浙江省五校2014届高三第一次联考数学文试题 Word版含答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年浙江，文1，5分】设集合{|2}S x x =≥，}5|{≤=x x T ，则S T = （ ）（A ）]5,(-∞ （B ）),2[+∞ （C ）)5,2( （D ）]5,2[【答案】D【解析】依题意[2,5]S T = ，故选D ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．（2）【2014年浙江，文2，5分】设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC BD ⊥”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”那么菱形的对角线垂直，即“四边形ABCD 为菱形”⇒“AC BD ⊥”，但是“AC BD ⊥”推不出“四边形ABCD 为菱形”，例如对角线垂直的等腰梯形，或筝形四边形；∴四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC BD ⊥”的充分不不要条件，故选A ．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．（3）【2014年浙江，文3，5分】某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体 积是（ ）（A ）723cm （B ）903cm （C ）1083cm （D ）1383cm【答案】B【解析】由三视图可知：原几何体是由长方体与一个三棱柱组成，长方体的长宽高分别是：6，4，3；三棱柱的底面直角三角形的直角边长是4，3；高是3；其几何体的体积为：2134634390()2V cm =⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选B ． 【点评】本题考查三视图还原几何体，几何体的体积的求法，容易题．（4）【2014年浙江，文4，5分】为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图像，可以将函数y x 的图像（ ）（A ）向右平移12π个单位 （B ）向右平移4π个单位 （C ）向左平移12π个单位 （D ）向左平移4π个单位 【答案】A【解析】因为sin3cos3)4y x x x π=+=+，所以将函数32y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位得函数3()31224y x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，即得函数sin 3cos3y x x =+的图象，故选A ． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．（5）【2014年浙江，文5，5分】已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）（A ）2- （B ）4- （C ）6- （D ）8-【答案】B 【解析】由22220x y x y a ++-+=配方得22(1)(1)2x y a ++-=-，所以圆心坐标为(1,1)-，半径22r a =-，由圆心到直线20x y ++=由弦长公式可得224a -=+，解得4a =-，故选B ．（6）【2014年浙江，文6，5分】设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）（A ）m n ⊥，//n α，则m α⊥ （B ）若//m β，βα⊥，则m α⊥（C ）若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥ （D ）若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥【答案】C【解析】对A ，若m n ⊥，//n α，则m α⊂或//m α或m α⊥，错误；对B ，若//m β，βα⊥，则m α⊂或//m α或m α⊥，错误；对C ，若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥，正确；对D ，若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥或m α⊂或//m α，错误，故选C ．【点评】本题主要考查空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．（7）【2014年浙江，文7，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++ ，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤（ ）（A ）3c ≤ （B ）36c <≤ （C ）69c <≤ （D ）9c >【答案】C【解析】由(1)(2)(3)f f f -=-=-得184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩， 所以32()611f x x x x c =+++，由0(1)3f <-≤，得016113c <-+-+≤，即69c <≤，故选C ．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．（8）【2014年浙江，文8，5分】在同一直角坐标系中，函数()(0)a f x x x =>，()log a g x x =的图像可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】D【解析】函数()(0)a f x x x =≥，()log a g x x =分别的幂函数与对数函数答案A 中没有幂函数的图像, 不符合；答案B 中，()(0)a f x x x =≥中1a >，()log a g x x =中01a <<，不符合；答案C 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中1a >，不符合；答案D 中，()(0)a f x x x =≥中01a <<，()log a g x x =中01a <<，符合，故选D ．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．