数值分析13线性插值与二次插值公式

插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点推断出未知数据点的值。

在实际问题中，往往会遇到数据点不连续或者缺失的情况，这时就需要通过插值法来填补这些数据点，以便更准确地进行计算和分析。

插值法的最简单计算公式是线性插值法。

线性插值法假设数据点之间的变化是线性的，通过已知的两个数据点来推断出中间的未知数据点的值。

其计算公式为：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，需要插值的点为x，其在(x0, x1)之间，且x0 < x < x1，插值公式为：y = y0 + (y1 - y0) * (x - x0) / (x1 - x0)y为插值点x对应的值，y0和y1分别为已知数据点x0和x1对应的值。

通过这个线性插值公式，可以方便地计算出中间未知点的值。

举一个简单的例子来说明线性插值法的应用。

假设有一组数据点为(1, 2)和(3, 6)，现在需要插值得到x=2时的值。

根据线性插值公式，我们可以计算出：y = 2 + (6 - 2) * (2 - 1) / (3 - 1) = 2 + 4 * 1 / 2 = 2 + 2 = 4当x=2时，线性插值法得到的值为4。

通过这个简单的例子，可以看出线性插值法的计算公式的简单易懂，适用于很多实际问题中的插值计算。

除了线性插值法，还有其他更复杂的插值方法，如多项式插值、样条插值等，它们能够更精确地拟合数据并减小误差。

在一些简单的情况下，线性插值法已经足够满足需求，并且计算起来更加直观和方便。

在实际应用中，插值法经常用于图像处理、信号处理、数据分析等领域。

通过插值法，可以将不连续的数据点连接起来，填补缺失的数据，使得数据更加完整和连续，方便后续的处理和分析。

插值法是一种简单而有效的数值计算方法，其中线性插值法是最简单的计算公式之一。

通过这个简单的公式，可以方便地推断出未知数据点的值，并在实际应用中发挥重要作用。

两点插值公式插值法是数值分析中常用的一种方法，通过已知数据点之间的关系，来估计未知点的数值。

其中，两点插值公式是一种简单而有效的插值方法，适用于当我们只有两个数据点时。

在这篇文章中，我们将探讨两点插值公式的原理和应用。

让我们来了解一下两点插值公式的基本原理。

假设我们有两个已知数据点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，我们希望在这两个点之间插值出一个新的点(x, y)。

根据两点之间的线性关系，我们可以得到如下的插值公式：y = y1 + (x - x1) * (y2 - y1) / (x2 - x1)这个公式的推导过程并不复杂，但却能够有效地估计出两个已知数据点之间的未知点的数值。

通过这个公式，我们可以在不知道具体数据点的情况下，通过已知点之间的关系来推断出新的数据点的数值，这在实际的数据分析和处理中具有重要的应用意义。

接下来，让我们看一个具体的例子来说明两点插值公式的应用。

假设我们有一组气温数据，已知某一天的最低气温为10摄氏度，第二天的最低气温为20摄氏度。

我们可以利用这两个数据点来估计第三天的最低气温。

根据两点插值公式，我们可以计算出第三天的最低气温大约为15摄氏度。

这样，我们就通过简单的插值方法，得到了第三天的气温估计值，而不需要实际测量。

除了线性插值外，还有其他更复杂的插值方法，如拉格朗日插值、牛顿插值等。

这些方法在不同的情况下有着各自的优势和适用性。

但在一些简单的情况下，两点插值公式是一种简单而有效的方法，可以满足我们对数据点之间关系的估计需求。

总的来说，两点插值公式是一种简单而实用的插值方法，通过已知数据点之间的线性关系，来推断未知点的数值。

在实际的数据处理和分析中，我们经常会遇到需要估计数据点之间关系的情况，这时两点插值公式可以帮助我们快速而准确地得到估计值。

因此，熟练掌握插值方法是数值分析中的重要技能，也是数据分析工作中不可或缺的一部分。

希望通过本文的介绍，读者对两点插值公式有了更清晰的理解和认识。

数值分析报告班级：专业：流水号：学号：姓名：常用的插值方法序言在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。

插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。

早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。

17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。

在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。

插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……x n处的值是f（x0），……f（x n），要求估算f（x）在[a，b〕中某点的值。

其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0，C1，……C n的函数类Φ(C0，C1，……C n)中求出满足条件P（x i）＝f（x i）（i＝0，1，…… n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。

