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第一章 数学建模概论§1.1数学与数学模型数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学.数和形是数学研究的最基本的对象，自然界无不可以用数和形以及它们的发展和变化形态及规律加以描述的，因此，数学是无时不在、无处不在的。
不回顾数学历史的辉煌，仅看当今，现代化的生产手段方便、快捷、高效，无一不包含数学的贡献，现代化的产品比比皆是、层出不穷，哪一件离得开数学的支撑? “科学技术是生产力”，而数学是生产力发展的基石和源泉.当今信息时代的一个重要特点是数学的应用向一切领域渗透，高科技与数学的关系日益密切，产生了许多与数学相接结合的新学科.如数学化学、数学生物学、数学地质学、数学社会学，等等.“信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争。
”“当今如此受到称颂的‘高科技’本质上是一种数学技术”.数学的产生和发展一直和数学模型（Mathematical Model ）紧密相联的.什么是数学模型呢？我们常见的模型有儿童玩具、人物塑像、作战沙盘、风洞中的飞机、地质图、地形图等等.模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.数学模型是为了一个特定目的，根据一个现实对象的内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构.三千多年前创立的欧几里德几何就是一个很好的数学模型.近代牛顿创立的万有引力定律、开普靳三大定律、爱因斯坦的狭义相对论等都是在当今科学技术的很多领域发挥着巨大作用的数学模型.从科学、工程、经济、管理等角度看，数学模型就是用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立的能近似刻画并“解决”实际问题的一个强有力的数学工具.数学模型具有预测、判别、解释三大作用，其中预测功能是数学模型价值的最重要的体现.为了说明这三大作用，下面举例如下.例1 谷神星的发现1764年,瑞士波奈特哲学家出版了《自然观察》一书，德国人提丢斯在读了该书后,从中总结出一个级数,用于表示太阳与当时已发现的六颗行星的距离.后来波德修改为如下“提丢斯--波德”定则:)234(101n R ⨯+⨯= 当5,4,2,1,0,10-分别取值n 时,从上述公式可以计算出太阳与水星、金星、地球、火星、木星和土星的近似距离分别为0.400292968、0.7、1.0、1.6、5.2、10.0个天文单位.人们很自然地思考为什么3=n 时没有行星对应？1801年元旦之夜，意大利人皮亚齐用望远镜发现了一颗光线暗弱的新天体.当时许多正在寻找新行星的天文学家们获此消息后异常兴奋,因为从该天体的运行特点分析,它可能是一颗新行星.遗憾的是皮亚齐由于生病,不得不中断了已进行六个星期的观察,当他痊愈后却搜遍苍穹也不见这颗星的踪影.为了重新找到这颗星星,德国年轻数学家高斯应用皮亚齐的观察资料、提丢斯--波德”定则和基于万有引力定律的轨道计算法，算出了这颗星星的轨道及太阳与它的平均距离，它的轨道在火星与木星之间.1802年1月1日夜间,人们根据数学家高斯的计算结果和预言终于又找到了这颗曾经跟丢了的后来被命名为谷神星的星星. 继谷神星发现之后,数学家们应用数学模型又计算预测出了海王星、冥王星的存在和位置，接着天文工作者才在天空中找到它们.从这个例子可见,数学模型的预测功能就是用数学模型的知识和规律预测未来发展,为人们的行为提高指导.例2 跑步问题如果某人在任何一个5 min 的时间区间内均不跑500m,试问他能否恰好用10 min 跑完1000m?有人认为用5min 跑慢一点、而用5min 跑快一点，因此他可以恰好用10min 跑完1000m ；也有人直观上感到在题目的要求下不可能用10min 跑1000m.如何判断这两种答案哪个正确呢？我们可以建立数学模型来解决这一问题.设[]t ,0内跑过的距离为)(t s ,显然)(t s 是时间t 的广义单调增加的连续函数,且0)0(=s ,如果假设恰好用10min 跑完1000m,那么1000)10(=s .