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复变函数-孤立奇点及分类市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件

复变函数-孤立奇点及分类市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件


4、函数在无穷远点性态
在扩充的复平面上，如果函数 f (z) 在 z 的
去心邻域 R | z | 内解析（R 0）, 则称点
为 f (z) 的孤立奇点
定义 如果t 0是f (1)的可去奇点，m阶极点或本性奇点，
t 则称z 为f (z)的可去奇点，m阶极点或本性奇点
例 函数 1 2z 3z2 4z3 是否以 z 为孤立奇点？ 若是，属于哪一类？
sin z
(ez
z
1)
由于 sin z z
zk
0且
sin z
z
在zk解析，
而(ez 1) zk 0, (ez 1) zk ezk 0
2024/2/19
21
第21页
于是 zk 2ki (k 1,2,...)是ez 1的一级零点。
因此是f (z)的一级极点。
2024/2/19
22
第22页
所以，z 1为f (z)的一级零点。
2024/2/19
14
第14页
（v)
z0为f
( z )的m级极点
z0为
f
1 的m级零点； (z)
(vi)
若f
(z)
P(z) , Q(z)
P(z0 )
0且P ( z )在z0点解析，
若z0是Q(z)的m级零点，则必为 f (z)的m级极点。
2024/2/19
15
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24
第24页
第五章 留数及其应用
• 孤立奇点概念 • 留数定义、计算、留数定理 • 留数定理应用（积分计算）
2024/2/19
1
第1页
5.1 孤立奇点分类
1、孤立奇点定义
若f (z)在z0点不解析，但在z0的某个去心邻域内解析
复变函数4 - 4 孤立奇点

复变函数4 - 4 孤立奇点

过所有的奇点画圆，展开区域为相邻 两个圆之间的圆环；
在每一个圆环内展开式都不一样；
一种极端情形：r=0，并且，z0 为函 数 f 的奇点
定义：设函数 f 在区域 K：0<|z-z0|<R 内
解析，在 z0 处不解析，则称 z0 为 f 的孤
立奇点。
定义：设函数 f 在区域 K：0<|z-z0|<R 内
f ( z ) sin z
cos z
，g ( z ) cos z
sin z
例4：求零点和极点
f ( z ) sin z
cos z
，g ( z ) cos z
sin z
分析与解：展开知 sin z 有一阶零点 k，
cos z 有一阶零点 k+/2，并且都没有其
他零点。
例4：求零点和极点
f ( z) f ( z ) lim lim z z0 g ( z ) z z0 g ( z )
洛必达法则
设函数 f 和 g 解析，且 f (z0)=g(z0)=0。则
f ( z) f ( z ) lim lim z z0 g ( z ) z z0 g ( z )
证明：设 f ( z ) cm ( z z0 ) ...， cm 0 n g ( z ) d n ( z z0 ) ...， d n 0
类似地， z=0 为 g 的可去奇点。
由可去奇点的特征可知，若 z0 为 f (z)的可
去奇点，只需要在 z0 补充定义
f ( z0 ) lim f ( z )
z z0
则 f (z) 成为解析函数。
由可去奇点的特征可知，若 z0 为 f (z)的可
《复变函数》第5章

《复变函数》第5章


例: 对 f (z) z3 1.
f (1) 0, f (1) 3z 2 z 1 3 0
z 1 是 f (z)的一级零点.
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第7页
定理: z0 是 f (z)的m级极点
证:
f
(z)
(z
1 z0
)m
g
(z)
z0
是
f
1 的m级零点. (z)
f
复 变 函 数（第四版）
第五章 留 数
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用 *§4 对数留数与辐角原理
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第1页
§1 孤立奇点
1. 定 义
如果函数 f (z)在 zo处不解析, 但在 zo的某 一去心邻域 0 < | z－zo |<δ处处解析, 则称zo 为函数 f (z)的孤立奇点. 例：z 0 为 f (z) sin 1 的孤立奇点 .
5
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第4页
∴
z = 0 分别是 本性奇点.
sin z
z
,
sin z4
z
,
sin
1 z
的可去、3极、
(1) zo为 f(z)的可去奇点
相当于实函可去间断点
lim f (z)存在且有限
zz0
f (z)在zo点的某去心邻域内有界.
(2) zo为 f (z)的极点
例:
z
0
是
ez 1 z2
的一级极点.
z
1
是
(z 1)3 sin( z 1)
的二级零点.
复习课件复变函数第16讲.ppt

