PDO ⊥面PBC ；（II ）求PA 与平面PBC 所成的角的正弦值．20．(本小题满分13分)甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液300ml ，从甲容器中取出100ml 溶液，将其倒入乙容器中搅匀，再从乙容器中取出100ml 溶液，将其倒入甲容器中搅匀，这称为是一次调和，已知第一次调和后，甲、乙两种溶液的浓度分别记为：120%a =，12%b =，第n 次调和后的甲、乙两种溶液的浓度分别记为：n a ，n b .（Ⅰ）请用n a ，n b 分别表示1n a +和1n b +；（Ⅱ）问经过多少次调和后，甲乙两容器中溶液的浓度之差小于0.1% .21．(本小题满分13分)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12，椭圆上异于长轴顶点的任意点A 与左右两焦点1F ，2F （Ⅰ）求椭圆M 的标准方程；（Ⅱ）已知点(4,0)P ，联结AP 与椭圆的另一交点记为B ，若AP 与椭圆相切则视为A ，B 重合，联结2BF 与椭圆的另一交点记为C ，求2PA F C ⋅的取值范围.22．(本小题满分13分)已知函数()x f x e ax =-，1()(1)12g x ax x =--+（Ⅰ）已知区间[1,1]-是不等式()0f x >的解集的子集，求a 的取值范围；（Ⅱ）已知函数()()()x f x g x ϕ=+，在函数()y x ϕ=图像上任取两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，若存在a 使得1212()y y m x x -≤-恒成立，求m 的最大值.2014年怀化市高三第二次模拟考试统一检测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题9提示：将正四面体ABCD正方体中，可以看出 俯视图的最大值为正方体的底面积，为22a . 10提示：设直线l 的方程为y kx b =+，由(,)(3,2)f xyy x =，代入可得23x k y b =⨯+，即233by x k k=-，可得233k kb b k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：03b k =⎧⎪⎨=±⎪⎩ ， 故有2条直线 二、填空题： 11 12； 13 14．12； 15．[1,1]-； 16． 5，16提示：光线反射可视为对称，作出右图，最终光线 回到P 点，经过5次反射。

