[历年真题]2014年湖南省高考数学试卷(文科)

【全国高考数学试卷】2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文)一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）200.,10A x R x ∃∈+> 200.,10B x R x ∃∈+≤ 200.,10C x R x ∃∈+< 200.,10D x R x ∀∈+≤3.对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p ==4.下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -=6.若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.[]6,2--B.[]5,1--C.[]4,5-D.[]3,6-8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将学科 网石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.49.若1201x x <<<，则（ ）A.2121ln ln xxe e x x ->-B.2121ln ln xxe e x x -<-C.1221xxx e x e >D.1221xxx e x e <10.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，()03B ，,()30C ，，动点D 满足 1CD =u u u r ,则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r的取值范围是（ ）A.[]46，B.19-119+1⎡⎤⎣⎦，C.2327⎡⎤⎣⎦， D.7-17+1⎡⎤⎣⎦，二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.复数23ii+（i 为虚数单位）的实部等于_________.12.在平面直角坐标系中，曲线2 22:212x tCy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）的普通方程为___________.13.若变量yx，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14yyxxy，则yxz+=2的最大值为_________.14.平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F的距离和到直线1-=x的距离相等.若机器人接触不到过点()01，-P且斜率为k的直线，则k的取值范围是___________.15.若()()ax ex f x++=1ln 3是偶函数，则=a____________.三、解答题：本大题共6小题，学科 网共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年 研发新产品的结果如下：()()()()()()()()()()()()()()()b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，ρρρρρρρρρρ 其中a a ρ，分别表示甲组研发成功和失败；b b ρ，分别表示乙组研发成功和失败.（I ）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研 发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（II ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率. 18.（本小题满分12分） 如图3，已知二面角MN αβ--的大小为60o ，菱形ABCD 在面β内，,A B 两点在棱MN 上，60BAD ∠=o ，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .（1）证明：AB ⊥平面ODE ；（2）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.19.（本小题满分13分）如图4，在平面四边形ABCD 中，32,2,7,1,π=∠===⊥ADC EA EC DE AB DA , 3π=∠BEC（1）求CED ∠sin 的值； （2）求BE 的长20.（本小题满分13分）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b -=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. （1）求12,C C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r？证明你的结论.21.（本小题满分13分） 已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>.（1）求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<L。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求． （1）【2014年湖南，文1，5分】设命题2:,10p x R x ∀∈+>,则p ⌝为（ ）（A ）200,10x R x ∃∈+> (B ）200,10x R x ∃∈+≤ （C ）200,10x R x ∃∈+< （D ）200,10x R x ∀∈+≤ 【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题p 的否定为200,10x R x ∃∈+≤，故选B ． （2)【2014年湖南，文2,5分】已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则A B =（ )（A ）{|2}x x > （B ）{|1}x x > (C ）{|23}x x << （D ）{|13}x x << 【答案】C【解析】由题可得{|23}A B x x =<<，故选C ．(3)【2014年湖南，文3，5分】对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ,则（ ）（A ）123p p p =< (B)231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p == 【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==，故选D ． （4)【2014年湖南，文4，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间(),0-∞上单调递增的是( )（A ）21()f x x =（B ）2()1f x x =+ （C ）3()f x x = (D)()2xf x -=【答案】A【解析】根据函数奇偶性的判断可得选项A 、B 为偶函数，C 为奇函数，D 为非奇非偶函数，所以排除C 、D 选项．由二次函数的图像可得选项B 在(),0-∞是单调递减的，根据排除法选A ．因为函数2y x =在(),0-∞是单调递减的且1y x=在()0,+∞是单调递增的，所以根据复合函数单调性的判断同增异减可得选项A 在(),0-∞是单调递减的，故选A ．（5）【2014年湖南,文5，5分】在区间[]2,3-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）（A ）45 （B)35 (C ）25 （D ）15【答案】B【解析】在[]2,3-上符合1X ≤的区间为[]2,1-，因为[]2,3-的区间长度为5且区间[]2,1-的区间长度为3,所以根据几何概型的概率计算公式可得35p =,故选B ． （6）【2014年湖南，文6,5分】若圆221:1C x y +=21x=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =( ）(A ）21 （B ）19 （C ）9 （D ）11- 【答案】C【解析】因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-，所以25025m m ->⇒<且圆2C的圆心为()3,4,半径为25m -，根据圆和圆外切的判定可得()()2230401259m m -+-=+-⇒=,故选C ．(7）【2014年湖南，文7，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于( )（A ）[]6,2-- （B)[]5,1-- （C ）[]4,5- （D ）[]3,6- 【答案】D【解析】当[]2,0t ∈-时,运行程序如下:(]2211,9t t =+∈，(]32,6S t =-∈-，当[]0,2t ∈时，(]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-，故选D ．(8）【2014年湖南,文8，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于( ）（A)1 (B ）2 （C ）3 (D ）4 【答案】B 【解析】由图可得该几何体为三棱柱，因为正视图、侧视图和俯视图的内切圆半径最小的是正视图（直角三角形）所对应的2121ln ln x x e x x x -<- C.内切圆，所以最大球的半径为正视图直角形内切 圆的半径r ，则2286862r r r -+-=+⇒=，故选B ．（9）【2014年湖南，文9，5分】若1201x x <<<，则（ ）（A ）2121ln ln x x e e x x ->- （B ）2121ln ln x x e e x x -<- (C ）1221x x x e x e > （D ）1221x x x e x e < 【答案】C【解析】设()ln x f x e x =-,则(]0,1x ∈时,()1xf x e x'=-的符号不确定，()f x ∴的单调性不确定．设()x e g x x =,则()0,1x ∈时，()()210xx eg x x -'=<，()g x ∴在()0,1上单调递减，()()1212122112x x x x e e g x g x x e x e x x ∴<⇒<⇒<,故选C ．(10)【2014年湖南,文10，5分】在平面直角坐标系中，O 为原点,(1,0),(03),(30)A B C -，，，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是( ）（A)[4,6] （B ）[19119+1]-， （C ）[2327]，（D ）[717+1]-， 【答案】D【解析】点D 的轨迹是以C 为圆心的单位圆，设()[)()3cos ,sin 0,2D θθθπ+∈，则OA OB OD ++()()()223cos 1sin 3822cos 3sin θθθθ=+-++=++．因为2cos 3sin θθ+的取值范围是()()222223,237,7⎡⎤⎡⎤-++=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故827,82771,71OA OB OD ⎡⎤⎡⎤++∈-+=-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦,故选D ． 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．(11）【2014年湖南,文11，5分】复数23i i +（i 为虚数单位）的实部等于 ．【答案】3-【解析】由题可得所以23i 3i i +=--，3i --的实部为3-．（12）【2014年湖南，文12,5分】在平面直角坐标系中,曲线222:212x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为 ．【答案】10x y --= 【解析】联立222:212x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t 可得110x y x y -=⇒--=．（13）【2014年湖南，文13，5分】若变量y x ，满足约束条件41y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为 ．【答案】7【解析】作出不等式组41y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域如下，则根据线性规划的知识可得目标函数2z x y =+在点()3,1处取得最大值7．（14）【2014年湖南，文14,5分】平面上以机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直 线1x =-的距离相等．若机器人接触不到过点()10P -，且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 ． 【答案】()(),11,-∞-+∞【解析】由题设知机器人在以点(1,0)F 为焦点的抛物线24y x =上,且()1y k x =+与抛物线24y x =无交点，()22441y xy y k k y k x ⎧=⎪⇒=⋅+⇒⎨=+⎪⎩方程204y k y k ⋅-+=无实根，则0k ≠且2101k k ∆=-<⇒<-或1k >, 所以()(),11,k ∈-∞-+∞．（15）【2014年湖南，文15，5分】若()()3ln 1xf x e ax =++是偶函数,则a = ．【答案】23-【解析】因为()f x 为偶函数，所以()()()()33ln 1ln 1x x f x f x e ax e ax --=⇒+-=++⇒()()333ln 13ln 1322x x e x ax e ax x ax a +--=++⇒-=⇒=-．三、解答题:本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2014年湖南,文16，12分】已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS n N *+=∈，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2(1)n ann n b a =+-,求数列{}n b 的前2n 项和．解：（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，∴*()n a n n N =∈． (2）由题意得：2(1)2(1)n a n n n n n b a n =+-=+-，∴数列{}n b 的前2n 项和2n T 为22212(222)(12342)22n n n T n n +=++++-+-+-+=-+． （17）【2014年湖南，文17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下： (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b其中a a ，分别表示甲组研发成功和失败;b b ，分别表示乙组研发成功和失败． （1）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平；（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．解：(1）甲组研发新产品的成绩为1,1，1,0，0,1,1,1，0，1,0,1,1,0，1，其平均数为102==153x 甲．方差为2221222=[(1)10(0)5]15339S -⨯+-⨯=甲;乙组研发新产品的成绩为1,0，1，1,0，1,1，0,1，0,0，1,0,1,1,其平均数为93==155x 乙．方差为2221336=[(1)9(0)6]155525S -⨯+-⨯=乙 22><x x S S 甲乙甲乙，，∴甲组的研发水平优于乙组的研发水平．（2）记E =｛恰有一组研发成功}，在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b 共有7个，根据古典概型的概率计算公式可得()715P E =． (18）【2014年湖南,文18,12分】如图，已知二面角MN αβ--的大小为60°，菱形ABCD在面β内，,A B 两点在棱MN 上，BAD ∠=60°,E 是AB 的中点,DO ⊥面α，垂足为 O ．(1）证明:AB ⊥平面ODE ；（2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值． 解：（1）∵DO α⊥，AB α⊂，∴DO AB ⊥．∵四边形ABCD 问菱形，60BAD ∠=︒，连结BD ，则ABD ∆为正三角形．又E 为AB 的中点，∴DE AB ⊥．而DO DE D =,∴AB ⊥平面ODE ． （2）∵//BC AD ，∴ADO ∠是直线BC ，OD 所成的角． 由（1)知,AB ⊥平面ODE ,∴AB OE ⊥，AB DE ⊥，∴DEO ∠是二面角MN αβ--的平面角,∴60DEO ∠=︒．设2AB =,则2AD =，3DE =，3sin 602DO DE =︒=．连结AO ，则3cos 4DO ADO AD ∠==，∴异面直线BC ，OD 所成的角的余弦值为34．（19）【2014年湖南，文19,13分】如图，在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥,1DE =,7EC =，2EA =，23ADC π∠=，3BEC π∠=． (1）求sin CED ∠的值； （2）求BE 的长． 解：（1）在CDE ∆中，222+2cos EC CD DE CD DE EDC =-⋅⋅∠．即227+1+CD CD =，2+60CD CD -=，2CD ∴=（3CD =-舍去），设CED α∠=，sin sin EC CDD α=∠，即722sin sin 3πα=，21sin 7α∴=． (2）0<<3πα，21sin 7α=，27cos 7α∴=， 2227cos cos()cos cos +sin sin 33314AEB πππααα∴∠=-==， 在ABE ∆中，cos EAAEB BE ∠=，247cos 7/14EA BE AEB ∴===∠．(20）【2014年湖南，文20，13分】如图，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)y x C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． （1）求12,C C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．解：（1)设2C 的焦距为22c ，则12222a c ==，∴121a c ==．23(,1)3P 在1C 上，∴2212123:()13y C b -=,213b =． 由椭圆定义知，2222223232()(11)()(11)2333a =+-+++=，∴23a =，2222222b a c =-=， ∴12,C C 的方程分别为22221,1332y y x x -=+=．（2）不存在符合题设条件的直线．①若l x ⊥轴，∵l 与2C 只有一个公共点，∴l 的方程为2x =或2x =-．当2x =时，易得()2,3A ,()2,3B-， ||22,||23OA OB AB +==,此时||||OA OB AB +≠．②若l 不垂直x 轴，设:l y kx m =+，代入双曲线方程整理得222(3)230k x k m x m ----=．当l 与1C 有两个交点()11,A x y ，()22,B x y 时，12223k mx x k +=-，212233m x x k +=-,于是222212121212233()()()3k m y y kx b kx b k x x km x x m k -=++=+++=-，再将y kx b =+代入椭圆方程整理得222(23)4260k x k m x m +++-=，∵l 与2C 只有一个公共点，∴由0∆=,可得2223k m =-,于是有22222212122222333323303333m k m k m k OA OB x x y y k k k k +--+--⋅=+=+==≠----∴2222||||||||40OA OB AB OA OB OB OA OA OB +-=+--=⋅≠，即||||OA OB AB +≠． 综合①②可知，不存在符合题设条件的直线．（21）【2014年湖南,文21,13分】已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>．（1)求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第*()i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<．解:（1）()cos sin cos f x x x x x '=--，令()0f x '=，则*()x k k N π=∈． 当(2,2)()x k k k N πππ∈+∈时,()0f x '<，当(2,22)()x k k k N ππππ∈++∈时，()0f x '>，∴()f x 的单调减区间为(2,2)()k k k N πππ+∈, ()f x 的单调增区间为(2,22)()k k k N ππππ++∈． （2)由(1）知,()f x 在区间(0,)π上单调递减,∵()02f π=,∴12x π=．当*n N ∈时，∵1()()[(1)1][(1)(1)1]0n n f n f n n n πππππ+⋅+=-+⋅-++<， 且()f x 的图像是连续不断的，∴()f x 在区间(,)n n πππ+内至少有一个实根,又()f x 在区间(,)n n πππ+上是单调的，∴1n n x n πππ+<<+．由此可得 222222221211111111111[41][41]23(1)1223(2)(1)n x x x n n n ππ+++<+++++<+++++-⨯⨯--2222111111111162[41(1)()()](411)(6)22321113n n n n ππππ=++-+-++-=++-=-<<---- 综上可知，对一切*n N ∈,都有2221211123n x x x +++<．。

