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矩阵位移法练习题一、判断题1-1、不计轴向变形，图示（a）（b）梁整体刚度矩阵阶数相同，对应元素不同。
1-2、图示四单元的l,EI,EA相同，它们整体坐标系下的单元刚度矩阵各不相同。
1-3、矩阵位移法基本未知量的数目与位移法基本未知量的数目总是相等的。
1-4、一般单元的单元刚度矩阵一定是奇异矩阵，而特殊单元的单元刚度矩阵一定是非奇异矩阵。
1-5、如特殊单元是几何不变体系，其单元刚度矩阵一定是非奇异矩阵。
1-6、由一般单元的单元刚度方程： ,任给，并且为一平衡力系，有唯一解。
1-7、由一般单元的单元刚度方程： ,任给，有唯一解，并且为一平衡力系。
1-8、原荷载与对应的等效结点荷载产生相同的内力和变形。
1-9、在忽略轴向变形时，由单元刚度方程求出的杆端轴力为零。
应根据节点平衡由剪力求轴力。
1-10、如单元定位向量中的元素λi=0，说明该单元第 i 个杆端位移分量对应刚性支座。
二、单项选择题2-1 忽略轴向变形，用先处理法，单元①的定位向量是2-2、在图示约束情况下，单元①的单元刚度矩阵[k]=（）（ A ）2-3、图示结构单元固端弯矩列阵为，则等效结点荷载为（C ）2-4、将单元刚度矩阵分块，下列论述错误的是A 是对称矩阵B 不是对称矩阵C D2-5、在矩阵位移法中，基本未知量的确定与哪些因素无关？A 坐标系的选择B 单元如何划分C 是否考虑轴向变形D 如何编写计算机程序2-6、图示体系，忽略轴向变形，则矩阵位移法的基本未知量有几个?A 2B 3C 4D 72-7、不计轴向变形，图示（a ）（b ）梁整体刚度矩阵有何不同？A 阶数不同B 阶数相同，对应元素不同C 阶数相同，对应元素也相同D 阶数相同，仅元素k22不同2-8、不计轴向变形，图示（a ）（b ）梁整体刚度矩阵A 阶数相同，对应元素不同B 阶数相同，对应元素相同C 阶数不同，对应元素不同D 阶数不同，对应元素相同2-9、由一般单元的单元刚度方程： ,任给A 可唯一的求出，并且为一平衡力系。
第9章矩阵位移法典型题1. 用矩阵位移法计算图9.1a连续梁，并画M图，EI＝常数。
图9.6解：（1）建立坐标系，对单元和结点编号如图9.6b，单元刚度矩阵单元定位向量λ①＝(01)T，λ②＝(12)T，λ③＝(20)T（2）将各单元刚度矩阵中的元素按单元定位向量在K中对号入座，得整体刚度矩阵（3）连续梁的等效结点荷栽（4）将整体刚度矩阵K和等效结点荷载P代人基本方程（5）求杆端力并绘制弯矩图（图9.6c）。
2. 图9.2a结构，荷载只在（1），（3）杆上作用，已知（1），（3）杆在局部坐标系（杆件箭头方向）中的单元刚度矩阵均为（长度单位为m，角度单位为rad，力单位为kN）杆件（2）的轴向刚度为EA＝1.5×l06kN，试形成结构的整体刚度矩阵。
图9.2解：（1）结构的结点位移编号及局部坐标方向（杆件箭头方向）见图9.1b。
（2）单元（1），（3）的局部与整体坐标方向一致，故其在整体坐标系中的单元刚度矩阵与局部坐标系中的相同。
（3）桁架单元（2）的刚度矩阵桁架单元只有轴向的杆端力和杆瑞位移，（3）定位向量单元（1）：单元（2）：单元（3）：（4）整体刚度矩阵=3. 求图9.3a结构整体刚度矩阵。
各标EI相同，不考轴向变形。
图9.3解：（1）单元结点编号（图9.8b）（2）单元的定位向量（0051）T（0054）T（5354）T（5200）T （3）单元刚度矩阵（4）整体刚度矩阵第10章结构动力计算典型题1. 判断图10.1自由度的数量。
图10.12. 列出图10.2a结构的振动方程，并求出自振频率。
EI＝常数。
图1解：挠度系数：质点m的水平位移y为由惯性力和动荷载共同作用引起：。
自振频率：3. 图10.3a简单桁架，在跨中的结点上有集中质量m。
若不考虑桁架自重，并假定各杆的EA相同，试求自振频率。
图10.3分析：结构对称，质量分布对称，所以质点m无水平位移，只有竖向位移，为单自由度体系。
第1章 绪论（无习题）第2章 平面体系的几何组成分析习题解答习题2.1 是非判断题(1) 若平面体系的实际自由度为零，则该体系一定为几何不变体系。
( )(2) 若平面体系的计算自由度W =0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。
( ) (3) 若平面体系的计算自由度W ＜0，则该体系为有多余约束的几何不变体系。
( ) (4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。
( )(5) 习题2.1(5) 图所示体系去掉二元体CEF 后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。
( )B DACEF习题 2.1(5)图(6) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC 后，成为习题2.1(6) (b)图，故原体系是几何可变体系。
( )(7) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF 后，成为习题2.1(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。