复习课件复变函数第16讲.ppt


ez :
z 0是它的1级极点或者称为单极点.
z
e z
1
zn 1 1
z zn-1 .
z z n0 n! z
2!
n!
1 的极点是z 0和z 1. z2 (z - 1)
优选文档
5
2.3 本性奇点：展式中含有无穷多个z-z0负幂项,
则z0称为f (z)的本性奇点.
特点?
1
e z : z 0是它的本性奇点.
2 r Mr n ,
由于r为任意小的正数，故c-n 0.证毕.
优选文档
8
性质2（m级极点的特征）
若 z0 为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价 ：
(i) f (z)在点z0的主要部分为
c- m (z - z0 )m
c-1 z - z0
(
c- m
0, m
1).
去心 邻域
h( z ) (ii) f (z) (z - z0 )m
)(z
-
z0
)
h ''( z0 2!
)
(z
-
z0
)2
则
f
(z)
h(z0 ) (z - z0 )m
h'(z0 ) (z - z0 )m-1
h(m)(z0 ) m!
例如：
z2 2 f (z) (z2 1)(z - 1)4
z 1为f (z)的一个4级极点，z i 为f (z)的单极点.
优选文档
(z z0 ),
优选文档
12
性质6 （极点的运算性质）
若z0分别是f (z)和g(z)的 m级和n级零点，则
(1) z0是f (z) g(z)的 m n级零点；
复变函数与积分变换孤立奇点

复变函数与积分变换孤立奇点


复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
孤立奇点分类
1. 可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则称
孤立奇点z0为 f (z)的可去奇点.
f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n +...,0<|z-z0|<d
1 定理：z0是f ( z )的m级极点 z0是 的m级零点 f ( z)
该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.
例 1 函数1 sin z 有什么奇点? 如果是极点, 指出它的级.
解： 函数 1/sin z 的奇点显然是使 sin z=0 的点.故奇点是 z=k(k=0,1,2,…).由于(sin z)'|z=k= cos z|z=k= (1)k 0, 所以 z=k是 sin z 的一级零点, 也就是 1/sin z 的一级极点.
且g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
如果z0为 f(z)的极点, 由(*)式知
lim f ( z ) .
z z0
1 g ( z) z0为f ( z )的m级极点 f ( z ) m ( z - z0 )
Complex Analysis and Integral Transform
sin z 例如 z 0是 的可去奇点。因为函数在z 0 z 的去心邻域内的洛朗级数 sin z 1 1 3 1 5 1 2 1 4 (z z z ) 1 z z z z 3! 5! 3! 5! sin z 中不含负幂项.如果定义 在 z 0的值为1, z sin z 则 在z 0点便为解析的了. z
南大复变函数与积分变换课件51孤立奇点

南大复变函数与积分变换课件51孤立奇点

重点与难点：重点在于理解复数和复变函数的基本概念，掌握复变函数的微积分和积 分变换的方法；难点在于理解孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
教学方法：采用讲解、演示和练习相结合的方式，通过例题和习题的练习，加深对知 识点的理解和掌握 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
● 课件中关于孤立奇点的判定
● 判定：对于可去奇点，可以通过计算函数在该点的极限值来判断；对于极点和本性奇点，可以通过观察函数在该点附近的 性质来判断。 课件中关于孤立奇点的应用
● 课件中关于孤立奇点的应用
● 应用：孤立奇点在复变函数和积分变换中有着广泛的应用，例如在求解某些微分方程时，可以通过寻找函数的孤立奇点来 确定解的形态。
南大复变函数与积分变 换课件内容概述
课件结构与内容安排
课件结构：按照知识点进行划分，每个知识点都配有相应的例题和习题 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
内容安排：先介绍复数和复变函数的基本概念，再介绍复变函数的微积分、级数和积分变换等 内容，最后介绍孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者 准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点
复变函数的定义
复数的基本概念 复变函数的定义 复变函数的性质 复变函数的应用
复变函数讲解第一节孤立奇点