2014年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2014•湖南）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0D．∀x0∈R，x02+1≤0【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项【解答】解∵命题p：∀x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题．∴￢p：∃x0∈R，x02+1≤0．故选：B．2．（5分）（2014•湖南）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3}【分析】直接利用交集运算求得答案．【解答】解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}．故选：C．3．（5分）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3．故选：D．4．（5分）（2014•湖南）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x【分析】本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增，得到本题结论．【解答】解：选项A，，∵f（﹣x）==f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．∵f（x）=x﹣2，﹣2＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减，∴根据对称性知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增；适合题意．选项B，f（x）=x2+1，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不合题意．选项C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意．选项D，f（x）=2﹣x在（﹣∞，+∞）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意．故选：A．5．（5分）（2014•湖南）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论．【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则﹣2≤X≤3，则X≤1的概率P=，故选：B．6．（5分）（2014•湖南）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）A．21B．19C．9D．﹣11【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．【解答】解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，∴圆心C2（3，4），半径为．∵圆C1与圆C2外切，∴，解得：m=9．故选：C．7．（5分）（2014•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t ﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D．8．（5分）（2014•湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则8﹣r+6﹣r=，∴r=2．故选：B．9．（5分）（2014•湖南）若0＜x1＜x2＜1，则（）A．﹣＞lnx2﹣lnx1B．﹣＜lnx2﹣lnx1C．x2＞x1D．x2＜x1【分析】分别设出两个辅助函数f（x）=e x+lnx，g（x）=，由导数判断其在（0，1）上的单调性，结合已知条件0＜x1＜x2＜1得答案．【解答】解：令f（x）=e x﹣lnx，则f′（x）=，当x趋近于0时，xe x﹣1＜0，当x=1时，xe x﹣1＞0，因此在（0，1）上必然存在f′（x）=0，因此函数f（x）在（0，1）上先递减后递增，故A、B均错误；令g（x）=，，当0＜x＜1时，g′（x）＜0．∴g（x）在（0，1）上为减函数，∵0＜x1＜x2＜1，∴＞，即＞．∴选项C正确而D不正确．故选：C．10．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]【分析】由于动点D满足||=1，C（3，0），可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．又A（﹣1，0），B（0，），∴++=，．∴|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|++|的取值范围是，．或|++|=|++|，=（2，），将其起点平移到D点，由其与CD同向反向时分别取最大值、最小值，即|++|的取值范围是，．故选：D．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2014•湖南）复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3．【分析】直接由虚数单位i的运算性质化简，则复数的实部可求．【解答】解：∵=．∴复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3．故答案为：﹣3．12．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为x﹣y﹣1=0．【分析】利用两式相减，消去t，从而得到曲线C的普通方程．【解答】解：∵曲线C：（t为参数），∴两式相减可得x﹣y﹣1=0．故答案为：x﹣y﹣1=0．13．（5分）（2014•湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为7．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，1），此时z=2×3+1=7，故答案为：7．14．（5分）（2014•湖南）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是k＜﹣1或k＞1．【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围．【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0，∴k＜﹣1或k＞1．故答案为：k＜﹣1或k＞1．15．（5分）（2014•湖南）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=﹣．【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则f（﹣x）=f（x），即ln（e3x+1）+ax=ln（e﹣3x+1）﹣ax，即2ax=ln（e﹣3x+1）﹣ln（e3x+1）=ln=ln=lne﹣3x=﹣3x，即2a=﹣3，解得a=﹣，故答案为：﹣，三、解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2014•湖南）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．【分析】（Ⅰ）利用公式法即可求得；（Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=1，当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=﹣=n，∴数列{a n}的通项公式是a n=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n=2n+（﹣1）n n，记数列{b n}的前2n项和为T2n，则T2n=（21+22+…+22n）+（﹣1+2﹣3+4﹣…+2n）=+n=22n+1+n﹣2．∴数列{b n}的前2n项和为22n+1+n﹣2．17．（12分）（2014•湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．【分析】（Ⅰ）分别求出甲乙的研发成绩，再根据平均数和方差公式计算平均数，方差，最后比较即可．（Ⅱ）找15个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是7个，求出频率，将频率视为概率，问题得以解决．【解答】解：（Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，则甲=，甲==乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1则乙=，乙==．因为甲＞乙，甲＜乙所以甲的研发水平高于乙的研发水平．（Ⅱ）记E={恰有一组研发成功}，在所抽到的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是（a，），（，b），（a，），（，b），（a，），（a，），（，b）共7个，故事件E发生的频率为，将频率视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=．18．（12分）（2014•湖南）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．【分析】（Ⅰ）运用直线与平面垂直的判定定理，即可证得，注意平面内的相交二直线；（Ⅱ）根据异面直线的定义，找出所成的角为∠ADO，说明∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，不妨设AB=2，从而求出OD的长，再在直角三角形AOD 中，求出cos∠ADO．【解答】（1）证明：如图∵DO⊥面α，AB⊂α，∴DO⊥AB，连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，∴DE⊥AB，又DO∩DE=D，∴AB⊥平面ODE；（Ⅱ）解：∵BC∥AD，∴BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角，由（Ⅰ）知，AB⊥平面ODE，∴AB⊥OE，又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，从而∠DEO=60°，不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=，在Rt△DOE中，DO=DEsin60°=，连AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO==，故异面直线BC与OD所成角的余弦值为．19．（13分）（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin ∠CED 的值； （Ⅱ）求BE 的长．【分析】（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED ，在△CDE 中，由余弦定理得EC 2=CD 2+ED 2﹣2CD•DEcos ∠CDE ， 即7=CD 2+1+CD ，则CD 2+CD ﹣6=0， 解得CD=2或CD=﹣3，（舍去）， 在△CDE 中，由正弦定理得，则sinα=，即sin ∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos ∠AEB=cos （ ）=cos cosα+sinsinα=，在Rt △EAB 中，cos ∠AEB=，故BE=．20．（13分）（2014•湖南）如图，O 为坐标原点，双曲线C 1： ﹣=1（a 1＞0，b 1＞0）和椭圆C 2： + =1（a 2＞b 2＞0）均过点P （，1），且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． （Ⅰ）求C 1、C 2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论．【分析】（Ⅰ）由条件可得a1=1，c2=1，根据点P（，1）在上求得=3，可得双曲线C1的方程．再由椭圆的定义求得a2=，可得=﹣的值，从而求得椭圆C2的方程．（Ⅱ）若直线l垂直于x轴，检验部不满足|+|≠||．若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为y=kx+m，由可得y1•y2 =．由可得（2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，根据判别式△=0，求得2k2=m2﹣3，可得≠0，可得|+|≠||．综合（1）、（2）可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C2的焦距为2c2，由题意可得2a1=2，∴a1=1，c2=1．由于点P（，1）在上，∴﹣=1，=3，∴双曲线C1的方程为：x2﹣=1．再由椭圆的定义可得2a2=+=2，∴a2=，∴=﹣=2，∴椭圆C2的方程为：+=1．（Ⅱ）不存在满足条件的直线l．（1）若直线l垂直于x轴，则由题意可得直线l得方程为x=，或x=﹣．当x=时，可得A（，）、B（，﹣），求得||=2，||=2，显然，|+|≠||．同理，当x=﹣时，也有|+|≠||．（2）若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为y=kx+m，由可得（3﹣k2）x2﹣2mkx﹣m2﹣3=0，∴x1+x2=，x1•x2=．于是，y1•y2=k2x1•x2+km（x1+x2）+m2=．由可得（2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，∴判别式△=16k2m2﹣8（2k2+3）（m2﹣3）=0，∴2k2=m2﹣3．∴=x1•x2+y1•y2=≠0，∴≠，∴|+|≠||．综合（1）、（2）可得，不存在满足条件的直线l．21．（13分）（2014•湖南）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数研究f（x）的单调区间；（Ⅱ）利用放缩法即可证明不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0），∴f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，由f′（x）=﹣xsinx=0，解得x=kπ（k∈N*），当x∈（2kπ，（2k+1）π）（k∈N），sinx＞0，此时f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（（2k+1）π，（2k+2）π）（k∈N），sinx＜0，此时f′（x）＞0，函数单调递增，故f（x）的单调增区间为（（2k+1）π，（2k+2）π），k≥0，单调递减区间为（2kπ，（2k+1）π），k∈N*）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在区间（0，π）上单调递减，又f（）=0，故x1=，当n∈N*，∵f（nπ）f（（n+1）π）=[（﹣1）n nπ+1][（﹣1）n+1（n+1）π+1]＜0，且函数f（x）的图象是连续不间断的，∴f（x）在区间（nπ，（n+1）π）内至少存在一个零点，又f（x）在区间（nπ，（n+1）π）是单调的，＜（n+1）π，故nπ＜x n+1因此当n=1时，有=＜成立．当n=2时，有+＜＜．当n≥3时，…++…+＜＜[]＜[]＜（6﹣）＜＜．综上证明：对一切n∈N*，有++…+＜．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014湖南,文1)设命题p:∀x∈R,x2+1>0,则p为()A.∃x0∈R,x02+1>0B.∃x0∈R,x02+1≤0C.∃x0∈R,x02+1<0D.∀x∈R,x2+1≤0答案:B解析:因为全称命题的否定为特称命题,所以p为∃x0∈R,x02+1≤0.故选B.2.(2014湖南,文2)已知集合A={x|x>2},B={x|1<x<3},则A∩B=()A.{x|x>2}B.{x|x>1}C.{x|2<x<3}D.{x|1<x<3}答案:C解析:由交集的概念,结合数轴(数轴略)可得A∩B={x|2<x<3}.故选C.3.(2014湖南,文3)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则()A.p1=p2<p3B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2D.p1=p2=p3答案:D解析:由随机抽样的原则可知简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即p1=p2=p3,故选D.4.(2014湖南,文4)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是()A.f(x)=1x2B.f(x)=x2+1C.f(x)=x3D.f(x)=2-x答案:A解析:由偶函数的定义知,A,B为偶函数.A选项,f'(x)=-2x3在(-∞,0)恒大于0;B选项,f'(x)=2x在(-∞,0)恒小于0.故选A.5.(2014湖南,文5)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为()A.45B.35C.25D.15答案:B解析:由几何概型的概率公式可得P(X≤1)=3,故选B.6.(2014湖南,文6)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-11答案:C解析:易知圆C1的圆心坐标为(0,0),半径r1=1.将圆C2化为标准方程(x-3)2+(y-4)2=25-m(m<25),得圆C2的圆心坐标为(3,4),半径r2=25-m(m<25).由两圆相外切得|C1C2|=r1+r2=1+25-m=5,解方程得m=9.故选C.7.(2014湖南,文7)执行如图所示的程序框图.如果输入的t∈[-2,2],则输出的S属于()A .[-6,-2]B .[-5,-1]C .[-4,5]D .[-3,6]答案:D解析:当t ∈[-2,0)时,执行以下程序:t=2t 2+1∈(1,9],S=t-3∈(-2,6];当t ∈[0,2]时,执行S=t-3∈[-3,-1],因此S ∈(-2,6]∪[-3,-1]=[-3,6].故选D .8.(2014湖南,文8)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .4答案:B 解析:由三视图可得原石材为如右图所示的直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ,且AB=8,BC=6,BB 1=12.若要得到半径最大的球,则此球与平面A 1B 1BA ,BCC 1B 1,ACC 1A 1相切,故此时球的半径与△ABC 内切圆半径相等,故半径r=6+8-102=2.故选B .9.(2014湖南,文9)若0<x 1<x 2<1,则( ) A .e x 2−e x 1>ln x 2-ln x 1 B .e x 2−e x 1<ln x 2-ln x 1 C .x 2e x 1>x 1e x 2 D .x 2e x 1<x 1e x 2答案:C解析:设f (x )=e x -ln x ,则f'(x )=x ·e x -1.当x>0且x 趋近于0时,x ·e x -1<0;当x=1时,x ·e x -1>0,因此在(0,1)上必然存在x 1≠x 2,使得f (x 1)=f (x 2),因此A,B 不正确;设g (x )=e x x,当0<x<1时,g'(x )=(x -1)e xx 2<0,所以g (x )在(0,1)上为减函数.所以g (x 1)>g (x 2),即e x 1x 1>e x 2x 2,所以x 2e x 1>x 1e x 2.故选C .10.(2014湖南,文10)在平面直角坐标系中,O 为原点,A (-1,0),B (0, 3),C (3,0),动点D 满足|CD |=1,则|OA +OB +OD |的取值范围是( ) A .[4,6] B .[ -1, +1] C .[2 3,2 7] D .[ 7-1, 7+1]答案:D解析:设动点D 的坐标为(x ,y ),则由|CD |=1得(x-3)2+y 2=1,所以D 点的轨迹是以(3,0)为圆心,1为半径的圆.