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第八章 传递函数矩阵的矩阵分式描述传递函数矩阵的矩阵分式描述是复频率域理论中表征多变量线性时不变系统输入输出关系的一种基本模型。
设一个多变量线性时不变系统如下图所示。
其输入与输出之间的关系可以用传递函数矩阵来描述。
我们将寻找新的描述方式来对该系统进行描述。
1111211221222212()()()()()()()()()()()()()()()()()()p p q q q qp p Y s g s g s g s U s Y s g s g s g s U s Y s G s U s Y s g s g s g s U s ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦在上式中Y i (s )是各个输出的拉氏变换，U j (s )是各个输入的拉氏变换，g ij (s )是一个有理函数。
8.1矩阵分式描述矩阵分式描述（matrix-fraction description ，MFD ）实际上将原来为有理分式矩阵的传递函数矩阵G (s )表达为两个多项式矩阵之“比”或者说是“分子矩阵”与“分母矩阵”之“比”。
这显然也是对单变量系统的一种推广。
虽然传递函数矩阵是描述多变量系统的一个有力工具，但是，到目前为止我们还无法定义有关系统的特征多项式、零点、极点等概念，同时系统的维数与传递函数矩阵之间存在什么关系、传递函数矩阵描述方式与状态空间描述方式之间又有着怎样的关系，诸如此类的问题都要求我们扩展系统的描述方式，通过新的描述方式定义系统的结构以及各种概念；然后进一步对系统进行分析。
右MFD 和左MFD考虑p 维输入和q 维输出的连续时间时不变系统，设表征其输入输出关系的传递函数G (s )为p q ⨯有理分式矩阵。
定义8.1 右MFD如果对于G (s )，如果存在p q ⨯多项式矩阵N (s ) 和非奇异的p p ⨯多项式D (s )使：)()()(1s D s N s G -= （8.1）则称（8.1）是G (s )的一个右MFD 。
第1章基础知识本论文针对线性时不变反馈系统，运用特征轨迹分析单个参数对系统稳定性的影响。
在这一考虑下，本章首先给出多变量反馈系统的数学描述，然后给出稳定性的定义和与之相关的定理，最后讨论基于返差算子之上的开环与闭环特征多项式之间的关系以及代数函数的基本知识。
1.1 多变量系统的描述形式1.1.1 开环系统的数学描述线性时不变动态系统状态空间表示法的基本形式是：`x(t) = Ax(t) + Bu(t)(1.1.1)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中x(t)是状态变量，y(t)是输出变量，u(t)为输入变量,`x(t) 表示x(t)对时间ｔ的微商；A,B,C 与D是实常数矩阵。
为了方便起见上述模式在意义明确的前提下简记为S(A,B,C,D)或S,并且用图1.1表示。
图1.1 状态空间模型如果对式（1.1.1）两边做单边Laplace变换，就可以得到sx(s) -x(0) = Ax(s) + Bu(s)(1.1.2)y(s) = Cx(s) + Du(s)其中x(s)表示x(t)的Laplace变换，这样就可以得到系统的外部描述。
取x(0)=0，则输出与输入由关系式y(s) = G(s)x(s) (1.1.3)相联系，其中G(s) = C(sI n-A)-1B+D(1.1.4) I n为n阶单位矩阵，( )-1表示矩阵的逆。
G(s)是复变量s的有利函数矩阵，称为传递函数矩阵，或开环增益矩阵。
1.1.2 闭环系统的数学描述考虑如图1.2所示的输出反馈情形。
参数k是整个回路总的是增益控制变量，系统的输入与输出用方程e(t)=r(t)-y(t)(1.1.5)u(t)=ke(t)和参考输入r(t)联系在一起,将它们和方程（1.1.1）结合在一起考虑，就可以得到闭环系统的状态空间方程：`x(t)=A c x(t)+B c r(t)(1.1.6)y(t)=C c x(t)+D c r(t)其中A c = A - B(k-1I m + D)-1CB c = kB - kB(k-1I m + D)-1DC c = (I m + kD)-1CD c = (k-1I m + D)-1D图1.2 输出反馈结构1.2 系统的稳定性稳定性是反馈系统最重要的一个要求。
第八章 多变量系统的矩阵分式描述多项式矩阵定义：m ×n 矩阵()s A 的元素(i=1，…,m;j=1,…n )是变s 的多项式，称()ij a s ()s A 为多项式矩阵。
记为1111()()()()()n m m a s a s s a s a s ⎡⎤⎢=⎢⎢⎥⎣⎦ΑL M L n ⎥⎥M)(s a ij 的最高次数称为N ()s A 的次数，记为)]}({deg[max ,,s a N j i ji =)(s A 可写成降幂形式的矩阵多项式 111()N N N N s −−=++++0A A S A S A S A L式中是常数矩阵。
),1,0(N k k L =A n m ×1）单模矩阵对于多项式矩阵()s A ，当det ()s =A 非零常数时，其仍为多项式矩阵时，称1()s −A ()s A 为单模矩阵。
单模矩阵有如下的性质：a) 单模矩阵的乘积仍为单模矩阵； b) 单模矩阵的逆阵仍是单模矩阵；c) 所有单模矩阵均可表示成有限个初等变换的乘积的形式。