()(a)(b)(c)AEBFCD习题 2.1(6)图【解】（1）正确。
（2）错误。
0W 是使体系成为几何不变的必要条件而非充分条件。
（3）错误。
（4）错误。
只有当三个铰不共线时，该题的结论才是正确的。
（5）错误。
CEF 不是二元体。
（6）错误。
ABC 不是二元体。
（7）错误。
EDF 不是二元体。
习题2.2 填空(1) 习题2.2(1)图所示体系为_________体系。
习题2.2(1)图(2) 习题2.2(2)图所示体系为__________体系。
习题2-2(2)图(3) 习题 2.2(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。
习题2.2(3)图(4) 习题2.2(4)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题2.2(4)图(5) 习题2.2(5)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题2.2(5)图(6) 习题2.2(6)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
第1章 绪论（无习题）第2章 平面体系的几何组成分析习题解答习题2.1 是非判断题(1) 若平面体系的实际自由度为零，则该体系一定为几何不变体系。
( )(2) 若平面体系的计算自由度W =0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。
( ) (3) 若平面体系的计算自由度W ＜0，则该体系为有多余约束的几何不变体系。
( ) (4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。
( )(5) 习题2.1(5) 图所示体系去掉二元体CEF 后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。
( )B DACEF习题 2.1(5)图(6) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC 后，成为习题2.1(6) (b)图，故原体系是几何可变体系。
( )(7) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF 后，成为习题2.1(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。
()(a)(b)(c)AEBFCD习题 2.1(6)图【解】（1）正确。
（2）错误。
0W 是使体系成为几何不变的必要条件而非充分条件。
（3）错误。
（4）错误。
只有当三个铰不共线时，该题的结论才是正确的。
（5）错误。
CEF 不是二元体。
（6）错误。
ABC 不是二元体。
（7）错误。
EDF 不是二元体。
习题2.2 填空(1) 习题2.2(1)图所示体系为_________体系。
习题2.2(1)图(2) 习题2.2(2)图所示体系为__________体系。
习题2-2(2)图(3) 习题 2.2(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。
习题2.2(3)图(4) 习题2.2(4)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题2.2(4)图(5) 习题2.2(5)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题2.2(5)图(6) 习题2.2(6)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
第9章 矩阵位移法习题解答习题9.1 是非判断题（1）矩阵位移法既可计算超静定结构，又可以计算静定结构。
（ ）（2）矩阵位移法基本未知量的数目与位移法基本未知量的数目总是相等的。
（ ） （3）单元刚度矩阵都具有对称性和奇异性。
（ ）（4）在矩阵位移法中，整体分析的实质是建立各结点的平衡方程。
（ ） （5）结构刚度矩阵与单元的编号方式有关。
（ ）（6）原荷载与对应的等效结点荷载使结构产生相同的内力和变形。
（ ） 【解】（1）正确。
（2）错误。
位移法中某些不独立的杆端位移不计入基本未知量。
（3）错误。
不计结点线位移的连续梁单元的单刚不具奇异性。
（4）正确。
（5）错误。
结点位移分量统一编码会影响结构刚度矩阵，但单元或结点编码则不会。
（6）错误。
二者只产生相同的结点位移。
习题9.2 填空题（1）矩阵位移法分析包含三个基本环节，其一是结构的________，其二是________分析，其三是________分析。
（2）已知某单元○e 的定位向量为[3 5 6 7 8 9]T ，则单元刚度系数35ek 应叠加到结构刚度矩阵的元素____中去。
（3）将非结点荷载转换为等效结点荷载，等效的原则是________________。
（4）矩阵位移法中，在求解结点位移之前，主要工作是形成________________矩阵和________________列阵。