此处f（x）称为被插值函数，x0，x1，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……C n)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……C n）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝f（x）－P（x）称为插值余项。

求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。

一．拉格朗日插值1.问题提出：已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x 上的函数值01,,,n y y y ，求任意一点x '的函数值()f x '。

说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。

插值法简便公式在数学和统计学中，插值法是一种通过已知数据点来推断未知数据点的方法。

它在各种领域都有广泛的应用，如数值分析、数据处理、信号处理等。

插值法有多种方法，其中一种简便而常用的方法是线性插值法。

线性插值法是一种简单但有效的插值方法，它基于线性关系来推断未知数据点的值。

该方法假设已知数据点之间的变化是线性的，并通过线性方程来估计未知数据点的值。

线性插值法的简便公式如下：y = y1 + (x - x1) * (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，x1和x2是已知数据点的横坐标，y1和y2是已知数据点的纵坐标，x是待估计数据点的横坐标，y是待估计数据点的纵坐标。

线性插值法的应用非常广泛。

例如，在气象学中，我们可以利用已知的气温数据点来推断未知地点的气温。

假设我们知道某地在早上8点的气温为20摄氏度，而在中午12点的气温为30摄氏度。

如果我们想知道该地在上午10点的气温，我们可以使用线性插值法来估计。

根据已知数据点和插值公式，我们可以计算出：y = 20 + (10 - 8) * (30 - 20) / (12 - 8) = 25摄氏度因此，根据线性插值法，该地在上午10点的气温大约为25摄氏度。

除了气象学，线性插值法还广泛应用于金融、工程、地理和计算机图形学等领域。

在金融领域，我们可以使用线性插值法来估计股票或商品的价格。

在工程领域，我们可以利用已知数据点来估计未知条件下的物理量。

在地理领域，我们可以使用线性插值法来推断未知地点的海拔高度。

在计算机图形学中，线性插值法常用于生成平滑的曲线和表面。

然而，线性插值法也存在一些限制。

首先，该方法仅适用于已知数据点之间的线性变化。

如果数据点之间的变化是非线性的，线性插值法可能会产生不准确的结果。

其次，该方法假设数据点之间的变化是连续的。

如果数据点之间存在间断或跳跃，线性插值法也可能不适用。

为了克服线性插值法的限制，人们还开发了其他插值方法，如多项式插值、样条插值和径向基函数插值等。

数值分析实验报告线性‎插值和二次插值计算l‎n0.54的近似值‎数值分析实验报告线性‎插值和二次插值计算l‎n0.54的近似值‎‎篇一：‎数值分析-用线性‎插值及二次插值计算‎数值分析上机报告习‎题：给出f(‎x)?lnx的数值表‎，用线性插值及二次插‎值计算ln0.54的‎近似值。

解：‎(1)用线‎性插值计算 Matl‎a b程序 x=0.‎54; a=[0.‎5,0.6];b‎=[-0.69314‎7,-0.51082‎6]; l1=b‎ (1)*((x-‎a(2))/(‎a(1)-a‎ (2))); ‎l2=b(2)‎*((x-a(‎1))/(a(‎2)-a(1)‎)); y=l1+‎l2 y = -0.‎6202（2‎）用抛物插值计算 M‎a tlab程序 x‎=0.54; a=‎[0.4,0.5,0‎.6]; b=[-‎0.916291,-‎0.693147,-‎0.510826];‎ A=b(1‎)*(x-a(‎2))*(x-a‎(3))/((a‎ (1)-a‎(2))*(a‎(1)-a(3‎))); B=b‎(2)*(x-a‎ (1))*(x-‎a(3))/(‎(a(2)-a‎(1))*(a‎(2)-a‎(3))); C=‎b(3)*(x‎-a(1))*‎(x-a(2)‎)/((a(3‎)-a(1))‎*(a(3)-‎a(2)));‎y=A+B+C y‎= -0.6153‎‎篇二：‎数值分‎析上机实验报告二实‎验报告二题目：‎如何求解插值函数‎摘要：在工‎程测量和科学实验中，‎所得到的数据通常都是‎离散的，如果要得到这‎些离散点意外的其他点‎的数值，就需要根据这‎些已知数据进行插值。