湖南数学高考试题及答案1. 选择题1.若sin(2x+45°)=cos(4x-15°)，则x的值为（）。

A. 5°B. 60°C. 75°D. 85°2.一辆小汽车从A地出发，经过2小时到达B地。

若增加行驶速度v千米/小时，只需1.5小时就能到达B地。

则从A地到B地的路程是（）。

A. vB. 1.5vC. 2vD. 2.5v3.在△ABC中，∠ACB=90°，D为BC边上的一个动点，则当直线AB经过一定的位置时，|BA|^2+|BD|^2的值（）。

A. 不变B. 增大C. 减小D. 可能增大，可能减小4.解方程2sin2x-sinx-1=0，其中x∈[0, 2π]，得x=kπ和x=（）。

A. （5/6+k)πB. （2/3+k)πC. （1/3+k)πD. kπ+π5.已知函数f(x)=（ax^2+bx+c）/x-1，且f(3)=5，f'(3)=11，则f(9)的值为（）。

A. 21B. 24C. 27D. 30答案及解析：1. 解：根据公式sinA=cos(90°-A)，可得2x+45°=4x-15°，化简得2x=60°，解得x=30°。

因此，答案选B. 60°。

2. 解：设原路程为d千米，则根据题意，可得d/v=2和d/(v+u)=1.5，其中u为原速度增加后的数值。

由此，得到d=2v和d=1.5(v+u)。

联立两式，消去d可得2v=1.5(v+u)。

解得0.5v=1.5u，化简得u=v/3。

因此，答案选C. 2v。

3. 解：根据勾股定理，以及题目中的∠ACB=90°，可得|BA|^2+|BD|^2=|DA|^2+|DB|^2。

由此可知，当直线AB通过点D时，|BA|^2+|BD|^2的值保持不变。

因此，答案选A. 不变。

4. 解：根据已知方程可得2sin^2x-sinx-1=0。

专题九 解析几何第二十七讲 双曲线2019年1.（2019全国III 理10）双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A B C ． D ．2.（2019江苏7）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .3.（2019全国I 理16）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．4.（2019年全国II 理11）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为ABC ．2D 5．（2019浙江2）渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A B ．1CD ．26.（2019天津理5）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为C.22010-2018年一、选择题1．(2018浙江)双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，B ．(2,0)-，(2,0)C ．(0,，D ．(0,2)-，(0,2)2．(2018全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：2213-=x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ．若∆OMN 为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．D ．43．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a bA ．=yB ．=yC ．2=±y x D ．2=±y x 4．(2018全国卷Ⅲ)设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为AB ．2CD5．(2018天津)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ， 且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -=6．（2017新课标Ⅱ）若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2BCD ．37．（2017新课标Ⅲ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=8．（2017天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -= 9．(2016天津)已知双曲线222=1(0)4x y b b->，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为A ．22443=1y x -B ．22344=1y x -C ．2224=1x y b -D ．2224=11x y - 10．(2016年全国I)已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．(–1,3)C ．(0,3)D ．(0,3)11．(2016全国II)已知1F ,2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为A B ．32C D ．2 12．（2015四川）过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则AB =A B ． C ．6 D ．13．（2015福建）若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于A ．11B ．9C ．5D ．314．（2015湖北）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 15．（2015安徽）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．2214y x -= D ．2214x y -= 16．（2015新课标1）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是A ．(B ．(C ．(,33-D ．(33- 17．（2015重庆）设双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F ，右顶点为A ，过F作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a 则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A ．(1,0)(0,1)-∪B ．(,1)(1,)-∞-+∞∪C ．∪D ．(,1))-∞-∞∪18．（2014新课标1）已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C的一条渐近线的距离为A B ．3 C D ．3m19．（2014广东）若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等20．（2014天津）已知双曲线22221x y a b 0,0a b 的一条渐近线平行于直线l ：210y x ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 A ．221520x y B ．221205x yC ．2233125100x y D ．2233110025x y21．（2014重庆）设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A ．34 B ．35 C ．49D ．322．（2013新课标1）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>C的渐近线方程为A ．14y x =± B ．13y x =± C ．12y x =± D ．y x =± 23．(2013湖北)已知04πθ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：22sin y θ2221sin tan y θθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ． 离心率相等 24．（2013重庆）设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是A ．(2]3 B ．