数字信号处理课程总结
以下图为线索连接本门课程的内容：
)
(t x a )
(t y a
一、 时域分析
1． 信号
✧ 信号：模拟信号、离散信号、数字信号（各种信号的表示及关系） ✧ 序列运算：加、减、乘、除、反褶、卷积 ✧ 序列的周期性：抓定义
✧ 典型序列：)(n δ（可表征任何序列）、)(n u 、)(n R N 、
n a 、jwn e 、)cos(θ+wn ∑∞
-∞
=-=
m m n m x n x )()()(δ
特殊序列：)(n h 2． 系统
✧ 系统的表示符号)(n h ✧ 系统的分类：)]([)(n x T n y =
线性：)]([)]([)]()([2121n x bT n x aT n bx n ax T +=+ 移不变：若)]([)(n x T n y =，则)]([)(m n x T m n y -=- 因果：)(n y 与什么时刻的输入有关 稳定：有界输入产生有界输出
✧ 常用系统：线性移不变因果稳定系统 ✧ 判断系统的因果性、稳定性方法 ✧ 线性移不变系统的表征方法：
线性卷积：)(*)()(n h n x n y =
差分方程： 1
()()()N
M
k k k k y n a y n k b x n k ===-+-∑∑
3． 序列信号如何得来？
)
(t x a )
(n
x 抽样
✧ 抽样定理：让)(n x 能代表)(t x a ✧ 抽样后频谱发生的变化？ ✧ 如何由)(n x 恢复)(t x a ？
)(t x a =∑∞
-∞
=--m a mT t T
mT t T mT x )()](sin[)(ππ
二、 复频域分析（Z 变换）
时域分析信号和系统都比较复杂，频域可以将差分方程变换为代数方程而使分析简化。 A ． 信号 1．求z 变换
定义：)(n x ↔∑∞
-∞
=-=
n n
z
n x z X )()(
收敛域：)(z X 是z 的函数，z 是复变量，有模和幅角。要其解析，则z 不能取让)(z X 无穷大的值，因此z 的取值有限制，它与)(n x 的种类一一对应。
✧ )(n x 为有限长序列，则)(z X 是z 的多项式，所以)(z X 在z=0或∞时可
能会有∞，所以z 的取值为：∞<✧ )(n x 为左边序列，-<✧ )(n x 为右边序列，∞<<+z R x ，z 能否取∞看具体情况（因果序列）； ✧ )(n x 为双边序列，-+<✧ 留数法
✧ 部分分式法（常用）：记住常用序列的)(z X ，注意左右序列区别。 ✧ 长除法：注意左右序列 3．z 变换的性质：
✧ 由)(n x 得到)(z X ，则由)()(z X z m n x m -↔-，移位性；
✧ 初值终值定理：求)()0(∞x x 和；
✧ 时域卷积和定理：)(*)()(n h n x n y =)()()(z H z X z Y =⇔； ✧ 复卷积定理：时域的乘积对应复频域的卷积； ✧ 帕塞瓦定理：能量守恒
⎰∑-
∞
-∞
==
π
ππdw e
X n x jw
n 2
2
)(21
)(
4．序列的傅里叶变换
公式：∑∞
-∞
=-=
n jwn
jw
e
n x e X )()(
1
()()2j j n x n X e e d π
ωωπ
ωπ
-
=
⎰
注意：)(jw e X 的特点：连续、周期性；)(jw e X 与)(z X 的关系 B ． 系统
由)()(z H n h ↔，系统函数，可以用来表征系统。
✧ )(z H 的求法：)()(z H n h ↔；)(z H =)(/)(z X z Y ； ✧ 利用)(z H 判断线性移不变系统的因果性和稳定性 ✧ 利用差分方程列出对应的代数方程
1
()()()N
M
k k k k y n a y n k b x n k ===-+-∑∑∑∑=-=--=⇒
N k k
k M
k k
k z a z
b z X z Y 1
01)
()
(
✧ 系统频率响应)(jw e H ：以2π为周期的ω的连续函数 ∑∞
-∞=-=
n jwn
jw
e
n h e H )()(
∑∞
-∞
=-=
n jwn
jw
e
n h e
H )()(，当)(n h 为实序列时，则有)(jw e H =)(*jw e H -
三、 频域分析
根据时间域和频域自变量的特征，有几种不同的傅里叶变换对 ✧ 时间连续，非周期↔频域连续（由时域的非周期造成），非周期（由时
域的连续造成）；
⎰∞
∞-Ω-=Ωdt e
t x j X t
j )()(
⎰
∞
∞
-ΩΩΩ=
d e j X t x t
j )(21)(π
✧ 时间连续，周期↔频域离散，非周期
⎰
-Ω-=
Ω2
/2
/0
0000)(1
)(T T t
jk dt e t x T jk X ∑ΩΩ=t jk e jk X t x 0)()(0
✧ 时间离散，非周期↔频域连续，周期 ∑∞
-∞
=-=
n jwn
jw
e
n x e X )()(
1
()()2j j n x n X e
e d π
ω
ωπωπ
-
=
⎰，T w Ω=（数字频率与模拟频率的关系式）
✧ 时间离散，周期↔频域离散，周期
∑∑-=-=-==10
10
2)(~)(~)(~N n kn N
N n kn N
j W n x e n x k X π
∑∑-=--===10
102)(~1)(~1)(~N n kn N
N n kn N
j W k X N e k X N n x π
✧ 本章重点是第四种傅里叶变换-----DFS
✧ 注意：
1）)(~
)(~
k X n x 和都是以N 为周期的周期序列； 2）尽管只是对有限项进行求和，但)(~
)(~k X n x 和的定义域都为（∞∞-,）；
例如：0=k 时，∑-==1
)(~
)0(~
N n n x X 1=k 时，∑-=-=10
2)(~)1(~
N n n N j e n x X π
N k =时，∑∑-=-=-==10
10
2)(~)(~)(~N n N n Nn N j n x e n x N X π
=)0(~X
1+=N k 时，)1(~)(~)1(~10
)1(2X e n x N X N n n N N j ==+∑-=+-π
