研究生数值分析试题

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研究生数值分析试题

第三章线性方程组的直接解法自测题
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)
1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（
）
（1）调换方程位置；（2）选主元；（3）直接求解；（4）化简方程组。
⎛ 2 2 3⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛2 2 3⎞
2、设矩阵
A
为初值迭代一步。
四、（12 分）应用牛顿法于方程
f (x) =
xn
−a
Байду номын сангаас
=
0和
f (x) =1−
a xn
= 0 ，分别导出求 n
a
的
迭代公式，并求极限 lim n a − xk+1 。 k→∞ ( n a − xk )2
五、（ 12 ）方程 x3 − 6 x − 8 = 0 在 x = 3 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式
零， A = LU 为 Doolitte 分解，则上三角矩阵 U 的上半带宽为
。
5、设对称正定矩阵
A
=
(aij
)∈
Rn×n , a11
≠
0
，经过一次
Gauss
消元得到形如
A
=
⎛ ⎜ ⎝
a11 0
∗⎞
A1
⎟ ⎠
的
矩阵，则 A1 是
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤
3、设矩阵 A ∈ Rn×n ， Q ∈ Rn×n ，且 QT Q = E ，则下列关系式不成立的是（
）
(1) A = AQ ；(2) QA = A ；(3) Qx = x ，其中 x ∈ Rn ；

2010-2011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷

h
20102011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷20102011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷1一20分考虑线性方程组axb其中a111t1222123312b4321341
2010-2011 学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷 1 一（20 分）考虑线性方程组 Ax=b，其中 A= 1 1 1
π 2 0
1−
3 cos x 4
2
dx，
用数值积分的方法求其近似值（要求计算结果具有四位有效数字）。 2 四（15 分）用迭代法求 x +10x-18=0 在[1,2]内的根，取初值为 1.5 1. 构造一个收敛的迭算 2 步，然后采用 Aitken 加速算法再计算一步是否能得到更精确的近似值？计算过程中小数点后保留 4 位。五（10 分）求函数 ex 在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。 y ′ + y = 0, xϵ[0,1] 六（20 分）对初值问题 y 0 =1 1. 求此微分方程的精确解。 2. 证明：用格式yn+1 = yn + 2 (−yn − yn+1 )所求得的近似解在步长 h0 时收敛于精确解。 3. 写出上述格式的 Matlab 程序源代码，要求：输出近似解曲线图和误差曲线图。
T
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 ，b=（4，3，2，1） 3 4
1. 用平方根法解线性方程组。 2. 对上述方程组构造收敛的迭代格式，说明其收敛原因，取初始值 X（0）=（0,0,0,0）T 用所给的迭代格式计算迭代序列的前两项（用分数表示）。二（15 分）已知sin （0.32）=0.314567，sin （0.34）=0.333487 均具有 6 位有效数字。 1. 请用线性插值求sin （0.33）的近似值。 2. 证明在区间[0.32,0.34]上用线性插值求sin x的近似值时至少有 4 位有效数字。三（20 分）长半轴为 2，短半轴为 1 的椭圆的周长 s 为 s=8

硕士研究生数值分析试卷

数值分析（研究生，2008-12-15）1.（10分）求函数⎩⎨⎧≤≤++<≤-+=10,101,1sin )(2x x x x x x f 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近式x e a x a a x 210)(++=φ。

2．（15分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----110141012，初始向量为T x ]0,0,1[0=（要求结果有三位有效数字）。

同时计算该矩阵的1-条件数和谱条件数。

3.（15分）已知函数x x f sin )(=在36.0,34.0,32.0210===x x x 处的值分别为352274.0,333487.0,314567.0210===y y y 。

用Lagrange 插值多项式对3167.0=x 的函数值进行近似计算，并估计近似计算的误差界。

4.（15分）用Newton 迭代法求方程0ln 2=+x x 在区间（0，2π）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解具有四位有效数字。

请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。

5.（15分）用Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---542834*********x x x 取初始近似向量0[0,0,0]Tx =，估计达到4位有效数字需要的迭代次数，并实际计算之。

就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。

6. （10分）应用拟牛顿法解非线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.12,2322112221x x x x x x 取T x ]1,0[)0(= ，终止容限210-=ε。

