复变函数-孤立奇点及分类PPT

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复变函数-孤立奇点及分类市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件

4、函数在无穷远点性态
在扩充的复平面上，如果函数 f (z) 在 z 的
去心邻域 R | z | 内解析（R 0）, 则称点
为 f (z) 的孤立奇点
定义如果t 0是f (1)的可去奇点，m阶极点或本性奇点，
t 则称z 为f (z)的可去奇点，m阶极点或本性奇点
例函数 1 2z 3z2 4z3 是否以 z 为孤立奇点？若是，属于哪一类？
sin z
(ez
z
1)
由于 sin z z
zk
0且
sin z
z
在zk解析，
而(ez 1) zk 0, (ez 1) zk ezk 0
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第21页
于是 zk 2ki (k 1,2,...)是ez 1的一级零点。
因此是f (z)的一级极点。
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第22页
所以，z 1为f (z)的一级零点。
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第14页
（v)
z0为f
( z )的m级极点
z0为
f
1 的m级零点； (z)
(vi)
若f
(z)
P(z) , Q(z)
P(z0 )
0且P ( z )在z0点解析，
若z0是Q(z)的m级零点，则必为 f (z)的m级极点。
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第24页
第五章留数及其应用
• 孤立奇点概念 • 留数定义、计算、留数定理 • 留数定理应用（积分计算）
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1
第1页
5.1 孤立奇点分类
1、孤立奇点定义
若f (z)在z0点不解析，但在z0的某个去心邻域内解析

复变函数4 - 4 孤立奇点

过所有的奇点画圆，展开区域为相邻两个圆之间的圆环；
在每一个圆环内展开式都不一样；
一种极端情形：r=0，并且，z0 为函数 f 的奇点
定义：设函数 f 在区域 K：0<|z-z0|<R 内
解析，在 z0 处不解析，则称 z0 为 f 的孤
立奇点。
定义：设函数 f 在区域 K：0<|z-z0|<R 内
f ( z ) sin z
cos z
，g ( z ) cos z
sin z
例4：求零点和极点
f ( z ) sin z
cos z
，g ( z ) cos z
sin z
分析与解：展开知 sin z 有一阶零点 k，
cos z 有一阶零点 k+/2，并且都没有其
他零点。
例4：求零点和极点
f ( z) f ( z ) lim lim z z0 g ( z ) z z0 g ( z )
洛必达法则
设函数 f 和 g 解析，且 f (z0)=g(z0)=0。则
f ( z) f ( z ) lim lim z z0 g ( z ) z z0 g ( z )
证明：设 f ( z ) cm ( z z0 ) ...， cm 0 n g ( z ) d n ( z z0 ) ...， d n 0
类似地， z=0 为 g 的可去奇点。
由可去奇点的特征可知，若 z0 为 f (z)的可
去奇点，只需要在 z0 补充定义
f ( z0 ) lim f ( z )
z z0
则 f (z) 成为解析函数。
由可去奇点的特征可知，若 z0 为 f (z)的可

《复变函数》第5章

例: 对 f (z) z3 1.
f (1) 0, f (1) 3z 2 z 1 3 0
z 1 是 f (z)的一级零点.
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《复变函数》(第四版) 第五章
第7页
定理: z0 是 f (z)的m级极点
证:
f
(z)
(z
1 z0
)m
g
(z)
z0
是
f
1 的m级零点. (z)
f
复变函数（第四版）
第五章留数
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用 *§4 对数留数与辐角原理
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《复变函数》(第四版) 第五章
第1页
§1 孤立奇点
1. 定义
如果函数 f (z)在 zo处不解析, 但在 zo的某一去心邻域 0 < | z－zo |<δ处处解析, 则称zo 为函数 f (z)的孤立奇点. 例：z 0 为 f (z) sin 1 的孤立奇点 .
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《复变函数》(第四版) 第五章
第4页
∴
z = 0 分别是本性奇点.
sin z
z
,
sin z4
z
,
sin
1 z
的可去、3极、
(1) zo为 f(z)的可去奇点
相当于实函可去间断点
lim f (z)存在且有限
zz0
f (z)在zo点的某去心邻域内有界.
(2) zo为 f (z)的极点
例:
z
0
是
ez 1 z2
的一级极点.
z
1
是
(z 1)3 sin( z 1)
的二级零点.

