研究生数值分析(26)

阅卷负责人签名：.（5分）设 n n n I I e -=，则11---n n I I )(1n n I I n--=， ||11---n n I I |)(|1n n I I n -=，即n n e ne 11=-.每迭代一次误差均在减少，所以设计的递推算法是数值稳定的. （15分）二、（15分）设n n ij R a A ⨯∈=)(对称,顺序主子式),,2,1(0n i i =≠∆则T LDL A =分解存在,其中L 为单位下三角形矩阵,D 为对角阵,试写出求方程组b Ax =解的计算步骤(用矩阵表示), 此法称为改进平方根法. 试用它求解方程组.：⎩⎨⎧=+=+221669632121x x x x 解: 由T LDL A =可得b Ax =的方程为b x LDL T=,令y x DL T=,则b Ly =.计算步骤(1) 将A 直接分解T LDL A =，求出 D L , (2) 求解方程b Ly =(3) 求解方程y D x L T 1-= （5分）现有⎢⎣⎡63 ⎥⎦⎤166⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10121l ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100d d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10121l 比较矩阵两边的元素,可得: ,221=l ,31=d .42=d由b Ly =可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=229 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒4921y y 由y D x L T1-=得⎥⎦⎤⎢⎣⎡1021⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=13 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒1112x x （15分）三、（15分）已知下列线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-14514103131021310321x x x 之精确解Tx )1,1,1(=.用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列问题: (1) 写出Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代两种迭代格式的分量迭代形式；(2) 求Jacobi 迭代格式的迭代矩阵及其-∞范数,并指出Jacobi 迭代法的收敛性. 解： (1) Jacobi 迭代法的分量形式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=----=--=+++10/)314()10/()325(10/)314()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x ),1,0( =kGauss-Seidel 迭代法的分量形式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=----=--=++++++10/)314()10/()325(10/)314()1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x ),1,0( =k (10分)(2) Jacobi 迭代格式的迭代矩阵及其-∞范数分别为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-=-010/310/110/3010/210/110/301A D I B J15.010/310/2||||<=+=∞J B Jacobi 迭代收敛. (15分)四、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+7262353114221212121x x x x x x x x 解 +-+=221)1142(),(x x y x Q 221)353(--x x+-++221)62(x x 221)72(-+x x要使总残差达到最小，必有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0021x Q x Q ⇒⎩⎨⎧-=-=-48463513182121x x x x⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==9111327383021x x 或⎩⎨⎧≈≈24.104.321x x （10分）五、(10分) 设23)()(a x x f -=.(1) 写出0)(=x f 解的Newton 迭代格式; (2) 证明此迭代格式是线性收敛的.解 (1) 因23)()(a x x f -=,故)(6)(32a x x x f -='.由Newton 迭代公式: ,1,0,)()(1='-=+k x f x f x x k k k k 得 ,1,0,665)(6)(232231=+=---=+k x ax a x x a x x x kk k k k k k .（5分）（2）迭代函数,665)(2x a x x +=ϕ而,365)(3--='x ax ϕ 又3*a x =, 则 =-='-333)(3165)(a a ϕ.0213165≠=-故此迭代格式是线性收敛的. （10分）六、(15分) 取节点21,010==x x ,12=x ，求函数xe x y -=)(在区间]1,0[上的二次插值多项式),(2x L 并估计插值误差.解 由Lagrange 插值公式得()()()2112142122112----⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=e x x e x x x x x L . （10分）())1)(5.0)(0(!3)()()(22---'''=-=x x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()1)5.0(max 6110--≤≤≤x x x x 令 ),1)(5.0()(--=x x x x h 由0)(='x h ，求得两个驻点得)311(211+=x ， )311(212-=x于是 =≤≤|)(|max 10x h x 3121)}1(),(),(),0({max 2110=≤≤h x h x h h x所以，有())()(22x L x y x R -=)(max 6110x h x ≤≤≤008019.03721≈=（15分） 七、(10分)已知某河宽20m ，测得水深)(x f 如下表 （单位：m ）:4.18.10.28.20.35.28.20.38.15.10.1)(20181614121086420k kx f x利用所有数据，用复合梯形公式和复合Simpson 公式计算河水的截面积dx x f ⎰20)(的近似值.解：用复合梯形公式，小区间数,10=n 步长.21020=-=h]4.1)8.10.28.20.35.28.20.38.15.1(20.1[22)(1020++++++++++=≈⎰T dx x f)(8.442m = （5分）用复合Simpson 公式. 小区间数5=n , 步长4)020(51=-⨯=h ]4.1)0.20.38.28.1(2)8.18.25.20.35.1(40.1[64)(520++++++++++=≈⎰S dx x f)(33.45)(313622m m ≈=（10分）八、（10分）设初值问题:⎩⎨⎧=≤≤-='0)0(10),1(10y x y x y ,(1) 写出用Euler 方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进Euler 方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式. 解: （1）取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的Euler 公式为；9,,1,0),1(),(01==-+=+=+y n y x y y x hf y y n n n n n n n （5分）（2）取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的改进Euler 公式为：)]1()1([21)1(01111=⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+=++++y y x y x y y y x y y n n n n n n n n n n 9,,1,0 =n （10分）。