7.（10分）求解矛盾方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++232328.12221321321321321x x x x x x x x x x x x8. （10分）用复合Simpson 公式计算积分⎰=21sin )(xdx f I 讨论在误差要求不超过410-的条件下的步长。

研究生数值分析练习题答案

------------------------------------------------ 装 ---------------------------------订 ---------------------------------线 ------------------------------------------------装订线左侧不要书写内容允许使用计算器一、填空题（本大题共10小题，每小题 2分，共 20分）1. 若2.71828x e == ，取近似值* 2.7180x =，则*x 具有 4 位有效数字。

2.为了提高数值计算精度，应将8格式进行计算。

3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数(3)(3)(3)012133,,888C C C ===，那么(3)3C =18 。

4.设3()1f x x x =+-，则函数的四阶差商[0,1,2,3,4]f = 0 。

5. 用牛顿迭代法解方程0x x e --=在0.5x =附近的近似实根的牛顿迭代格式为)1,0(e 1e )()(1=+--='-=--+n x x x f x f x x nnx x n n n n n n6. 对给定的剖分01:n a x x x b ∆=<<<= ，当()s x 满足条件 ()s x 在[a,b]有2阶连续导数且在每个子区间上是个3次多项式时是三次样条函数。

7．用最小二乘法拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是1322y x =+。

8.向量序列()211cos ,sin ,3Tk k x e k k k k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的极限向量为()0,1,3T9.求积公式 10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。

10.若绝对误差限为31102-⨯，那么近似数0.03600有 2 位有效数字二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 2 分，共 10分）1. 已知实验数据555521111(,)(1,2,3,4,5),15,31,55,105.5,k k k k kk k k k k k x y k x y x x y =========∑∑∑∑其中则用最小二乘法求近似公式01y a a x =+的法方程为（ C ）A 0101153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩B 0101515551531105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩C 0101515311555105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ D0101531153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ 2．以下矩阵是严格对角占优矩阵的是（ B ）A 3210141011410012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ B 2100131013610113-⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭C 5210113121410012-⎛⎫⎪--⎪ ⎪⎪⎝⎭D 4211141021411315⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭3.已知两种递推公式11(1)35(1,2,,20)31(2)(20,,1)55n n n n I nI n I I n n n--=-==-= 则在数值计算过程中（ C ）。

研究生数值分析期末考试试题A答案

2010年秋研究生数值分析期末考试试题答案一、单选题（4*5=20分）1、D; 2、B ； 3、D ； 4、B ； 5、D 。

二、填空题（4*5=20）1、4； 2、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323203*⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛320323； 3、)]23()0()23([3f f f ++-∏；4、kk k k x x x x 2221--=+；5、9.605。

三、（10分）由两点三次Hermite 插值多项式公式秋得：)2()(23x x x H -=，设所求多项式223)1()()(-+=x Ax x H x P ，。

（4分）由P(2)=1,得A=1/4,。

（4分）故22)3(41)(-=x x x P 。

.。

（2分）四、（10分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1001001*10010021321u u l l l A ，由追赶法公式求得， 15/56,15/4,4/15,4/1,432211=-==-==l u l u l ，。

（4分）由Ly=d,求得T y )77.0,87.0,25.0(=,（3分）由Ux=y,求得，T x )5179.0,0714.1,7679.0(=（3分）五、（10分）Jacobi 迭代计算格式：⎪⎩⎪⎨⎧++-=--=--=+++3/)221(5/)327(24)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 。

（2分） G-S 迭代计算格式： ⎪⎩⎪⎨⎧++-=--=--=++++++3/)221(5/)327(24)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 。

（2分）由于016415)(3=-+=-λλλJ B I del ,,11516)(>=J B ρ即Jacobi 迭代发散；。

研究生数值分析练习题答案

允许使用计算器一、填空题（本大题共10小题，每小题 2分，共 20分） 1. 若 2.71828x e ==，取近似值* 2.7180x =，则*x 具有 4 位有效数字。

2.为了提高数值计算精度，应将8格式进行计算。

3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数(3)(3)(3)012133,,888C C C ===，那么(3)3C =18 。