（5）用矩阵位移法求得某结构结点2的位移为T 2222[]u v θ=Δ=[0.8 0.3 0.5]T ，单元①的始、末端结点码为3、2，单元定位向量为(1)T [000345]=λ，设单元与x 轴之间的夹角为π2α=，则(1)=δ________________。
（6）用矩阵位移法求得平面刚架某单元在单元坐标系中的杆端力为T [7.54870.97.548121.09]e =----F ，则该单元的轴力F N =______kN 。
【解】（1）离散化，单元，整体； （2）k 68；（3）结点位移相等；（4）结构刚度，综合结点荷载； （5）[0 0 0 0.3 -0.8 0.5]T ； （6）-7.5。
习题9.3 根据单元刚度矩阵元素的物理意义，直接求出习题9.3图所示刚架的(1)K 中元素(1)11k 、(1)23k 、(1)35k 的值以及(1)K 中元素(1)11k 、(1)23k 、(1)35k 的值。
习题9.3图【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.3图所示。
因此，各刚度系数的值为(1)11/k EA l =，(1)2236/k EI l =，(1)2356/k EI l =-；(1)31112/k EI l =，(1)230k =，(1)350k =。
11k (a)的物理意义(1)的物理意义(1)(b)23k 的物理意义(c)35k (1)k 的物理意义(1)(d)11k 的物理意义(e)23k (1)(1)(f)35k 的物理意义(1)习题解9.3图习题9.4 根据结构刚度矩阵元素的物理意义，直接求出习题9.4图所示刚架结构刚度矩阵中的元素11k 、21k 、32k 的值。
各杆E 、A 、I 相同。
习题9.4图【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.4图所示。
因此，各刚度系数的值为113122EI EA k l l =+，210k =，32234EIk l=。
和11(a)k 的物理意义21k 32k (b)的物理意义习题解9.4图习题9.5 用简图表示习题9.5图所示刚架的单元刚度矩阵(1)K 中元素(1)23k ，(2)K 中元素(2)44k 的物理意义。
习题9.5图【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.5图所示。
的物理意义(a)23k (1)F Q2(1)(2)44(b)k 的物理意义习题解9.5图习题9.6 习题9.6图所示刚架各单元杆长为l ，EA 、EI 为常数。
根据单元刚度矩阵元素的物理意义，写出单元刚度矩阵(1)K 、(2)K 的第3列和第5列元素。
习题9.6图【解】各列刚度系数的物理意义如习题解9.6图所示。
因而(1)K 中第3列元素：T22646200EI EIEI EI l l ll ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (1)K 中第5列元素：T323212612600EI EIEI EI l l l l ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦(2)K中第3列元素：T2264620EIEI EI EI ll ll ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)K中第5列元素：T0000EA EA l l ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(a)第3列元素的物理意义K(1)(1)第5列元素的物理意义(b)(1)K第5列元素的物理意义第3列元素的物理意义(c)K(2)(d)(2)K习题解9.6图习题9.7 用先处理法，对习题9.7图所示结构进行单元编号、结点编号和结点位移分量编码，并写出各单元的定位向量。
习题9.7图【解】离散化结果如习题解9.7图所示。
因而，各单元定位向量为[]T (1)100234=λ，[]T(3)567009=λ []T(2)234567=λ，[]T(4)568000=λ。
习题解9.7图本题可有多种离散化方法，因此上述答案不是唯一的正确答案。
习题9.8 用先处理法形成习题9.8图所示结构的综合结点荷载列阵。
习题9.8图【解】离散化如习题解9.8图所示。
习题解9.8图非结点荷载引起的单元固端力为[]T (2)P 01280128=---F ，[]T(3)P 09 4.509 4.5=---F各单元的等效结点荷载列阵为[](2)T(2)T(2)(2)EPP34567801280128→=-=-=-PT FFλ[](3)T(3)T (3)(3)E P P 6780909 4.509 4.5→=-=-=-P T F F λ集成为结构的等效结点荷载列阵[]TE 000128021 3.59=-P直接结点荷载列阵为[]TJ 050400000=-P综合结点荷载列阵为[]TJ E 050168021 3.59=+=--P P P习题9.9 用先处理法求习题9.9图所示连续梁的结构刚度矩阵和结构的综合结点荷载列阵。
已知：42=2.410kN m EI ⨯⋅。
习题9.9图【解】离散化如习题解9.9图所示。
本题无需坐标转换。
习题解9.9图先求结构刚度矩阵。