2）Smith 标准形任意秩为r 的多项式矩阵经过行、列运算均等价于下列Smith 标准形)(s A )(s S 12*()()()()()()()()r s s s s s s s s γγγ0S 0S P A Q 0000O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中；rank ()min(,)r s =≤A m n )(1s γ，)(2s γ，… ，)(s r γ是不恒为零的首一多项式，且)(1s i +γ可整除)(s i γ，即存在1()()i i s s γγ+。
3）多项式矩阵的最大公因子设多项式矩阵为矩阵，若存在)(s A )(n m ×()()()s s =A B D s s ，则称阶方阵为的左因子 m )(s B )(s A 若存在，()()()s s =A E C 则称阶方阵为的右因子n )(s C )(s A若)()()(11s s s M B M =，)()()(22s s s M B M =，[][])()()()()(2121s s s s s M M B M M =则为[ ]的左公因子)(s B )(1s M )(2s M )()()(11s s s C N N =，)()()(22s s s C N N =，)()()()()(2121s s s s s C N N N N ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(s C 为的右公因子[TT T s s )()(21N N ]设是(1，…，)(s C )(s i N =i r )的一个右公因子，且的其他任何一个右公因子C 均为的右因子，即)(s i N )()1s s C )s (1)(s C ()(s W C =，则称是的一个最大右公因子，记为)(s C )(s i N []1()()()r s gcrd s s =C N N L4）最大右公因子构造定理设、分别为、1()s N )(2s N ()n m ×1()n m ×2矩阵，对[]TTT s s )()(21N N 作初等行变换，使其变换后矩阵的最后)2n (1m m −+行恒为零，即1211112122122212()()()()()()()0nm m n m s s s s m s s s m m nn+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦U U N R U U N则式中即为、的一个最大右公因子。
第十一章 线性时不变系统的多项式矩阵描述多项式矩阵描述方法是20世纪60年代中期由英国学者(H. H. Rosonbrock)提出来的。
首先多项式矩阵描述是对系统描述方法的一个丰富；其次多项式矩阵描述是对线性时不变系统更为普遍的一种描述；再者多项式矩阵描述为将来研究广义系统奠定了基础。
11.1 多项式矩阵描述多项式矩阵描述（Polynomial Matrix Descriptions ，PMD ）是除了线性系统的三种原有的描述方式：状态空间描述、传递函数矩阵描述和矩阵分式描述以外，一种新的描述方法。
例如：下图所示的系统：我们取两个回路电流12, i i 作为描述系统的变量；以最右边的电感两端的电压作为系统的输出ui i dt didti d 369211212=-++ 0436222221=+++-i dt didt i d i （11.1）2()2di y t dt= 引入微分算子：222()()(), ()dx t d x t dx t d x t dt dt将式（11.1）表示如下： 21221212(961)()()3()()(634)()0()0()2()0()d d i t i t du t i t d d i t y t i t di t u t ++-=-+++==++ （11.2）将上式写成矩阵形式：[][]212212()39611()()01634()()020()()i t d d d u t i t d d i t y t d u t i t ⎡⎤++-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ （11.3）一般地我们有：()()()()P d t Q d u t ζ=()()()()()y t R d t W d u t ζ=+ （11.4）(),(),()()P Q R W ⋅⋅⋅⋅和分别为, , , m m m p q m q p ⨯⨯⨯⨯的微分算子多项式矩阵。
第八章 多变量系统的矩阵分式描述多项式矩阵定义：m ×n 矩阵()s A 的元素()ij a s (i=1，…,m;j=1,…n )是变s 的多项式，称()s A 为多项式矩阵。
记为1111()()()()()n m mn a s a s s a s a s ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Α)(s a ij 的最高次数N 称为()s A 的次数，记为)]}({deg[max ,,s a N j i ji =)(s A 可写成降幂形式的矩阵多项式 1110()N N N N s −−=++++A A S A S A S A式中),1,0(N k k =A 是n m ×常数矩阵。
1）单模矩阵对于多项式矩阵()s A ，当det ()s =A 非零常数时，其1()s −A 仍为多项式矩阵时，称()s A 为单模矩阵。
单模矩阵有如下的性质：a) 单模矩阵的乘积仍为单模矩阵； b) 单模矩阵的逆阵仍是单模矩阵；c) 所有单模矩阵均可表示成有限个初等变换的乘积的形式。