4.设3()1f x x x =+-，则函数的四阶差商[0,1,2,3,4]f = 0 。

5. 用牛顿迭代法解方程0xx e在0.5x 附近的近似实根的牛顿迭代格式为)1,0(e 1e )()(1=+--='-=--+n x x x f x f x x nnx x n n n n n n6. 对给定的剖分01:n a x x x b ∆=<<<=，当()s x 满足条件 ()s x 在[a,b]有2阶连续导数且在每个子区间上是个3次多项式时是三次样条函数。

7．用最小二乘法拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是1322y x =+。

8.向量序列()211cos ,sin ,3Tk k xe k k k k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的极限向量为()0,1,3T9.求积公式 10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。

10.若绝对误差限为31102-⨯，那么近似数有 2 位有效数字二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 2 分，共 10分）1. 已知实验数据555521111(,)(1,2,3,4,5),15,31,55,105.5,k k k k kk k k k k k x y k x y x x y =========∑∑∑∑其中则用最小二乘法求近似公式01y a a x =+的法方程为（ C ）A 0101153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩B 0101515551531105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩C 0101515311555105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩D 0101531153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩2．以下矩阵是严格对角占优矩阵的是（ B ）A 3210141011410012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ B 2100131013610113-⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭C 5210113121410012-⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D 4211141021411315⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭3.已知两种递推公式11(1)35(1,2,,20)31(2)(20,,1)55n n n n I nI n I I n n n--=-==-=则在数值计算过程中（ C ）。

研究生考试数值分析试题

研究⽣考试数值分析试题研究⽣2002级数值分析⼀（12分）、对于积分=+1,2,1,0,999n dx x x n。

（1）试推导递推公式 ,2,1,19991=+-=-n nI I n n ；（2）分析上述算法的数值稳定性；（3）若上⾯算法不稳定，请选择合适的算法，并分析其稳定性。

⼆（12分）、解⽅程组= 00001.8800001.626221x x 和?=00002.8800001.626221x x ，就所观察到的现象进⾏分析。

三（12分）、设⽅程组=--=+-=+-7989783212121x x x x x x x ；（1）适当调整⽅程的排列顺序，使得⽤Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛？说明收敛原因。

（2）取初始向量()()Tx 0,0,00=，⽤Gauss-Seidel 迭代求近似解()2x，并求其()()k k x x-+1误差。

四（12分）、（1）已知函数()4xe xf =，在[0,1]内三点0，1/2，1的函数值，求其⼆次插值的余项；（2）三个节点如何安排能使其余项达最⼩，此时⼈余项为多少？五（12分）、对于⽅程()02ln =+-x x ，若求［-1.9，-1］内的根，分别选取迭代⽅程()2ln +=x x 和2-=x e x ，它们的收敛性如何？再写出⽜顿迭代公式。

六（10分）、设()?=>+-='100,5y x x y y ，解析解xe x y -+-=25262515，分别取45.0,4.0,2.0,1.0=h ，利⽤Euler ⽅法计算得y(10)的近似值分别为1.96，1.96，5.2851，142.8863，对此现象进⾏分析。

七（10分）、设()x e x f =，分别取步长0001.0,01.0,5.0=h ，⽤中⼼差商公式计算()0f '的近似值并求出误差，对结果作分析⽐较。

⼋（10分）、求不超过2次的多项式()x P 2，使其满⾜条件：()21=f ，()32=f ，()12='f ，并写出其误差估计。

2010-2011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷

2010-2011 学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷 1 一（20 分）考虑线性方程组 Ax=b，其中 A= 1 1 1
T
1 2 Байду номын сангаас 2
1 2 3 3
1 2 ，b=（4，3，2，1） 3 4
1. 用平方根法解线性方程组。 2. 对上述方程组构造收敛的迭代格式，说明其收敛原因，取初始值 X（0）=（0,0,0,0）T 用所给的迭代格式计算迭代序列的前两项（用分数表示）。二（15 分）已知sin （0.32）=0.314567，sin （0.34）=0.333487 均具有 6 位有效数字。 1. 请用线性插值求sin （0.33）的近似值。 2. 证明在区间[0.32,0.34]上用线性插值求sin x的近似值时至少有 4 位有效数字。三（20 分）长半轴为 2，短半轴为 1 的椭圆的周长 s 为 s=8
h
π 2 0
1−
3 cos x 4
2
dx，
用数值积分的方法求其近似值（要求计算结果具有四位有效数字）。 2 四（15 分）用迭代法求 x +10x-18=0 在[1,2]内的根，取初值为 1.5 1. 构造一个收敛的迭代格式，并证明此格式的收敛性。 2. 先用上述迭代格式计算 2 步，然后采用 Aitken 加速算法再计算一步是否能得到更精确的近似值？计算过程中小数点后保留 4 位。五（10 分）求函数 ex 在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。 y ′ + y = 0, xϵ[0,1] 六（20 分）对初值问题 y 0 =1 1. 求此微分方程的精确解。 2. 证明：用格式yn+1 = yn + 2 (−yn − yn+1 )所求得的近似解在步长 h0 时收敛于精确解。 3. 写出上述格式的 Matlab 程序源代码，要求：输出近似解曲线图和误差曲线图。