又OA +OB +OD =(x-1,y+ ),所以|OA +OB +OD |= (x -1)2+(y + 3)2,故|OA +OB +OD |的最大值为(3,0)与(1,- )两点间的距离加1,即 1,最小值为(3,0)与(1,- )两点间的距离减1,即 1.故选D . 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(2014湖南,文11)复数3+i i 2(i 为虚数单位)的实部等于 .答案:-3解析:由题意可得3+i i2=3+i-1=-3-i,故复数的实部为-3. 12.(2014湖南,文12)在平面直角坐标系中,曲线C : x =2+ 2t ,y =1+ 2t(t 为参数)的普通方程为 . 答案:x-y-1=0解析:两式相减得,x-y=2-1,即x-y-1=0.13.(2014湖南,文13)若变量x ,y 满足约束条件 y ≤x ,x +y ≤4,y ≥1,则z=2x+y 的最大值为 .答案:7解析:不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,作直线l 0:2x+y=0并平移,当直线经过点A (3,1)时,在y 轴上的截距最大,此时z 取得最大值,且最大值为7. 14.(2014湖南,文14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P (-1,0)且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 . 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:由题意知,机器人行进的路线为抛物线y 2=4x.由题意知过点P 的直线为y=kx+k (k ≠0),要使机器人接触不到过点P 的直线,则直线与抛物线无公共点,联立方程得k4y 2-y+k=0,即Δ=1-k 2<0,解得k>1或k<-1. 15.(2014湖南,文15)若f (x )=ln(e 3x +1)+ax 是偶函数,则a= . 答案:-3解析:由题意得f (-x )=ln(e -3x +1)-ax=ln 1+e 3xe3x -ax=ln(1+e 3x )-ln e 3x -ax=ln(e 3x +1)-(3+a )x ,而f (x )为偶函数,因此f (-x )=f (x ),即ax=-(3+a )x ,所以a=-3.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)(2014湖南,文16)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n2,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n +(-1)n a n ,求数列{b n }的前2n 项和.分析:在第(1)问中,通过S n 可求出a n ,在求解过程中要注意分n=1和n ≥2两种情况进行讨论;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论得到b n =2n +(-1)n n ,然后利用分组求和法分别计算(21+22+…+22n )和(-1+2-3+…+2n ),最后相加得到{b n }的前2n 项和. 解:(1)当n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+n −(n -1)2+(n -1)=n.故数列{a n }的通项公式为a n =n.(2)由(1)知,b n =2n +(-1)n n.记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ,则T 2n =(21+22+…+22n )+(-1+2-3+4-…+2n ). 记A=21+22+ (22),B=-1+2-3+4-…+2n ,则A=2(1-22n )1-2=22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n ]=n.故数列{b n }的前2n 项和T 2n =A+B=22n+1+n-2.17.(本小题满分12分)(2014湖南,文17)某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ) 其中a ,a 分别表示甲组研发成功和失败;b ,b 分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率.分析:在第(1)问中,通过已知条件可分别写出甲、乙两组的成绩,然后利用平均数公式分别计算甲、乙两组的平均成绩,再结合方差公式得到甲、乙两组的方差,进而比较甲、乙两组的研发水平;在第(2)问中,充分利用古典概型的概率公式,转化为计算基本事件的个数,从而求得概率. 解:(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数为x 甲=1015=23; 方差为s 甲2=115 1-23 2×10+ 0-232×5 =29.乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1, 其平均数为x 乙=9=3; 方差为s 乙2=115 1-352×9+ 0-352×6 =625. 因为x 甲>x 乙,s 甲2<s 乙2,所以甲组的研发水平优于乙组. (2)记E={恰有一组研发成功}.在所抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),共7个.故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率,即得所求概率为P (E )=7.18.(本小题满分12分)(2014湖南,文18)如图,已知二面角α-MN-β的大小为60°,菱形ABCD 在面β内,A ,B 两点在棱MN 上,∠BAD=60°,E 是AB 的中点,DO ⊥面α,垂足为O. (1)证明:AB ⊥平面ODE ;(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.分析:在第(1)问中,可利用线面垂直的判定定理证明,由DO ⊥平面α可得到DO ⊥AB ,然后利用△ABD 为正三角形得到DE ⊥AB ,最后根据线面垂直的判定定理得出所证结论;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论AB ⊥平面ODE ,从而得到二面角α-MN-β的平面角,达到立几化平几的目的,即转化为求∠ADO 的余弦,然后利用解直角三角形的方法求出余弦值.解:(1)如图a,因为DO ⊥α,AB ⊂α,所以DO ⊥AB.图a连接BD ,由题设知,△ABD 是正三角形. 又E 是AB 的中点,所以DE ⊥AB. 而DO ∩DE=D ,故AB ⊥平面ODE.(2)因为BC ∥AD ,所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角,即∠ADO 是BC 与OD 所成的角. 由(1)知,AB ⊥平面ODE ,所以AB ⊥OE.又DE ⊥AB ,于是∠DEO 是二面角α-MN-β的平面角,从而∠DEO=60°. 不妨设AB=2,则AD=2.易知DE= 3. 在Rt △DOE 中,DO=DE ·sin 60°=3. 连接AO ,在Rt △AOD 中,cos ∠ADO=DO=32=3.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.19.(本小题满分13分)(2014湖南,文19)如图,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB ,DE=1,EC= 7,EA=2,∠ADC=2π3,∠BEC=π3. (1)求sin ∠CED 的值; (2)求BE 的长.分析:在第(1)问中,通过已知条件,借助余弦定理得到CD 的长,然后在△CDE 中,利用正弦定理得到∠CED 的正弦值;在第(2)问中,利用∠CED 的正弦值求得其余弦值,然后利用角之间的关系表示出∠AEB ,进而表示出∠AEB 的余弦值,最后在Rt △EAB 中利用边角关系,求得BE 的长. 解:如题图,设∠CED=α.(1)在△CDE 中,由余弦定理,得EC 2=CD 2+DE 2-2CD ·DE ·cos ∠EDC. 于是由题设知,7=CD 2+1+CD ,即CD 2+CD-6=0. 解得CD=2(CD=-3舍去). 在△CDE 中,由正弦定理,得EC sin ∠EDC=CDsin α. 于是,sin α=CD ·sin 2π3EC =2× 327=217,即sin ∠CED= 21.(2)由题设知,0<α<π3,于是由(1)知,cos α= 1-sin 2α= 1-2149=2 77. 而∠AEB=2π-α,所以cos ∠AEB=cos 2π-α =cos 2πcos α+sin 2πsin α=-1cos α+ 3sin α=-1×2 7+ 3×21=7.在Rt △EAB 中,cos ∠AEB=EA =2,故BE=2= 714=4 7.20.(本小题满分13分)(2014湖南,文20)如图,O 为坐标原点,双曲线C 1:x 2a 12−y 2b 12=1(a 1>0,b 1>0)和椭圆C 2:y 2a 22+x 2b 22=1(a 2>b 2>0)均过点P2 3,1 ,且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C 1,C 2的方程;(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A ,B 两点,与C 2只有一个公共点,且|OA +OB |=|AB |?证明你的结论.分析:在第(1)问中,利用已知条件结合图形以及双曲线、椭圆中a ,b ,c 的几何意义,列出关于a 1,b 1,a 2,b 2的方程,得到它们的值,从而求出双曲线C 1、椭圆C 2的方程;在第(2)问中,首先对直线l 的斜率进行分类讨论,当斜率k 不存在时易得A ,B 两点的坐标,进而判断满足题设条件的直线l 不存在;当斜率k 存在时,可先设出l 的方程,然后代入曲线方程,利用根与系数的关系并结合向量的运算,依此判断满足题设条件的直线l 不存在. 解:(1)设C 2的焦距为2c 2,由题意知,2c 2=2,2a 1=2.从而a 1=1,c 2=1.因为点P 2 33,1 在双曲线x 2-y 2b 12=1上,所以2 332−1b 12=1.故b 12=3. 由椭圆的定义知2a 2= 2 332+(1-1)+ 2 332+(1+1)=2 3.于是a 2= 3,b 22=a 22−c 22=2.故C 1,C 2的方程分别为x 2-y 23=1,y 23+x 22=1. (2)不存在符合题设条件的直线.①若直线l 垂直于x 轴,因为l 与C 2只有一个公共点,所以直线l 的方程为x= 或x=- .当x= 2时,易知A ( 2, 3),B ( 2,- 3), 所以|OA +OB |=2 2,|AB |=2 3. 此时,|OA+OB |≠|AB |. 当x=- 2时,同理可知,|OA +OB |≠|AB |.②若直线l 不垂直于x 轴,设l 的方程为y=kx+m. 由 y =kx +m ,x 2-y 2=1得(3-k 2)x 2-2kmx-m 2-3=0. 当l 与C 1相交于A ,B 两点时,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是上述方程的两个实根,从而x 1+x 2=2km 3-k2,x 1x 2=m 2+3k 2-3.于是y 1y 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=3k 2-3m 2k 2-3.由 y =kx +m ,y 2+x 2=1得(2k 2+3)x 2+4kmx+2m 2-6=0. 因为直线l 与C 2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k 2m 2-8(2k 2+3)(m 2-3)=0. 化简,得2k 2=m 2-3,因此OA·OB =x 1x 2+y 1y 2=m 2+3k 2-3+3k 2-3m 2k 2-3=-k 2-3k 2-3≠0,于是OA 2+OB 2+2OA ·OB ≠OA 2+OB 2-2OA ·OB , 即|OA +OB 2|≠|OA −OB 2|,故|OA +OB |≠|AB |. 综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线.21.(本小题满分13分)(2014湖南,文21)已知函数f (x )=x cos x-sin x+1(x>0).(1)求f (x )的单调区间;(2)记x i 为f (x )的从小到大的第i (i ∈N *)个零点,证明:对一切n ∈N *,有1x 12+1x 22+…+1n 2<2.分析:在第(1)问中,通过已知条件,借助导数,转化为判断导数在(0,+∞)上的符号,进而得出函数的单调区间;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论,得到f (x )在(n π,(n+1)π)上存在零点,从而得出n π<x n+1<(n+1)π,然后分n=1,n=2,n ≥3三种情况讨论112+122+…+1n 2的值与2的大小关系,即可得证. 解:(1)f'(x )=cos x-x sin x-cos x=-x sin x.令f'(x )=0,得x=k π(k ∈N *).当x ∈(2k π,(2k+1)π)(k ∈N )时,sin x>0,此时f'(x )<0; 当x ∈((2k+1)π,(2k+2)π)(k ∈N )时,sin x<0,此时f'(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(2k π,(2k+1)π)(k ∈N ),单调递增区间为((2k+1)π,(2k+2)π)(k ∈N ). (2)由(1)知,f (x )在区间(0,π)上单调递减. 又f π=0,故x 1=π.当n ∈N *时,因为f (n π)f ((n+1)π)=[(-1)n n π+1][(-1)n+1(n+1)π+1]<0,且函数f (x )的图象是连续不断的,所以f (x )在区间(n π,(n+1)π)内至少存在一个零点.又f (x )在区间(n π,(n+1)π)上是单调的,故n π<x n+1<(n+1)π.因此,当n=1时,1x 12=4π2<23; 当n=2时,1x 12+1x 22<1π2(4+1)<23;当n ≥3时,1x 12+1x 22+…+1x n 2<1π2 4+1+122+…+1(n -1)2 <1π2 5+11×2+…+1(n -2)(n -1) <12 5+ 1-1 + 1-1 +…+ 1n -2-1n -1 =1π2 6-1n -1<6π2<23. 综上所述,对一切n ∈N *,1x 12+1x 22+…+1x n 2<23.。

2014·湖南卷(文科数学)1．[2014·湖南卷] 设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋1＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．∃x 0∈R ，x 20＋1＜0 D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤01．B [解析] 由全称命题的否定形式可得綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋1≤0. 2．[2014·湖南卷] 已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |x ＞2} B ．{x |x ＞1}C ．{x |2＜x ＜3}D ．{x |1＜x ＜3}2．C [解析] 由集合运算可知A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}． 3．[2014·湖南卷] 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2＜p 3B ．p 2＝p 3＜p 1C ．p 1＝p 3＜p 2D ．p 1＝p 2＝p 33．D [解析] 不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等概率抽样，每个个体被抽中的概率均为nN.4．、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A ．f (x )＝1x2 B ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x4．A [解析] 由偶函数的定义，可以排除C ，D ，又根据单调性，可得B 不对． 5．[2014·湖南卷] 在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A.45 B.35 C.25 D.155．B [解析] 由几何概型概率计算公式可得P ＝1－（－2）3－（－2）＝35.6．[2014·湖南卷] 若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9 D ．－11 6．C [解析] 依题意可得C 1(0，0)，C 2(3，4)，则|C 1C 2|＝33＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m ，由r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9.7．[2014·湖南卷] 执行如图1-1所示的程序框图，如果输入的t ∈[－2，2]，则输出的S 属于( )A ．[－6，－2]B ．[－5，－1]C ．[－4，5]D ．[－3，6]7．D [解析] (特值法)当t ＝－2时，t ＝2×(－2)2＋1＝9，S ＝9－3＝6，排除A ，B ，C.8．、[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打A ．1B ．2C ．3D ．48．B [解析] 由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得R ＝6＋8－102＝2.9．[2014·湖南卷] 若0＜x 1＜x 2＜1，则( ) A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1＞x 1e x 2 D ．x 2e x 1＜x 1e x 29．C [解析] 依题可构造函数f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x （x －1）x 2.当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )＝e xx在区间(0，1)上递减，故0＜x 1＜x 2＜1时有f (x 1)＞f (x 2)，即x 2e x 1＞x 1e x 2.10．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4，6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]10．D [解析] 由|CD →|＝1，得动点D 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D (3＋cos α，sin α)，所以OA →＋OB →＋OD →＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin(α＋φ)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2∈[8－27，8＋27]，即|OA →＋OB →＋OD →|∈[7－1，7＋1]．11．[2014·湖南卷] 复数3＋ii2(i 为虚数单位)的实部等于________．11．－3 [解析] 因为3＋i i 2＝3＋i－1＝－3－i ，所以实部为－3.12．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)的普通方程为________．12．x －y －1＝0 [解析] 依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0.13．[2014·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．13．7 [解析] 依题意，画出可行域，如图所示． 由⎨⎪⎧x ＋y ＝4，得点B 的坐标为(3，1)，则z ＝2x ＋y 在B (3，1)处取得最大值7.F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．14．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [解析] 依题意可知机器人运行的轨迹方程为y 2＝4x .设直线l ：y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＜0，得k 2＞1，解得k ＜－1或k ＞1.15．[2014·湖南卷] 若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．15．－32[解析] 由偶函数的定义可得f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，∴2ax ＝－ln e 3x ＝－3x ，∴a ＝－32.16．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 16.