复变函数讲解第一节孤立奇点


公式知: f( n ) ( z 0 ) 0 ,( n 0 ,1 ,2 , m 1 );
并且
f(m m)(!z0)c0 0.
充分性证明略 .
16
例4 求以下函数的零点及阶数: (1) f(z)z31, (2) f(z)sizn .
解 (1)由于 f(1)3z2 30, z1 知 z1是 f (z) 的一阶零点 . (2)由于 f(0)cozz s010, 知 z0是 f (z) 的一阶零点.
f(z)Fc(0z,),zzz0z0
6
例1 函数 sin z 的孤立奇点 z0的类型 z
解：sizn11z21z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
故 z0是
sin z
z
的可去奇点 .
如果补充定义:
z0时, sin z 1, z
那末
sin z
z
在
z 0解析.
7
2) 极点
定义 如果洛朗级数中只有有限多个z z0的 负幂项, 其中关于 (zz0)1的最高幂为 (zz0)m, 即 f ( z ) c m ( z z 0 ) m c 2 ( z z 0 ) 2 c 1 ( z z 0 ) 1
c 0 c 1 (z z0 ) (m 1 ,c m 0 ) 那末孤立奇点 z 0 称为函数 f (z) 的 m级极点.
8
说明: 定义式可改写为：
其中，
f(z)(z1z0)mg(z)
g ( z ) c m c m 1 ( z z 0 ) c m 2 ( z z 0 ) 2
z
z1是函数
z
1
1
的孤立奇点.
注意: 奇点并不一定都是孤立的。
例如:
z
0 不是奇点的分类
复变函数第五章5-1

复变函数第五章5-1


sinh z 思考 z 0 是 3 的几级极点? z
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
21
三、函数在无穷远点的性态
1. 定义 如果函数 f (z ) 在无穷远点 z 的去心 邻域 R z 内解析, 则称点 为 f (z ) 的孤 y 立奇点. R o
x
22
1 1 (t ), 令变换 t :则 f ( z ) f 规定此变换将: z t 映射为 z t 0,
课堂练习 求 f ( z ) z 5 ( z 2 1)2 的零点及级数 .
答案
z 0 是五级零点, z i 是二级零点.
18
3.零点与极点的关系
定理
如果 z0 是 f (z ) 的 m 级极点, 那末 z0 就是 1 的 m 级零点. 反过来也成立. f (z) 如果 z0 是 f (z ) 的 m 级极点, 则有
3)含有无穷多的正幂项; 那末 z 是 f (z ) 的 1)可去奇点 ; 2) m 级极点; 3)本性奇点 .
25
z 在圆环域 1 z 例10 (1)函数 f ( z ) z 1
内的洛朗展开式为:
1 1 n 1 f (z) 1 2 ( 1) n 1 z z z 1 z 不含正幂项
特点: 1. 在 z z0 内是解析函数 2. g( z0 ) 0
(2) 如果 z0 为函数 f (z ) 的极点 , 则
lim f ( z ) .
z z0
10
*2)极点的判定方法 (1) 由定义判别
f (z ) 的洛朗展开式中含有 z z0 的负幂项为有 限项.
(2) 由定义的等价形式判别
孤立奇点.ppt