(完整)研究生数值分析(工程数学)试题及答案,推荐文档

五、(15 分) 设有求解初值问题 y f (x, y), y(x0 ) y0 的如下公式： yn1 ayn byn1 h[cf (xn , yn ) df (xn1, yn1)]
假设 yn1 y(xn1), yn y(xn ) ，试确定 a, b, c, d 使该格式的局部截断误差精度尽量高.
h f (x)d x
ห้องสมุดไป่ตู้
h
ax3 bx2 cx d dx 2bh3 2dh
h
h
3
代入求积分公式的右边
h f (h) 4 f (0) f (h) h f (h) f (h) 4h f (0)
3
3
3
2h bh2 d 4hd 2bh3 2dh
3
33
所以所求积分公式对任意 3 次代数多项式是完全精度，求积分公式具有 3 次代数精度。
(4) 4 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为___3___次.
(5) 梯形求积公式具有 1 次代数精度,辛普生求积公式具有 3 次代数精度.
(6)
求方程
f (x) 0 根的牛顿迭代格式是______ xn1
xn
f f
xn xn
___.
(7)
设
A
1 3
2 4 , 则 A = ___ 7_____,
f x, g0 x c0 g0 x, g0 x
f x, g1 x c1 g1 x, g1 x
所以有
2 3
1 0
xdx (
1
x,1) c0 011d x c0
2
3
1 0
xdx (
1
x,1) c0 011d x c0
1
15

数值分析考试

数值分析（100分试题）第 1 页共 3 页一、、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、设*0.034x 为经过四舍五入后得到的近似数，则数*x 的有效数字位数是。

2、设节点,0,1,2,3,,i x i n = ，(),0,1,2,,i l x i n = 是关于上述节点的Lagrange 插值基函数，则对于0,1,2,,k n = ，0()n k i i i x l x ==∑ 。

3、已知矩阵411141114A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求||||A ∞= ；2()cond A = 。

4、给定方程22cos x x =-,求该方程根的Newton 迭代格式是。

5、步长为h 时，求常微分方程初值问题⎩⎨⎧=≤≤=-1)0(,10,0'3y x xy y 的改进的Euler 公式是。

二、（10分）求一个3次多项式)(x p ,使其满足4)2('',3)2(,2)1(',1)1(====p p p p .三、（10分）给定线性方程组12310112013a x a a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中a 为常数.写出求解上述线性方程组的Jacobi 迭代格式，并分析当a 取何值时Jacobi 迭代法收敛。

四、（10分）用列主元Gauss 消去法解线性方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡81213612002120321203214321x x x x 五、（10分）求3()f x x = 在区间[1,1]- 上关于()1x ρ= 的最佳平方逼近2次多项式。

六、（10分）分析方程01224=---x x x 存在几个实根,并用迭代法求出其中一个实根,精确到3位有效数字。

七、（10分）已知求积公式 )53(95)0(98)53(95)(11f f f dx x f ++-≈⎰- 为Gauss 公式,试给出形如)()()()(221100x f A x f A x f A dx x f ba++≈⎰的求积公式,使其代数精度达到5.八、（10分）用初等反射矩阵将111211245A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦分解为QR 的形式，其中Q 为正交矩阵，R 为上三角矩阵。

