高中数学3.2.2 直线的两点式方程 (2)

3.2.2直线的两点式⽅程2（教学设计）3.2.2直线的两点式⽅程（教学设计）编写⼈：崔宝蕊⼀教材分析本节内容选⾃⼈教版⾼中数学教材必修2第三章第2节直线的⽅程，第⼆课时：直线的两点式⽅程.本节内容介绍了直线⽅程的两种表达形式（两点式、截距式）.教材中，在第⼀课时呈现了直线⽅程的两种表达形式（点斜式、斜截式），第⼆课时教学内容的探究过程与第⼀课时类似，直线的两点式⽅程利⽤已有的问题引出，直线的截距式⽅程利⽤例题结论给出，⽅法都较为清晰、简单.不同的直线表达式体现了知识之间的相互联系与转化.⼆学情分析直线⽅程有多种表达形式，学⽣在上⼀节的学习中，已经知道了直线的点斜式⽅程和直线的斜截式⽅程，对于直线⽅程有了初步的了解，并能解决简单问题.在学习新知的过程中，学⽣可以利⽤之前的分析⽅法，借助已有的知识，进⾏探究，对于本节课的教学内容，能借助转化和数形结合等思想⽅法理解问题，解决问题.三教学⽬标基于本节课的教材内容和学情分析，把本节课的教学⽬标设计如下：1.能将新问题转化为已经解决的问题，建⽴直线的两点式⽅程；2.掌握直线的两点式⽅程的表达式及其使⽤条件；3.掌握直线的截距式直线⽅程的表达式及其使⽤条件，建⽴数学知识间的联系；4.学⽣学习过程中，能够积极思考问题，主动解决问题，最终实现运⽤新知求解⼀般问题.四教学重点基于本节课的教材内容、学情分析、教学⽬标，把本节课的教学重点定位如下：1.理解直线的两点式⽅程的推导过程；2.掌握直线的点斜式⽅程并学会运⽤；3.理解直线的截距式⽅程的意义并掌握其表达式.五教学难点基于本节课的教材内容、学情分析、教学⽬标，把本节课的教学难点定位如下：1.理解直线的两点式⽅程与截距式⽅程的推导过程；2.对直线的两点式⽅程与截距式⽅程的应⽤；六教学⽅法整节课以讲授法为主，同时利⽤启发和探究的教学⽅式，引导学⽣学习. 七教学⼿段教学内容以板书呈现为主，结合多媒体演⽰⽂稿辅助教学.⼋教学过程【教师活动】布置例题2例2已知三⾓形的三个顶点)0，5(-A ，)3，3(-B ，)2,0(C ，求BC 边所在直线的⽅程，以及该边上中线所在直线的⽅程.【学⽣活动】选择⽅法，解答问题. 【教师活动】等待学⽣⼤致解决问题后，在⿊板上进⾏演⽰并讲解例题2：解：由已知可画图过)3，3(-B ，)2,0(C 的两点式⽅程为 030232--=---x y ，整理得0635=-+y x . 这就是BC 边所在直线的⽅程.BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为 )223,203(+-+，即)2 1,23(-. 1.2.3.4.九板书设计⼗教学反思与评价。

3.2.2 直线的两点式方程一、选择题1．直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为( )A ．2,5B ．2，－5C ．－2，－5D ．－2,5[答案] B[解析] 将x 2－y 5＝1化成直线截距式的标准形式为x 2＋y－5＝1，故直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为2，－5.2．如右图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋yb＝1，则有( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0[答案] B[解析] 很明显M (a,0)，N (0，b )，由图知M 在x 轴正半轴上，N 在y 轴负半轴上，则a >0，b <0.3．在y 轴上的截距是－3，且经过A (2，－1)，B (6,1)中点的直线方程为( ) A ．x 4＋y3＝1B ．x 4－y 3＝1C ．x 3＋y4＝1D ．x 3－y 6＝1[答案] B[解析] A (2，－1)，B (6,1)的中点坐标为(4,0)，即直线在x 轴上的截距为4，则直线的截距式方程为x 4－y3＝1.4．过(x 1，y 1)和(x 2，y 2)两点的直线方程是( ) A ．y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1B ．y －y 1y 2－y 1＝x －x 2x 1－x 2C ．(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0D ．(x 2－x 1)(x －x 1)－(y 2－y 1)(y －y 1)＝0[答案] C5．已知△ABC 三顶点A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y ＋8＝0 C ．2x ＋y －12＝0 D ．2x －y －12＝0 [答案] A[解析] 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x ＋y －8＝0.6．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32B ．－23C ．25D ．2[答案] A[解析] 直线方程为y －91－9＝x －3－1－3，化为截距式为x －32＋y 3＝1，则在x 轴上的截距为－32.二、填空题7．已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)，N (－3,4)两点的直线上，则m ＝_________. [答案]32[解析] 方法1：MN 的直线方程为：y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0，代入P (－1,2m －1)得m ＝32.方法2：M 、N 、P 三点共线， ∴4－2m －1－3＋1＝4－－1－3－2，解得m ＝32.8．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是_________. [答案] 3x ＋2y －6＝0[解析] 设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎨⎧b ＝3，a ＋b ＝5，解得a ＝2，b ＝3，则直线方程为x 2＋y3＝1，即3x ＋2y －6＝0.三、解答题9．已知点A (－1,2)，B (3,4)，线段AB 的中点为M ，求过点M 且平行于直线x 4－y2＝1的直线l 的方程．[解析] 由题意得M (1,3)，直线x 4－y 2＝1的方程化为斜截式为y ＝12x －2，其斜率为12，所以直线l 的斜率为12.所以直线l 的方程是y －3＝12(x －1)，即x －2y ＋5＝0.10．求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A (1,0)，B (m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．