各单元的单刚为(1)1211/211/212EI⎡⎤=⎢⎥⎣⎦K，(2)232/31/321/32/33EI⎡⎤=⎢⎥⎣⎦K，(3)344/52/532/54/54EI⎡⎤=⎢⎥⎣⎦K集成即可得到结构刚度矩阵411/200 2.4 1.20.00.05/31/30 4.00.80.01022/152/5 3.520.964/5 1.92EI⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对对称称K再求综合结点荷载列阵。
非结点荷载作用单元的等效结点荷载列阵为[]T(2)E2310.6710.67=-P，[]T(3)E3412.512.5=-P集成为结构的等效结点荷载列阵[]TE010.67 1.8312.5=P综合结点荷载列阵为[][]TJ E E5000510.67 1.8312.5=+=+=P P P P习题9.10用先处理法求习题9.10图所示结构刚度矩阵。
忽略杆件的轴向变形。
各杆52=510kN mEI⨯⋅。
习题9.10图【解】离散化如习题解9.10图所示。
因为不计各杆轴向变形，所以本题只涉及转角位移未知量，无需坐标转换。
各单元的单刚为(1)124/52/512/54/52EI⎡⎤=⎢⎥⎣⎦K，(2)234/52/522/54/53EI⎡⎤=⎢⎥⎣⎦K，(3)2011/221/210EI⎡⎤=⎢⎥⎣⎦K，(4)3011/231/210EI⎡⎤=⎢⎥⎣⎦K集成即可得到结构刚度矩阵54/52/504202/513/52/51013202/59/59EI ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦202K习题解9.10图习题9.11 用先处理法建立习题9.11图所示结构的矩阵位移法方程。
已知：各杆5=410kN EA ⨯，42=510kN m EI ⨯⋅。
习题9.11图【解】1）离散化如习题解9.11(a)图所示。
(a) 离散化(b) 附加约束上的反力习题解9.11图2）计算结构刚度矩阵 各单元单刚分别为：单元①(1)(1)40123413.330013.330000 2.222 3.3330 2.222 3.33310 3.333 6.6670 3.333 3.33301013.330013.330020 2.222 3.3330 2.222 3.33330 3.333 3.3330 3.333 6.6674-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-==⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥-⎢⎥⎣⎦K K 单元②(2)(2)423450610.000010.0000200.9375 1.87500.9375 1.87530 1.875 5.0000 1.875 2.50041010.000010.0000500.9375 1.87500.9375 1.87500 1.875 2.5000 1.875 5.0006-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-==⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥-⎢⎥⎣⎦K K 单元③(3)T (3)42340.93750 1.8750.93750 1.8752010.000010.00031.8750 5.000 1.8750 2.5004100.93750 1.8750.93750 1.8750010.000010.00001.8750 2.500 1.8750 5.0000---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-==⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦K T K T 集成为总刚4 2.2220 2.222 3.33300024.270 1.87510.0002.222013.16 1.4580 1.87510 3.333 1.875 1.45816.670 2.500010.000010.00000 1.875 2.5000 5.000-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦K 2）计算综合结点荷载列阵除可以按照习题9.8的方法计算外，还可以直接根据其物理意义形成综合结点荷载列阵。
具体做法如下：将原结构上各结点位移未知量利用附加约束限制住后，施以原结构所受荷载。
这一过程可理解成在矩阵位移法（先处理法）的基本结构上，作用外荷载，形成如习题解9.11(b)图所示的矩阵位移法基本体系。
由此，可得各附加约束上的反力为[][]T TP P1P2P3P4P5P6801812012F F F F F F ==---F因此，综合结点荷载列阵为[]TP 801812012=-=-P F3）列出结构刚度方程K ∆=P122423382.22202.2223.33300024.270 1.87510.0001813.16 1.45801.875101216.6702.500010.000125.000u u ννθθ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦对称 习题9.12 用先处理法计算习题9.12图所示刚架的结构刚度矩阵。