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 17．、[2014·湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )．其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平．(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．17．解：(1)甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，其平均数为x 甲＝1015＝23，方差为s 2甲＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－232×10＋⎝⎛⎭⎫0－232×5＝29. 乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，其平均数为x 乙＝915＝35，方差为s 2乙＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－352×9＋⎝⎛⎭⎫0－352×6＝625. 因为x 甲＞x 乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，共7个，故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P (E )＝715.18．、[2014·湖南卷] 如图1-3所示，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN DO ⊥面α，垂足为O .(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．18．解：(1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB . 连接BD ，由题设知，△ABD 是正三角形，又E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB .而DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平面ODE .(2)因为BC ∥AD ，所以ADO 是BC 与OD 所成的角．由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α-MN -β的平面角，从而∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3.在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin 60°＝32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DOAD＝322＝34.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．19．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.20．、、[2014·湖南卷] 如图1-5所示，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)均过点P ⎝⎛⎭⎫233，1，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1，C 2的方程．(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB | ？证明你的结论.20．解： (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2，2a 1＝2，从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P ⎝⎛⎭⎫233，1在双曲线x 2－y 2b 21＝1上，所以⎝⎛⎭⎫2332－1b 21＝1，故b 21＝3. 由椭圆的定义知2a 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋（1－1）2＋⎝⎛⎭⎫2332＋（1＋1）2＝2 3. 于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1.(2)不存在符合题设条件的直线．(i)若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以 |OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3.此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当 x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|.(ii)若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0. 当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3.于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m 2k 2－3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0.化简，得2k 2＝m 2－3.因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0，于是OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →，即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2. 故|OA →＋OB →|≠|AB →|.综合(i)，(ii)可知，不存在符合题设条件的直线． 21．、[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝x cos x －sin x ＋1(x ＞0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)记x i 为f (x )的从小到大的第i (i ∈N *)个零点，证明：对一切n ∈N *，有1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n＜23. 21．解： (1)f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k π(k ∈N *)．当x ∈(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )时，sin x >0，此时f ′(x )<0; 当x ∈((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )时，sin x <0，此时f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )，单调递增区间为((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )．(2)由(1)知，f (x )在区间(0，π)上单调递减．又f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，故x 1＝π2.当n ∈N *时，因为f (n π)f []（n ＋1）π＝[(－1)n n π＋1][(－1)n ＋1(n ＋1)π＋1]＜0， 且函数f (x )的图像是连续不断的，所以f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)内至少存在一个零点．又f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)上是单调的，故n π＜x n ＋1＜(n ＋1)π.因此，当n ＝1时，1x 21＝4π2＜23；当n ＝2时，1x 21＋1x 22＜1π2(4＋1)＜23；当n ≥3时，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n <1π2⎣⎡⎦⎤4＋1＋122＋…＋1（n －1）2 ＜1π2⎣⎡⎦⎤5＋11×2＋…＋1（n －2）（n －1）＜1π2⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1 ＝1π2⎝⎛⎭⎫6－1n －1＜6π2＜23.综上所述，对一切n ∈N *，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n ＜23.。

2014年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2014•湖南）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0D．∀x0∈R，x02+1≤02．（5分）（2014•湖南）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3} 3．（5分）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3 4．（5分）（2014•湖南）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x 5．（5分）（2014•湖南）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2014•湖南）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）A．21B．19C．9D．﹣117．（5分）（2014•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6] 8．（5分）（2014•湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1B．2C．3D．49．（5分）（2014•湖南）若0＜x1＜x2＜1，则（）A．﹣＞lnx2﹣lnx1B．﹣＜lnx2﹣lnx1C．x2＞x1D．x2＜x110．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2014•湖南）复数（i为虚数单位）的实部等于．12．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为．13．（5分）（2014•湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．14．（5分）（2014•湖南）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是．15．（5分）（2014•湖南）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=．三、解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2014•湖南）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．17．（12分）（2014•湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．18．（12分）（2014•湖南）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．19．（13分）（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．20．（13分）（2014•湖南）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论．21．（13分）（2014•湖南）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文)一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）200.,10A x R x ∃∈+> 200.,10B x R x ∃∈+≤ 200.,10C x R x ∃∈+< 200.,10D x R x ∀∈+≤3.对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p ==4.下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -=6.若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）A.[]6,2--B.[]5,1--C.[]4,5-D.[]3,6-8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.49.若1201x x <<<，则（ ） A.2121ln ln x x e e x x ->-B.2121ln ln x x e e x x -<-C.1221x x x e x e >D.1221x x x e x e <10.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0B ,()30C ，，动点D 满足 1CD =,则OA OB OD ++的取值范围是（ ）A.[]46，B.⎤⎦C.⎡⎣D.⎤⎦二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.复数23ii+（i 为虚数单位）的实部等于_________.12.在平面直角坐标系中，曲线2:1x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为___________.13.若变量y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y y x x y ，则y x z +=2的最大值为_________.14.平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若 机器人接触不到过点()01，-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是___________.15.若()()ax ex f x++=1ln 3是偶函数，则=a ____________.。

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设命题p ：x ∀∈R ,210x +>,则p ⌝为( )A .0x ∃∈R ,210x +＞ B .0x ∃∈R ,210x +≤ C .0x ∃∈R ,210x +＜ D .x ∀∈R ,210x +≤2.已知集合{|2}A x x =＞,{|13}B x x =＜＜,则A B = ( )A .{|2}x x ＞B .{|}x x ＞1C .{|23}x x ＜＜D .{|13}x x ＜＜3.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ,2p ,3p ,则( ) A .123p p p =＜B .231p p p =＜C .132p p p =＜D .123p p p == 4.下列函数中,既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是( )A .21()f x x=B .2()1f x x =+C .3()f x x =D .()2x f x -= 5.在区间[2,3]-上随机选取一个数X ,则X ≤1的概率为( )A .45B .35C .25D .156.若圆1C ：221x y +=与圆2C ：22680x y x y m +--+=外切,则m =( )A .21B .19C .9D .11-7.执行如图所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于( )A .[6,2]--B .[5,1]--C .[4,5]-D .[3,6]-8.设一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .4 9.若1201x x <<<,则( )A .2121e e ln ln x xx x ->- B .2121e e ln ln x xx x -<- C .1221e e x xx x >D .1221e e x xx x <10.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0)A -,B ,(3,0)C ,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的取值范围是( )A .[4,6] B.11] C.D.1]第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在题中的横线上.11.复数23+ii（i 为虚数单位）的实部等于 . 12.在平面直角坐标系中,曲线C：2,1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为 .13.若变量x ,y 满足约束条件41y x x y y ⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为 .14.平面上一机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直线1x =-的距离相等.若机器人接触不到过点(1,0)P -且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 . 15.若3()ln(e 1)x f x ax =++是偶函数,则=a .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=,*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2(1)n an n n b a =+-,求数列{}n b 的前2n 项和.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(,)a b ,(,)a b ,(,b)a ,(,b)a ,(,)a b ,(,)a b ,(,)a b ,(,)a b ,(,b)a ,(,)a b ,(,)a b ,(,)a b ,(,)a b ,(,b)a ,(,)a b其中a ,a 分别表示甲组研发成功和失败；b ,b 分别表示乙组研发成功和失败. （Ⅰ）若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率.18.（本小题满分12分）如图,已知二面角MN αβ--的大小为60,菱形ABCD 在面β内,A ,B 两点在棱MN 上,60BAD ∠=,E 是AB 的中点,DO ⊥平面α,垂足为O .（Ⅰ）证明：AB ⊥平面ODE ；（Ⅱ）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.19.（本小题满分13分）如图,在平面四边形ABCD 中,DA AB ⊥,1DE =,EC =2EA =,2π3ADC ∠=,π3BEC ∠=.（Ⅰ）求sin CED ∠的值； （Ⅱ）求BE 的长.20.（本小题满分13分）如图,O 为坐标原点,双曲线1C ：221122111(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆2C ：222222221(b 0)y x a a b +=＞＞均过点P ,且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.（Ⅰ）求1C ,2C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ,使得l 与1C 交于A ,B 两点,与2C 只有一个公共点,且||OA OB +=||AB ？证明你的结论.21.（本小题满分13分）已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+＞. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）记i x 为()f x 的从小到大的第*()i i ∈N 个零点,证明：对一切*n ∈N ,有2221211123n x x x +++…＜.【解析】∵213{|}{|}A x x B x x =>=<<，，∴21{|}323{|}{|}AB x x x x x x =><<=<<.数学试卷第10页（共30页）||1CD C =，，∴(2OA OB OD ++=+||(2cos )(3+sin OA OB OD θθ++=++（其中2sin cos ϕ=，||OA OB OD ++的||1,(3,0)CD C =量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出案为：7.数学试卷第16页（共30页）2212)(12342)22n n n n ++++-+-+-+=-+x x >乙甲，（Ⅱ）记数学试卷 第22页（共30页）DODE D =，⊥平面ODE （Ⅱ）∵BC AD ∥3sin602DE ︒=. 中，222+2cos EC CD DE CD DE EDC =-∠.60-=，2CD ∴=（3CD =-舍去），设CED ∠sin EC D =∠2sin α∴=）π0<<3α277α=，中，cos AEB ∠27AEB ==.23,13P ⎛ ⎝221)⎛-+ ||22OA OB +=||23AB =||||OA OB AB +≠.轴，设:l y kx m =+，代入双曲线方程整理得(3)2k x kmx ---于是有123333OA OB x x k k k k =----2222||||||||40OA OB AB OA OB OB OA OA OB +-=+--=≠，即||||OA OB AB +≠. 综合①②可知，不存在符合题设条件的直线.⎫||||OA OB AB +≠.若直线3m -.由22y kx m =+⎧⎪可得0OA OB ≠，可得||||OA OB AB +≠.数学试卷 第28页（共30页）1)(ππ)[(1)π1][(1)(1)π1]n n f n n n ++=-+-++<π)+内至少有一个实根，又()f x 在区间(π,n 2222221111111114141π23(1)π1223(2)(1)x n n n ⎡⎤⎡⎤++<+++++<+++++⎢⎥⎢⎥-⨯⨯--⎣⎦⎣⎦12n ⎛++ -⎝21x ++<。

