浙东北联盟(ZDB)2019-2020学年第一学期期中考试高二数学试题及答案

浙东北联盟（ZDB ）2020-2021学年第一学期期中考试高二数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678910答案DACABCBDBC二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．16π．12．33．13．01=-+y x ；2)1(22=-+y x ．1415．；[)7,2-．16．14．17．554；34．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18．（本题满分14分）已知正方体1111D C B A ABCD -，E 为棱AB 的中点．（Ⅰ）求证：C B E D 11⊥；（Ⅱ）求证：C EB AC 11//平面．18．(Ⅰ)证明：连结D A A D 11,，则C B D A 11//，∵11A ADD 是正方形，∴D A A D 11⊥．∵11A ADD AE 平面⊥，∴D A AE 1⊥．又A EA A D =⋂1，∴11AED D A 平面⊥．∵AE D E D 11平面⊂，∴D A E D 11⊥，∴C B E D 11⊥．—————————————7分（Ⅱ）证明：连结1BC ，与C B 1相交于点O ．∵O E ,分别是1,BC AB 的中点，∴EO AC //1，1D 1C 1B 1A DCBA EO又EC B AC 11平面⊄ ，EC B OE 1平面⊂，∴CEB AC 11//平面————————————————14分19．（本题满分15分）已知⊙16:22=+y x C ．（Ⅰ）设点()y x Q ,为⊙C 上的一个动点，求y x 34+的范围；（Ⅱ）直线l 过点()4,3P ，且与⊙C 交于A 、B 两点，若72=AB ，求直线l 的方程．解析（Ⅰ）设t y x =+34，则直线t y x =+34与⊙C 有公共点，所以圆心到直线的距离4≤d ，即43422≤+t ，解得2020≤≤-t ．——————7分（Ⅱ）当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为3=x ，l 与圆的两个交点坐标为7,3(7,3(-，这两点的距离为72，满足题意；—————————————9分当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为)3(4-=-x k y ，即043=+--k y kx ，设圆心到此直线的距离为d (d ＞0)，则216272d -=，得3=d ，从而31432=++-k k ，得247=k ，此时直线方程为075247=+-y x ，综上所述，所求直线方程为075247=+-y x 或3=x ．———————————15分20．（本题满分15分）在斜三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，⊥C B 1平面ABC ，且2==AC AB ，321=AA ．（Ⅰ）求证：平面⊥C AB 1平面11A ABB ；（Ⅱ）求直线1BC 与平面11A ABB 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明： ⊥C B 1平面ABC ，AB C B ⊥∴1又AC AB ⊥，所以⊥AB 平面C AB 1，所以平面⊥C AB 1平面11A ABB ；——————7分ABC1A 1B 1C O E（Ⅱ）设O C B BC =11 ，作1AB OE ⊥于E ，连结BE ， 平面⊥C AB 1平面11A ABB 于1AB ，⊥∴OE 平面11A ABB ，∴EBO ∠为1BC 与平面11A ABB 所成角；—————————————11分由已知32,21===BB AC AB ，得22211==A B C B ，，322=+=∴OC BC BO ，在等腰直角C AB 1∆中，22=OE ，所以62sin ==∠OB OE EBO ，即1BC 与平面11A ABB 所成角的正弦值为62．————15分21．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，点)0,3(-A ，直线4:+=x y l ，设⊙C 的半径为2，圆心在直线l 上．（Ⅰ）若⊙C 与直线28y x =--相交于,E F 两点，且AE AF =，求⊙C 的方程；（Ⅱ）若⊙C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解:（Ⅰ）设EF 的中点为G ，连结,,,,AE AF CE CF AG CG ，，由已知得AG EF ⊥，又CE CF =，所以CG EF ⊥，则可得AC EF ⊥，则直线AC 的方程为()132y x =+，圆心C 满足()4132y x y x =+⎧⎪⇒⎨=+⎪⎩()5,1C --，则圆C 的方程为()()22514x y +++=.—————————————7分（Ⅱ）∵⊙C 的圆心在在直线4:+=x y l 上，所以，设圆心C 为)4,(+a a 则⊙C 的方程为[]4)4()(22=+-+-a y a x 又∵MO MA 2=，设),(y x M 22222)3(y x y x +=++整理得:4)1(22=+-y x设此为⊙D∴点M 应该既在⊙C 上又在⊙D 上即:⊙C 和⊙D 有交点，∴22)4()1(2222+≤++-≤-a a 由017622≥++a a 得R a ∈由01622≤++a a 得273273+-≤≤--a 终上所述，a 的取值范围为:⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---273,273．