2）Smith 标准形任意秩为r 的多项式矩阵)(s A 经过行、列运算均等价于下列Smith 标准形)(s S12*()()()()()()()()r s s s s s s s s γγγ0S 0S P A Q 0000 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中rank ()min(,)r s m n =≤A ；)(1s γ，)(2s γ，… ，)(s r γ是不恒为零的首一多项式，且)(1s i +γ可整除)(s i γ，即存在1()()i i s s γγ+。
3）多项式矩阵的最大公因子设多项式矩阵)(s A 为)(n m ×矩阵，若存在()()()s s s =A B D ，则称m 阶方阵)(s B 为)(s A 的左因子 若存在()()()s s s =A E C ，则称n 阶方阵)(s C 为)(s A 的右因子若)()()(11s s s M B M =，)()()(22s s s M B M =，[][])()()()()(2121s s s s s M M B M M =则)(s B 为[)(1s M )(2s M ]的左公因子)()()(11s s s C N N =，)()()(22s s s C N N =，)()()()()(2121s s s s s C N N N N ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(s C 为[]TT T s s )()(21N N 的右公因子设)(s C 是)(s i N (=i 1，…，r )的一个右公因子，且)(s i N 的其他任何一个右公因子)(1s C 均为)(s C 的右因子，即)()()(1s s s C W C =，则称)(s C 是)(s i N 的一个最大右公因子，记为[]1()()()r s gcrd s s =C N N4）最大右公因子构造定理设1()s N 、)(2s N 分别为()n m ×1、()n m ×2矩阵，对[]TTT s s )()(21N N 作初等行变换，使其变换后矩阵的最后)(21n m m −+行恒为零，即1211112122122212()()()()()()()0nm m n m s s s s m s s s m m nn+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦U U N R U U N则式中)(s R 即为)(1s N 、)(2s N 的一个最大右公因子。
证明 设11112111221222122()()()()(s)()()()()s s s s s s s s −−⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1U U V V U U U V V 故1111222122()()()()()()()s s s s s s s ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦N V V R N V V 0 （1） 展开有 111()()()s s s =N V R ，221()()()s s s =N V R由上式显见()s R 是1()s N 、2()s N 的一个右公因子。
且由式（1）有111122()()()()()s s s s s =+R U N U N ，若1()s N 、2()s N 有任一另外的右公因子1()s R ，即111()()()s s s =N N R ，221()()()s s s =N N R则1111221()[()()+()()]()s s s s s s R U N U N R =与此类似， 若[][]12()()()()s s U s s =M M R 0 ，式中()s R 为m 阶方阵，即()s R 为1()s M 、2()s M 的一个最大左公因子。
例：给定两个多项式矩阵如下231()12s s s s s +⎡⎤=⎢⎥−+−⎣⎦D ，2()121s s s ⎡⎤=−+−⎣⎦N 则其gcrd R(s)可按如下的方式来定出：2231()12()121a b d c e 21222212()-1 1 ()2332113,()3123112112120011001s s s s s s s s ××−×+⎡⎤⎡⎤−+−⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎯⎯⎯⎯→−+−+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥−+−−+−⎣⎦⎣⎦⎡⎤−−+−−+⎢⎥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯→++++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦E E E E E D N 交行和行行加到行行交行和行行加到行s s s s s s s s s s s s s s s s s s 2f 22-(1231120100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎡⎤−−+⎢⎥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→+⎢⎥⎢⎥⎣⎦E +)乘行加到行s s s s s 由此可得()21201⎡⎤−−+=⎢⎥+⎣⎦R s s s s而相应的单模矩阵为()()()f e d c b a 22210010010001000101001101000110010001001001010100011101001001111−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+⎣⎦⎣⎦⎣⎦−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥×=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−++−+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦U E E E E E E s s s s s s讨论：最大公因子具有非唯一性。