复习课件复变函数第16讲.ppt

ez :
z 0是它的1级极点或者称为单极点.
z
e z
1
zn 1 1
z zn-1 .
z z n0 n! z
2!
n!
1 的极点是z 0和z 1. z2 (z - 1)
优选文档
5
2.3 本性奇点：展式中含有无穷多个z-z0负幂项,
则z0称为f (z)的本性奇点.
特点?
1
e z : z 0是它的本性奇点.
2 r Mr n ,
由于r为任意小的正数，故c-n 0.证毕.
优选文档
8
性质2（m级极点的特征）
若 z0 为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价：
(i) f (z)在点z0的主要部分为
c- m (z - z0 )m
c-1 z - z0
(
c- m
0, m
1).
去心邻域
h( z ) (ii) f (z) (z - z0 )m
)(z
-
z0
)
h ''( z0 2!
)
(z
-
z0
)2
则
f
(z)
h(z0 ) (z - z0 )m
h'(z0 ) (z - z0 )m-1
h(m)(z0 ) m!
例如：
z2 2 f (z) (z2 1)(z - 1)4
z 1为f (z)的一个4级极点，z i 为f (z)的单极点.
优选文档
(z z0 ),
优选文档
12
性质6 （极点的运算性质）
若z0分别是f (z)和g(z)的 m级和n级零点，则
(1) z0是f (z) g(z)的 m n级零点；

复变函数与积分变换孤立奇点

复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
孤立奇点分类
1. 可去奇点如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则称
孤立奇点z0为 f (z)的可去奇点.
f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n +...,0<|z-z0|<d
1 定理：z0是f ( z )的m级极点 z0是的m级零点 f ( z)
该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.
例 1 函数1 sin z 有什么奇点? 如果是极点, 指出它的级.
解：函数 1/sin z 的奇点显然是使 sin z=0 的点.故奇点是 z=k(k=0,1,2,…).由于(sin z)'|z=k= cos z|z=k= (1)k 0, 所以 z=k是 sin z 的一级零点, 也就是 1/sin z 的一级极点.
且g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
如果z0为 f(z)的极点, 由(*)式知
lim f ( z ) .
z z0
1 g ( z) z0为f ( z )的m级极点 f ( z ) m ( z - z0 )
Complex Analysis and Integral Transform
sin z 例如 z 0是的可去奇点。因为函数在z 0 z 的去心邻域内的洛朗级数 sin z 1 1 3 1 5 1 2 1 4 (z z z ) 1 z z z z 3! 5! 3! 5! sin z 中不含负幂项.如果定义在 z 0的值为1, z sin z 则在z 0点便为解析的了. z

南大复变函数与积分变换课件51孤立奇点

重点与难点：重点在于理解复数和复变函数的基本概念，掌握复变函数的微积分和积分变换的方法；难点在于理解孤立奇点的相关理论和应用单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点
教学方法：采用讲解、演示和练习相结合的方式，通过例题和习题的练习，加深对知识点的理解和掌握单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点
● 课件中关于孤立奇点的判定
● 判定：对于可去奇点，可以通过计算函数在该点的极限值来判断；对于极点和本性奇点，可以通过观察函数在该点附近的性质来判断。课件中关于孤立奇点的应用
● 课件中关于孤立奇点的应用
● 应用：孤立奇点在复变函数和积分变换中有着广泛的应用，例如在求解某些微分方程时，可以通过寻找函数的孤立奇点来确定解的形态。
南大复变函数与积分变换课件内容概述
课件结构与内容安排
课件结构：按照知识点进行划分，每个知识点都配有相应的例题和习题单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点
内容安排：先介绍复数和复变函数的基本概念，再介绍复变函数的微积分、级数和积分变换等内容，最后介绍孤立奇点的相关理论和应用单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点
复变函数的定义
复数的基本概念复变函数的定义复变函数的性质复变函数的应用