博士研究生入学考试《数值分析（机电院）》考试大纲第一部分考试形式和试卷结构一、考试方式：考试采用闭卷笔试方式，试卷满分为100分。

二、考试时间：180分钟。

三、试卷内容结构：约占 60%，主观题约占 40%。

四、试卷题型结构：试卷由三部分组成：选择/判断、填空、分析/计算。

其中：1、选择/判断题，约占20%。

测试考生对本课程基本概念、基本知识和数值计算常用算法设计与分析方法的掌握程度。

2、填空题，约占40%。

测试考生运用数值计算相关基础知识和基本方法，开展计算、简要分析以及求解实际问题的能力。

3、分析、计算题，约占40%。

测试考生综合运用数值计算理论、典型方法解决综合问题，并开展相关计算方法收敛性以及误差分析等能力。

第二部分考察的知识及范围1.误差度量与数值算法设计误差基本概念：误差来源与分类，截断误差、舍入误差、绝对误差、相对误差，有效数字以及数值稳定性。

函数计算误差分析：一元函数误差估计，四则运算误差估计。

数值算法设计原则：简化计算步骤以节省计算量（秦九韶算法）、减少有效数字损失，选择数值稳定的算法。

2.函数的插值方法以及误差估计插值问题的基本概念：插值问题的描述，插值多项式的存在和唯一性，差商、差分的概念以及性质。

拉格朗日插值：线性插值与抛物插值，n次拉格朗日插值，插值余项公式。

牛顿插值：均差的概念与性质，牛顿插值公式及其余项，差分的概念与性质。

埃尔米特插值：两点三次埃尔米特插值及其余项，n点埃尔米特插值，非标准埃尔米特插值及其余项。

分段低次插值：分段线性插值，分段三次埃尔米特插值。

三次样条插值：三次样条函数建立，三次样条插值方法。

3.函数逼近与曲线拟合正交多项式：函数内积、欧几里德范数，正交函数序列，正交多项式，勒德让多项式，切比雪夫多项式。

最佳平方逼近：最佳平方逼近问题及解法，基于正交函数、勒德让多项式、切比雪夫多项式的最佳平方逼近。

最小二乘法：最小二乘曲线拟合问题的提出和解法，最小二乘计算，最小二乘法的应用（算术平均、超定方程组）。

研究生数值分析目录1. 内容概要 (3)1.1 研究背景 (3)1.2 研究目的与意义 (4)1.3 研究内容与方法 (5)2. 数值分析基本概念 (6)2.1 数值分析的定义 (8)2.2 数值分析的研究对象 (9)2.3 数值分析的应用领域 (10)3. 数值逼近 (11)3.1 插值法 (12)3.1.1 插值问题的提出 (13)3.1.2 插值函数的性质 (14)3.1.3 常用插值方法 (15)3.2 近似计算 (16)3.2.1 近似计算的必要性 (18)3.2.2 近似误差分析 (19)3.2.3 常用近似方法 (20)4. 线性代数方程组 (22)4.1 线性代数方程组的基本理论 (23)4.2 高斯消元法 (24)4.3 迭代法 (25)4.3.1 迭代法的原理 (26)4.3.2 常用迭代法 (27)5. 微分方程数值解法 (28)5.1 常微分方程初值问题的数值解法 (29)5.1.1 欧拉法 (30)5.1.2 迭代法 (31)5.1.3 高斯赛德尔法 (32)5.2 偏微分方程数值解法 (33)5.2.1 有限差分法 (34)5.2.2 有限元法 (36)6. 最优化方法 (37)6.1 最优化问题的基本理论 (38)6.2 无约束最优化方法 (39)6.3 约束最优化方法 (40)6.3.1 拉格朗日乘子法 (40)6.3.2 内点法 (41)7. 数值计算软件介绍 (42)7.1 MATLAB软件介绍 (44)7.2 Python编程语言在数值分析中的应用 (45)7.3 其他数值计算软件简介 (46)8. 实例分析 (47)8.1 某工程问题的数值分析 (48)8.2 某科学问题的数值模拟 (49)9. 总结与展望 (50)9.1 研究成果总结 (52)9.2 存在的问题与不足 (53)9.3 未来研究方向 (54)1. 内容概要本课程《研究生数值分析》旨在为研究生提供深入的数值分析理论知识和实践技能。

------------------------------------------------ 装 ---------------------------------订 ---------------------------------线 ------------------------------------------------装 订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容允许使用计算器一、 填空题 （本大题共10小题，每小题 2分，共 20分）1. 若2.71828x e == ，取近似值* 2.7180x =，则*x 具有 4 位有效数字。