————————————15分22．(本题满分15分）如图，在平行四边形ABCD 中， 60,4=∠=DAB AB ．点H G ,分别在边CB CD ,上，点G 与点D C ,不重合，GH AC GH ,⊥与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH ∆翻折到EGH ∆的位置，使二面角B GH E --为 90，F 是AE 的中点．（Ⅰ）请在下面两个条件：①AD AB =，②BD AB ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若，则EOA BD 平面⊥成立，并证明．（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值．解：（Ⅰ）命题:P 若AD AB =，则EOA BD 平面⊥． AC GH ⊥，∴,AO GH EO GH ⊥⊥，又二面角B GH E --的大小为 90，∴90AOG ∠= ，即EO AO ⊥，∴EO ⊥平面ABCD ，∴EO BD ⊥，又BC AB =，∴AO BD ⊥，AO EO O = ，∴BD ⊥平面EOA .—————————————6分（Ⅱ）设AC 与BD 交于点M ， 60,4=∠=DAB AB，则AC =，设,CO x OM x ==，222216OB OM MB x =+=-+，2222216EB EO OB x =+=-+，ABC DEG HO F M当x =min EB ，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，由（Ⅰ）知BD ⊥平面EOA ，∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ，∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角，在Rt EMB ∆中，2,EB BM EM AE ====由()()2222222QB AE AB BE QB +=+⇒=,QF =∴sin 11QF QBF QB ∠==，即QB 与平面EBD .—————15分。

2019-2020学年浙江省浙东北联盟(zdb) 高二上学期期中数学试题一、单选题1．椭圆22143x y +=的焦点坐标为（ ）A ．（﹣1，0），（1，0）B ．())C ．（0，﹣1），（0，1）D ．((00-，，【答案】A【解析】判断焦点在x 轴上，再求出c 即可． 【详解】由椭圆方程知焦点在x 轴，1c ==，焦点坐标为(1,0)，(1,0)-．故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，由椭圆标准方程确定焦点坐标，可由变量,x y 下面的分母的大小确定焦点所在的轴，然后计算c = 2．圆O ：（x ﹣1）2+y 2=1和直线l ：x ﹣y +1=0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】C【解析】由圆心O 到直线l 的距离与半径比较，即可得到结论． 【详解】圆O ：（x ﹣1）2+y 2＝1，圆心坐标为O （1，0），半径为1r =．∴圆心O 到直线x ﹣y +1＝0的距离为：1d r ===>=，∴直线与圆相离． 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，也考查了点到直线距离公式的应用，属于基础题． 3．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线D 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的余弦值为（ ）A．3B．2C．3D．6【答案】D【解析】先作出并证明直线与平面所成的角，然后计算【详解】∵11D C⊥平面11BB C C，∴11D BC∠是直线D1B与平面BB1C1C所成角，设正方体棱长为a，在11Rt BD C∆中，12BC a=，1BD3a=，111126cos33BCD BCBD∠===．故选：D．【点睛】本题考查直线与平面所成的角，解题时需先作出直线与平面所成的角，为此要过直线上一点找（作）与平面垂直的直线，从而得直线在平面上的射影，得直线与平面所成的角，再在直角三角形中求解即得．4．某几何体的三视图如图，则它的体积是（）A．6 B．4+πC．2+2πD．2+π【答案】D【解析】由三视图还原出原几何体，它是一个长方体半个圆柱的组合体，再计算体积．【详解】由三视图还原出原几何体，它是一个长方体半个圆柱的组合体，尺寸见三视图， 体积为211121222V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+． 故选：D ． 【点睛】本题考查组合体的体积，考查三视图，解题关键是由三视图还原出原几何体，然后用体积公式计算各个部分的体积可得．5．对空间中两条不相交的直线a 和b ，必定存在平面α，使得 （ ） A ．,a b αα⊂⊂ B ．,a b αα⊥⊥C ．,//a b αα⊂D ．,a b αα⊂⊥【答案】C【解析】讨论两种情况，利用排除法可得结果. 【详解】a 和b 是异面直线时，选项A 、B 不成立，排除A 、B ； a 和b 平行时，选项D 不成立，排除D,故选C. 【点睛】本题主要考查空间线面关系的判断，考查了空间想象能力以及排除法的应用，属于基础题.6．