（9）【2014年浙江，文9，5分】设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，||t +b a 的最小值为1（ ）（A ）若θ确定，则||a 唯一确定 （B ）若θ确定，则||b 唯一确定（C ）若||a 确定，则θ唯一确定 （D ）若||b 确定，则θ唯一确定【答案】B【解析】由题意可得()2222t t t t +=+⋅+b a a a b b ，令()222t g t t t =+⋅+a a b b ，可得()22222222444cos 40θ∆=⋅-=-<a b a b a b a b ，由二次函数的性质可知()0g t >恒成立， ∴当22cos 2t θ⋅=-=-b a b a a 时，()g t 取最小值1．即22222cos cos sin 1g θθθ⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭b b b b a ， 故当θ唯一确定时，b 唯一确定，故选B ． 【点评】本题考查平面向量数量级的运算，涉及二次函数的最值，属中档题．（10）【2014年浙江，文10，5分】如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)．若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=︒，则tan θ的最大值是（ ）（A （B （C （D 【答案】D分析知，当tan θ取得最大时，即θ最大，最大值即为平面ACM 与地面ABC所成的锐二面角的度量值，如图，过B 在面B C M 内作B D B C ⊥交CM 于D ，过B 作BH AC ⊥于H ，连DH ，则BHD ∠即为平面ACM 与地面ABC 所成的二面角的平面角，tan θ的最大值即为tan BHD ∠，在R t A B C ∆中，第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． （11）【2014年浙江，文11，5分】设已知i 是虚数单位，计算21i (1i)-=+ ． 【答案】11i 22-- 【解析】因为21i 1i 1i 11i (1i)2i 222--+===--+-． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题．（12）【2014年浙江，文12，5分】若x 、y 满足和240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则x y +的取值范围是 ． 【答案】[1,3]【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）．设z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点()1,0A 时，直线y x z =-+的截距最小，此时z 最小，为101z =+=，当直线y x z =-+经过点B ）时，直线y x z =-+的截距最大，此时z 最大，由24010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即()2,1B 代入目标函数z x y =+ 得123z =+=．故13z ≤≤．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．（13）【2014年浙江，文13，5分】若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是 ．【答案】6【解析】第一次运行结果1,2S i ==；第二次运行结果4,3S i ==；第三次运行结果11,4S i ==；第四次运行结果26,5S i ==；第五次运行结果57,6S i ==；此时5750S =>，∴输出6i =．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．（14）【2014年浙江，文14，5分】在三张奖劵中有一、二等各一张，另有一张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖的概率为 ．【答案】13【解析】基本事件的总数是3216⨯⨯=，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖只有2种情况，由古典概型公式知，所求的概率2163p ==． 【点评】本题主要考查了古典概型的概率的公式的应用，关键是不重不漏的列出所有的基本事件．（15）【2014年浙江，文15，5分】设函数2222,0(),0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若(())2f f a =，则a = ．【解析】设()t f a =，则()2f t =，若0t >，则()22f t t =-=，此时不成立，若0t ≤，由()2f t =得，2222t t ++=，即220t t +=，解得0t =或2t =-，即()0f a =或()2f a =-，若0a >，则()20f a a =-=，此时不成立，或()22f a a =-=-，即22a =，解得a =0a ≤，由()0f a =得，2220a a ++=，此时无解， 由()2f a =-得，2240a a ++=，此时无解，综上：a【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用换元法分别进行讨论即可．（16）【2014年浙江，文16，5分】已知实数a 、b 、c 满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则a 的最大值为为 ．【解析】∵0a b c ++=，2221a b c ++=，∴b c a +=-，2221b c a +=-， ∴()()()22221112222bc bc b c b c a ⎡⎤=⋅=+-+=-⎣⎦，∴b 、c 是方程：2210x ax a ++-=的两个实数根， ∴0∆≥，∴221402a a ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，即223a ≤，∴a ≤≤，即a 【点评】本题考查了函数最值问题，解决本题的关键是利用根的判别式得到有关未知数的不等式，进而求得a 的取值范围．（17）【2014年浙江，文17，5分】设直线()300xy m m -+=≠与双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的两条渐近线分别交于点,A B ，若点(),0P m 满足PA PB =，则该双曲线的离心率是 ． 