构造连续函数500)()5()(--+=t s t s t f ,易知)5(500)5(,500)5()0(s f s f -=-=,因此0))5(500()5()0(2≤--=⋅s f f .如果0)5()0(=⋅f f ,那么0)5(0)0(==f f 或,恒有500)5(=s ,这与条件“在任何一个5 min 的时间区间内均不跑500m ”矛盾. 如果0)5()0(<⋅f f ,根据连续函数的零点定理,必存在)5,0(0∈t ,使0)(0=t f ,即500)()5(00=-+t s t s ,这表明从时刻0t 开始到时刻50+t 为止的5min 内跑了500m,故仍然与题目中的条件相悖.所以, 在题目的要求下不可能用10min 跑1000m.从上述例子可知, 数学模型的判断功能就是用数学模型来判断原来知识、认识的可靠性.例3 随机事件的频率稳定性在概率论发展的早期，人们发现，虽然个别随机事件在某次试验中可以出现也可以不出现，但是在大量重复试验中却呈现出明显的规律性，即某个随机事件出现的频率在某个范围内摆动称之为“频率稳定性”.这是什么原因呢？曾经很长一段时期未得到理论上的解释.历史上，贝努里（Bernoulli ）第一个研究了这个问题.他提出了一种“在同样条件下进行重复试验或观察”的数学模型—-贝努里概型.在贝努里试验中，若以n μ记n 次试验中事件A 出现的次数，则n n μ便是A 出现的频率，所谓频率稳定性无非是指当n 增大时，频率n nμ接近于某个固定的常数.这个固定的常数就是事件A 在一次试验中发生的概率p .当时已经知道，n μ是随机变量，它服从二项分布{}n i p q q p C k P k n k k n n ,,1,0,1, =-===-μ其数学期望np E n =μ，方差npq D n =μ.这在一定程度上帮助贝努里进一步认识了频率n n μ的性质.但是他更需要认识的是n 非常大时n μ或n n μ的性质.显然，当n 很大时，n μ一般也会很大，故研究n μ不太方便，还是直接研究n n μ为宜.因为npq n D p n E nn==μμ,,所以当∞→n 时,频率的数学期望不变,而方差则趋于0.他知道方差为0的随机变量一定是常数,于是自然预期频率应该趋于常数p .但是频率n nμ是随机变量,关于它的极限又将如何提法呢?经过艰苦的努力, 贝努里在1713年发表的一篇论文中(这是概率论的第一篇论文!)提出并证明了贝努里大数定律:对任意的0>ε,都有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εμp n P n n 这是一大类概率论极限定理—大数定律中的第一个.贝努里概型与贝努里大数定律从理论上完全解释了“频率稳定性”问题.该例说明了数学模型的解释功能就是用数学模型说明事物发生的原因.§1.2 数学建模实际问题的，因此,如何建立合理有效的这就是数学建模（Mathematical Modeling ）问题.下面先举一个简单的数学建模例子——“鸡兔同笼问题”.一户农家的鸡兔同笼，鸡兔的头共有8个，鸡兔的腿共有26只，问鸡、兔各有多少只?鸡兔同笼问题建立数学模型的基本步骤为:(1).做出假设:按正常情况考虑，鸡长1只头2条腿，兔长1只头4条腿.(2).用符号表示有关量:用x 表示鸡的个数，y 表示兔的个数.(3).用初等代数，列出数学式子（二元一次方程）:(4).求解得到数学解答:x =3, y =5.(5).回答原问题: 该农家的笼中有3只鸡、5只兔.一般来说，数学建模是指为了构建数学模型而进行的准备、假设、建立、求解、分析、检验和应用的全过程.显然，几乎一切科学研究都与数学建模紧密相联的，首先研究和建立模型，然后才在实际系统上实现。
1 绪论
•代谢（metabolism）是维持生命各种活动（如生长、繁殖和运动等）过程中化学变化（包括物质合成、转化和分解）的总称
1.1 植物次生代谢及其产物的概念
•按性质分——物质代谢和能量代谢
•按方向分——同化或合成；异化或分解（catabolism）
1.1 植物次生代谢及其产物的概念
•光合作用
•呼吸作用
糖酵解
三羧酸循环
•初生代谢（primary metabolism），指维持基本生命活动（如生长、繁殖和运动等）所必需的各种物质的代谢过程