‎这里我们将采用多种插‎值方法。

前言：‎（目的和意义）‎掌握Lagrange‎,Netn,Herm‎i te,线性，三次样‎条插值法的原理及应用‎，并能求解相应问题。

‎数学原理：‎主要的插值法有：‎多项式插值法、‎拉格朗日插值法、线性‎插值法、牛顿插值法，‎H ermite插值法‎三次样条插值法等。

插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是数值分析领域中常用的一种方法，它可以用来估计未知函数在给定点处的值。

插值法的基本思想是基于已知数据点，构建一个多项式函数来逼近未知函数的值。

在实际应用中，插值法常常被用来对离散数据进行平滑处理，或是用来预测未来的数据。

最简单的插值方法之一是线性插值法。

线性插值法假设未知函数在两个已知数据点之间是线性变化的，即可以通过这两个点之间的直线来估计未知函数在中间点处的值。

线性插值的计算公式如下：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，要估计中间点x处的函数值y，则线性插值公式为：\[y = y0 + \frac{x - x0}{x1 - x0} * (y1 - y0)\]这个公式的推导比较简单，可以通过代入已知数据点计算出来。

如果已知数据点为(0, 1)和(2, 3)，要估计在x=1处的函数值，根据线性插值公式，计算如下：在x=1处的函数值为2。

线性插值法的优点是简单易懂，计算速度快，并且可以比较精确地估计函数值。

但是线性插值法的精度受限于已知数据点之间的线性关系，如果函数在两个数据点之间发生了急剧变化，线性插值法可能无法准确估计函数值。

除了线性插值法，还有许多其他更复杂的插值方法，如拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等。

这些方法在不同的情况下可以提供更精确的函数估计值，但也需要更复杂的计算步骤。

插值法是一种常用的数值分析方法，可以帮助我们更好地处理数据和预测未知函数的值。

在实际应用中，可以根据具体情况选取合适的插值方法来进行计算。

第二篇示例：插值法是一种用于估算未知数值的方法，它基于已知数据点之间的关系进行推断。

在实际应用中，插值法经常用于数据处理、图像处理、数学建模和预测等领域。

插值法的计算公式通常比较复杂，但是我们可以通过简化的方式来理解和计算插值结果。

最简单的插值方法之一是线性插值法。

在线性插值法中，我们假设已知数据点之间的关系是线性的，然后通过线性方程来估算未知点的数值。

1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值 令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)

系数行列式（n+1阶范德蒙行列式）
1 1 1
x0 x1 xn
2 x0 2 x1
n x0 n x1

0 i j n
2 xn n xn

( x j xi ) 0
, an .
由克莱默法则知，方程组有唯一解 a0 , a1 ,
§2 Lagrange Polynomial
唯一性的另一证明 满足 P( xi ) yi , i 0, ... , n 的 n 阶插 值多项式是唯一存在的。
f (x)
(x0 ,y0)
(x1 ,y1)
P1(x)
x0
x1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
§2 Lagrange Polynomial
y1 y0 直线方程为: y y0 x x ( x x0 ) 1 0
记 P 1 ( x) L 1 ( x) ，上式等价变形为:
化简得到
L2 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1 l2 ( x ) y2 l i ( x ) yi .
i 3
成立:
l 0 ( x0 ) 1 l ( x ) 0 0 1 l 0 ( x 2 ) 0
l1 ( x 0 ) 0 l ( x ) 1 1 1 l1 ( x 2 ) 0
l 2 ( x0 ) 0 l ( x ) 0 2 1 l 2 ( x 2 ) 1
将以上思路推广到n+1个节点情形，即可得到类似的 插值基函数和插值多项式表示形式。
§2 Lagrange Polynomial
2-3 Lagrange插值多项式