[,2)3 C ．()3+∞ D ．[)3+∞ 25．（2012福建）已知双曲线22215x y a -=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于A ．14B ．4 C ．32D ．4326．（2012湖南）已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1 D ．220x -280y =1 27．（2011安徽）双曲线x y 222-=8的实轴长是A ．2B ．C ．4D ．28．（2011山东）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22136x y -=D ．22163x y -= 29．（2011湖南）设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．130．（2011天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为A ．B ．C ．D ．31．（2010新课标）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为A ．22136x y -= B ．22145x y -= C ．22163x y -= D ．22154x y -= 32．（2010新课标）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)-，则它的离心率为A B C ．2 D ．233．（2010福建）若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为A ．2B ．3C ．6D ．8 二、填空题34．(2018上海)双曲线2214x y -=的渐近线方程为 ． 35．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2c ，则其离心率的值是 ． 36．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中 ，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是1F ，2F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ．37．（2017新课标Ⅰ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若MAN ∠=60°，则C 的离心率为________．38．（2017山东）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 ．39．（2017北京）若双曲线221y x m-=m =_________．40．(2016年北京)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为正方形OABC 的边,OA OC所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a =______．41．(2016山东)已知双曲线E ：22221x y a b-=(0,0)a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2||3||AB BC =，则E 的离心率是 .42．（2015北京）已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=，则a = ．43．（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点．若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为 ．44．（2015山东）平面直角坐标系xOy 中，双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的渐近线与抛物线2C ：22x py =(0p >)交于,,O A B ，若△OAB 的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______．45．（2014山东）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为 ．46．（2014浙江）设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是____．47．（2014北京）设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．48．（2013陕西）双曲线221169x y -=的离心率为 ．49．（2014湖南）设F 1，F 2是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为_________．50．（2013辽宁）已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点，,P Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ ，则PQF ∆的周长为 ．51．（2012辽宁）已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为 ．52．（2012天津）已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为F ,则a = b = ．53．（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+则m 的值为 ．54．（2011山东）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．55．(2011北京)已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b = ．三、解答题56．（2014江西）如图，已知双曲线C ：2221x y a-=(0a >)的右焦点F ，点B A ,分别在C的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）．（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y axx l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，NFMF 恒为定值，并求此定值．57．（2011广东）设圆C 与两圆2222(5)4,(5)4x y x y ++=+=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程； （2）已知点M 3545(,5,0)55F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标．专题九 解析几何第二十七讲 双曲线答案部分2019年1. 解析 双曲线22:142x y C -=的右焦点为6,0)F ，渐近线方程为：22y x =±，不妨设点P 在第一象限，可得2tan POF ∠=63P ，所以PFO △的面积为： 133262=．故选A ．2. 解析 因为双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，所以221631b-=，解得22b =，即2b =． 又1a =，所以该双曲线的渐近线方程是2y x =±． 3.解析 如图所示，因为1F A AB =,所以A 为1F B 的中点. 又O 为12F F 的中点，所以212AOBF ，212AO BF =. 因为120F B F B ⋅=，所以1290F BF ∠=︒， 且O 为12F F 的中点，所以12212OB F F OF c ===. 由212AOBF 得2121BOF AOF BF F ∠=∠=∠，所以2OB BF =， 因此2OPF △为等边三角形，260BOF ∠=︒，即渐近线的斜率为3，也即3ba=， 所以2212b e a=+=.4．