孤立奇点.ppt

在给出极点的性质之前，先给出与极点紧密相关的
零点的定义。 定义2 设函数 f (z)在 | z z0 | R内解析，且 f (z0 ) 0,
则称 z z0 为f (z)的零点。若 f (z0 ) f (z0 ) f (m1) (z0) 0
而 f (m) (z0) 0, 则称 z z0 为f (z)的m级零点。 若z0为f (z)的m级零点，则为f (z)在z0处的Taylor展 开式为 f (z) Cm (z z0 )m Cm1(z z0 )m1
Cn (z z0 )n
0 | z z0 | R
lim
zz0
f
(z)
C0
(2) (3)：
lim
zz0
f
(z)
C0
， 对
0,
0，
当0 | z z0 | < 时，有 | f (z) C0 | <；从而
| f (z)||C0 | < | f (z) C0 | <；即| f (z)|<|C0 | 。
§4.5 孤立奇点
奇点: 函数 f (z)的不解析点，称为 f (z) 的奇点。
孤立奇点: 若函数 f (z)在 z0处不解析，但在z0的某
去心邻域 0 | z z0 | R 内解析，则称z0的为f (z)的孤
立奇点。
例如
函数
1 z
、e
1 z
都以 z 0 为孤立奇点。
zk
1
k
(k
1, 2,
)和
z0=0
即 f (z)在点z0的去心邻域 0 | z z0 | < 内有界。
(3) (1)：若在点z0的去心邻域0 | z z0 | < 内有
| f (z)|<M，考虑 f (z)在点z0的主要部分
复变函数第13讲

复变函数第13讲


(2) 若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点 若函数的奇点个数有限，
如：e , z = 0; 1 ， = nπ z sin z
1 z
cos z ，z = 1, 2; 2 ( z − 1)( z − 2)
皆为孤立奇点.
2.孤立奇点的分类 .
分类原则： 分类原则： 因 z0为 (z)的 立 点 所 函 为 f 孤 奇 ， 以 数
4.函数的零点与极点的关系 4.函数的零点与极点的关系
定义：不恒为零的解析函数 f ( z )，如果能表示成 f ( z ) = ( z - z0 ) m ϕ ( z ) 其中 ϕ ( z )在 z 0 解析并且 ϕ ( z 0 ) ≠ 0， m为某一正整数， 那么 z 0 称为 f ( z )的 m级零点。
即：补充函数在可去奇点的定义，此奇点就可以变为 补充函数在可去奇点的定义， 解析点。 解析点。
可去奇点处的极限： 可去奇点处的极限：
z → z0
lim f ( z ) = lim F ( z ) = F ( z0 ) = c0 (有限数）。
z → z0
(2) 极点: 展式中只有有限多个负幂次项, (2) 极点: 展式中只有有限多个负幂次项,即
m
m−1
= lim
z→z0
(z − z0 )m−1[cmm + cm+1(m +1)(z − z0 ) +⋯ ]
(z − z0 ) [dnn + dn+1(n +1)(z − z0 ) +⋯ ]
n−1
0 不难看出 = ∞ cm dm
m>n m<n m=n
比较得： 比较得：左=右 右 因而结论成立。 因而结论成立。 证毕
复变函数第五章

复变函数第五章

C
这是由于 z 0 为f ( z ) 的孤立奇点而使积分 ∫ f ( z )dz 留下”的值 “留下”
11
定义: 的孤立奇点， 定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负 称为f 在 留数， 幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为 (z)在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。 。 由留数定义, 由留数定义 Res [f (z), z0]= c–1 (1)
z2 z4 z 2n sin z (1) = 1 − + − L + ( −1) n +L z 3! 5! ( 2n + 1)!
特点：没有负幂次项 特点：
e z 1 +∞ z n +∞ z n −1 1 z z n −1 ( 2) = ∑ = ∑ = + 1+ +L+ +L z z n = 0 n! n = 0 n! z 2! n!
1 把扩充z平面上 平面上∞ 作变换 w = 把扩充 平面上∞的去心邻域 R<|z|<+∞映射成扩充 ∞ z w平面上原点的去心邻域： <| w |< 1 . 平面上原点的去心邻域： 平面上原点的去心邻域 0 R 1
又 f ( z ) = f ( ) = ϕ ( w) .这样 我们可把在去心邻域 这样, 这样 我们可把在去心邻域R<|z|<+∞对f (z)的研 ∞ 的研 w 1 的研究.显然 究变为在 0 <| w |< 1 内对ϕ (w)的研究 显然ϕ (w)在 0 <| w |< 内解 的研究 在 R R 所以w=0是孤立奇点 是孤立奇点. 析, 所以 是孤立奇点 在无穷远点 ∞ lim f ( z ) = lim ϕ ( w ) ⇒ f (z)在无穷远点 z=∞ 的奇点类型