•这些物质称为初生代谢产物(primary metabolite)，如糖类、蛋白质（氨基酸）、脂类、DNA、RNA等
•几乎在所有的生物体中，这些物质都存在，而且代谢途径都是相同的
•次生代谢（secondary metabolism）是相对于初生代谢而言的，这个概念最早是由Kössel于1891年明确提出的
•植物次生代谢是指那些由植物体内有机化合物的主要代谢途径（初生代谢）衍生而来，最终合成一些具有种、属特异性的有机化合物的代谢过程。
这些化合物称为次生代谢产物，在植物界中不是普遍存在的
•次生代谢产物（secondary metabolites），也称次生产物（secondary products）、次生物质（secondary substances），早期是指植物中一大类对于细胞生命活动或植物生长发育正常进行并非必需的小分子有机化合物，最初发现时甚至认为是“废物”
•次生代谢产物不直接参与植物的生长和发育过程，特征性地存在于植物界少数类群中，影响植物和环境间的相互作用
•天然产物（natural product）
一般是指那些为某一种生物特有或少数几种亲缘关系相近的生物所共有的、天然来源的有机化合物。
主要指植物包括微生物的次生代谢产物，少部分是动物的次生代谢产物。
•植保素（phytoalexin）
一些植物在受到病原微生物侵染后，产生并积累小分子抗生物质，用以增强自身的抵抗力。
这样的次生代谢产物称为植保素。
很多萜类、生物碱和异黄酮成分都是植保素。
•化感物质（allelochemical ）
植物通过向环境释放某些化学物质而实现与同种或他种植物之间的化学相互作用，这种作用称为化感作用，这些化学物质称化感物质。
化感物质都是植物的次生代谢产物，但并非所有次生代谢产物都是化感物质。
很多萜类、酚酸、氰苷都是化感物质。
1.2 植物次生代谢产物的分类
•已知的次生代谢产物在十万种以上，而且每年至少有4000个新的产物被报道
•植物次生代谢产物的种类非常繁多：
酚类、醌类、黄酮类、香豆素、木质素、环氧化物、生物碱、喹啉、糖甙、吲哚、大环内脂、萘、核苷、吩嗪、吡咯、萜类、甾类、皂甙、多肽类、多烯类、多炔类、有机酸等
•根据结构特征和生理作用也可将次生代谢产物分为抗生素、植保素、激素、维生素、色素、毒素等不同类型•次生代谢产物的化学结构差异很大，一般可归为萜类化合物、酚类化合物、含氮化合物三大类
萜类化合物（terpenoids）
•萜类或类萜在植物界中广泛存在，由异戊二烯组成，有链状的，也有环状的，一般不溶于水
•萜类种类依异戊二烯数目而定，有单萜、倍半萜、双萜、三萜、四萜和多萜之分
酚类化合物（phenol）
•酚类是芳香族环上的氢原子被羟基或功能衍生物取代后生成的化合物，种类繁多。
有些只溶于有机溶剂，有些是水溶性羧酸和糖苷，有些是不溶的大分子多聚体
•功能上，有决定花、果颜色的花色素和橙皮素，有构成次生壁重要组成的木质素，也有作为药物的芸香苷（路丁）、肉桂酸和肉桂醇等
含氮化合物（nitrogen-containing）
•植物次生代谢产物中有许多是含氮的，大多数含氮产物是从普通的氨基酸合成的
•生物碱、含氰苷、芥子油苷、非蛋白氨基酸等
•含氮化合物多具有防御功能
生物碱（alkaloid）
•生物碱是一类含氮杂环化合物，通常有一个含氮杂环，其碱性即来自此环
•目前已发现含有生物碱的植物将近100多个科，同一科植物中常含多种结构相似的生物碱
•植物器官中的生物碱含量一般在万分之几到百分之一二，象金鸡纳树皮那样含奎宁碱12%是极少的
含氰苷（cyanogenic glycoside）
•含氰苷广泛分布于植物界，以豆类、禾谷类和玫瑰一些种类最多
•含氰苷本身无毒，但植物破碎后释放挥发性的氰化氢(HCN)。
含氰苷——液泡，糖苷酶——细胞质
芥子油苷(glucosinolate，mustard oil glycoside)
•芥子油苷存在于十字花科，甘蓝、萝卜、花椰菜等就有它的味道
•完整植物中，芥子油苷和分解它的硫葡糖苷酶是分开的，破碎后产生芥子味
非蛋白氨基酸(nonprotein amino acid)
•非蛋白氨基酸是植物中不掺入蛋白质的氨基酸，结构与普通氨基酸非常类似，如刀豆氨酸-精氨酸，铃兰氨酸-脯氨酸
