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电磁场与电磁波习题及答案1麦克斯韦方程组的微分形式是：.D H J t=+?u v u u v u v ,BE t =-?u v u v ,0B ?=u v g ,D ρ?=u v g2静电场的基本方程积分形式为：CE dl =?u v u u v g ? S D ds ρ=?u v u u vg ?3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为：3.00n S n n n Se e e e J ρ??=??===?D B E H rr r r r r r r r 4线性且各向同性媒质的本构关系方程是：4.D E ε=u v u v ,B H μ=u v u u v ,J E σ=uv u v5电流连续性方程的微分形式为：5.J t ρ??=-r g6电位满足的泊松方程为2ρ?ε?=-；在两种完纯介质分界面上电位满足的边界。
12??= 1212n n εεεε??=?? 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理论依据是: 唯一性定理。
8.电场强度E ?的单位是V/m ，电位移D ?的单位是C/m2 。
9．静电场的两个基本方程的微分形式为0E ??=ρ?=g D ；10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A u v，并令B A =??u v u v 的依据是（ 0B ?=u vg ）2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ?”的说法是（错误的）。
3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln(1aaD C -=πε ）。
4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。
5. N 个导体组成的系统的能量∑==Ni ii q W 121φ，其中iφ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。
6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ）7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。
电磁场与电磁波练习题一、单项选择题(每小题1分，共15分)1、电位不相等的两个等位面（）A. 可以相交B. 可以重合C. 可以相切D. 不能相交或相切2、从宏观效应看，物质对电磁场的响应包括三种现象，下列选项中错误的是（）A.磁化B.极化C.色散D.传导3、电荷Q 均匀分布在半径为a 的导体球面上，当导体球以角速度ω绕通过球心的Z 轴旋转时，导体球面上的面电流密度为（）A.sin 4q e a ?ωθπB.cos 4q e a ?ωθπC.2sin 4q e a ?ωθπD.33sin 4q e r aωθπ 4、下面说法错误的是（）A.梯度是矢量, 其大小为最大方向导数,方向为最大方向导数所在的方向。
B.矢量场的散度是标量，若有一个矢量场的散度恒为零，则总可以把该矢量场表示为另一个矢量场的旋度。
C.梯度的散度恒为零。
D.一个标量场的性质可由其梯度来描述。
5、已知一均匀平面波以相位系数30rad/m 在空气中沿x 轴方向传播，则该平面波的频率为（）A.81510π?HzB.8910?HzC.84510π?Hz D.9910?Hz6、坡印廷矢量表示（）A.穿过与能量流动方向相垂直的单位面积的能量B.能流密度矢量C.时变电磁场中空间各点的电磁场能量密度D.时变电磁场中单位体积内的功率损耗7、在给定尺寸的矩形波导中，传输模式的阶数越高，相应的截止波长（）A.越小B.越大C.与阶数无关D.与波的频率有关8、已知电磁波的电场强度为(,)cos()sin()x y E z t e t z e t z ωβωβ=---，则该电磁波为（）A. 左旋圆极化波B. 右旋圆极化波C. 椭圆极化波D.直线极化波9、以下矢量函数中，可能表示磁感应强度的是（）A. 3x y B e xy e y =+B.x y B e x e y =+C.22x y B e x e y =+D. x y B e y e x =+10、对于自由空间，其本征阻抗为（）A. 0η=B.0η=C. 0η=D. 0η=11、自感和互感与回路的（）无关。