正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为( ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B【解析】取BD 中点O ，连结,EO FO ，则//,//OF CD OE AB ，且2a OF OE ==，从而EFO ∠是异面直线EF 与CD 所成的角，由此能求出异面直线EF 与CD 所成的角.【详解】取BD 中点O ，连结,EO FO ， 设正四面体的棱长为a ,则//,//OF CD OE AB ，且2a OF OE ==， EFO ∴∠是异面直线EF 与CD 所成的角，取CD 中点G ，连结,BG AG 则,AG CD BG CD ⊥⊥，,BG AG G CD ⋂=∴⊥平面ABG ,AB ⊂平面ABG ,CD AB ∴⊥，OF OE ∴⊥，4EFO π∴∠=，∴异面直线EF 与CD 所成的角为4π,故选B . 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.7．如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( )．A ．AE 、B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1 B ．AC ⊥平面A 1B 1BA C ．CC 1与B 1E 是异面直线D ．A 1C 1∥平面AB 1E 【答案】A【解析】试题分析：底面是正三角形，E 为中点AE BC ∴⊥，11BC B C 11AE B C ∴⊥,∴A 项正确【考点】空间线面的位置关系 点评：题目较简单学生易得分8．如图，60°的二面角的棱上有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD 的长为（ ）A ．17B ．23C ．235D ．41【答案】A 【解析】【详解】CA AB ⊥，BD AB ⊥0CA AB∴→⋅→=，0BD AB→⋅→=CDBDABCA→=→+→+→2222222CDCAABBDCAABCA BDAB BD→=→+→+→+→⋅→+→⋅→+→⋅→222648268cos12068=+++⨯⨯︒=217CD ∴=故选A9．如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为（ ）A ．3B 6 C 3D ．23【答案】B【解析】设出直线AB 方程为y x n =-+，求出它与椭圆的交点,A B 的坐标（设而不求），由OM OA OB =+得M 点坐标，再由13OM k =得出,a b 的关系，然后求得离心率． 【详解】设直线AB 方程为y x n =-+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22221x y a b y x n ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得：22222222()20a b x a nx a n a b +-+-=，∴212222a nx x a b+=+，12122()y y n x x +=-+，设(,)M x y ，∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OMy y n x x y n k x x x x x x x +-+====-+++22222113a b b a a +=-==， ∴2222223c a b a a -==，∴6c e a ==． 故选：B ． 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的一个等量关系．本题中已知两直线AB 和OM 的斜率，因此设出直线AB 方程，代入椭圆方程，消元后求出它们横坐标的和，由向量加法的平行四边形法则，M x A B x x =+，这样利用OM k 就可建立,a b 的等式，变形后可求得离心率e ．本题还考查学生的运算求解能力．10．斜线段PA 与平面M 成α角，斜足为A ，动直线PB 与直线PA 成β（β＜α）角，交平面M 于点B ，动点B 的轨迹图形为（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一个半圆D ．一个椭圆【答案】D【解析】由圆锥曲线与圆锥面的关系可得． 【详解】由于BPA β∠=，因此PB 运动后可形成以PA 为对称轴的圆锥侧面，而平面α与轴PA 不垂直不平行，又与母线不平行，因此平面α与此圆锥侧面的交线是椭圆．故选：D ． 【点睛】本题考查圆锥曲线与圆锥侧面的关系，属于基础题．二、填空题11．圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣8＝0的圆心坐标为_____，半径为_____． 【答案】（2，2） 4【解析】配方后可得圆心坐标和半径． 【详解】圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣8＝0，即 （x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝16， 故它的圆心坐标为（2，2）16=4， 故答案为：（2,2）；4． 【点睛】本题考查圆的一般方程，配方后化为标准方程可得圆心坐标与半径．12．