A 解析：解法一：由题意，把2c x =代入222x y a +=，得2224c PQ a =-，再由PQ OF =，得2224ca c -=，即222a c =，所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法二：如图所示，由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，所以,22c c P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，代入222x y a +=得222a c =， 所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法三：由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，则1222OP a OF ===，2c e a ==故选A ． 5．解析 根据渐进线方程为0x y ±=的双曲线，可得a b =，所以2c a =，则该双曲线的离心率为2ce a==C ． 6.解析 因为抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，所以()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.因为与双曲线()222210,0x y a b a b=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF =（为原点），所以2b AB a =，1OF =，所以24b a=，即2b a =， 所以225c a b a +=，所以双曲线的离心率为5ca==．故选D ．2010-2018年1．B 【解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为222314c a b =+=+=，所以2c =，故焦点坐标为(2,0)-，(2,0)．故选B ．2．B 【解析】因为双曲线2213-=x y 的渐近线方程为33=±y x ，所以60∠=MON ．不妨设过点F 的直线与直线3=y 交于点M ，由∆OMN 为直角三角形，不妨设90∠=OMN ，则60∠=MFO ，又直线MN 过点(2,0)F ，所以直线MN 的方程为3(2)=-y x ，由2)⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x，得32⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y3(,22M ，所以||==OM所以|||3==MN OM ．故选B ． 3．A 【解析】解法一由题意知，==ce a，所以=c，所以=b ，所以=b a=±=by x a，故选A ．解法二由===c e a，得=ba，所以该双曲线的渐近线方程为=±=by x a．故选A ． 4．C 【解析】不妨设一条渐近线的方程为by x a=， 则2F 到by x a =的距离d b ==， 在2Rt F PO ∆中，2||F O c =，所以||PO a =，所以1||PF =，又1||F O c =，所以在1F PO ∆与2Rt F PO ∆中，根据余弦定理得22212)cos cos 2a c aPOF POF ac c+-∠==-∠=-，即2223)0a c +-=，得223a c =．所以ce a==．故选C ． 5．C 【解析】通解 因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取2(,)b A c a，2(,)b B c a -，取双曲线的一条渐近线为直线0bx ay -=，由点到直线的距离公式可得221bc b d c -==，222bc b d c +==， 因为126d d +=，所以226bc b bc b c c-++=，所以26b =，得3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a b a+=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选C ． 优解 由126d d +=，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a b a+=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选C ． 6．A 【解析】双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心(2,0)到渐近线的距离为2bd c==，圆心(2,0)到弦的距离也为d ==所以2b c =222c a b =+，所以得2c a =，所以离心率2ce a==，选A ． 7．B【解析】由题意可得：b a =，3c =，又222a b c +=，解得24a =，25b =， 则C 的方程为2145x y 2-=．选B ． 8．B 【解析】设(,0)F c -，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由44PF k c c-==-，由题意有4bc a=，又c a =222c a b =+，得b =，a =．选B ．9．D 【解析】不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，所以2242x y b y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故四边形ABCD的面积为2324424bxy b b ===+，解得212b =．故所求的双曲线方程为2224=11x y -，选D ． 10．A 【解析】由题意得22()(3)0m n m n +->，解得223m n m -<<，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得M 2234m n m n ++-=，即21m =，所以13n -<<．11．A 【解析】设1(,0)F c -，将x c =-代入双曲线方程，得22221c y a b -=，化简得2by a=±，因为211sin 3MF F ∠=，所以222212112||tan ||222b MF b c a a MF F F F c ac ac -∠=====，12222c a e a c e -=-=210e --=，所以e =A ． 12．D 【解析】由双曲线的标准方程2213y x -=得，右焦点(2,0)F ，两条渐近线方程为y =，直线AB ：2x =，所以不妨设取(2,A，(2,B -，则||AB =，选D ．13．B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．14．D【解析】由题意1e ==2e ==∵()()b b m m b a a a m a a m +--=++，由于0m ，0a ，0b ， 所以当a b 时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22()()b b m a a m+<+， 所以12e e <；当a b <时，1ba>，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，22()()b b m a a m +>+， 所以12e e >．所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >．15．C 【解析】由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C ． 16．A 【解析】由题意知22a，21b ，所以23c，不妨设1(F，2F ，所以100(,)=--MF x y ，200(3,)=-MF x y ，又∵00(,)M x y 在双曲线上，所以220012x y -=，即220022x y =+，222120003310MF MF x y y ⋅=-+=-<，所以033-<<y ，故选A ． 17．A 【解析】 由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a-，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC ⊥得221b b a a c x a c-⋅=---，解得42()b c x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<=+-，所以42222b c a b a <-=221b a⇒<01b a ⇒<<，而双曲线的渐近性斜率为ba±，所以双曲线的渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-，选A ．18．A 【解析】双曲线方程为22133x y m -=，焦点F 到一条渐近线的距离为b =A ． 19．