2.为了提高数值计算精度，应将8格式进行计算。

3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数(3)(3)(3)012133,,888C C C ===，那么(3)3C =18 。

4.设3()1f x x x =+-，则函数的四阶差商[0,1,2,3,4]f = 0 。

5. 用牛顿迭代法解方程0x x e --=在0.5x =附近的近似实根的牛顿迭代格式为)1,0(e 1e )()(1=+--='-=--+n x x x f x f x x nnx x n n n n n n6. 对给定的剖分01:n a x x x b ∆=<<<= ，当()s x 满足条件 ()s x 在[a,b]有2阶连续导数且在每个子区间上是个3次多项式 时是三次样条函数。

7．用最小二乘法拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是1322y x =+。

8.向量序列()211cos ,sin ,3Tk k x e k k k k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的极限向量为()0,1,3T9.求积公式 10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。

10.若绝对误差限为31102-⨯，那么近似数0.03600有 2 位有效数字二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 2 分，共 10分）1. 已知实验数据555521111(,)(1,2,3,4,5),15,31,55,105.5,k k k k kk k k k k k x y k x y x x y =========∑∑∑∑其中则用最小二乘法求近似公式01y a a x =+的法方程为（ C ）A 0101153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩B 0101515551531105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩C 0101515311555105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ D0101531153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ 2． 以下矩阵是严格对角占优矩阵的是（ B ）A 3210141011410012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ B 2100131013610113-⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭C 5210113121410012-⎛⎫⎪--⎪ ⎪⎪⎝⎭D 4211141021411315⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭3.已知两种递推公式11(1)35(1,2,,20)31(2)(20,,1)55n n n n I nI n I I n n n--=-==-= 则在数值计算过程中（ C ）。

2024年考研高等数学一数值分析与数值方法历年真题在数学学科中，数值分析与数值方法是一个重要的分支。

它的主要研究内容是利用数值计算的方法，对数学问题进行近似求解。

考研高等数学一中的数值分析与数值方法部分，通常会涉及到一些历年真题，以检验考生对该知识点的掌握程度。

本文将按照数值分析与数值方法题型的常见形式，对2024年考研高等数学一数值分析与数值方法历年真题进行分析和解答。

一、题型一：插值与拟合插值与拟合是数值分析与数值方法中的重要内容之一。

下面我们来看一道2020年的考研高数真题：【题目】已知函数f(x)在区间[0,2]上的连续函数，且有f(0)=1,f(1)=3, f(2)=-1，请利用Lagrange插值法求f(x)在x=0.5处的近似值。