一、填空题1、电荷守恒定律的微分形式是，其物理意义是[任何一点电流密度矢量的散度等于该点电荷体密度随时间的减少率]；2、麦克斯韦第一方程=⨯∇HDJ t ∂+∂，它的物理意义是[电流与时变电场产生磁场]；对于静态场，=⨯∇H[J ]]；3、麦克斯韦第二方程E⨯∇B ∂，它表明[时变磁场产生电场]；对于静态场,E⨯∇=[0],它表明静态场是[无旋场]；4、坡印廷矢量S 是描述时变电磁场中电磁功率传输的一个重要的物理量,S=[E H ⨯],它表示[通过垂直于功率传输方向单位面积]的电磁功率；5、在两种不同物质的分界面上,[电场强度，（或E ）]矢量的切向分量总是连续的, [磁感应强度，（或B ）]矢量的法向分量总是连续的；6、平面波在非导电媒质中传播时,相速度仅与[媒质参数，（或μ、ε）]有关,但在导电媒质中传播时,相速度还与[频率，（或f ，或ω）],这种现象称为色散；7、两个同频率,同方向传播,极化方向互相垂直的线极化波合成为圆极化波时,它们的振幅[相等],相位差为[2π，（或－2π，或90）]；8.均匀平面波在良导体中传播时,电场振幅从表面值E 0下降到E 0/e 时 所传播的距离称为[趋肤深度],它的值与[频率以及媒质参数]有关。
二、选择题1、能激发时变电磁场的源是[c]a.随时间变化的电荷与电流 b 随时间变化的电场与磁场c.同时选a 和b2、在介电常数为ε的均匀媒质中,电荷体密度为ρ的电荷产生的电场为),,(z y x E E =,若E Dε=成立,下面的表达式中正确的是[a]a. ρ=⋅∇Db. 0/ερ=⋅∇Ec. 0=⋅∇D3、已知矢量)()23(3mz y e z y e x e B z y x +--+=,要用矢量B 描述磁感应强度,式中 必须取[c(0=⋅∇B )] a. 2 b. 4 c. 64、导电媒质中,位移电流密度d J 的相位与传导电流密度J的相位[a]a.相差2πb.相同或相反c.相差4π5、某均匀平面波在空气中传播时,波长m 30=λ,当它进入介电常数为04ε=ε的介质中传播时,波长[b] a.仍为3m b.缩短为1.5m c. 增长为6m6、空气的本征阻抗π=η1200,则相对介电常数4=εr ,相对磁导率1=μr ,电导率0=σ的媒质的本征阻抗为[c].a.仍为)(120Ωπb. )(30Ωπc. )(60Ωπ 7、z j y z j x e j e e e E π-π-+=2242,表示的平面波是 [b] a.圆极化波 b.椭圆极化波 c.直线极化波8、区域1(参数为0,,10101===σμμεε)和区域2(参数为0,20,520202===σμμεε)的分界面为0=z 的平面。
1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。
2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t tρ∂∂∇⨯=+∇⨯=-∇⋅=∇⋅=∂∂，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。
1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。
2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。
(或矢量式2n D σ=、20n E ⨯=、2s n H J ⨯=、20n B =)1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。
2. 答矢量位,0B A A =∇⨯∇⋅=；动态矢量位A E t ϕ∂=-∇-∂或AE tϕ∂+=-∇∂。
库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。
1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2.sA ds φ=⋅⎰⎰ 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。
若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。
若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。
1. 证明位置矢量x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。
2. 证明在直角坐标系里计算 ，则有()()xy z x y z r r e e e e x e y e z x y z ⎛⎫∂∂∂∇⋅=++⋅++ ⎪∂∂∂⎝⎭3x y z x y z∂∂∂=++=∂∂∂ 若在球坐标系里计算，则 232211()()()3r r r r r r r r r∂∂∇⋅===∂∂由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。
《电磁场与电磁波》试题（1）参考答案二、简答题 （每小题5分，共20分）11．答：意义：随时间变化的磁场可以产生电场。
（3分）其积分形式为：S d t Bl d E C S⋅∂∂-=⋅⎰⎰ （2分） 12．答：在静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，这一定理称为唯一性定理。
（3分）它的意义：给出了定解的充要条件：既满足方程又满足边界条件的解是正确的。
13．答：电磁波包络或能量的传播速度称为群速。