复变函数讲解第一节孤立奇点

公式知: f( n ) ( z 0 ) 0 ,( n 0 ,1 ,2 , m 1 );
并且
f(m m)(!z0)c0 0.
充分性证明略 .
16
例4 求以下函数的零点及阶数: (1) f(z)z31, (2) f(z)sizn .
解 (1)由于 f(1)3z2 30, z1 知 z1是 f (z) 的一阶零点 . (2)由于 f(0)cozz s010, 知 z0是 f (z) 的一阶零点.
f(z)Fc(0z,),zzz0z0
6
例1 函数 sin z 的孤立奇点 z0的类型 z
解：sizn11z21z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
故 z0是
sin z
z
的可去奇点 .
如果补充定义:
z0时, sin z 1, z
那末
sin z
z
在
z 0解析.
7
2) 极点
定义如果洛朗级数中只有有限多个z z0的负幂项, 其中关于 (zz0)1的最高幂为 (zz0)m, 即 f ( z ) c m ( z z 0 ) m c 2 ( z z 0 ) 2 c 1 ( z z 0 ) 1
c 0 c 1 (z z0 ) (m 1 ,c m 0 ) 那末孤立奇点 z 0 称为函数 f (z) 的 m级极点.
8
说明: 定义式可改写为：
其中，
f(z)(z1z0)mg(z)
g ( z ) c m c m 1 ( z z 0 ) c m 2 ( z z 0 ) 2
z
z1是函数
z
1
1
的孤立奇点.
注意: 奇点并不一定都是孤立的。
例如:
z
0 不是奇点的分类

复变函数第五章5-1

sinh z 思考 z 0 是 3 的几级极点? z
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
21
三、函数在无穷远点的性态
1. 定义如果函数 f (z ) 在无穷远点 z 的去心邻域 R z 内解析, 则称点为 f (z ) 的孤 y 立奇点. R o
x
22
1 1 (t ), 令变换 t :则 f ( z ) f 规定此变换将: z t 映射为 z t 0,
课堂练习求 f ( z ) z 5 ( z 2 1)2 的零点及级数 .
答案
z 0 是五级零点, z i 是二级零点.
18
3.零点与极点的关系
定理
如果 z0 是 f (z ) 的 m 级极点, 那末 z0 就是 1 的 m 级零点. 反过来也成立. f (z) 如果 z0 是 f (z ) 的 m 级极点, 则有
3)含有无穷多的正幂项; 那末 z 是 f (z ) 的 1)可去奇点 ; 2) m 级极点; 3)本性奇点 .
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z 在圆环域 1 z 例10 (1)函数 f ( z ) z 1
内的洛朗展开式为:
1 1 n 1 f (z) 1 2 ( 1) n 1 z z z 1 z 不含正幂项
特点: 1. 在 z z0 内是解析函数 2. g( z0 ) 0
(2) 如果 z0 为函数 f (z ) 的极点 , 则
lim f ( z ) .
z z0
10
*2)极点的判定方法 (1) 由定义判别
f (z ) 的洛朗展开式中含有 z z0 的负幂项为有限项.
(2) 由定义的等价形式判别

孤立奇点.ppt

在给出极点的性质之前，先给出与极点紧密相关的
零点的定义。定义2 设函数 f (z)在 | z z0 | R内解析，且 f (z0 ) 0,
则称 z z0 为f (z)的零点。若 f (z0 ) f (z0 ) f (m1) (z0) 0
而 f (m) (z0) 0, 则称 z z0 为f (z)的m级零点。若z0为f (z)的m级零点，则为f (z)在z0处的Taylor展开式为 f (z) Cm (z z0 )m Cm1(z z0 )m1
Cn (z z0 )n
0 | z z0 | R
lim
zz0
f
(z)
C0
(2) (3)：
lim
zz0
f
(z)
C0
，对
0,
0，
当0 | z z0 | < 时，有 | f (z) C0 | <；从而
| f (z)||C0 | < | f (z) C0 | <；即| f (z)|<|C0 | 。
§4.5 孤立奇点
奇点: 函数 f (z)的不解析点，称为 f (z) 的奇点。
孤立奇点: 若函数 f (z)在 z0处不解析，但在z0的某
去心邻域 0 | z z0 | R 内解析，则称z0的为f (z)的孤
立奇点。
例如
函数
1 z
、e
1 z
都以 z 0 为孤立奇点。
zk
1
k
(k
1, 2,
)和
z0=0
即 f (z)在点z0的去心邻域 0 | z z0 | < 内有界。
(3) (1)：若在点z0的去心邻域0 | z z0 | < 内有
| f (z)|<M，考虑 f (z)在点z0的主要部分