复变函数与积分变换51孤立奇点课件

复变函数与积分变换51孤 立奇点课件
• 复变函数与积分变换概述 • 孤立奇点的性质 • 孤立奇点的计算方法 • 孤立奇点的应用 • 总结与展望
01
复变函数与积分变换概述
复数与复变函数
复数
由实数和虚数组成的数，表示为 a+bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复变函数
以复数为自变量的函数，即定义在复数域上的 函数。
在复变函数中，洛朗兹变换可以用于计算孤立奇点的位置和性质。
通过将复平面上的函数映射到洛朗兹群上，可以更加方便地处理奇点的计算问题。
利用拉普拉斯变换计算孤立奇点
拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为频域函数 的数学工具。
在处理具有不连续点的函数时，拉普拉斯变换非 常有用。
通过拉普拉斯变换，可以找到函数在无穷远处的 行为，从而确定孤立奇点的位置和性质。
应用
在解决某些积分问题时，可以通过消除可去奇点 来简化计算。
极点
定义
如果函数在某点的极限值为无穷大，则称该点为极点。
性质
在极点处，函数的值会趋于无穷大，且函数在该点的 左右极限值不相等。
应用
在解决积分问题时，可以通过计算极点的留数来得到 积分的值。
本性奇点
01
定义
如果函数在某点的极限值不存在 且不是无穷大，则称该点为本性 奇点。
时空奇点。孤立奇点在相对论中也有重要的应用，例如在描述黑洞和宇
宙大爆炸等极端物理现象时。
在工程中的应用
信号处理中的奇异点
在信号处理中，信号可能会在某些点上表现出奇异性，这些点被称为信号奇异点。孤立奇 点在信号处理中有广泛的应用，例如在语音识别、图像处理和数据压缩等领域。
控制工程中的奇异点

复变函数讲义-4-5孤立奇点

第五节 孤立奇点
一、孤立奇点的概念 二、函数在无穷远点的性态 三、小结与思考
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1
一、孤立奇点的概念
定义 如果函数 f (z)在 z0不解析, 但 f (z)在 z0 的某一去心邻域 0 z − z0 内处处解析, 则称 z0 为 f (z)的孤立奇点.
例
z = 0 是函数
+
f (z) = cn(z − z0 )n . n=−
由于lim f (z)存在，则存在正数 M 和 (< ) 使得 z→z0
0 <|z−z0| < 时，|f (z)| M. 所以
0 | c−n |=
1
2i
C (
f −
(
z0
) )−
n+1
d
1
2
| f ( ) |
C | − z0 |−n+1
,
所以 : z = −1是函数的一级极点,
z = 1是函数的二级极点.
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15
1 例3 函数 sin z 有些什么奇点, 如果是极点, 指出
它的级. 解 函数的奇点是使 sin z = 0 的点, 这些奇点是 z = k (k = 0, 1, 2).是孤立奇点.
因为 (sin z) z=k = cos z z=k = (−1)k 0, 所以 z = k是sin z的一级零点，即 1 的一级极点.
z
的几级极点?
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
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17
3. 本性奇点
如果洛朗级数中含有无穷多个 z − z0 的负幂项,
那末孤立奇点 z0 称为 f (z) 的本性奇点.