当()s R 为一最大公因子时， 则()()s s W R 也是一最大右公因子，这里的()s W 为单模矩阵。
这是由于当12()()()()s s s s ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N R U N 0 则以单模矩阵()s ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦W 0U 0I 左乘方程两端，可得12()()()()()()s s s s s s ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦N W 0R W R UU N 0I 00 式中UU 仍为单模矩阵，由构造定理可断定()()s s •W R 也是()1s N 、()2s N 的一个最大右公因子。
还有1122()()()()()()()s s s rank s rank rank s rank s s ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦N N R R U N N 0 [][][])()()()()(0)()(2121s M s M rank s U s M s M rank s R rank s rankR ===上式表明最大公因子与联合矩阵有相同的秩。
5）多项式矩阵的互质性对于[)(1s M )(2s M ]，其最大左公因子)(s R 为单模矩阵时，则称)(1s M 、)(2s M 左互质。
对于[]TTT s s )()(21N N ，其最大右公因子)(s R 为单模矩阵时， 则称)(1s N 、2()s N 右互质。
互质的两个多项式矩阵是不可约分的。
有理分式矩阵定义：由()n m ×个有理分式)(/)()(s p s q s g ij ij ij =(i =1，…，m ；j ＝1，…，n )作为元素构成的()n m ×矩阵)(s G ，称为有理分式矩阵。
)(s G 中只要有一个元素为真有理分式，则称)(s G 为真的有理分式矩阵；当且仅当全部元素为严格真有理分式时，则称)(s G 为严格真有理分式矩阵。
当元素为真有理分式时，由综合除法可得)()()()(s p s b a s p s q g ij ij ij ij ij ij +==式中ij a 称商式，)(s b ij 称余式，ij ij p s b /)(为严格真有理分式。
真有理分式矩阵可化为)()(0s s G A G +=式中A 为非零常数矩阵，)(0s G 为严格真有理分式矩阵。
1）麦克米兰（McMillan ）标准型设有理分式矩阵)(s G 中)(s g ij （i =1，…，m ；j ＝1，…，n ）的最小公倍式为)(s d ，则存在单模矩阵)(1s P 及)(1s Q 使111()()()()()()()r s s d s s s s s φφ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0P G Q S 00其中)(s d 、)(s i φ均为首一多项式111()()()()()()()()()r s d s s s s s s d s d s φφ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0S P G Q 00 由于)(/)(s d s i φ可能含有公因子，约分后有)()()()(1s d s s d s i i εφ=11*11()()()()()()()()()r r s d s s s s s s s d s εε0M 0P G Q M 0000 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦)(s M 称为)(s G 的Smith-McMillan 标准型2）传递函数矩阵()s G 的极、零点 定义1：传递函数矩阵()s G 的极点是()s G 的McMillan 标准型中分母多项式{()}i d s 的根；传递函数矩阵()s G 的零点是()s G 的McMillan 标准型中分子多项式{()}i s ε的根定义2（P77）：极点是()s G 中所有不恒等于零的子式的最小公分母（即极点多项式）的根；零点是()s G 中所有不恒等于零的r 阶子式的分子的首一最大公因子（即零点多项式）的根，且假定已将所有r 阶子式的分母调整极点多项式。
系统的矩阵分式描述单变量n 阶系统的传递函数为 11()()()()()mii nii s z n s g s m nd s s p ==−==<−∏∏据此，多变量系统的传递函数矩阵()s G 为1()()()r r s s s −=G N D上式称为()s G 的右矩阵分式描述，简记为右MFD 若写为1()()()l l s s s −=G D N称为()s G 的左矩阵分式描述，简记为左MFD矩阵分式描述的可约性右MFD 1()()()r r s s s −=G N D ，若()r s N 、()r s D 右互质，则称右MFD 是右不可简约的。