复变函数第13讲

(2) 若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点若函数的奇点个数有限，
如：e , z = 0; 1 ， = nπ z sin z
1 z
cos z ，z = 1, 2; 2 ( z − 1)( z − 2)
皆为孤立奇点.
2.孤立奇点的分类 .
分类原则：分类原则：因 z0为 (z)的立点所函为 f 孤奇，以数
4.函数的零点与极点的关系 4.函数的零点与极点的关系
定义：不恒为零的解析函数 f ( z )，如果能表示成 f ( z ) = ( z - z0 ) m ϕ ( z ) 其中 ϕ ( z )在 z 0 解析并且 ϕ ( z 0 ) ≠ 0， m为某一正整数，那么 z 0 称为 f ( z )的 m级零点。
即：补充函数在可去奇点的定义，此奇点就可以变为补充函数在可去奇点的定义，解析点。解析点。
可去奇点处的极限：可去奇点处的极限：
z → z0
lim f ( z ) = lim F ( z ) = F ( z0 ) = c0 (有限数）。
z → z0
(2) 极点: 展式中只有有限多个负幂次项, (2) 极点: 展式中只有有限多个负幂次项,即
m
m−1
= lim
z→z0
(z − z0 )m−1[cmm + cm+1(m +1)(z − z0 ) +⋯ ]
(z − z0 ) [dnn + dn+1(n +1)(z − z0 ) +⋯ ]
n−1
0 不难看出 = ∞ cm dm
m>n m<n m=n
比较得：比较得：左=右右因而结论成立。因而结论成立。证毕