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）200.,10A x R x ∃∈+> 200.,10B x R x ∃∈+≤ 200.,10C x R x ∃∈+< 2.,10D x R x ∀∈+≤2.已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则AB =（ ）.{|2}A x x > .{|1}B x x > .{|23}C x x << .{|13}D x x <<3.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p ==4.下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -=5.在区间[2,3]-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）4.5A 3.5B 2.5C 1.5D6.若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.[]6,2-- B.[]5,1-- C.[]4,5- D.[]3,6-8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.49.若1201x x <<<，则（ ）A.2121ln ln x x e e x x ->-B.2121ln ln x x e e x x -<-C.1221x x x e x e >D.1221x x x e x e <10.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0B ,()30C ，，动点D 满足1CD =, 则OA OB OD ++的取值范围是（ ）A.[]46，B.⎤⎦C.⎡⎣D.⎤⎦二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数23ii+（i 为虚数单位）的实部等于_________.12.在平面直角坐标系中，曲线2:1x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为___________.13.若变量y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y y x x y ，则y x z +=2的最大值为_________.【考点定位】线性规划14.平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若机器人接触不到过点()01，-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是___________.15.若()()ax ex f x++=1ln 3是偶函数，则=a ____________.()()33ln 13ln 1x x e x ax e ax ⇒+--=++3322x ax a ⇒-=⇒=-,故填32-.【考点定位】奇偶性 对数运算三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()n na n ab n12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.21222n n T n +⇒=+-故数列{}n b 的前2n 项和为21222n n T n +=+-【考点定位】数列前n 项和 等差数列 等比数列 分组求和法17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：()()()()()()()()()()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中a a，分别表示甲组研发成功和失败；b b ，分别表示乙组研发成功和失败. (1)若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.(2)记{}E =恰有一组研发成功,在所有抽的的15个结果中,恰有一组研发成功的结果如下:()()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b ，，，，，，，，，，，，，共7个,所以根据古典概型的概率计算公式可得()715P E =. 【考点定位】概率 平均数 方差18.（本小题满分12分）如图3，已知二面角MN αβ--的大小为60，菱形ABCD 在面β内，,A B 两点在棱MN 上， 60BAD ∠=，E 是AB 的中点，DO⊥面α，垂足为O . (1)证明：AB⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.19.（本小题满分13分）如图4，在平面四边形ABCD 中，32,2,7,1,π=∠===⊥ADC EA EC DE AB DA ,3π=∠BEC (1)求CED ∠sin 的值；(2)求BE 的长【答案】(1)(2)【解析】【考点定位】正余弦定理 正余弦和差角公式 直角三角形 正余弦之间的关系20. （本小题满分13分）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.于是222222OA OB OA OB OA OB OA OB++≠+-,即22OA OB OA OB+≠-,所以OA OB AB +≠,综上不存在符合题目条件的直线l .【考点定位】椭圆 双曲线 向量 向量内积21.（本小题满分13分）已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>. （1）求()f x 的单调区间； （2）记i x 为()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<.。

2014·湖南卷(文科数学)1．[2014·湖南卷] 设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋1＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．∃x 0∈R ，x 20＋1＜0 D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤01．B [解析] 由全称命题的否定形式可得綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋1≤0. 2．[2014·湖南卷] 已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |x ＞2} B ．{x |x ＞1}C ．{x |2＜x ＜3}D ．{x |1＜x ＜3}2．C [解析] 由集合运算可知A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}． 3．[2014·湖南卷] 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2＜p 3B ．p 2＝p 3＜p 1C ．p 1＝p 3＜p 2D ．p 1＝p 2＝p 33．D [解析] 不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等概率抽样，每个个体被抽中的概率均为nN.4．、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A ．f (x )＝1x2 B ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x4．A [解析] 由偶函数的定义，可以排除C ，D ，又根据单调性，可得B 不对． 5．[2014·湖南卷] 在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A.45 B.35 C.25 D.155．B [解析] 由几何概型概率计算公式可得P ＝1－（－2）3－（－2）＝35.6．[2014·湖南卷] 若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9 D ．－11 6．C [解析] 依题意可得C 1(0，0)，C 2(3，4)，则|C 1C 2|＝33＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m ，由r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9.7．[2014·湖南卷] 执行如图1-1所示的程序框图，如果输入的t ∈[－2，2]，则输出的S 属于( )A ．[－6，－2]B ．[－5，－1]C ．[－4，5]D ．[－3，6]7．D [解析] (特值法)当t ＝－2时，t ＝2×(－2)2＋1＝9，S ＝9－3＝6，排除A ，B ，C.8．、[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打A ．1B ．2C ．3D ．48．B [解析] 由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得R ＝6＋8－102＝2.9．[2014·湖南卷] 若0＜x 1＜x 2＜1，则( ) A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1＞x 1e x 2 D ．x 2e x 1＜x 1e x 29．C [解析] 依题可构造函数f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x （x －1）x 2.当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )＝e xx在区间(0，1)上递减，故0＜x 1＜x 2＜1时有f (x 1)＞f (x 2)，即x 2e x 1＞x 1e x 2.10．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4，6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]10．D [解析] 由|CD →|＝1，得动点D 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D (3＋cos α，sin α)，所以OA →＋OB →＋OD →＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin(α＋φ)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2∈[8－27，8＋27]，即|OA →＋OB →＋OD →|∈[7－1，7＋1]．11．[2014·湖南卷] 复数3＋ii2(i 为虚数单位)的实部等于________．11．－3 [解析] 因为3＋i i 2＝3＋i－1＝－3－i ，所以实部为－3.12．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)的普通方程为________．12．x －y －1＝0 [解析] 依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0.13．[2014·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．13．7 [解析] 依题意，画出可行域，如图所示． 由⎨⎪⎧x ＋y ＝4，得点B 的坐标为(3，1)，则z ＝2x ＋y 在B (3，1)处取得最大值7.F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．14．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [解析] 依题意可知机器人运行的轨迹方程为y 2＝4x .设直线l ：y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＜0，得k 2＞1，解得k ＜－1或k ＞1.15．[2014·湖南卷] 若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．15．－32[解析] 由偶函数的定义可得f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，∴2ax ＝－ln e 3x ＝－3x ，∴a ＝－32.16．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 16.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 17．、[2014·湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )．其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平．(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．17．解：(1)甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，其平均数为x 甲＝1015＝23，方差为s 2甲＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－232×10＋⎝⎛⎭⎫0－232×5＝29. 乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，其平均数为x 乙＝915＝35，方差为s 2乙＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－352×9＋⎝⎛⎭⎫0－352×6＝625. 因为x 甲＞x 乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，共7个，故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P (E )＝715.18．、[2014·湖南卷] 如图1-3所示，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN DO ⊥面α，垂足为O .(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．18．解：(1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB . 连接BD ，由题设知，△ABD 是正三角形，又E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB .而DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平面ODE .(2)因为BC ∥AD ，所以ADO 是BC 与OD 所成的角．由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α-MN -β的平面角，从而∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3.在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin 60°＝32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DOAD＝322＝34.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．19．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.20．、、[2014·湖南卷] 如图1-5所示，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)均过点P ⎝⎛⎭⎫233，1，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1，C 2的方程．(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB | ？证明你的结论.20．解： (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2，2a 1＝2，从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P ⎝⎛⎭⎫233，1在双曲线x 2－y 2b 21＝1上，所以⎝⎛⎫2332－1b 21＝1，故b 21＝3. 由椭圆的定义知2a 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋（1－1）2＋⎝⎛⎭⎫2332＋（1＋1）2＝2 3. 于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1.(2)不存在符合题设条件的直线．(i)若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以 |OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3.此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当 x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|.(ii)若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0. 当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3.于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m 2k 2－3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0.化简，得2k 2＝m 2－3.因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0，于是OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →，即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2. 故|OA →＋OB →|≠|AB →|.综合(i)，(ii)可知，不存在符合题设条件的直线． 21．、[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝x cos x －sin x ＋1(x ＞0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)记x i 为f (x )的从小到大的第i (i ∈N *)个零点，证明：对一切n ∈N *，有1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n＜23. 21．解： (1)f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k π(k ∈N *)．当x ∈(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )时，sin x >0，此时f ′(x )<0; 当x ∈((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )时，sin x <0，此时f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )，单调递增区间为((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )．(2)由(1)知，f (x )在区间(0，π)上单调递减．