【解析】双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的两条渐近线方程为b y x a =±，则与直线30x y m -+=联立，可得 ,33ma mb A b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，,33ma mb B b a b a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，∴AB 中点坐标为2222223,99ma mb ba b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，∵点(),0P m满足 PA PB =，∴22222230939mb b a ma m b a--=---，∴2a b =，∴c ，∴c e a ==． 【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5题，共72分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2014年浙江，文18，14分】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知24sin 4sin sin 22A B A B -+= （1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值．解：（1）由已知得2[1cos()]4sin sin 2A B A B --+=2cos cos 2sin sin A B A B -+=故cos()A B +=，所以34A Bπ+=，从而4C π=． （2）因为1sin 2ABC S ab C ∆=，由6,4,4ABC S b C π∆===，得a =，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 得c =【点评】本本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和差的三角公式、余弦定理的应用，属于中档题．（19）【2014年浙江，文19，14分】已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S ⋅=．（1）求d 及n S ；（2）求(),,*m k m k N ∈的值，使得1265m m m m k a a a a +++++++= ．解：（1）由题意知11(2)(33)36a d a d ++=，将11a =代入上式，解得2d =或5d =-，因为0d >，所以2d =，从而2*21,()n n a n S n n N =-=∈．（2）由（1）得12...(21)(1)m m m m k a a a a m k k +++++++=+-+，所以(21)(1)65m k k +-+=，由*,m k N ∈知2111m k k +-≥+>，故211315m k k +-=⎧⎨+=⎩，所以54m k =⎧⎨=⎩． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，及分类讨论思想和方程思想，难度较大，考查了分析问题和解决问题的能力．（20）【2014年浙江，文20，15分】如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，90CDE BED ∠=∠=︒，2AB CD ==，1DE BE ==，AC =（1）求证：AC ⊥平面BCDE ；（2）求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值． 解：（1）连接BD ，在直角梯形BCDE 中，由1DE BE ==，2CD =，得BD BC ==由2AC AB ==，得222AB AC BC =+，即AC BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ． （2）在直角梯形BCDE中，由2BD BC DC ===，得BD BC ⊥， 又平面ABC ⊥平面BCDE ，所以BD ⊥平面ABC ，做//EF BD ，与CB 延长线交于F ，连接AF ，则EF ⊥平面ABC ，所以EAF ∠是直线AE 与平面ABC所成的角在Rt BEF ∆中，由1,4EB EBF π=∠=，得EF BF ==；在Rt ACF ∆中，由ACCF =，得AF =；在Rt AEF ∆中，由EF AF ==，得tan EAF ∠=； 所以，直线AE 与平面ABC【点评】本题综合考查了矩形的判定定理及其性质定理、勾股定理及其逆定理、面面垂直的性质定理、线面角的求法、直角三角形的边角关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、辅助线的作法，属于难题．（21）【2014年浙江，文21，15分】函数()()330f x x x a a =+->，若()f x 在[]1,1-上的最小值记为()g a ．（1）求()g a ；（2）求证：当[]1,1x ∈-时，恒有()()4f x g a +…．解：（1）因为0,11a x >-≤≤，所以（ⅰ）当01a <<时，若[1,]x a ∈-，则32()33,()330f x x x a f x x '=-+=-<，故()f x 在(1,)a -上是减函数；若[,1]x a ∈，则32()33,()330f x x x a f x x '=+-=+>，故()f x 在(,1)a 上是增函数；所以3()()g a f a a ==；（ⅱ）当1a ≥时，有x a ≤，则32()33,()330f x x x a f x x '=-+=-<，故()f x 在()1,1-上是减函数，所以()(1)23g a f a ==-+．综上，3,01()23,1a a g a a a ⎧<<=⎨-+≥⎩． （2）令()()()h x f x g a =-，（ⅰ）当01a <<时，3()g a a =，若33[,1],()33x a h x x x a a ∈=+--，得2()33h x x '=+，则()h x 在(,1)a 上是增函数，所以()h x 在[,1]a 设的最大值是3(1)43h a a =--，且01a <<，所以(1)4h ≤．故()()4f x g a ≤+，若33[1,],()33x a h x x x a a ∈-=-+-得2()33h x x '=-，则()h x 在(1,)a -上是减函数，∴()h x 在[1,]a -设的最大值是3(1)23h a a -=+-，令3()23t a a a =+-，则2()330t a a '=->，知()t a 在(0,1)上是增函数，所以，()(1)4t a t <=，即(1)4h -<，故()()4f x g a ≤+．