解 由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为
故
又
可得过前四点的三次牛顿插值多项式
可得N3(x)的截断误差
差分与等距节点的牛顿插值多项式
设函数y=fx在等距节点xi=x0+ih i=01 …n上的函数值为fi=fxih为步长
定义2 fi=fi+1-fi 和 fi=fi-fi-1 分别称为函数fx在点xi处的一阶向前差分和一阶向后差分
求f2.8用牛顿后插公式且由 2.8=3+0.5t 得 t= -0.4
第四节 埃尔米特Hermite插值
一、 埃尔米特插值多项式
为了使插值函数能更好的切合原来的函数许多问题不但要求节点上的函数值相等还要求导数值相同甚至高阶导数也相等这类插值问题称为埃尔米特插值
xi[a, b] (i=0,1, …, n) 为n+1个互异节点,考虑函数值 与导数个数相等的情况。
二、误差估计
定理4 设fx在包含x0、x1的区间ab内存在四阶导数则当x∈ab时有
且与x有关)
例1 已知fx=x1/2在X=121和144时的函数值及其一阶导数的数据见下表用埃尔米特插值公式计算1251/2的近似值并估计其截断误差.
得
由
可求得
例2
第五节 分段低次插值
解 (1) 用线性插值
第三节 均差与牛顿插值公式
一、差商及其基本性质
定义1 称
为 f x在x0、x1点的一阶差商.一阶差商的差商
称为函数f x在x0、x1 、x2 点的二阶差商.
一般地n-1阶差商的差商
称为f x在x0 x1 … xn点的 n 阶差商
差商的计算步骤与结果可列成差商表如下
xk
函数值
一阶差商

y=P(X) y=f(x)
称P(x)为f(x)的插值函数，x为插值节 点，[a,b]为插值区间，求插值函数P(x)的 方法为插值法。
若P(x)=a0+a1x+▪▪▪+anxn，称 P(x)为插值多项式。 若P(x)为分段多项式，就称 之为分段插值。
若P(x)为三角多项式，就 称之为三角插值。
枪管膛线－－－－→
1.插值多项式的存在唯一性 P(x)=a0+a1x+▪▪▪+anxn, P(x) ∈Hn a0+a1x0+…+anx0n=y0 a0+a1x1+…+anx1n=y1
. . .
a0+a1xn+…+anxnn=yn
1 x x ... x Vn(x0,x1,…,xn)= 1 x x ... x ... 1 x x ... x
k 1 k 1 k 1 k 1

y
( x xk 1)( x xk 1)
k
( xk xk 1)( xk xk 1)
T H A N K Y O U !
( x xk 1)( x xk ) ( xk 1 xk 1)( xk 1 xk )
k k k 1
l
l
2
k
k 1
( x xk )( x xk 1) ( x x )( x x ) y ( )( ) L ( x) yk 1 x x x x ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1)
k 1
x
x xk
k 1
k ห้องสมุดไป่ตู้1
k
xk
L1(x)=
x x y x x y x x x x

2 2 0 2 2 1 n n 0 n n 1
1 x0 x V ( x 0 , x 1 , , x n ) 1 x1 x 1 xn x
2 0 2 1
x x x
n 0 n 1

2 n
n n
0 j i n
(x x )
i j
因为x0, x1,…,xn的互不相同，故系数行 列式不等于0，因此方程组有唯一解， 即Pn(x)存在并唯一。
j 0 ji n
x xj xi x j
是n次插值基函数
思考1 设f(x)=x2，求f(x)的次数不超 过1、2、3、…的插值多项式各是什 么？在哪些点处会有误差？ 思考2 设f(x)=sinx，求f(x)的次数不超 过1、2、3、…的插值多项式各是什 么？在哪些点处会有误差？
思考 1 答案：当 f(x) 是次数不超过 n 的 多项式时，其 ≥ n 次的插值多项式就 是f(x)本身。此时误差为0！
定义： 设插值基点 x0,x1,…,xn 中最小者为 a 、 最大者为b，当插值点x∈(a, b)时我们 称为内插，否则称为外插
例1 给定数据表
x 2 3 4 5 6 7 f(x) 10 15 18 22 20 16 要用插值方法计算 f(4.8) 的近似值。 问线性插值、二次插值和三次插值应 选哪些基点？
2. 线性插值的几何意义
用通过两点 (x0, y0) 、 (x1, y1) 的直线 y=L1(x) 近似代替曲线 y=f(x) ，如下图 所示。
y y=f(x)
y0 o x0
y=L1(x) y1
x1 x
3. 线性插值公式的推导
根据直线的点斜式，有
y1 y 0 L1 ( x ) y 0 ( x x0 ) x1 x 0