复变函数第12讲


因 z2-1=(z-1)(z+1)以1与－1为一级零点，所以1
R<|z|<+映射成扩充t平面上原点的去心邻域0<|t|<1/R.
这样, 我们可把在去心邻域R<|z|<+对f(z)的研究, 变为在0<|t|<1/R内对j(t)的研究. 显然, j(t)在0<|t|<1/R内解析, 所以t=0是j(t)的孤立 奇点.
规定: 如果t=0是j(t)的可去奇点, m级极点或本性奇点,
复变函数 第12讲
韩 艺 兵 解放军信息工程大学理学院
Email：hanyibing1982@
§1 孤立奇点
本节主要内容
一、孤立奇点 二、孤立奇点的分类
三、零点与极点的关系
四、函数在无穷远点的性态
第五章 留数
§1 孤立奇点
一、孤立奇点 定义：函数不解析的点为奇点. 如果函数 f(z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个 去心邻域0<|z-z0|<d 内处处解析, 则z0称为f(z)的孤立 奇点。
设z0称为f(z)的可去奇点.
(1) f(z)在z0的去心邻域内的洛朗级数实际上就是一
个普通的幂级数:
f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+.... 因此, 这个幂级数的和函数F(z)是在z0解析的函数.
(2)不论f(z)原来在z0是否有定义，如果我们改变f(z)
的定义，可使f(z)在0<|z-z0|<d 内有上述幂级数，且使
这等价于
f(n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m-1), f(m)(z0) 0 .
例如: z=1是f(z)=z3-1的零点, 由于f '(1)=3z2|z=1=30,

36孤立奇点的分类

回到
支点：对于多值函数w=f ( z ), 若z绕某点一周，函数值w不复原（发生改变） 而在该点各单值分支函数值相同，则称该点为多值函数的支点。 w1(0)=w2(0) 若当z绕支点n周，函数值w复原，则称该点为多值函数的n-1阶支点。 下面用一种形象化的方式来描述多值函数w=f (z)的值的变化情况，约定: z=0是w=f ( z )的1阶支点 对单值分支w1 , 其总量z的幅角范围0 Argz 2； z＝也是w=f ( z )的1阶支点 对单值分支w2 , 其总量z的幅角范围2 Argz 4
二、可去奇点： 若z0是f ( z )的可去奇点，则在0 | z z0 | R上展开的洛朗级数为： f ( z )＝a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 ......,0 | z z0 | R (无负幂项) 等号右边级数在 | z z0 | R内表示一解析函数（包含z0），而f ( z )在z=z0无定义 或者不可导。但显然有： lim f ( z ) a0 (说明函数在可去奇点邻域是有界的)
z z0
三、极点 若z0是f ( z )的极点，则在圆环域0 | z z0 | R上的洛朗级数为： f ( z ) am ( z z0 ) a m 1 ( z z0 ) (0 | z z0 | R)(有限个负幂项) 显然有： lim f ( z ) （极点的判定方法），m 极点z0的阶，一阶的极点称为单极点。
z z0
若定义g ( z )代替f ( z )，将z0点的值重新定义，并令g ( z0 ) a0 , 则g ( z )在整个圆 | z z0 | R内为解析函数，z0成了g ( z )的解析点，奇异性去掉了， 称z0为可去奇点。 f ( z ) ( z z0 ) g ( z) 则g ( z ) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 ......(| z z0 | R ) a0 ( z z0 ) sin z 如：f ( z )＝ z sin z ( z 0) sin z 若规定g ( z ) z 则g ( z )在 | z | 解析， z=0是 的可去奇点。 z 1 ( z 0) 可去奇点的判定方法：(1)f ( z )在z0的洛朗级数无负幂项 (2) lim f ( z ) a0 , a0为复常数。今后可去奇点不作奇点看待。

复变函数-孤立奇点


则 g ( z ) 在 z z0 内解析，且
g( z0 ) c m 0, 即
1 f (z) g( z ). m ( z z0 )
数学学院
定理2 设
f ( z ) 在 0 z z0 内解析，则
0
f ( z ) . z0 是 f ( z ) 的极点 lim z z
解
z i 和 z 1 是 f (z)的孤立奇点.
f ( z ) ( z 1)3 ( z i )1 ( z i )1 ( z 2),
所以, z i 是 f (z) 的1级极点,
z 1 是f (z)的3级极点.
数学学院
1 例4 求 f ( z ) z 的孤立奇点, 并指出奇点的类型. e 1
则 f ( z ) 在全平面解析 .
数学学院
(2) 极点 定义2 如果 f ( z )在 0 z z0 的Laurent
级数展开式中只含有有限个 z z 的负幂次项,即 0 只有有限个(至少一个)整数
m 0, 使得 c m 0, 则称
z0 是 f ( z ) 的极点. 如果存在正整数 m ,使得 c m 0,
lim f ( zn ) w0 .
n
数学学院
例6
证明 z 0 是 e
1 z
1 z
1 和 sin 的本性奇点. z
1 1 1 解 e 1 2 0 z , n z 2! z n! z 1 1 1 1 sin 3 5 0 z . 无穷多负幂项 z z 3! z 5! z
2. 由等价形式判别： 在点 z 的某去心邻域内有 0
f ( z ) ( z z0 ) m g( z ) ( m 1),