又f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，故x 1＝π2.当n ∈N *时，因为f (n π)f []（n ＋1）π＝[(－1)n n π＋1][(－1)n ＋1(n ＋1)π＋1]＜0， 且函数f (x )的图像是连续不断的，所以f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)内至少存在一个零点．又f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)上是单调的，故n π＜x n ＋1＜(n ＋1)π.因此，当n ＝1时，1x 21＝4π2＜23；当n ＝2时，1x 21＋1x 22＜1π2(4＋1)＜23；当n ≥3时，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n <1π2⎣⎡⎦⎤4＋1＋122＋…＋1（n －1）2 ＜1π2⎣⎡⎦⎤5＋11×2＋…＋1（n －2）（n －1）＜1π2⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1 ＝1π2⎝⎛⎭⎫6－1n －1＜6π2＜23.综上所述，对一切n ∈N *，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n ＜23.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学文一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1.设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为( )A.∃x0∈R，x02+1＞0B.∃x0∈R，x02+1≤0C.∃x0∈R，x02+1＜0D.∀x∈R，x2+1≤0解析：∵命题p：∀x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题.∴￢p：∃x0∈R，x02+1≤0.答案：B.2.已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=( )A.{x|x＞2}B. {x|x＞1}C. {x|2＜x＜3}D. {x|1＜x＜3}解析：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}.答案：C.3.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则( )A. P1=P2＜P3B.P2=P3＜P1C.P1=P3＜P2D.P1=P2=P3解析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个数被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3，答案：D4.下列函数中，既是偶函数又在区间(-∞，0)上单调递增的是( )A. f(x)=B. f(x)=x2+1C. f(x)=x3D. f(x)=2-x解析：只有函数f(x)=，f(x)=x2+1是偶函数，而函数f(x)=x3是奇函数，f(x)=2-x不具有奇偶性.而函数f(x)=，f(x)=x2+1中，只有函数f(x)=在区间(-∞，0)上单调递增的.综上可知：只有A正确.答案：A.5.在区间[-2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )A.B.C.D.解析：在区间[-2，3]上随机选取一个数X，则-2≤X≤3，则X≤1的概率P=，答案：B.6.若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则m=( )A. 21B. 19C.9D. -11解析：由C1：x2+y2=1，得圆心C1(0，0)，半径为1，由圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0，得(x-3)2+(y-4)2=25-m，∴圆心C2(3，4)，半径为.∵圆C1与圆C2外切，∴，解得：m=9.答案：C.7.执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[-2，2]，则输出的S属于( )A.[-6，-2]B. [-5，-1]C. [-4，5]D. [-3，6]解析：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t-3∈[-3，-1]，若-2≤t＜2，则满足条件，此时t=2t2+1∈(1，9]，此时不满足条件，输出S=t-3∈(-2，6]，综上：S=t-3∈[-3，6]，答案：D8.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A.1B.2C. 3D. 4解析：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则8-r+6-r=，∴r=2.答案：B.9.若0＜x1＜x2＜1，则( )A.-＞lnx2-lnx1B. -＜lnx2-lnx1C.x2＞x1D. x2＜x1解析：令f(x)=e x+lnx，，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，1)上为增函数，∵0＜x1＜x2＜1，∴，即.由此可知选项A，B不正确.令g(x)=，，当0＜x＜1时，g′(x)＜0.∴g(x)在(0，1)上为减函数，∵0＜x1＜x2＜1，∴，即.∴选项C正确而D不正确.答案：C.10.在平面直角坐标系中，O为原点，A(-1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||=1，则|++|的取值范围是( )A. [4，6]B.[-1，+1]C. [2，2]D. [-1，+1]解析：∵动点D满足||=1，C(3，0)，∴可设D(3+cosθ，sinθ)(θ∈[0，π)).又A(-1，0)，B(0，)，∴++=.∴|++|===，(其中sinφ=，cosφ=)∵-1≤sin(θ+φ)≤1，∴=sin(θ+φ)≤=，∴|++|的取值范围是.答案：D.二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)11.复数(i为虚数单位)的实部等于.解析：∵=.∴复数(i为虚数单位)的实部等于-3.答案：-3.12.在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为.解析：∵曲线C：(t为参数)，∴两式相减可得x-y-1=0.答案：x-y-1=0.13.若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为.解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点C，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C(3，1)，此时z=2×3+1=7，答案：7.14.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x=-1的距离相等，若机器人接触不到过点P(-1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是.解析：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点P(-1，0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1)，代入y2=4x，可得k2x2+(2k2-4)x+k2=0，∵机器人接触不到过点P(-1，0)且斜率为k的直线，∴△=(2k2-4)2-4k4＜0，∴k＜-1或k＞1.答案：k＜-1或k＞1.15.若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数，则a= .解析：若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数，则f(-x)=f(x)，即ln(e3x+1)+ax=ln(e-3x+1)-ax，即2ax=ln(e-3x+1)-ln(e3x+1)=ln=lne-3x=-3x，即2a=-3，解得a=-，答案：-三、解答题(共6小题，75分)16.(12分)已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=+(-1)n a n，求数列{b n}的前2n项和.解析：(Ⅰ)利用公式法即可求得；(Ⅱ)利用数列分组求和即可得出结论.答案：(Ⅰ)当n=1时，a1=s1=1，当n≥2时，a n=s n-s n-1=-=2n，∴数列{a n}的通项公式是a n=n.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，b n=2n+(-1)n n，记数列{b n}的前2n项和为T2n，则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n)=+n=22n+1+n-2.∴数列{b n}的前2n项和为22n+1+n-2.17.(12分)某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，)，(a，b)，(，b)，(，)，(a，b)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(，)，(a，b)，(a，)，(，b)(a，b)其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败.(Ⅰ)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(Ⅱ)若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率.解析：(Ⅰ)分别求出甲乙的研发成绩，再根据平均数和方差公式计算平均数，方差，最后比较即可.(Ⅱ)找15个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是7个，求出频率，将频率视为概率，问题得以解决.答案：(Ⅰ)甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，则=，==乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1则=，==.因为所以甲的研发水平高于乙的研发水平.(Ⅱ)记E={恰有一组研发成功}，在所抽到的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，)，(，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(a，)，(，b)共7个，故事件E发生的频率为，将频率视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P(E)=.18.(12分)如图，已知二面角α-MN-β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂直为O.(Ⅰ)证明：AB⊥平面ODE；(Ⅱ)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.解析：(Ⅰ)运用直线与平面垂直的判定定理，即可证得，注意平面内的相交二直线；(Ⅱ)根据异面直线的定义，找出所成的角为∠ADO，说明∠DEO是二面角α-MN-β的平面角，不妨设AB=2，从而求出OD的长，再在直角三角形AOD中，求出cos∠ADO.答案：(1)如图，∵DO⊥面α，AB⊂α，∴DO⊥AB，连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，∴DE⊥AB，又DO∩DE=D，∴AB⊥平面ODE；(Ⅱ)∵BC∥AD，∴BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角，由(Ⅰ)知，AB⊥平面ODE，∴AB⊥OE，又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α-MN-β的平面角，从而∠DEO=60°，不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=，在Rt△DOE中，DO=DEsin60°=，连AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO==，故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.19.(13分)如图，在平行四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=.(Ⅰ)求sin∠CED的值；(Ⅱ)求BE的长.解析：(Ⅰ)根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.(Ⅱ)利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论.答案：(Ⅰ)在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2-2CD·DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD-6=0，解得CD=2或CD=-3，(舍去)，在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=.(Ⅱ)由题设知0＜α＜，由(Ⅰ)知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos()=cos cosα+sin sinα=，在△ABD中，由正弦定理得BD==，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=.20.(13分)如图，O为坐标原点，双曲线C1：-=1(a1＞0，b1＞0)和椭圆C2：+=1(a2＞b2＞0)均过点P(，1)，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(Ⅰ)求C1、C2的方程；(Ⅱ)是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论.解析：(Ⅰ)由条件可得a1=1，c2=1，根据点P(，1)在上求得=3，可得双曲线C1的方程.再由椭圆的定义求得a2=，可得=-的值，从而求得椭圆C2的方程. (Ⅱ)若直线l垂直于x轴，检验部不满足|+|≠||.若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由可得y1•y2=.由可得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，根据判别式△=0，求得2k2=m2-3，可得≠0，可得|+|≠||.综合(1)、(2)可得结论.答案：(Ⅰ)设椭圆C2的焦距为2c2，由题意可得2a1=2，∴a1=1，c2=1.由于点P(，1)在上，∴-=1，=3，∴双曲线C1的方程为：x2-=1.再由椭圆的定义可得 2a2=+=2，∴a2=，∴=-=2，∴椭圆C2的方程为：+=1.(Ⅱ)不存在满足条件的直线l.(1)若直线l垂直于x轴，则由题意可得直线l得方程为x=，或 x=-.当x=时，可得 A(，)、B(，-)，求得||=2，||=2，显然，|+|≠||.同理，当x=-时，也有|+|≠||.(2)若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由可得(3-k2)x2-2mkx-m2-3=0，∴x1+x2=，x1•x2=.于是，y1•y2=k2x1•x2+km(x1+x2)+m2=.由可得 (2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，∴判别式△=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0，∴2k2=m2-3.∴=x1•x2+y1•y2=≠0，∴≠，∴|+|≠||.综合(1)、(2)可得，不存在满足条件的直线l.21.(13分)已知函数f(x)=xcosx-sinx+1(x＞0).(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)记x i为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜.解析：(Ⅰ)求函数的导数，利用导数研究f(x)的单调区间；(Ⅱ)利用数学归纳法，证明不等式即可.答案：(Ⅰ)∵f(x)=xcosx-sinx+1(x＞0)，∴f′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，由f′(x)=-xsinx=0，解得x=kπ，当x∈(2kπ，(2k+1)π)，sinx＞0，此时f′(x)＜0，函数单调递减，当x∈((2k+1)π，(2k+2)π)，sinx＜0，此时f′(x)＞0，函数单调递增，故f(x)的单调增区间为((2k+1)π，(2k+2)π)，单调递减区间为(2kπ，(2k+1)π)(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)在区间(0，π)上单调递减，又f()=0，故x1=，当n∈N*，∵f(nπ)f((n+1)π)=[(-1)n nπ+1][(-1)n+1(n+1)π+1]＜0，且函数f(x)的图象是连续不间断的，∴f(x)在区间(nπ，(n+1)π)内至少存在一个零点，又f(x)在区间(nπ，(n+1)π)单调递增，因此当n=1时，有=＜成立.当n=2时，有+＜＜.…++…+＜[][](6-)＜.综上证明：对一切n∈N*，有++…+＜.。

2014 年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10 小题，每题 5 分，共 50 分）．（分）（2014?湖南）设命题2+1＞ 0，则￢ p 为（）1 5p： ? x∈R，xA．? x0∈ R， x02+1＞ 0B．? x0∈R，x02+1≤0．∈ R， x2+1＜0D．? x ∈R，x2+1≤0C? x00002．（ 5 分）（2014?湖南）已知会合 A={ x| x＞2} ，B={ x| 1＜ x＜3} ，则 A∩B=（）A．{ x| x＞2}B．{ x| x＞ 1}C．{ x| 2＜x＜3}D．{ x| 1＜x＜3} 3．（ 5 分）（2014?湖南）对一个容量为N 的整体抽取容量为n 的样本，入选用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不一样方法抽取样本时，整体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3 4．（5 分）（ 2014?湖南）以下函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单一递加的是（）．（）2+1C．f （x）=x3．（）﹣ xA f x =B．f（ x）=x D f x=2 5．（ 5 分）（2014?湖南）在区间 [ ﹣2，3] 上随机选用一个数 X，则 X≤1 的概率为（）A．B．C．D．6．（5 分）（2014?湖南）若圆 C1：x2+y2=1 与圆 C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0 外切，则m=（）A．21B．19C．9D．﹣ 117．（5分）（2014?湖南）履行以下图的程序框图，假如输入的t ∈[ ﹣2，2] ，则输出的S属于（）A．[ ﹣6，﹣2]B．[ ﹣5，﹣1]C．[ ﹣4，5]D．[ ﹣3，6] 8．（5 分）（2014?湖南）一块石材表示的几何体的三视图以下图，将该石材切削、打磨，加工成球，则能获得的最大球的半径等于（）A．1B．2 9．（5 分）（2014?湖南）若A．﹣＞lnx2﹣lnx1C．30＜x1＜x2＜ 1，则（）D．4B．﹣＜lnx2﹣lnx1C．x2＞x1D．x2＜x110．（5 分）（ 2014?湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点， A（﹣ 1，0），B（ 0，），（，），动点D 知足|| =1，则|+ + | 的取值范围是（）C 3 0A．[ 4，6]B．[﹣1，+1]C．[ 2 ，2]D．[﹣1，+1]二、填空题（共 5 小题，每题 5 分，共 25 分）11．（5分）（湖南）复数（i 为虚数单位）的实部等于．2014?12．（ 5分）（湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t 为参2014?数）的一般方程为．13．（ 5 分）（2014?湖南）若变量 x，y 知足拘束条件，则z=2x+y的最大值为．14．（ 5 分）（ 2014?湖南）平面上一机器人在前进中一直保持与点F（1，0）的距离和到直线 x=﹣1 的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣ 1，0）且斜率为k 的直线，则 k 的取值范围是．3x15．（ 5 分）（2014?湖南）若 f（x）=ln（e +1）+ax 是偶函数，则 a=．三、解答题（共 6 小题， 75 分）16．（ 12 分）（ 2014?湖南）已知数列{ a n} 的前n 项和S n=， n∈ N*．（Ⅰ）求数列{ a n} 的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（﹣ 1）n a n，求数列{ b n} 的前2n 项和．17．（ 12 分）（2014?湖南）某公司有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组早年研发新产品的结果以下：（a， b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（ a，），（， b），（a，），（，），（ a， b），（a，），（，b）（ a， b）此中 a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某构成功研发一种新产品，则给该组记 1 分，不然记 0 分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的均匀数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该公司安排甲、乙两组各自研发同样的产品，试预计恰有一组研发成功的概率．18．（12 分）（ 2014?湖南）如图，已知二面角α﹣MN ﹣β的大小为 60°，菱形ABCD 在面β内，A、B 两点在棱MN 上，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，DO⊥面α，垂足为 O．（Ⅰ）证明： AB⊥平面 ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与 OD所成角的余弦值．19（．13 分）（2014?湖南）如图，在平面四边形 ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠ BEC=．（Ⅰ）求 sin∠ CED的值；（Ⅱ）求 BE的长．20．（13 分）（2014?湖南）如图， O 为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞ 0，1＞0）和椭圆C2：+（2＞b2＞0）均过点P（，1），且以 C1的两b=1 a个极点和 C2的两个焦点为极点的四边形是面积为 2 的正方形．（Ⅰ）求 C1、C2的方程；（Ⅱ）能否存在直线l，使得 l 与 C1交于 A、B 两点，与 C2只有一个公共点，且|+ | =|| ？证明你的结论．21．（ 13 分）（ 2014?湖南）已知函数 f （x）=xcosx sinx+1（x＞0）．（Ⅰ）求 f（ x）的区；（Ⅱ） x i f（x）的从小到大的第 i（i∈N*）个零点，明：全部 n∈N*，有++⋯+＜．。