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T
）
A 2 = AQ 2 ；(2) QA
F
= A F ；(3) Qx 2 = x 2 ，其中 x ∈ R n ；
cond ∞ ( A) = cond ∞ ( AQ ) 。
⎡1⎤ ⎡ 3 −1 4 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 4、设矩阵 A = −1 2 −2 ， x = −1 ，则 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ − − 2 3 2 ⎣1⎥ ⎦ ⎣ ⎦
假定 f ′( x ) ≠ 0 ，证明它对单根是一个二阶方法。八、（10 分）设 ϕ ( x ) = x + x ， x = 0 为 ϕ ( x ) 的一个不动点，验证下列迭代法
3
xk +1 = ϕ ( xk ), x0 ≠ 0 不收敛，但改用斯蒂芬森迭代却是收敛的；并说明斯蒂芬森迭代计算 ϕ ( x )
五、（12 分）用平方根法求解下列方程组
⎛ 4 −2 −4 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 10 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −2 17 10 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ ⎜ −4 10 9 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
4
六、（10 分）设线性代数方程组 Ax = b 中系数矩阵 A 非奇异， x 为精确解， b ≠ 0 ，若向量
(2) 第 3 行；
(3) 第 5 行；
二、填空题（每小题 3 分，共计 15 分）
⎡2 1 0⎤ ⎢ ⎥ T 1、设 A = 1 2 a ，为使 A 可分解为 A = LL ，其中 L 是对角元素为正的下三角矩阵， ⎢ ⎥ ⎢ ⎣0 a 2⎥ ⎦
则 a 的取值范围是___________________。
2 2 收敛于 2 ，且要求收敛阶尽量高，则 a 的值为（ 2 3 xk
）。
1
(1)
1 ； 3
(2)
2 ； 3
(3)
1 3
；
(4)
2 。 3
4、求方程根的二分法的收敛阶为（）（1）线性收敛；（2）超线性收敛；（3）平方收敛；（4）局部平方收敛。 5、解非线性方程 f ( x ) = 0 的牛顿迭代法的收敛阶为（）。
的不动点 x = 0 时的收敛阶。
第三章
线性方程组的直接解法自测题
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分) 1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（）（1）调换方程位置；（2）选主元；（3）直接求解；（4）化简方程组。
⎛ 2 2 3⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛ 2 2 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 2、设矩阵 A 的 LU 分解如下： A = ⎜ 4 7 7 ⎟ = ⎜ 2 1 0 ⎟ ⎜ 0 b 1 ⎟ ⎜ −2 4 5 ⎟ ⎜ −1 a 1 ⎟ ⎜ 0 0 6 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
为上半带宽为 p ，下半带宽为 q 的带状矩阵，且 A 的各阶顺序主子式均不为。
零， A = LU 为 Doolitte 分解，则上三角矩阵 U 的上半带宽为 5、设对称正定矩阵 A = ( aij ) ∈ R 矩阵，则 A1 是
n× n
⎛ a11 , a11 ≠ 0 ，经过一次 Gauss 消元得到形如 A = ⎜ ⎝ 0
a = 0 ，分别导出求 n a 的 n x
迭代公式，并求极限 lim
k →∞
a − xk +1
( a − x k )2
n
。
五、（ 12 ）方程 x − 6 x − 8 = 0 在 x = 3 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式
3
(1) x =
3
6 x + 8 对应迭代格式 xn +1 = 3 6 xn + 8 ； (2) x = 6 +
则该分解式中 a , b 的值分别为（）
（1） a = 2, b = 6 ；（2） a = 6, b = 2 ；（3） a = 2, b = 3 ；（4） a = −1, b = 2 。 3、设矩阵 A ∈ R (1) (4)
n× n
，Q∈ R
n× n
，且 Q Q = E ，则下列关系式不成立的是（
⎡ 2 −1 0 ⎤ ⎢ ⎥ 2、设 A = −1 2 −1 ，则 Cond 2 ( A) = _________________。 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 0 −1 2 ⎥ ⎦