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(n1,2,......则 ) 称孤立 z0为奇 f(z)点的可去奇
例如：
由于 si1 zn z z2 1zz(4z ..z33.!..z5.！ 0 5 z... ....)
3! 5! 所以z， 0是sinz的可去奇点。
z
可去奇点的判别法： (i) 展开为洛朗级数； (ii) z 0 为 f ( z ) 的可去奇点的充分必要条件是
因为 f(z)z12(zz22 !z33 !...)
z11 z ... 2! 3!
所以z，系：
零点：使解 f(z 析 )0 的函 z0 称点数 f(z 为 )的零点 m 级零点：若 f(z)可表 f(z) 示 (z z0 ) 为 m g (z), 其g 中 (z)在 z 0 点，解 g (z 0 析 ) 0 ,m 为，正且整
第五章留数及其应用
• 孤立奇点的概念 • 留数的定义、计算、留数定理 • 留数定理的应用（积分计算）
5.1 孤立奇点的分类
1、孤立奇点的定义
若 f ( z ) 在 z 0 点不解析，但在 z 0 的某个去心邻域内解析
则称 z0为f (z)的孤立奇点。例如： z 0是sinz、e1z的孤立奇点。
则称 z0为f(z)的m级零点。
零点的判别：若 z0 为 f(z)的解z 析 0 为 f(z) 点的 m 级，零则
例如：
f(k )(z0 ) 0(k 0 ,1 ,.m . .1 )而f(m)(z0)0
f (z) z3 1, f(1 ) 0 ,f'(1 ) 3 z2|z 1 3 0
所以， z 1 为 f( z ) 的一级零点。
1
k
0
(当k时）
2、孤立奇点的分类
设z0是f (z)的孤立奇则点，存 z0的在去心 0z 邻 z0域
f (z)在该邻域内解析。
于是 f(z)在0zz0 内可展开为洛朗级数
f(z) an(zz0)n an(zz0)n an(zz0)n
n
n0
n1
（1）可去奇点
若洛朗展开式(z中 z0不 )的含负有幂即项 an ， 0,
2 ! 4 !
(2 n )!
z
于 1 z c 是 2z o 2 1 s ! z 4 2 ! .. ( . 1 )n 1( z 2 2 n n )2 !... 所以 z0为可去奇点。
（2）极点
若洛朗展开有式限中 (z 项只 z0)的含负有幂项
则称 z0为 f(z)的极点。
显然，函数的奇点是
z 1 , zk 1 k 2(k 0 , 1 , 2 ...)
由
于 limtanz(1)lim sin z(1) 1 z1 z1 z 1 z1 cozs(1)
1
所以， z1为可去奇点。
又
s
inz(1) z1
zk0,
cosz(1) zk 0
[czo1 s)]z(ksizn 1 ()zk
（iv) z0为 f(z)的 m 阶极点 zl im z0(zz0)mf(z)cm ，这里 c-m0， m 为正整数
例如：
f(z)(z2z1)(z21)2
z1为 f(z)的二级 z极 i是 f点 (z)的，一级
注意判别条件
例如： f(z)ezz21 z 0不是f (z)的二级极点
sin(k
)
2
（1）k（1） k10
所zk以是 coz s1()的一级 f(z零 )的点一，级
3、本性奇点
若 f(z)的洛朗展开穷式多 (z中项 z0)的含负有则称z0为f (z)的本性奇点。
判别法：
(i) 把 f( z ) 展开为洛朗级数，用定义判别；
若洛朗展开有式限中 (z 项只 z0)的含负有幂项且其中关于 (z-z 0 ) 1的最高幂为 (z z 0 ) m ，这里 m 是正整数，则称 z0为f(z)的m级极点。
例如：
因
为f
(z)
ez z2
z12
(1zz2 2!
...)
z2z11zz2... 2! 3! 4!
z
f(z) 1 (zi)(z1)
有两个孤立 z奇 i,z点 1
注：当 z0 为不解析点，又是一系列奇点的极限点，则 z0 为非孤立奇点。
例
z0是函数 si1n1z的奇点，但不是点孤，立奇
因为 z1(k 为非零整数 )都是它的奇点， k
由 si于 z1 n 1 n 0 ( 1 )n (2 n 1 )( 1 z ! 1 )2 n 1 0z1 有无穷 z多 1的个负幂项，所以z， 1是f(z)的本性奇点。
limf(z)l(有限值），
z z0
例解法z 一 0 由是于 1 lz im 0z c 1o 2 s zc2z o的 zs 什 lzim么 0 2类 sizn2型 2 2z的 12孤立奇点？
所以 z0为可去奇点。
解法二由 c于 o z 1 sz2z4 .. ( . 1 )nz2 n ...
所以z， 0是f(z)的二级极点。
极点的判别法： (i) 展开为洛朗级数，用定义判别；
（ii) z 0 为 f(z) 的极 z l i z 0m f 点 (z)
(iii)
z0为 f(z)的 m级极点 f (z)
(z
h(z) z0)m
其中， h ( z 0 ) 0 且 h ( z ) 在 z 0 解析；
(ii) z0是 f(z)的本性 l奇 im f(点 z)不存在，
z z0
例如：
1
函数f(z)ez以z 0为本性奇点，因为
e1 z1z 11z2.. .1zn.中 .. 含有 z的无负
2!
n !
例讨论 sin1的孤立奇点及类型。 z 1
解：（ 1） z1是sin 1 的孤立奇点。 z1
（v) z0为 f(z)的 m 级极 z点 0为 f1 (z)的 m 级零 (vi) 若 f(z)Q P((zz)),P(z0)0且 P(z)在 z0点解析若 z0是 Q (z)的 m 级零点f， (z)的 m 则级必极为点
例试确定f函 (z)数 tan z(1) 的奇点类型
z1
解：由f于 (z)taz n 1 ) ( sizn 1 )( z 1 (z 1 )co z s 1 )(