（3分）群速g v 与相速p v 的关系式为： ωωd dvv v v pp pg -=1 （2分）14．答：位移电流：tDJ d ∂∂=位移电流产生磁效应代表了变化的电场能够产生磁场，使麦克斯韦能够预言电磁场以波的形式传播，为现代通信打下理论基础。
三、计算题 （每小题10 分，共30分）15．按要求完成下列题目（1）判断矢量函数y x e xz ey B ˆˆ2+-= 是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。
解：（1）根据散度的表达式zB y B x B B zy x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ （3分） 将矢量函数B代入，显然有0=⋅∇B（1分）故：该矢量函数为某区域的磁通量密度。
（1分） （2）电流分布为：()[]分）（分）（分）（1ˆ2ˆ120ˆˆˆ2102z x z y x ez y e x xzy z yx e e e BJ ++-=-∂∂∂∂∂∂=⨯∇=μμ16．矢量z y x e ˆe ˆe ˆA 32-+=，z y x e e e B ˆˆ3ˆ5--= ，求 （1）B A+ （2）B A⋅解：（1）z y x e ˆe ˆeˆB A 427--=+（5分） （2）103310=+-=⋅B A（5分） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 ()jkz y x e E e E eE --=004ˆ3ˆ（1） 试写出其时间表达式； （2） 说明电磁波的传播方向；解：（1）该电场的时间表达式为：()()tj eE t z E ωRe ,= （3分）()()()kz t E e E et z E y x --=ωcos 4ˆ3ˆ,00（2分） （2）由于相位因子为jkze-，其等相位面在xoy 平面，传播方向为z 轴方向。
2009年《电磁场与波》计算题库1. 电场中有一半径为a 的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为。
(1)求圆柱内、外的电场强度。
(2)这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。
解：(1)r<a ；(2)导体；2. 已知自由空间球坐标系中电场分布：2020()()rr r E a r a a E a E a r a r⎧ 0<<⎪⎪=⎨⎪ ≥⎪⎩ ，求空间各处体电荷密度分布。
解：分析：由电场散度与电荷源的关系，可由已知电场分布确定空间体电荷密度分布。
根据题意，电场强度仅有r E 分量，所以22241()0r rE r a E r E a r r a r ⎧ 0<<∂⎪∇==⎨∂⎪ ≤⎩ 于是002040rE r a E a a rερε⎧ 0<<⎪=∇=⎨⎪ ≤⎩3. 一半径为a 的均匀带电圆环，电荷总量为q ，求：圆环轴线上离环中心o 点为z 处的电场强度E解：如图所示，环上任一点电荷元dq 在P 点产生的场强为204dqdE Rπε=由对称性可知，整个圆环在P 点产生的场强只有z 分量，即()3222020cos 4z dq zzdq dE dE r R Ra zθπεπε===+积分得到()()332222220044zz z qz E a dq a a za zπεπε==++⎰4. 四块彼此绝缘（相隔极小的缝隙）的无限长金属板构成一个矩形空管，如图所示。
管子截面为a b ⨯，上下两块板电位为零（接地），右侧板电位为0V ，左侧板上电位的法向导数为零，即0xϕ∂=∂。
求管内的电位分布规律。
解题：分析：这是第三类边值——混合型边值问题。
基本解答形式为........(2-1)现在要利用给定的边界条件来确定常数、、、和。
4个边界条件为：A. 当 y=0 ，0<x<a 时， ；B. 当 y=b ，0<x<a 时， ；C. 当 x=0 ，0<y<b 时， ；D. 当 x=a ，0<y<b 时，。
i) 当y=0 ，0<x<a 时，，由式(2-1)得；ii) 当y=b ，0<x<a 时，，由式(2-1)得；iii) 当x=0 ，0<y<b 时，，由式(2-1)得。
所以。
将所得到的结果代入式(2-1)得然后利用第四个边界条件，确定上式中的。
亦即，iv)利用x=a ，0<y<b 时，，得式中为傅立叶系数，在此为......(2-2)求得为将上式代入式(2-2)得于是可得电位的定解为5.一段长为L的导线，当其中有电流I通过时，求空间任一点的矢量磁位及磁感应强度。
解题：分析：由于导线长度有限，虽然磁感应强度关于轴对称，但是沿z方向，r是变化的，找不到处处与磁场同方向，而且磁场幅度相等的简单的闭合曲线。
本题先求矢量磁位，再求磁感应强度较为方便。
取柱坐标系，使导线L与Z轴重合，导线中点位于坐标原点。
由图可见，导线中dz'到场点P的距离，所以对取旋度得到磁感应强度6. 两块彼此平行的半无限大接地金属板，板间距离为b，两平行板的一端另有一块电位为V的极长的金属条，它们之间缝隙极小，但彼此绝缘如图所示。
求两板间的电位分布。
分析：为了正确的选择电位的解答形式。