3、设 x = ( 2 1 4 ) ，如果 Lx = ( 2
T
0 0 ) ，则初等下三角矩阵 L =
T
。
4、设 A ∈ R
n× n
Ax
∞和
A ∞ 的值分别为（
）
3
(1) 8 , 8 ；
(2) 8 , 7 ；
(3) 8 , 6 ；
(4) 7 , 7 。
5 、若解线性代数方程组的 Gauss 部分选主元方法第二步得到的系数矩阵的第三列向量为
(2
6 3 2 −5 4 2 ) ，则第三步主行是（
T
） (4) 第 6 行。
(1) 第 2 行；
8 对应迭代格式 x
2
xn+1 = 6 +
8 3 3 ； (3) x = x − 5 x − 8 对应迭代格式 xn +1 = xn − 5 xn − 8 。判断迭代格式在 xn
x0 = 3 的收敛性，选一种收敛格式计算 x = 3 附近的根，精确到小数点后第二位。
六、（12 分）对于下列两个方程，（1） x =
1 π ] 内存在唯一根，（1）试建立一种收敛于 2 2
方程根的迭代方法，并说明收敛的理由；（2）写出相应的 Steffenson 迭代格式，并以 x0 = 1.5 为初值迭代一步。四、（12 分）应用牛顿法于方程 f ( x ) = x − a = 0 和 f ( x ) = 1 −
n n
(1) 28 − 16 3 ；
(2) ( 4 − 2 3 ) ；
2
(3)
16 ( 4 + 2 3 )2
；
(4)
16 ( 3 + 1)4
。
3、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（）。（1）方法收敛性；（2）方法的稳定性；（3）方法的计算量；（4）方法的误差估计。 4、下列说法错误的是（）。（1）如果一个近似数的每一位都是有效数字，则称该近似数为有效数；（2）凡是经“四舍五入”得到的近似数都是有效数；（3）数值方法的稳定性是指初始数据的扰动对计算结果的影响；（4）病态问题是由数学问题本身的性质决定的，与数值方法有关。 5、已知近似数 x 的相对误差限为 0.3％,则 x 至少有（（1）1；（2）2 ；（3）3；（4）5。二、填空题（每小题 3 分，共计 15 分） 1、设 π 的近似数 π 有 4 位有效数字，则其相对误差限为______
f ( xk ) 的收敛阶至少是______ f ′( x k )
。
_。
3、求方程根的割线法的收敛阶为____ 4、设向量函数 F ( x , y ) = ⎢
⎡ x3 − 2 y 2 ⎤ ，则其导函数在点 (1, 2) 值 F ′(1, 2) = 2 2⎥ + x xy ⎣ ⎦
。
。
5、求 5 的 Newton 迭代格式为三、（12 分）已知方程 2 x − sin x − 2 = 0 在 [ ,
1 − cos x , sin x
x ≠ 0且 x << 1 ；
（2）
1 1− x , − 1+ 2x 1+ x
x << 1 ；
（3）
x+
1 1 − x− , x x
x >> 1 ；
（4）
∫
x +1 x
dt , 1+ t 2
x << 1 ；
，若 y0 =
五、（15 分）设序列 { yn } 满足递推关系 yn = 10 yn −1 − 1, n = 1, 2,
cos x + sin x x ，（2） x = 4 − 2 ，问能不能用迭代 4
法求解？如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式，并说明理由。七、（12 分）考虑下述修正的牛顿迭代公式：
xn+1 = xn −
∗
f ( xn ) f ( xn + f ( xn )) − f ( xn ) , Dn = ,n ≥ 0 Dn f ( xn )
（1）线性收敛；（2）局部线性收敛；（3）平方收敛；（4）局部平方收敛。二、填空题（每小题 3 分，共计 15 分） 1、若使迭代公式 xk + 1 = pxk +
qa ra 2 + 5 产生的序列收敛到 3 a ，并使其收敛阶尽可能高， 2 xk xk
则常数 p, q , r 的值分别为____________________。 2、设函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上有足够阶连续导数， p ∈ [ a , b ] 为 f ( x ) 的一个 m 重零点，则迭代公式 xk + 1 = xk − m
∗ ∗
。
三、（13 分）对于有效数 x1 = −3.105, x2 = 0.001, x3 = 0.100 ，估计下列算式是相对误差限
∗ ∗ ∗ y1 = x1 + x2 + x3 ; ∗ ∗ ∗ y2 = x1 x2 x3 ;
y3 =
∗ x2
∗ x3
。
四、（16 分）写出下列各题的合理计算路径，使计算结果更精确（不必计算结果），并说明理由。（1）
第一章
1、近似数 x = 0.231 关于真值 x = 0.229 有（（1）1；（2）2；（3）3；（4）4。
∗
绪论

研究生数值分析试题

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