[分析] 欲求直线的方程，关键是根据已知条件选择一种最合适的形式． [解析](1)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b .令y ＝0，得x ＝－43b ，∴12|b ·(－43b )|＝6，b ＝±3. ∴直线l 的方程为y ＝43x ±3.(2)当m ≠1时，直线l 的方程是 y －01－0＝x －1m －1，即y ＝1m －1(x －1)当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1. (3)设l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b . 当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为x a ＋yb ＝1；∵直线过P (4，－3)，∴4a －3b ＝1.又∵|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －3b ＝1，a ＝±b .解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝7，b ＝－7.当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3)， ∴l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－34x .[点评] 明确直线方程的几种特殊形式的应用条件，如(2)中m 的分类，再如(3)中，直线在两坐标轴上的截距相等包括截距都为零的情况．能力提升一、选择题1．如果直线l 过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 008，b )在直线l 上，那么b 的值为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016 D ．2 017[答案] D[解析] 根据三点共线，得5－－12－－1＝b －51 008－2，得b ＝2 017.2．两直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1的图像可能是图中的哪一个( )[答案] B3．已知2x 1－3y 1＝4,2x 2－3y 2＝4，则过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线l 的方程是( ) A ．2x －3y ＝4 B ．2x －3y ＝0 C ．3x －2y ＝4 D ．3x －2y ＝0[答案] A[解析] ∵(x 1，y 1)满足方程2x 1－3y 1＝4，则(x 1，y 1)在直线2x －3y ＝4上．同理(x 2，y 2)也在直线2x －3y ＝4上．由两点决定一条直线，故过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线l 的方程是2x －3y ＝4.[点评] 利用直线的截距式求直线的方程时，需要考虑截距是否为零． 4．过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 [答案] B[解析] 解法一：设直线方程为y ＋3＝k (x －4)(k ≠0)． 令y ＝0得x ＝3＋4kk ，令x ＝0得y ＝－4k －3.由题意，3＋4k k ＝－4k －3，解得k ＝－34或k ＝－1.因而所求直线有两条，∴应选B ．解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a )，a ≠0，则直线方程为x a ＋ya ＝1，把点P (4，－3)的坐标代入方程得a ＝1.∴所求直线有两条，∴应选B ．二、填空题5．直线l 过点P (－1,2)，分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为_________. [答案] 2x －y ＋4＝0[解析] 设A (x,0)，B (0，y )．由P (－1,2)为AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02＝－1，0＋y2＝2，∴⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝4由截距式得l 的方程为x －2＋y4＝1，即2x －y ＋4＝0. 6．若直线l 的方程为2x －13y ＝－1，则它的截距式方程为_________，斜截式方程为_________，直线l 与x 轴交于点_________，与y 轴交于点_________. [答案]x－12＋y 3＝1 y ＝6x ＋3 (－12，0) (0,3) 三、解答题7．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程． [解析] 设直线方程的截距式为x a ＋1＋ya ＝1.则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.8．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． (1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC 边上的高所在直线的方程； (5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程．[解析] (1)由A (0,4)，C (－8,0)可得直线AC 的截距式方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由A (0,4)，B (－2,6)可得直线AB 的两点式方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)设AC 边的中点为D (x ，y )，由中点坐标公式可得x ＝－4，y ＝2， 所以直线BD 的两点式方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即2x －y ＋10＝0.(3)由直线AC 的斜率为k AC ＝4－00＋8＝12，故AC 边的中垂线的斜率为k ＝－2.又AC 的中点D (－4,2)，所以AC 边的中垂线方程为y －2＝－2(x ＋4)， 即2x ＋y ＋6＝0.(4)AC 边上的高线的斜率为－2，且过点B (－2,6)， 所以其点斜式方程为y －6＝－2(x ＋2)，即2x ＋y －2＝0. (5)AB 的中点M (－1,5)，AC 的中点D (－4,2)，∴直线DM 方程为y －25－2＝x －－4－1－－4，即x －y ＋6＝0.。