（ⅱ）当1a ≥时，()23g a a =-+，故3()32h x x x =-+，得2()33h x x '=-，此时()h x 在()1,1-上是减函数，因此()h x 在[]1,1-上的最大值是(1)4h -=，故()()4f x g a ≤+．综上，当[1,1]x ∈-时，恒有()()4f x g a ≤+．【点评】利用导数可以解决最值问题，正确求导，确定函数的单调性是解题的关键．（22）【2014年浙江，文22，14分】已知ABP △的三个顶点都在抛物线2:4C x y =上，F 为E D CBA抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM = ． （1）若3PF = ，求点M 的坐标；（2）求ABP △面积的最大值．解：（1）由题意知焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-，设00(,)P x y ，由抛物线定义知0||1PF y =+，得到02y =，所以P或(P -，由3,PF FM =，分别得2()3M或2)3M ． （2）设直线AB 的方程为y kx m =+，点112200(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，由24y kx m x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx m --=， 于是2121216160,4,4k m x x k x x m ∆=+>+==-，所以AB 中点M 的坐标为2(2,2)k k m +，由3PF FM = ，得200(,1)3(2,21)x y k k m --=+-所以0206463x k y k m=-⎧⎪⎨=--⎪⎩，由2004x y =得214515k m =-+， 由0,0k ∆>>得1433m -<≤，又因为||AB =，点(0,1)F 到直线AB的距离为d =48|ABP ABF S S m ∆∆==-，记3214()351()33f m m m m m =-++-<≤ 令2()91010f m m m '=-+=，得121,19m m ==，可得()f m 在11(,)39-上是增函数，在1(,1)9上时减函数， 在4(1,)3上是增函数，又12564()()93f f =>，所以，当19m =时，()f m 取到最大值256243，此时k =， 所以，ABP ∆． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查圆锥中的最值和范围问题，难度大．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试〔浙江卷〕数 学〔文科〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合{|2},{|5}S x x T x x =≥=≤，则ST ＝〔 〕A ．(,5]-∞B ．[2,)+∞C ．(2,5)D ．[2,5]2、设四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD”的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件3、某几何体的三视图〔单位：cm 〕如下图，则该几何体的的体积是〔 〕 A ．72 cm 3 B ．90 cm 3 C ．108 cm 3 D ．138 cm 34、为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数2cos3y x =的图像〔 〕 A ．向右平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π个单位5、已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是 A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8 〔 〕6、设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面〔 〕A ．假设m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．假设//m β，βα⊥则m α⊥C ．假设,,m n n ββα⊥⊥⊥则m α⊥D ．假设m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 7、已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f 〔 〕 A ．3≤c B ．63≤<c C ．96≤<c D ．9>c8、在同一直角坐标系中，函数()a f x x =〔0x >〕，()log a g x x =的图象可能是〔 〕44333 3正视图侧视图俯视图9、设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||b ta +是最小值为1〔 〕 A ．假设θ确定，则||a 唯一确定 B ．假设θ确定，则||b 唯一确定 C ．假设||a 确定，则θ唯一确定 D ．假设||b 确定，则θ唯一确定 10、如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小〔仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角〕。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科） 选择题部分（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合 {|2}S x x =≥，}5|{≤=x x T ，则ST =（ ）A. ]5,(-∞B. ),2[+∞C. )5,2(D.]5,2[ 2. 设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“BD AC ⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不成分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 372cm B. 390cm C. 3108cm D. 3138cm 4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数x y 3cos 2=的图象（ ）A.