【解答】Lagrange插值法的基本思想是：用已知数据点的函数值来构造一个多项式，使得该多项式经过这些数据点。

此多项式称为拉格朗日插值多项式。

在本题中，已知数据点为(0,1)，(1,3)，(2,-1)，我们需要根据这三个点来构造一个二次多项式。

设L1(x)，L2(x)，L3(x)分别为通过点(0,1)，(1,3)，(2,-1)的拉格朗日插值基函数。

具体公式如下：L1(x) = (x-1)(x-2)/((0-1)(0-2)) = 0.5x^2 - 1.5x + 1L2(x) = (x-0)(x-2)/((1-0)(1-2)) = -x^2 + 2xL3(x) = (x-0)(x-1)/((2-0)(2-1)) = 0.5x^2 - 0.5x那么，根据拉格朗日插值多项式的定义，f(x)在x=0.5处的近似值为：f(0.5) = f(0)L1(0.5) + f(1)L2(0.5) + f(2)L3(0.5)= 1 * (0.5 * 0.5 - 1.5 * 0.5 + 1) + 3 * (-0.5 * 0.5 + 2 * 0.5) + (-1) * (0.5 * 0.5 - 0.5 * 0.5)= 0.25 + 2.25 - 0.5= 2所以，根据Lagrange插值法，f(x)在x=0.5处的近似值为2。

2009-2010数值分析第一章绪论 (1)第二章函数插值 (2)第三章函数逼近 (5)第四章数值积分与数值微分 (10)第五章解线性方程组的直接解法 (12)第六章解线性方程组的迭代解法 (16)第七章非线性方程求根 (19)第九章常微分方程初值问题的数值解法 (21)第一章绪论1.1要使胸的相对误差不超过0.1%,应取几位有效数字？解：面的首位数字％=4。

设/有n位有效数字，由定理知相对误差限k(.r*)|<—xlO1^ =-xl0^1 r 1 2x4 84-xio1-" <0.1%, 8解得〃Z3.097,即需取四位有效数字.1.2 序列｛/｝满足关系式y,,=10y,_]-l(n = l,2,...),若y0=V2«1.41,计算到M。

，误差有多大？这个算法稳定吗？解：y0 = V2,y* =1.41,|y0 -y*| <^-xl0-2=5 ,于是|/i 一川=|1。

》0 —IT。

〉；+1| = 1。

|光 - 司 < 1。

5卜2-》；| = |10》1一1一10》；+1| = 10卜1一酣〈10逆, 一般地|儿一司<103 因此计算到Mo其误差限为1010^，可见这个计算过程是不稳定的。

1. 3计算球的体积，要使相对误差限为1%,问测量半径R时允许的相对误差限是多少?解:5,、九兀K ~-7tK R_R* R2+R*R + R*2R_R* 37?2R_R*。

，“ ,(v)= _2 ---------- 2 «■«.____________ = _____ 3 = 1% ' 4 f RR- R R 2 R-7lR 3》=一' ,即测量半径R 时允许的相对误差限是一、。

R 300300第二章函数插值2.1、利用如下函数值表构造差商表，并写出牛顿插值多项式。

进而得牛顿多项式为 地⑴=f (.%) + /■氏次』吼⑴+ /[.r (p x 1,.r 2]<»2(.r) + /[.r (p x 1,.r 2,.r 3]<»3(.r)1 1 33A^3 (x) = 3 + — (x -1) + — (x -1)(尤)-2(x- l)(x )x2. 2、已知f(-2) = 2, f(-1) = 1, f (0) = 2, f (0.5) = 3试选用合适的插值节点利用Lagrange 二次插值多项式计算f (-o.5)的近似值，使之精度 尽可能高。