2014 年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10 小题，每题 5 分，共 50 分）．（分）（湖南）设命题2+1＞ 0，则￢ p 为（）1 52014?p： ? x∈R，xA．? x0∈ R， x02+1＞ 0B．? x0∈R，x02+1≤0C．? x0∈ R， x02+1＜ 0D．? x0∈R，x02+1≤0【剖析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否认的规则写出其否认即可找出正确选项2∴￢ p：? x0∈ R， x0 2+1≤ 0．应选： B．2．（ 5 分）（2014?湖南）已知会合 A={ x| x＞2} ，B={ x| 1＜ x＜3} ，则 A∩B=（）A．{ x| x＞2}B．{ x| x＞ 1}C．{ x| 2＜x＜3}D．{ x| 1＜x＜3}【剖析】直接利用交集运算求得答案．【解答】解：∵ A={ x| x＞ 2} ，B={ x| 1＜x＜3} ，∴A∩ B={ x| x＞ 2} ∩{ x| 1＜x＜3} ={ x| 2＜x＜3} ．应选： C．3．（ 5 分）（2014?湖南）对一个容量为N 的整体抽取容量为 n 的样本，入选用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不一样方法抽取样本时，整体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3【剖析】依据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可获得结论．【解答】解：依据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，不论哪一种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即 P1=P2=P3．应选： D．4．（5 分）（ 2014?湖南）以下函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单一递加的是（）．（）2+1C．f （x）=x3．（）﹣ xA f x =B．f（ x）=x D f x=2【剖析】此题利用函数的奇偶性和单一性的定义或许利用图象的特点加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单一递加，获得此题结论．【解答】解：选项 A，，∵f（﹣ x）=（），∴（）是偶=f xf x 函数，图象对于 y 轴对称．∵f（x）=x﹣2，﹣ 2＜0，∴ f （x）在（ 0， +∞）单一递减，∴依据对称性知， f（x）在区间（﹣∞， 0）上单一递加；合适题意．选项 B，f（ x）=x2+1，是偶函数，在（ 0，+∞）上单一递加，在区间（﹣∞， 0）上单一递减，不合题意．选项 C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意．选项 D，f（x）=2﹣x在（﹣∞， +∞）单一递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意．应选： A．5．（ 5 分）（2014?湖南）在区间 [ ﹣2，3] 上随机选用一个数X，则 X≤1 的概率为（）A．B．C．D．【剖析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可获得结论．【解答】解：在区间 [ ﹣2，3] 上随机选用一个数X，则﹣ 2≤X≤3，则 X≤1 的概率 P=，应选： B．6．（5 分）（2014?湖南）若圆 C1：x2+y2=1 与圆 C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0 外切，则m=（）A．21B．19C．9D．﹣ 11【剖析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m 值．22【解答】解：由 C1：x +y =1，得圆心 C1（0，0），半径为 1，∴圆心 C2（3，4），半径为．∵圆C1与圆C2外切，∴，解得： m=9．应选： C．t ∈[ ﹣2，2] ，7．（5 分）（2014?湖南）履行以下图的程序框图，假如输入的则输出的 S属于（）A．[ ﹣6，﹣2]B．[ ﹣5，﹣1]C．[ ﹣4，5]D．[ ﹣3，6]【剖析】依据程序框图，联合条件，利用函数的性质即可获得结论．【解答】解：若 0≤ t≤ 2，则不知足条件输出S=t﹣3∈[ ﹣3，﹣ 1] ，若﹣ 2≤t＜ 0，则知足条件，此时t=2t 2+1∈（ 1，9] ，此时不知足条件，输出S=t ﹣3∈（﹣ 2，6] ，综上： S=t﹣3∈[ ﹣3，6] ，应选： D．8．（5 分）（2014?湖南）一块石材表示的几何体的三视图以下图，将该石材切削、打磨，加工成球，则能获得的最大球的半径等于（）A．1B．2C．3D．4【剖析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r ，则8﹣r+6﹣r=，∴r=2．应选： B．9．（5 分）（2014?湖南）若 0＜x1＜x2＜ 1，则（）A．﹣＞lnx2﹣lnx1B．﹣＜lnx2﹣lnx1C．x2＞x1D．x2＜x1【剖析】分别设出两个协助函数f（x）=e x+lnx，g（ x）=，由导数判断其在（0，1）上的单一性，联合已知条件0＜x1＜x2＜ 1 得答案．【解答】解：令 f（ x）=e x﹣lnx，则 f ′（x） =，当 x 趋近于 0 时， xe x﹣ 1＜ 0，当 x=1 时， xe x﹣1＞0，所以在（ 0， 1）上必定存在 f ′（x）=0，所以函数 f（ x）在（ 0，1）上先递减后递加，故 A、B 均错误；令 g（x） = ，，当 0＜x＜ 1 时， g′（ x）＜ 0．∴g（x）在（0，1）上为减函数，∵ 0＜ x1＜x2＜1，∴＞，即＞．∴选项 C 正确而 D 不正确．应选： C．10．（5 分）（ 2014?湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点， A（﹣ 1，0），B（ 0，），（，），动点D 知足|| =1，则|+ + | 的取值范围是（）C 30A．[ 4，6]B．[﹣1，+1]C．[ 2 ，2]D．[ ﹣1， +1]【剖析】因为动点 D 知足 || =1， C（ 3， 0），可设 D（3+cosθ， sin θ）（θ∈ [ 0，2π））．再利用向量的坐标运算、数目积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵动点 D 知足 || =1， C（3， 0），∴可设 D（ 3+cosθ， sin θ）（θ∈[ 0， 2π））．又 A（﹣1，0），B（0，），∴+ + =，．∴|++|===，（此中 sin φ=，cosφ=）∵﹣ 1≤sin（θ+φ）≤ 1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|+ + |的取值范围是，．或|+ + |=|+ +|，=（2，），将其起点平移到 D 点，由其与CD 同向反向时分别取最大值、最小值，即|+ + |的取值范围是，．应选： D．二、填空题（共 5 小题，每题 5 分，共 25 分）11．（5分）（湖南）复数（i 为虚数单位）的实部等于﹣3．2014?【剖析】直接由虚数单位 i 的运算性质化简，则复数的实部可求．【解答】解：∵=．∴复数（ i 为虚数单位）的实部等于﹣ 3．故答案为：﹣ 3．12．（ 5分）（湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t 为参2014?数）的一般方程为x﹣ y﹣ 1=0．【剖析】利用两式相减，消去t，进而获得曲线 C 的一般方程．【解答】解：∵曲线 C：（t为参数），∴两式相减可得x﹣ y﹣ 1=0．故答案为： x﹣ y﹣ 1=0．13．（ 5 分）（2014?湖南）若变量 x，y 知足拘束条件，则z=2x+y的最大值为7．【剖析】作出不等式组对应的平面地区，利用z 的几何意义，进行平移即可获得结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面地区如图：由 z=2x+y，得 y=﹣2x+z，平移直线 y=﹣2x+z，由图象可知当直线 y=﹣ 2x+z 经过点 C，直线 y=﹣ 2x+z 的截距最大，此时 z 最大，由，解得，即C（3，1），此时 z=2×3+1=7，故答案为： 7．14．（ 5 分）（ 2014?湖南）平面上一机器人在前进中一直保持与点F（1，0）的距离和到直线 x=﹣1 的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣ 1，0）且斜率为k 的直线，则 k 的取值范围是k＜﹣ 1 或 k＞ 1．【剖析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣ 1，0）且斜率为k 的直线方程为 y=k（ x+1），代入 y2=4x，利用鉴别式，即可求出 k 的取值范围．【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点 P（﹣ 1， 0）且斜率为 k 的直线方程为 y=k（x+1），22222代入 y =4x，可得 k x +（2k ﹣4）x+k =0，∵机器人接触不到过点P（﹣ 1，0）且斜率为 k 的直线，∴△ =（2k2﹣4）2﹣ 4k4＜ 0，∴k＜ 1 或 k＞1．故答案： k＜ 1 或 k＞ 1．3x15．（ 5 分）（2014?湖南）若 f（x）=ln（e +1）+ax 是偶函数， a=．【解答】解：若 f（ x）=ln（e3x+1）+ax 是偶函数，f（ x） =f（x），即 ln（e3x+1）+ax=ln（e﹣3x+1） ax，即 2ax=ln（ e﹣3x+1） ln（e3x+1）=ln=ln﹣3x，=lne= 3x即 2a= 3，解得 a= ，故答案：，三、解答（共 6 小， 75 分）．（12分）（湖南）已知数列n}的前n和S n=， n∈ N*．162014?{ a（Ⅰ）求数列 { a n} 的通公式；（Ⅱ） b n+（ 1）n n，求数列{ b n}的前2n和．=a【剖析】（Ⅰ）利用公式法即可求得；（Ⅱ）利用数列分乞降即可得出．【解答】解：（Ⅰ）当 n=1 ， a1 1，=s =1当 n≥2 ， a n n s n﹣1==n ，=s∴数列 { a n} 的通公式是 a n．=n（Ⅱ）由（Ⅰ）知， b n=2n+（ 1）n n，数列 { b n } 的前 2n 和 T2n，T2n=（21+22+⋯+22n） +（ 1+2 3+4 ⋯+2n）=+n=22n+1+n 2．∴数列 { b n} 的前 2n 和 22n+1+n 2．17．（ 12 分）（2014?湖南）某企有甲、乙两个研小，了比他的研水平，随机抽取两个小早年研新品的果以下：（ a， b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（ a，），（， b），（a，），（，），（ a， b），（a，），（，b）（ a， b）此中 a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某构成功研发一种新产品，则给该组记 1 分，不然记 0 分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的均匀数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该公司安排甲、乙两组各自研发同样的产品，试预计恰有一组研发成功的概率．【剖析】（Ⅰ）分别求出甲乙的研发成绩，再依据均匀数和方差公式计算均匀数，方差，最后比较即可．（Ⅱ）找 15 个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是7 个，求出频次，将频率视为概率，问题得以解决．【解答】解：（Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，则甲 =，甲==乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1 则乙=，乙== ．因为甲＞乙，甲＜乙所以甲的研发水平高于乙的研发水平．（Ⅱ）记 E={ 恰有一组研发成功 } ，在所抽到的 15 个结果中，恰有一组研发成功的结果是（a，），（，b），（a，），（， b），（a，），（a，），（，b）共 7 个，故事件 E发生的频次为，将频次视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=．18．（12 分）（ 2014?湖南）如图，已知二面角α﹣MN ﹣β的大小为 60°，菱形ABCD 在面β内，A、B 两点在棱MN 上，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，DO⊥面α，垂足为 O．（Ⅰ）证明： AB⊥平面 ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与 OD所成角的余弦值．【剖析】（Ⅰ）运用直线与平面垂直的判断定理，即可证得，注意平面内的订交二直线；（Ⅱ）依据异面直线的定义，找出所成的角为∠ADO，说明∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，不如设AB=2，进而求出OD 的长，再在直角三角形AOD 中，求出 cos∠ ADO．【解答】（1）证明：如图∵DO⊥面α，AB? α，∴ DO⊥AB，连结 BD，由题设知，△ ABD 是正三角形，又 E 是 AB 的中点，∴ DE⊥ AB，又 DO∩DE=D，∴ AB⊥平面 ODE；（Ⅱ）解：∵ BC∥AD，∴ BC与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角，即∠ ADO 是 BC与 OD 所成的角，由（Ⅰ）知， AB⊥平面 ODE，∴AB⊥OE，又 DE⊥ AB，于是∠ DEO是二面角α﹣ MN﹣β的平面角，进而∠ DEO=60°，不如设 AB=2，则 AD=2，易知 DE= ，在 Rt△DOE中，DO=DEsin60°= ，连 AO，在 Rt△AOD 中，cos∠ADO= =，故异面直线 BC与 OD 所成角的余弦值为．19．（13 分）（2014?湖南）如图，在平面四边形 ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC= ，∠ BEC= ．（Ⅰ）求 sin∠ CED的值；（Ⅱ）求 BE的长．【剖析】（Ⅰ）依据三角形边角之间的关系，联合正弦定理和余弦定理即可获得结论．（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，联合正弦定理即可获得结论．【解答】解：（Ⅰ）设α=∠ CED，在△ CDE中，由余弦定理得222EC=CD+ED ﹣2CD?DEcos∠ CDE，即 7=CD2+1+CD，则 CD2+CD﹣6=0，解得 CD=2或 CD=﹣ 3，（舍去），在△ CDE中，由正弦定理得，则 sin α=，即 sin∠ CED= ．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知 cosα=，而∠ AEB=，∴ cos∠ AEB=cos（）αsin α=，=cos cos +sin 在 Rt△EAB中，cos∠AEB=，故 BE=．20．（13 分）（2014?湖南）如图， O 为坐标原点，双曲线1：﹣1＞0，C=1（ab1＞0）和椭圆 C2：+ =1（a2＞ b2＞0）均过点 P（，1），且以C1的两个极点和 C2的两个焦点为极点的四边形是面积为 2 的正方形．（Ⅰ）求 C1、C2的方程；（Ⅱ）能否存在直线l，使得 l 与 C1交于 A、B 两点，与 C2只有一个公共点，且 | + | =| | ？证明你的结论．【剖析】（Ⅰ）由条件可得a1=1，c2=1，依据点 P（，1）在上求得=3，可得双曲线 C1的方程．再由椭圆的定义求得a2=，可得=﹣的值，从而求得椭圆 C2的方程．（Ⅱ）若直线 l 垂直于 x 轴，查验部不知足 |+ | ≠|| ．若直线 l 不垂直于x 轴，设直线 l 得方程为y=kx+m，由可得y1?y2=．由可得（ 2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣ 6=0，依据直线 l 和 C1仅有一个交点，依据鉴别式△=0，求得2k2=m2﹣ 3，可得≠0，可得 |+ | ≠|| ．综合（ 1）、（ 2）可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆 C2的焦距为2c2，由题意可得2a1=2，∴ a1=1，c2=1．因为点P（，1）在上，∴﹣=1，=3，∴双曲线 C1的方程为： x2﹣=1．再由椭圆的定义可得2a2 =+=2，∴a2=，∴=﹣=2，∴椭圆 C2的方程为：+=1．（Ⅱ）不存在知足条件的直线l．（ 1）若直l 垂直于x ，由意可得直l 得方程x=，或x=．当x=，可得A（，）、B（，），求得 || =2，|| =2，然， |+ |≠||．同理，当x=，也有 |+ |≠||．（ 2）若直 l 不垂直于 x ，直 l 得方程y=kx+m，由可得（ 3 k2）x22mkx m 23=0，∴ x1+x2=， x1 ?x2=．于是， y1?y2=k2x1?x2+km（x1+x2）+m2=．由可得（2k2+3）x2+4kmx+2m26=0，依据直l 和C1有一个交点，∴判式△ =16k2m28（ 2k2+3）（ m23）=0，∴ 2k2=m23．∴=x1?x2+y1?y2=≠ 0，∴≠，∴ |+ |≠| |．合（ 1）、（ 2）可得，不存在足条件的直 l．21．（ 13 分）（ 2014?湖南）已知函数 f （x）=xcosx sinx+1（x＞0）．（Ⅰ）求 f（ x）的区；（Ⅱ） x i f（x）的从小到大的第 i（i∈N*）个零点，明：全部n∈N*，有++⋯+＜．【剖析】（Ⅰ）求函数的数，利用数研究 f （x）的区；（Ⅱ）利用放法即可明不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）∵ f（x）=xcosx sinx+1（ x＞ 0），∴f （′ x）=cosx xsinx cosx= xsinx，由 f ′（x） = xsinx=0，解得 x=kπ（k∈ N*），当 x∈（ 2kπ，（2k+1）π）（ k∈ N），sinx＞ 0，此 f ′（ x）＜ 0，函数减，当 x∈（（ 2k+1）π，（2k+2）π）（k∈N）， sinx＜0，此 f ′（x）＞ 0，函数增，故 f（ x）的增区（（2k+1）π，（ 2k+2）π），k≥0，减区（ 2kπ，（2k+1）π），k∈ N*）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知， f（ x）在区（ 0，π）上减，又 f（） =0，故 x1= ，当 n∈N*，∵f（nπ）f（（n+1）π） =[ （ 1）n nπ+1][ （ 1）n+1（n+1）π+1] ＜ 0，且函数 f（x）的象是不断的，∴ f（x）在区（ nπ，（ n+1）π）内起码存在一个零点，又 f（ x）在区（ nπ，（n+1）π）是的，故 nπ＜ x n+1＜（ n+1）π，所以当 n=1 ，有 = ＜建立．当 n=2 ，有+＜＜．当 n≥3 ，⋯++⋯+＜＜[]＜[]＜（6）＜＜．上明：全部n∈N*，有+ +⋯+＜．。