•有些非蛋白氨基酸阻止蛋白氨基酸的合成或吸收，有些错误地被掺入到蛋白质
其他次生代谢产物
•除以上三大类外，植物还产生多炔类、有机酸、香豆素类等次生代谢物质
•多炔是植物体内发现的天然炔类，主要分布于菊科及伞形科植物，现已发现1000种左右
•有机酸广泛分布于植物各部位，一些有机酸如茉莉酸在植物信号传递中起重要作用
•香豆素普遍存在于伞形科、豆科、茄科、菊科和芸香科植物中，主要以糖苷形式存在，具化感作用
1.3 植物初生代谢与次生代谢的关系
初生代谢是生命活动的基础，是有机物代谢的主干，主要包括卡尔文循环、糖酵解、三羧酸循环和戊糖磷酸途径
•光合作用形成蔗糖和淀粉，呼吸作用分解糖类，产生各种中间产物，进一步为脂肪、核酸和蛋白质的合成提供底物
•次生代谢由初生代谢衍生而来，初生代谢的中间产物形成分支，产生次生代谢产物，次生代谢产物是代谢的最终产物，除极少数外，大部分不再参与代谢活动
•初生代谢与次生代谢之间没有明确的界限
1.4 植物次生代谢的特点
1.4.1 植物的次生代谢具有种、属特异性
次生代谢及其产物不是在植物界普遍存在，一些代谢途径及产物往往是一类植物（属、科）甚至一种植物特有的
吗啡（morphine）仅存在于罂粟属植物的两个种，罂粟（Papaver somniferum）和刚毛罂粟（Papaver setigerum）
烟草：红花烟草黄花烟草
同一种或一类次生代谢产物在植物体内也不是普遍存在，而是限制于一些特定的器官、组织或细胞中
1.4.2 植物的次生代谢具有器官、组织特异性
烟草和莨菪的生物碱主要在根部合成，然后运输到叶肉细胞中储存
金鸡纳树的奎宁、奎宁丁只存在于树皮
番红花（Crocus sativus）的色素成分主要存在于花柱、柱头
罂粟和长春花的生物碱储存在乳汁管或特化的薄壁组织细胞中
1.4.3 植物的次生代谢具有发育时期特异性
某些次生代谢过程只在特定的发育时期才进行，产生特定的次生代谢产物
辣椒中的辣椒素只有在生殖生长的后期才能在果皮中合成并积累
1.4.4 植物的次生代谢显著受环境影响
一些环境因子（生物的、非生物的）会诱发、促进或抑制某些次生代谢产物的产生
1.4.5 植物的次生代谢过程复杂而多变
A、相同的产物可以来源于不同的次生代谢过程，不同的产物也可来源于相近或相类的次生代谢过程
吲哚乙酸的生物合成目前就认为可能有四种不同的途径：a. 吲哚丙酮酸途径，b. 吲哚乙醛肟途径，c. 色胺途径，d. 区别于以上三种途径的非色氨酸途径
许多次生代谢产物都来源于莽草酸途径
B、许多次生代谢产物的生物合成是由不同的中间产物缩合形成的，而这些中间产物又往往来源于不同的次生代谢途径
C、同时，另一些次生代谢产物的合成则是在形成母体次生代谢产物的基础上经过脱氢、甲基化、氧化等加成反应而形成一系列结构性质极为相似的同类化合物
1.5 植物次生代谢的研究意义
1.5.1 有利于更全面而深刻地认识植物生命的现象与本质
☆由初生代谢到次生代谢
1642年，比利时科学家Helmont的柳树实验
1770年，英国牧师Priestley的钟罩实验
☆植物间的化学通讯
1983年，糖槭树(Rhoades)、杨树和柳树(Baldwin)/机械损伤或昆虫侵害/不仅自身，邻近树木也会产生酚类物质(水解单宁等)
1990年，Farmer & Ryan，山艾树折枝与番茄放在一起/番茄产生抵御伤害的蛋白酶抑制剂/茉莉酸甲酯
关于茉莉酸/茉莉酸甲酯(极低浓度，ng级) 山艾树
烟草生长/转基因烟草/乙烯
其他信号分子，如水杨酸甲酯等
土壤载体的化学通讯，独脚金/ 氢醌→醌类
1.5.2 有利于更深刻地理解植物与环境的关系
☆化感作用
日本红松（Pinus densiflora）林旁不能种植庄稼
《齐民要术》“慎勿于大豆地中杂种芝麻，扇地两损，而收菲薄”
美国南加州灌木、草本植物共生草原
作物的连作障碍
☆与动物（昆虫）的关系
美国滤纸培养的红椿（Pyrrocoris apteris）虫子无法长大/枞树（Ayies balsamea）；有毒植物
1.5.3 有利于更有效地而且可持续地利用植物资源
☆认识、开发新的可利用植物资源
☆通过生物技术，实现可持续利用
次生代谢生物
•微生物：主要研究病原微生物和产生抗生素的微生物的次生代谢如：细菌、放线菌、真菌
•植物：
•动物：主要研究动物所产生的毒素和多酮类；蛇蝎蜂蜘蛛。