A 【解析】∵09k <<，∴90,250k k ->->，本题两条曲线都是双曲线，又25(9)(25)9k k +-=-+，∴两双曲线的焦距相等，选A ．20．A 【解析】 依题意得22225ba cc a b ，所以25a，220b ，双曲线的方程为221520x y ．21．B 【解析】由双曲线的定义得12||||||2PF PF a -=，又12||||3PF PF b +=，所以22221212(||||)(||||)94PF PF PF PF b a +--=-，即124||||9PF PF ab =，因此22949b a ab -=，即299()40b b aa --=，则（31b a +）（34ba-）=0，解得41(33b b a a ==-舍去），则双曲线的离心率53e ==．22．C 【解析】由题知，2c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C ． 23．D 【解析】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是21cos e θ==，故选D ． 24．A 【解析】设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率ba必须满足3b a <，所以21()33b a <≤，241()43b a<+≤，2<，又双曲线的离心率为c e a ==23e <≤． 25．C 【解析】∵双曲线22215x y a -=的右焦点为（3，0），∴2a +5=9，∴2a =4，∴a =2∵c =3，∴32c e a ==，故选C ． 26．A 【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==．又C 的渐近线为b y x a =±，点P(2,1)在C 的渐近线上，12ba∴=，即2a b =．又222c a b =+，a ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1．27．C 【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C ． 28．A 【解析】圆22:(3)4C x y -+=，3,c =而32bc =，则22,5b a ==，应选A ． 29．C 【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =．30．B 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为by x a=±，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得22p-=-，即4p =， 又∵42p a +=，∴2a =，将（－2，－1）代入by x a=得1b =，∴c ==2c =31．B 【解析】由双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为2222221(9)x y a b a b -=+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，即 2222112222221,1x y x y a b a b -=-= 则22121222121212015115312y y x x b b x x a y y a -+-+=⋅=⋅==-+-+，则22225,5,44b b a a ===，故E 的方程式为22145x y -=.应选B ． 32．D 【解析】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，其渐近线为x aby ±=，∵点(4,2)-在渐近线上，所以12b a =，由2e ==． 33．C 【解析】由题意，F （－1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=, 解得22003(1)4x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++， 此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=，选C ． 34．12y x =±【解析】由题意2a =，1b =，∴12b y x x a =±=±．35．2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a =2b ==，所以222234b c a c =-=，得2c a =，所以双曲线的离心率2ce a==． 36．232a x c ==，渐近线的方程为3y x =±，设3(,22P，则3(,22Q -，1(2,0)F -，2(2,0)F ， 所以四边形12F PF Q的面积为1211||||422F F PQ =⨯=． 37．3【解析】如图所示，AH MN ⊥，AM AN b ==，MAN ∠=60°， x所以30HAN ∠=，又MN 所在直线的方程为by x a=， (,0)A a 到MN的距离AH =，在Rt HAN ∆中，有cos HA HAN NA =，所以2==因为222c a b =+a c =，所以c e a ==．38．y x =【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义有1212||||22p p AF BF y y y y p +=+++=++，而||2p OF =， 所以1242py y p ++=⨯，即12y y p +=，由2222212x y a b x py⎧-=⎪⎨⎪=⎩得2222220a y pb y a b -+=，所以21222pb y y a +=， 所以222pb p a=，即a =，所以渐近性方程为2y x =±． 39．2【解析】221,a b m ==，所以1c a ==，解得2m =． 40．2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图∵OABC 为正方形，2=OA∴==c OB ，π4∠=AOB ∵直线OA 是渐近线，方程为=b y x a ，∴tan 1=∠=bAOB a又∵2228+==a b c ∴2=a41．2【解析】由题意||2BC c =，所以||3AB c =，于是点3(,)2cc 在双曲线E 上，代入方程，得2222914c c a b -=，在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==，应填2. 42．3【解析】因为双曲线()22210x y a a -=>的一条渐近线为y =，所以1a=故3a =． 43．2(,),(1)P x y x ≥，因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，所以c 的最大值为直线10x y -+=与渐近线0x y -== 44．32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±，则2222(,)pb pb A a a ，2222(,)pb pb B a a -，22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2p F ， 则22222AFpb pa a k pb b a-==，即2254b a =，2222294c a b a a +==，32c e a ==． 45．y x =±【解析】抛物线的准线2p y =-，与双曲线的方程联立得2222(1)4p x a b =+，根据已知得2222(1)4p a c b+= ①，由||AF c =得2224p a c += ②，由①②得22a b =，即a b =，所以所求双曲线的渐近线方程为y x =±．46．2【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程by x a=±可解得交点为(,)33am bm A b a b a --，(,)33am bm B b a b a -++，而13AB k =，由||||PA PB =，可得AB 的中点3333(,)22am am bm bmb a b a b a b a -+-+-+与点)0,(m P 连线的斜率为-3，可得224b a =，所以e =47．221312x y -= 2y x =±【解析】设与2214y x -=具有相同渐近线的双曲线C 的方程为224y x k -=，将点()2,2代入C 的方程中，得3k =-．∴双曲线的方程为221312x y -=，渐近线方程为2y x =±．48．45【解析】。