向右平移12π个单位长 B.向右平移4π个单位长C.向左平移12π个单位长D.向左平移4π个单位长5.已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-6.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ） A.若n m ⊥，α//n ，则α⊥m B.若β//m ，αβ⊥，则α⊥mC.若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥mD.若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m 7.已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且3)3()2()1(0≤-=-=-<f f f ，则（ ） A.3≤c B.63≤<c C. 96≤<c D.9>c 8.在同一坐标系中，函数)0()(>=x x x f a ，x x g a log )(=的图象可能是（ ）9.设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，||t a b +的最小值为1（ ） A.若θ确定，则 ||a 唯一确定 B.若θ确定，则 ||b 唯一确定 C.若||a 确定，则 θ唯一确定 D.若||b 确定，则 θ唯一确定10.如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角），若m AB 15=，m AC 25=， 30=∠BCM ，则θtan 的最大值是（ ）A.530 B. 1030 C.934 D. 935非选择题部分（共100分）二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.已知i 是虚数单位，计算21(1)ii -=+________. 12.若实数x 、y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则y x +的取值范围是________.13.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________.14.在三张奖劵中有一、二等各一张，另有1张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖的概率为.15.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,0,22)(22x x x x x x f ，若2))((=a f f ，则=a .16.已知实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，1222=++c b a ，则a 的最大值为为_______.17. 设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于A 、B ，若)0,(m P 满足||||PB PA =，则双曲线的离心率是 .AD EBC三．解答题：本大题共5小题，共72分。

2014-2015学年浙江省衢州市五校联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知向量=（1，﹣2），=（﹣，y），若∥，则y=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（5分）已知是实数，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．（5分）函数f（x）=2x+x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）4．（5分）数列{a n}为等差数列，若a2+a8=π，则tan（a3+a7）的值为（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）sin600°的值是（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）=，若f（x0）=3，则x0的值为（）A．x0=0 B．x0=8 C．x0=8或x0=0 D．x0=6或x0=07．（5分）已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），则tanα=（）A．1 B．﹣1 C．D．8．（5分）要得到函数的图象，可由函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA，sinB，sinC 依次成等比数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a，b，c依次成等比数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，c，b依次成等比数列10．（5分）若函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R（其中ω＞0，）的最小正周期是π，且，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）已知集合A={x∈N|x﹣3≤0}，B={x∈Z|x2+x﹣2≤0}，则A∪B=．12．（4分）已知实数a，b满足等式log2a=log3b，给出下列五个关系式：①a＞b ＞1；②b＞a＞1；③a＜b＜1；④b＜a＜1；⑤a=b．其中可能成立的关系式是．13．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A=，且=4，则△ABC的面积等于．14．（4分）等比数列{a n}中，S4=5S2，则=．15．（4分）在平面直角坐标系中，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，平面内三点A、B、C满足=+2，=2+m，∠BAC=，则实数m的值为．16．（4分）平面向量，，满足=（1，0），=（1，m），=（2，n），|﹣|=2，则•的最小值为．17．（4分）已知f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，方程f（x）=kx+k+1（k∈R，且k≠1）有4个零点，则k 取值范围是．