复变函数与积分变换孤立奇点


f(z)的m级零点.
例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与 三级零点.
根据这个定义, 我们可以得到以下结论:
设f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是:
f
(n)( z
0)=0, (n=0,1,2,...,m-1),f
(m)( z
x Analysis and Integral Transform
如果函数 f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域
0<|z-z0|<d内处处解析, 则z0称为f (z)的孤立奇点.
– 非孤立奇点 函数的奇点并非都是孤立的. 例如 z=0 是函数 1 f ( z) 的非孤立奇点。换句话说, 在 z=0 的 sin 1 z
不论怎样小的去心邻域内总有 f (z)的奇点存在.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
综上所述:
如果z0为f ( z )的可去奇点 lim f ( z )存在且有限;
z z0
如果z0为f ( z )的极点 lim f ( z ) ;
z z0
如果z0为f ( z )的本性奇点 lim f ( z )不存在且不为.
1 上式也可写成: f ( z ) g ( z) ， （*） m ( z - z0 )
其中
g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +...,
在 |z-z0|<d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式,
lim f ( z ) ， (不存在但为).
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(n1,2,......则 ) 称孤立 z0为 奇 f(z)点 的可去奇
例如：
由于 si1 zn z z2 1zz(4z ..z33.!..z5.！ 0 5 z... ....)
3! 5! 所 以z， 0是sinz的 可 去 奇 点 。
z
可去奇点的判别法： (i) 展开为洛朗级数； (ii) z 0 为 f ( z ) 的 可 去 奇 点 的 充 分 必 要 条 件 是
因 为 f(z)z12(zz22 !z33 !...)
z11 z ... 2! 3!
所以z， 系：
零点： 使解 f(z 析 )0 的 函 z0 称 点 数 f(z 为 )的零点 m 级零点： 若 f(z)可表 f(z) 示 (z z0 ) 为 m g (z), 其g 中 (z)在 z 0 点 ，解 g (z 0 析 ) 0 ,m 为 ，正 且整
第五章 留数及其应用
• 孤立奇点的概念 • 留数的定义、计算、留数定理 • 留数定理的应用（积分计算）
5.1 孤立奇点的分类
1、孤立奇点的定义
若 f ( z ) 在 z 0 点 不 解 析 ， 但 在 z 0 的 某 个 去 心 邻 域 内 解 析
则称 z0为f (z)的孤立奇点。 例如： z 0是sinz、e1z的孤立奇点。
则称 z0为f(z)的m级零点。
零点的判别： 若 z0 为 f(z)的解z 析 0 为 f(z) 点 的 m 级 ， 零 则
例如：
f(k )(z0 ) 0(k 0 ,1 ,.m . .1 )而f(m)(z0)0
f (z) z3 1, f(1 ) 0 ,f'(1 ) 3 z2|z 1 3 0
所 以 ， z 1 为 f( z ) 的 一 级 零 点 。
1
k
0
(当k时）
2、孤立奇点的分类
设z0是f (z)的孤立奇则 点，存 z0的 在 去心 0z 邻 z0域
f (z)在该邻域内解析。
于是 f(z)在0zz0 内可展开为洛朗级数
f(z) an(zz0)n an(zz0)n an(zz0)n
n
n0
n1
（1）可去奇点
若洛朗展开式(z中 z0不 )的含 负有 幂即 项 an ， 0,