2014年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x0∈R，x02+1≤02．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3}3．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P34．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x5．（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）A．21 B．19 C．9 D．﹣1117．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]8．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）若0＜x1＜x2＜1，则（）A ．﹣＞lnx2﹣lnx1B ．﹣＜lnx2﹣lnx12C．x 2＞x 1D．x 2＜x 110．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）复数（i 为虚数单位）的实部等于．12．（5分）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为．13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．14．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是．15．（5分）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=．三、解答题（共6小题，75分）316．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n =，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n =+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a ，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a ，），（，b），（a ，），（，），（a，b），（a ，），（，b）（a，b）其中a ，分别表示甲组研发成功和失败，b ，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．18．（12分）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．419．（13分）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．20．（13分）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P （，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论．21．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；5（Ⅱ）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜．62014年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≤0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∀x0∈R，x02+1≤0【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项【解答】解∵命题p：∀x∈R，x2+1＞0，是一个特称命题．∴￢p：∃x0∈R，x02+1≤0．故选：B．【点评】本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键．2．（5分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3}【分析】直接利用交集运算求得答案．7【解答】解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．3．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）8A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x【分析】本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增，得到本题结论．【解答】解：选项A ，，∵f（﹣x）==f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．∵f（x）=x﹣2，﹣2＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减，∴根据对称性知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增；适合题意．选项B，f（x）=x2+1，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不合题意．选项C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意．选项D，f（x）=2﹣x在（﹣∞，+∞）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意．故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题．5．（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A ．B ．C ．D ．9【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论．【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则﹣2≤X≤3，则X≤1的概率P=，故选：B．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础．6．（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）A．21 B．19 C．9 D．﹣11【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．【解答】解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，∴圆心C2（3，4），半径为．∵圆C1与圆C2外切，∴，解得：m=9．10故选：C．【点评】本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t ﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D．11【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则8﹣r+6﹣r=，∴r=2．故选：B．12【点评】本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题．9．（5分）若0＜x1＜x2＜1，则（）A ．﹣＞lnx2﹣lnx1B ．﹣＜lnx2﹣lnx1C．x 2＞x 1D．x 2＜x 1【分析】分别设出两个辅助函数f（x）=e x+lnx，g（x）=，由导数判断其在（0，1）上的单调性，结合已知条件0＜x1＜x2＜1得答案．【解答】解：令f（x）=e x﹣lnx，则f′（x）=，当x趋近于0时，xe x﹣1＜0，当x=1时，xe x﹣1＞0，因此在（0，1）上必然存在f′（x）=0，因此函数f（x）在（0，1）上先递减后递增，故A、B均错误；令g（x）=，13，当0＜x＜1时，g′（x）＜0．∴g（x）在（0，1）上为减函数，∵0＜x1＜x2＜1，∴，即．∴选项C正确而D不正确．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到构造两个函数，是中档题．10．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]【分析】由于动点D满足||=1，C（3，0），可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），14∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．又A（﹣1，0），B（0，），∴++=．∴|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|++|的取值范围是．或|++|=|++|，=（2，），将其起点平移到D点，由其与CD同向反向时分别取最大值、最小值，即|++|的取值范围是．故选：D．【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3．15【分析】直接由虚数单位i的运算性质化简，则复数的实部可求．【解答】解：∵=．∴复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．12．（5分）在平面直角坐标系中，曲线C ：（t为参数）的普通方程为x﹣y﹣1=0．【分析】利用两式相减，消去t，从而得到曲线C的普通方程．【解答】解：∵曲线C：（t为参数），∴两式相减可得x﹣y﹣1=0．故答案为：x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查参数方程化成普通方程，应掌握两者的互相转化．1613．（5分）若变量x，y 满足约束条件，则z=2x+y的最大值为7．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，1），此时z=2×3+1=7，故答案为：7．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．1714．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是k＜﹣1或k＞1．【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围．【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0，∴k＜﹣1或k＞1．故答案为：k＜﹣1或k＞1．【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．15．（5分）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=﹣．【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，18则f（﹣x）=f（x），即ln（e3x+1）+ax=ln（e﹣3x+1）﹣ax，即2ax=ln（e﹣3x+1）﹣ln（e3x+1）=ln =ln=lne﹣3x=﹣3x，即2a=﹣3，解得a=﹣，故答案为：﹣，【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到f（﹣x）=f （x）是解决本题的关键．三、解答题（共6小题，75分）16．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n =，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n =+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．【分析】（Ⅰ）利用公式法即可求得；（Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=1，当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=﹣=n，19∴数列{a n}的通项公式是a n=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n=2n+（﹣1）n n，记数列{b n}的前2n项和为T2n，则T2n=（21+22+…+22n）+（﹣1+2﹣3+4﹣…+2n）=+n=22n+1+n﹣2．∴数列{b n}的前2n项和为22n+1+n﹣2．【点评】本题主要考查数列通项公式的求法﹣公式法及数列求和的方法﹣分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题．17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a ，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a ，），（，b），（a ，），（，），（a，b），（a ，），（，b）（a，b）其中a ，分别表示甲组研发成功和失败，b ，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．【分析】（Ⅰ）分别求出甲乙的研发成绩，再根据平均数和方差公式计算平均数，方差，最后比较即可．20（Ⅱ）找15个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是7个，求出频率，将频率视为概率，问题得以解决．【解答】解：（Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，则=，==乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1则=，==．因为所以甲的研发水平高于乙的研发水平．（Ⅱ）记E={恰有一组研发成功}，在所抽到的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是（a ，），（，b），（a ，），（，b），（a ，），（a ，），（，b）共7个，故事件E 发生的频率为，将频率视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=．【点评】本题主要考查了平均数方差和用频率表示概率，培养的学生的运算能力．2118．（12分）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．【分析】（Ⅰ）运用直线与平面垂直的判定定理，即可证得，注意平面内的相交二直线；（Ⅱ）根据异面直线的定义，找出所成的角为∠ADO，说明∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，不妨设AB=2，从而求出OD的长，再在直角三角形AOD中，求出cos∠ADO．【解答】（1）证明：如图∵DO⊥面α，AB⊂α，∴DO⊥AB，连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，∴DE⊥AB，又DO∩DE=D，∴AB⊥平面ODE；（Ⅱ）解：∵BC∥AD，∴BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角，由（Ⅰ）知，AB⊥平面ODE，22∴AB⊥OE，又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，从而∠DEO=60°，不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=，在Rt△DOE中，DO=DEsin60°=，连AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO==，故异面直线BC与OD 所成角的余弦值为．【点评】本题主要考查线面垂直的判定，以及空间的二面角和异面直线所成的角的定义以及计算，是一道基础题．19．（13分）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．【分析】（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．23（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE 中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos （）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．24【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．20．（13分）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P （，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论．【分析】（Ⅰ）由条件可得a1=1，c2=1，根据点P （，1）在上求得=3，可得双曲线C1的方程．再由椭圆的定义求得a2=，可得=﹣的值，从而求得椭圆C2的方程．（Ⅱ）若直线l垂直于x轴，检验部不满足|+|≠||．若直线l不垂直于x 轴，设直线l得方程为y=kx+m ，由可得y1•y2 =．由25可得（2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，根据判别式△=0，求得2k2=m2﹣3，可得≠0，可得|+|≠||．综合（1）、（2）可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C2的焦距为2c2，由题意可得2a1=2，∴a1=1，c2=1．由于点P （，1）在上，∴﹣=1，=3，∴双曲线C1的方程为：x2﹣=1．再由椭圆的定义可得2a2=+=2，∴a2=，∴=﹣=2，∴椭圆C2的方程为：+=1．（Ⅱ）不存在满足条件的直线l．（1）若直线l垂直于x轴，则由题意可得直线l得方程为x=，或x=﹣．当x=时，可得A （，）、B （，﹣），求得||=2，||=2，显然，|+|≠||．同理，当x=﹣时，也有|+|≠||．（2）若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为y=kx+m ，由可得26（3﹣k2）x2﹣2mkx﹣m2﹣3=0，∴x1+x2=，x1•x2=．于是，y1•y2=k2x1•x2+km（x1+x2）+m2=．由可得（2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣6=0，根据直线l和C1仅有一个交点，∴判别式△=16k2m2﹣8（2k2+3）（m2﹣3）=0，∴2k2=m2﹣3．∴=x1•x2+y1•y2=≠0，∴≠，∴|+|≠||．综合（1）、（2）可得，不存在满足条件的直线l．【点评】本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数研究f（x）的单调区间；27（Ⅱ）利用放缩法即可证明不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0），∴f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，由f′（x）=﹣xsinx=0，解得x=kπ（k∈N*），当x∈（2kπ，（2k+1）π）（k∈N），sinx＞0，此时f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（（2k+1）π，（2k+2）π）（k∈N），sinx＜0，此时f′（x）＞0，函数单调递增，故f（x）的单调增区间为（（2k+1）π，（2k+2）π），k≥0，单调递减区间为（2kπ，（2k+1）π），k∈N*）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在区间（0，π）上单调递减，又f （）=0，故x1=，当n∈N*，∵f（nπ）f（（n+1）π）=[（﹣1）n nπ+1][（﹣1）n+1（n+1）π+1]＜0，且函数f（x）的图象是连续不间断的，∴f（x）在区间（nπ，（n+1）π）内至少存在一个零点，又f（x）在区间（nπ，（n+1）π）是单调的，故nπ＜x n＜（n+1）π，+128因此当n=1时，有=＜成立．当n=2时，有+＜＜．当n≥3时，…++…+＜[][]（6﹣）＜．综上证明：对一切n∈N*，有++…+＜．【点评】本题主要考查函数单调性的判定和证明，以及利用导数和不等式的综合，利用放缩法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．29。