量大、精度降低。
牛顿插值法
总结词
牛顿插值法是一种利用差商来构造插值多项式的方法，具有计算简便、精度高 等优点。
详细描述
牛顿插值法基于差商的性质，通过差商构造出一个插值多项式，该多项式在已 知数据点上与实际值相等，从而实现对未知点的估计。该方法计算简便、精度 高，适用于大规模数据的插值处理。
样条插值法
05
插值方法的发展趋势和未来展望
改进插值算法的稳定性
算法鲁棒性
提高算法对异常值和噪声的鲁棒性，使其 在复杂数据中仍能保持稳定。
适应性调整
根据数据分布特点，自适应地调整插值算 法的参数，以提高稳定性。
多方法融合
结合多种插ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方法，取长补短，提高整体 稳定性。
探索更高效的计算方法
并行计算
利用多核处理器或多线程技术，实现插值算法的并行 化，提高计算效率。
插值方法基本思想
CONTENTS
• 插值方法的定义和分类 • 插值方法的数学原理 • 插值方法的应用场景 • 插值方法的优缺点 • 插值方法的发展趋势和未来展
望
01
插值方法的定义和分类
线性插值
总结词
线性插值是一种简单的插值方法，通过 连接两个已知数据点的直线来估计中间 的值。
VS
详细描述
线性插值基于两点之间的直线关系，通过 已知的两个数据点，计算出它们之间的线 性方程，然后利用该方程来估计中间的值 。线性插值的公式为(y = y_1 + (x - x_1) * (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1))，其中(x_1)和 (y_1)是第一个已知数据点，(x_2)和(y_2) 是第二个已知数据点。
优化算法
简化算法步骤，减少不必要的计算量，提高计算速度 。

2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -5
L10(t)
f(t)
f(x )
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
17/18
x=-5:5;y=1./(1+x.^2); t=-5:0.05:5;y1=1./(1+t.^2);n=length(t); for i=1:n z=t(i);s=0; for k=1:11 Lk=1;u=x(k); for j=1:11 if j~=k,Lk=Lk*(z-x(j))/(u-x(j)); end end s=s+Lk*y(k); end y2(i)=s; end plot(x,y,'ko',t,y1,t,y2,'r')
n a0 a1 x0 an x0 y0 n a a x a x 0 1 1 n 1 y1 a a x a x n y 1 n n n n 0
6/18
方程组系数矩阵取行列式
1 | A | 1 1 x0 x1 xn x 0n x 1n ( x x 0 i j)
115
的近似值
11 10 115 10 ( 115 100 ) 10.71 121 100
10/18
线性插值函数 的对称形式
记
x x x x 0 1 l ( x ) , l ( x ) 0 1 x x x x 1 0 1 0
x x0
x x x x 0 1 L ( x ) y y 1 0 x x x x 1 0 1 0
2.0000 0.9953
2.5000 0.9996
当 x∈(0.5, 1)时
1 Erf ( x ) [( x 0 . 5 ) 0 . 8427 ( 1 x ) 0 . 5205 ] 1 0 . 5

现要构造一个二次函数
φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c 近似地代替f(x),并满足插值原则(4―2)
《 数 值 分 析 》
(2―6) (2―7)
P2(xi)=yi, i=0,1,2,… 由(2―7)式得
2 ax0 bx0 c y0 2 ax1 bx1 c y1 ax 2 bx c y 2 2 2
(2―5)
第2章 插值法
2.2 二次插值
二次插值又称为抛物线插值,也是常用的代数多项 式 插 值 之 一 。 设 已 知 函 数 f(x) 的 三 个 互 异 插 值 基 点
《 数 值 分 析 》
x0,x1,x2的函数值分别为y0,y1,y2,见下表所示:
x y
xo y0
x1 y1
x2 y2
第2章 插值法
(2―15)
第2章 插值法
显然
0, j i li ( x j ) , i, j 0,1,2, 1, j i
,n
《 数 值 分 析 》
(2―14)式的Pn(x)是n+1个n次多项式li(x)(i=0,1,2,…,n)的 线性组合,因而Pn(x)的次数不高于n。我们称形如多项式 (2―14)的Pn(x)为拉格朗日插值多项式。Pn(x)还可以写成下 列较简单的形式:
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
第2章 插值法
取前n+1项的部分和Pn(x)作为f(x)的近似式,也即
Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
《 数 值 分 析 》
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!