三、解答题：本大题共5题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知{a n}是递增的等差数列，a1=2，a22=a4+8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2an，求数列{b n}的前n项和S n．19．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，已知cos2A=﹣．（1）求sinA；（2）当c=2，2sinC=sinA时，求△ABC的面积．20．（14分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞），（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．21．（15分）已知，=（sin2x，﹣1），f（x）=•．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）当x∈[，]时，求函数f（x）的值域．22．（15分）已知定义域为R的奇函数f（x）=x|x+m|．（1）解不等式f（x）≥x；（2）对任意x1，x2∈[1，1+a]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤2，求实数a的取值范围．2014-2015学年浙江省衢州市五校联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知向量=（1，﹣2），=（﹣，y），若∥，则y=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：向量=（1，﹣2），=（﹣，y），若∥，所以﹣2×=y，解得y=1．故选：A．2．（5分）已知是实数，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵是实数，∴“”不一定有“”，∵“”不一定有“”∴根据充分必要条件的定义可判断：“”是“”的既不充分又不必要条件，故选：D．3．（5分）函数f（x）=2x+x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：当x=0时，f（0）=20+0=1＞0，当x=﹣1时，f（﹣1）=＜0，由于f（0）•f（﹣1）＜0，且f（x）的图象在[﹣1，0]上连续，根据零点存在性定理，f（x）在（﹣1，0）上必有零点，故选：B．4．（5分）数列{a n}为等差数列，若a2+a8=π，则tan（a3+a7）的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：由等差数列的性质得，a3+a7=a2+a8=π，所以tan（a3+a7）=tanπ=﹣，故选：D．5．（5分）sin600°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：sin600°=sin（2×360°﹣120°）=﹣sin120°=﹣sin（180°﹣60°）=﹣sin60°=﹣．故选：D．6．（5分）已知函数f（x）=，若f（x0）=3，则x0的值为（）A．x0=0 B．x0=8 C．x0=8或x0=0 D．x0=6或x0=0【解答】解：当x≤0时，3x+1≤31=3，当且仅当x=0取等号，因此x0=0满足f（0）=3．当x＞0时，令log2x=3，解得x=8，满足f（x0）=3．综上可得：x0=0或8．故选：C．7．（5分）已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），则tanα=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：∵sinα﹣cosα=（sinα﹣cosα）=sin（）=，∴sin（）=1，∴=2kπ+（k∈Z），∴α=2kπ+（k∈Z），α∈（0，π），∴tanα=tan=﹣1，故选：B．8．（5分）要得到函数的图象，可由函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【解答】解：把函数y=cos2x的图象向右平移个长度单位，可得函数数y=cos2（x﹣）=cos（2x﹣）的图象，故选：D．9．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA，sinB，sinC 依次成等比数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a，b，c依次成等比数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，c，b依次成等比数列【解答】解：因为sinA、sinB、sinC依次成等比数列，所以sin2B=sinAsinC，由正弦定理得，b2=ac，所以三边a，b，c依次成等比数列，故选：B．10．（5分）若函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R（其中ω＞0，）的最小正周期是π，且，则（）A．B．C．D．【解答】解：由．由．∵．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）已知集合A={x∈N|x﹣3≤0}，B={x∈Z|x2+x﹣2≤0}，则A∪B={﹣2，﹣1，0，1，2，3} ．【解答】解：∵A={x∈N|x﹣3≤0}={0，1，2，3}，B={x∈Z|x2+x﹣2≤0}={﹣2，﹣1，0，1}，则A∪B={﹣2，﹣1，0，1，2，3}．故答案为：{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．12．（4分）已知实数a，b满足等式log2a=log3b，给出下列五个关系式：①a＞b ＞1；②b＞a＞1；③a＜b＜1；④b＜a＜1；⑤a=b．其中可能成立的关系式是②④⑤．【解答】解：实数a，b满足等式log2a=log3b，即y=log2x在x=a处的函数值和y=log3x 在x=b处的函数值相等，当a=b=1时，log2a=log3b=0，此时⑤成立做出直线y=1，由图象知，此时log2a=log3b=1，可得a=2，b=3，由此知②成立，①不成立作出直线y=﹣1，由图象知，此时log2a=log3b=﹣1，可得a=，b=，由此知④成立，③不成立综上知②④⑤故答案为：②④⑤．13．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A=，且=4，则△ABC的面积等于2．