首先要对的分布特点做出分析、判断。
电位对于y而言，在y=0，y=b处电位都为零，即沿Y坐标出现重复零点，显然，呈三角函数分布。
对X方向而言，当x=0时，，而时，。
显然，与X 方向呈指数函数分布。
通过这种分析可知，选择式作为本例的基本解答形式是妥当的。
剩下的问题就是利用所给定的边界条件，确定常数、、、，k ，求出的定解。
4个边界条件是1.当 y=0 ，时，2.当 y=b ，时，3.当，0<y<b 时，4.当 x=0 ，0<y<b 时，i）当y=0 ，时，，可得ii）当y=b，时，，可得.......iii）当，0<y<b 时，，可得将所求出的， ，代入式，则得(*)式中，仍为常数。
上式满足了前三个边界条件。
但尚不满足最后一个边界条件。
我们可以根据现行微分方程解的迭加原理，取式 (*) 的无穷级数作为电位的解，即然后利用最后一个边界条件来确定式中的系数。
最后可以求得可得电位的定解为7. 在应用矢量磁位时，如果不采用洛伦兹条件，而采用所谓的库仑规范，令0=⋅∇A 。
写出A 和ϕ所满足的微分方程。
解题：由式5.3.6得：2222222222()()()()(())A A A J A A J t t t tA A E A t t tE ϕϕμεμμεμεμμεϕϕϕϕρρϕεε∂∂∂∂∇∇-=-+∇∇⋅+ ⇒∇-=-+∂∂∂∂∂∂∂∇⋅=-∇⋅∇+=-∇+∇⋅=-∇+∇⋅=-∇∂∂∂∇⋅= ∴∇=-8. 证明在无源空间(0,0J ρ== )中，可以引入一矢量位m A ，定义为m D A =-∇⨯，mm A H tϕ∂=-∇-∂，并推导m A 和m ϕ的微分方程。
证明：在无源空间：0D ∇⋅=所以可以引进：矢量位m A ，定义为m D A =-∇⨯ 。
在无源空间：()m m A A D H t t t ∂∇⨯∂∂∇⨯==-=-∇⨯∂∂∂()0m AH t∂∴∇⨯+=∂可以定义标量，其梯度为：()m m m m A A H H t tϕϕ∂∂-+=∇ ∴=-∇-∂∂证毕m A和m ϕ的微分方程可以用和书上类似的方法推导出来：，且满足洛仑兹规范：0mm A tϕμε∂∇⋅+=∂9. 已知在无限长的理想导体板围成的矩形区域内，电场强度的复数形式为：2sin()j j zy m m E a E e x e a πβπ--=，求电场强度的瞬时值表达式和对应的磁场强度的复数形式、瞬时值表达式。
解：（1）2Re[]Re[sin()]sin()cos()sin()sin()2j j tj z j t y m y m y m m E Ee a E e x e e a m m a E x t z a E x t z a aπωβωππππωβωβ--===--=-（2）由E j B ω∇⨯=-得：221[sin()][sin()]j j j zj z y m m y j j m j m H E E a E e x e E e a x e j a aππββππωμωμωμωμ----=∇⨯=∇⨯=∇⨯=∇⨯- 1[sin()cos()][sin()cos()]j z j z m x z j zm x z m m m H E j x e a x e a a a a E e m m m j x a x a a a aβββπππβωμπππβωμ---=+=+（3）Re[]Re[(sin cos )][sin sin()cos cos()]j z j t j tm x z m x z E e e m x m m x H He j a a a a aE m x m m x t z a t z a a a aβωωπππβωμπππβωβωβωμ-==+=--+-10. 电场强度01(,)sin[()]x z E z t a E t v ω=-的平面波，垂直投射（沿z 方向）到两介质的分界面（从空气到玻璃，玻璃的4,1r r εμ==）求反射波及折射波的电场、磁场。
解题：1). 求R 和T121121121123m m E Z Z R E Z Z -+--======-++2). 求电场3). 求电场直接求磁场11.频率为550kHz的平面波在有损媒质中传播，已知媒质σ/ωε为0.02，相对介电常数为2.5，求该平面波的衰减常数α、相移常数β及相速度v p。
解：物质的导电率与频率有关，分析本题中媒质的导电特性，再利用相应的公式来求解。
由于损耗角正切为，所以，可以按低损耗介质来处理。
掌握如何计算良介质中平面波的参数，从概念和具体数值两方面加强对良介质中平面波参数的理解和认识。
由于损耗角正切为，所以，可以按低损耗介质来处理。
由得于是由式得衰减常数为由式得相移常数为相速度为12.简谐变化的均匀平面波投射到z＝0处的理想导体平面上，已知其入射电场为：(68)10j x zyE a e+-+=（1）求该波的频率和波长；（2）写出入射电场、磁场的瞬时表达式；（3）求入射角；（4）求反射波电场、磁场的表达式；（5）求合成电场、磁场的表达式。
解题：（1）(2)经分析可知，入射波磁场可分解为－x和＋z两个分量。
由于：所以：（3）（4）反射波传播方向可分解为+x和-z方向，假设电场方向不变，磁场方向可分解为＋x和－Z方向。
所以（5）。