数值分析常用的插值方法数值分析中常用的插值方法有线性插值、拉格朗日插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值、样条插值等。

下面将对这些插值方法进行详细介绍。

一、线性插值（linear interpolation）线性插值是最简单的插值方法之一、假设已知函数在两个点上的函数值，通过这两个点之间的直线来估计中间点的函数值。

线性插值公式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)和f(x1)是已知的两个点上的函数值，x0和x1是已知的两个点的横坐标。

二、拉格朗日插值（Lagrange interpolation）拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。

它通过多个已知点的函数值构造一个多项式，并利用这个多项式来估计其他点的函数值。

拉格朗日插值多项式的一般形式为：f(x) = Σ[f(xi) * Li(x)] (i=0,1,2,...,n)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(xi)是已知的多个点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。

拉格朗日基函数的表达式为：Li(x) = Π[(x-xj)/(xi-xj)] (i≠j，i,j=0,1,2,...,n)三、分段线性插值（piecewise linear interpolation）分段线性插值是一种逐段线性近似函数的方法。

通过将整个插值区间分成多个小段，在每个小段上使用线性插值来估计函数的值。

分段线性插值的过程分为两步：首先确定要插值的点所在的小段，在小段上进行线性插值来估计函数值。

四、Newton插值（Newton interpolation）Newton插值也是一种基于多项式的插值方法。

利用差商的概念来构造插值多项式。

Newton插值多项式的一般形式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*f[x0,x1]+(x-x0)*(x-x1)*f[x0,x1,x2]+...其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)是已知的一个点的函数值，f[xi,xi+1,...,xi+k]是k阶差商。

第四版数值分析习题答案第一章 绪论习题参考答案1． ε（lnx ）≈***()()r x x xεεδ==。

2．1******()()()()0.02n nnr nn n x x x n x x n xxxεεεε-=≈==。

3． *1x 有5位有效数字，*2x 有2位有效数字，*3x 有4位有效数字，*4x 有5位有效数字，*5x 有2位有效数字。

4．******4333124124()()()()0.5100.5100.510 1.0510x x x x x x εεεε----++≈++=⨯+⨯+⨯=⨯************123231132123()()()()0.214790825x x x x x x x x x x x x εεεε≈++=****62224***24441()()()8.85566810x x x x x x x εεε-≈-=⨯。

5．1()1()()()0.00333333r r r V R V V V εεεε=≈===。

6．33100111()100101010022Y ε--=⨯⨯⨯=⨯。

7．12855.982x =≈，21280.0178655.982x ==≈≈。

8． 21arc 12N dx tgN x π+∞=-+⎰9．121()()0.0052x S S εεε-=≈=。

10． ()()0.1S g t t g t εε≈=，2()2()0.2()12r g t t t S t t gt εεε≈==，故t 增加时S 的绝对误差增加，相对误差减小。

11． 1081001()10()102y y εε==⨯，计算过程不稳定。

12．61)0.005051f =≈，1.4=，则611)0.004096f ==，20.005233f ==，33(30.008f =-=，40.005125f ==，5991f =-=，4f 的结果最好。

13．(30) 4.094622f =-，开平方时用六位函数表计算所得的误差为41102ε-=⨯，分别代入等价公式)1x x (ln )x (f ),1x x (ln )x (f 2221++-=--=中计算可得411()ln(1(60103102f x εε--=+≈=+=⨯⨯=⨯，47211()ln(1108.3310602f ε--=+≈=⨯⨯=⨯。

当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一 系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … yn = f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函 数 g(x) f(x)，满足条件g(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。
然而,方程组的求解也并不是一件容易的事。
对于线性插值的两种形式解进行适当的分析, 从中寻求规律而得到启发,就有了所谓的拉格朗日 插值法(公式)和牛顿插值(公式).
我们先来看看如何得到二次拉格朗日插值公式 （和牛顿插值公式（为讨论方便，留待后述））.
称为拉氏基函数 ，满足 li(xj)=ij 首先, 线性插值的两点式可看作是两个特殊的一次式 的一种线性组合. 两点式 P1 ( x ) =
x - x1 y + x 0 - x1 0 x - x0 y = x1 - x 0 1
1.2.2 基函数法
l ( x) y
i =0 i
1
i
l0(x) l1(x) 这里， l0(x)和l1(x)具有如下性质： 显然有l0(x)+ l0(x)≡1. 实质上 l（ （ 0 x）和 l 1 x）即是满足函数表
g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
根据实际需要，可以用各种不同的函数来近 似原来的函数。
最常用的插值函数是 多项式： …?
代数多项式最简单，计算其值只需用到加、减乘运 算，且积分和微分都很方便； 所以常用它来近似表示表格函数(或复杂函数),这样 的插值方法叫做代数插值法，简称插值法。
§1 拉格朗日多项式
求 n 次多项式 Pn ( x) = a0 a1 x an x n 使得