【解答】解：∵A=，且=4，∴AB×AC×ccosA=4，得AB×AC=8因此，△ABC的面积S=AB×ACsinA=×8×=2；故答案为：2．14．（4分）等比数列{a n}中，S4=5S2，则=0或．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，且S4=5S2，当q=1时，4a1=5×2a1，解得a1=0，舍去；当q≠1时，=5×，化简得，q4﹣5q2+4=0，解得q2=4或q2=1，当q2=4时，==；当q2=1时，==0，故答案为：0或．15．（4分）在平面直角坐标系中，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，平面内三点A、B、C满足=+2，=2+m，∠BAC=，则实数m的值为﹣1．【解答】解：∵=（1，2），=（2，m），∠BAC=，∴=2+2m=0，解得m=﹣1．故答案为：﹣1．16．（4分）平面向量，，满足=（1，0），=（1，m），=（2，n），|﹣|=2，则•的最小值为．【解答】解：由=（1，m），=（2，n），|﹣|=2，则=2，即有（m﹣n）2=3，只考虑mn＜0．不妨取n＞0，m＜0．则•=2+mn=2﹣（﹣m）n≥2﹣（）2=2﹣=．当且仅当﹣m=n=时，取得最小值．故答案为：．17．（4分）已知f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，方程f（x）=kx+k+1（k∈R，且k≠1）有4个零点，则k 取值范围是（﹣，0）．【解答】解：∵偶函数f（x）当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴当x∈[﹣1，0]时图象与x∈[0，1]时关于y轴对称，故x∈[﹣1，0]时f（x）=﹣x，又∵f（x）是以2为周期的函数，∴将函数f（x）在[﹣1，1]上的图象向左和向右平移2的整数倍个单位，可得f （x）在R上的图象．∵直线l：y=kx+k+1经过定点（﹣1，1），斜率为k∴直线l的图象是经过定点（﹣1，1）的动直线．（如右图）在同一坐标系内作出y=f（x）和动直线l：y=kx+k+1，当它们有4个公共点时，方程f（x）=kx+k+1（k∈R，且k≠1）有4个零点，∴直线l的活动范围应该介于两条虚线之间，而两条虚线的斜率k1=0，k2==﹣，故直线l的斜率k∈（﹣，0）故答案为：（﹣，0）三、解答题：本大题共5题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知{a n}是递增的等差数列，a1=2，a22=a4+8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2an，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，d＞0．由题意得（2+d）2=2+3d+8，d2+d﹣6=（d+3）（d﹣2）=0，得d=2．…（4分）故a n=a1+（n﹣1）•d=2+（n﹣1）•2=2n，得a n=2n．…（7分）（2）∵b n=22n=4n∴S n=b1+b2+…+b n==．…（14分）19．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，已知cos2A=﹣．（1）求sinA；（2）当c=2，2sinC=sinA时，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵cos2A=﹣，∴，化为sin2A=，∵A∈（0，π），∴sinA＞0．∴sinA=．（2）∵c=2，2sinC=sinA，由正弦定理可得a=2c=4．∴sinC=．∵a＞c，∴cosC＞0．∴=．由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴，化为，解得b=或2．∴△ABC的面积S==或．20．（14分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞），（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为，f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1）=．…（6分）（2）问题等价于f（x）=x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立．即a＞﹣（x+1）2+1在[1，+∞）上恒成立．令g（x）=﹣（x+1）2+1，则g（x）在[1，+∞）上递减，当x=1时，g（x）max=﹣3，所以a＞﹣3，即实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．…（6分）21．（15分）已知，=（sin2x，﹣1），f（x）=•．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）当x∈[，]时，求函数f（x）的值域．【解答】解：f（x）=•=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）﹣﹣﹣﹣﹣﹣3分（1）令﹣得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数f（x）的单调增区间为：[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分（2）x∈[，]时，≤2x﹣≤，∴≤2sin（2x﹣）≤2∴当x∈[，]时，函数f（x）的值域为[，2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣15分22．（15分）已知定义域为R的奇函数f（x）=x|x+m|．（1）解不等式f（x）≥x；（2）对任意x1，x2∈[1，1+a]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤2，求实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x|x+m|是定义域为R的奇函数，∴m=0，∴f（x）=x|x|；（1）由x|x|≥x得，或；解得，x≥1或﹣1≤x≤0，故不等式的解集为{x|x≥1或﹣1≤x≤0}；（2）f（x）=，则f（x）在R上单调递增，∴f（x）在[1，1+a]上单调递增，∴f（1+a）﹣f（1）≤2，即（1+a）|1+a|﹣1≤2，又∵1+a＞1，∴0＜a＜﹣1．。