2 ! 4 !
(2 n )!
z
于 1 z c 是 2z o 2 1 s ! z 4 2 ! .. ( . 1 )n 1( z 2 2 n n )2 !... 所以 z0为可去奇点。
（2）极点
若洛朗展开有 式限 中 (z 项 只 z0)的 含负 有幂项
则 称 z0为 f(z)的 极 点 。
显然，函数的奇点是
z 1 , zk 1 k 2(k 0 , 1 , 2 ...)
由
于 limtanz(1)lim sin z(1) 1 z1 z1 z 1 z1 cozs(1)
1
所以， z1为可去奇点。
又
s
inz(1) z1
zk0,
cosz(1) zk 0
[czo1 s)]z(ksizn 1 ()zk
（iv) z0为 f(z)的 m 阶 极 点 zl im z0(zz0)mf(z)cm ， 这 里 c-m0， m 为 正 整 数
例如：
f(z)(z2z1)(z21)2
z1为 f(z)的 二 级 z极 i是 f点 (z)的 ，一 级
注意判别条件
例如： f(z)ezz21 z 0不是f (z)的二级极点
sin(k
)
2
（1）k（1） k10
所zk以 是 coz s1()的一级 f(z零 )的点 一， 级
3、本性奇点
若 f(z)的洛朗展开 穷 式 多 (z中 项 z0)的 含负 有 则称z0为f (z)的本性奇点。
判别法：
(i) 把 f( z ) 展 开 为 洛 朗 级 数 ， 用 定 义 判 别 ；
若洛朗展开有 式限 中 (z 项 只 z0)的 含负 有幂项 且 其 中 关 于 (z-z 0 ) 1的 最 高 幂 为 (z z 0 ) m ， 这 里 m 是 正 整 数 ， 则称 z0为f(z)的m级极点。
例如：
因
为f
(z)
ez z2
z12
(1zz2 2!
...)
z2z11zz2... 2! 3! 4!
z
f(z) 1 (zi)(z1)
有两个孤立 z奇 i,z点 1
注 ： 当 z0 为 不 解 析 点 ， 又 是 一 系 列 奇 点 的 极 限 点 ， 则 z0 为 非 孤 立 奇 点 。
例
z0是函数 si1n1z的奇点，但不是点孤，立奇
因 为 z1(k 为 非 零 整 数 )都 是 它 的 奇 点 ， k
由 si于 z1 n 1 n 0 ( 1 )n (2 n 1 )( 1 z ! 1 )2 n 1 0z1 有无穷 z多 1的个 负幂项， 所以z， 1是f(z)的本性奇点。
limf(z)l(有 限 值 ） ，
z z0
例解 法z 一 0 由 是 于 1 lz im 0z c 1o 2 s zc2z o的 zs 什 lzim么 0 2类 sizn2型 2 2z的 12孤 立 奇 点 ？
所以 z0为可去奇点。
解 法 二 由 c于 o z 1 sz2z4 .. ( . 1 )nz2 n ...
所以z， 0是f(z)的二级极点。
极点的判别法： (i) 展开为洛朗级数，用定义判别；
（ii) z 0 为 f(z) 的 极 z l i z 0m f 点 (z)
(iii)
z0为 f(z)的 m级 极 点 f (z)
(z
h(z) z0)m
其 中 ， h ( z 0 ) 0 且 h ( z ) 在 z 0 解 析 ；
(ii) z0是 f(z)的本性 l奇 im f(点 z)不存在 ，
z z0
例如：
1
函数f(z)ez以z 0为本性奇点，因为
e1 z1z 11z2.. .1zn.中 .. 含有 z的无 负
2!
n !
例 讨 论 sin1的 孤 立 奇 点 及 类 型 。 z 1
解：（ 1） z1是sin 1 的孤立奇点。 z1
（v) z0为 f(z)的 m 级极 z点 0为 f1 (z)的 m 级零 (vi) 若 f(z)Q P((zz)),P(z0)0且 P(z)在 z0点解析 若 z0是 Q (z)的 m 级零点f， (z)的 m 则 级必 极为 点
例 试确定f函 (z)数 tan z(1) 的奇点类型
z1
解：由f于 (z)taz n 1 ) ( sizn 1 )( z 1 (z 1 )co z s 1 )(