已知椭圆22143x y +=的左、右焦点为F 1，F 2，则椭圆的离心率为_____，过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，则|F 1A |＝_____． 【答案】12 52【解析】由椭圆标准方程得出2,3a b ==，计算出c ，可得离心率，2F A 是通径的一半为2b a，再结合椭圆定义可得1F A ．【详解】椭圆22143x y +=，可得a ＝2，b =c ＝1，所以椭圆的离心率为：e 12c a ==．过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，所以|AF 2|232b a ==，由椭圆的定义可知：|F 1A |＝2a ﹣|AF 2|＝43522-=． 故答案为：12；52． 【点睛】本题考查椭圆的离心率和椭圆的定义，解题时由椭圆标准方程确定出,a b 再计算出c ，可求离心率，而求椭圆上的点到焦点的距离时，可以与椭圆定义联系起来．13．已知圆（x +2）2+y 2＝5外点P （0，3），过P 点作直线l 与圆相切交于点Q ，则切线长|PQ |＝_____．【答案】【解析】求出P 点到圆心C 的距离PC 【详解】圆（x +2）2+y 2＝5的圆心为C （﹣2，0），半径为r =且|PC |2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣3）2＝13，所以切线长|PQ |===．故答案为：【点睛】本题考查直线与圆相切问题，考查求切线长，解题时由切线与过切点的半径垂直，用勾股定理计算切线长．14．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为_____，圆柱的表面积与球的表面积之比为_____．【答案】32 32【解析】设球半径为R ，根据圆柱和球的体积公式、表面积公式直接计算． 【详解】由题意，圆柱底面半径r ＝球的半径R ， 圆柱的高h ＝2R ，则 V 球43=πR 3， V 柱＝πr 2h ＝π•R 2•2R ＝2πR 3．∴3323423V R V R ππ==柱球． S 球＝4πR 2，S 柱＝2πr 2+2πrh ＝2πR 2+2πR •2R ＝6πR 2．∴226342S R S R ππ==柱球． 故答案为：32，32【点睛】本题考查圆柱和球的体积公式、表面积公式，属于基础题．15．已知F 1，F 2为椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞上的左、右焦点，点B 为上顶点，延长BF 2交椭圆于M 点，且△F 1BM 是腰长为3的等腰三角形，则a ＝_____． 【答案】2【解析】根据椭圆的定义，△F 1BM 的周长为4a ，再用另一方法求出周长即可求得a ． 【详解】根据椭圆的定义，△F 1BM 的周长为4a ，所以4a ＝622b c ++=6+a ，所以3a ＝6，a ＝2，故答案为：2. 【点睛】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的基本运算．属于基础题．16．已知三棱锥A ﹣BCD 的所有棱长均相等，E 为DC 的中点，若点P 为AC 中点，则直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为_____，若点Q 在棱AC 所在直线上运动，则直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为_____．【答案】63 223【解析】//PE AD ，则直线PE 与平面BCD 所成角等于直线AD 与平面BCD 所成角，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，连结OD ，则∠ADO 是直线PE 与平面BCD 所成角，在ADO ∆中求解即得，ABCD 是一个正四面体，当Q 与A 重合时，直线QE 与平面BCD 所成角正弦值取最大值，在AEO ∆中计算可得最大值． 【详解】连结BE ，AE ，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，连结OD ， 则∠ADO 是直线PE 与平面BCD 所成角，设三棱锥A ﹣BCD 的所有棱长均相等，设棱长为2， 则DO ＝BO 23=BE 234133=-=， AO 223264()3=-=， ∴sin ∠ADO 26632AO AD ===∴直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为63． 当Q 与A 重合时，直线QE 与平面BCD 所成角正弦值取最大值， 此时直线QE 与平面BCD 所成角为∠AEO ，AE 413=-=∴直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为：sin ∠AEO 62233AOAE ===故答案为：63，223【点睛】本题考查直线与平面所成的角，解题关键是作出直线与平面所成的角，为此需作一直线与平面垂直．找到直线在平面内的射影，从而得直线与平面所成角，然后在直角三角形中求解即得．17．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点，现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，则二面角D ﹣AF ﹣B 的平面角余弦值的取值范围是_____．【答案】（14，1）． 【解析】由于平面ABD ⊥平面ABC ，因此作DK ⊥AB ，则DK ⊥平面ABCF ，作DO ⊥AF ，则OK ⊥AF ，则∠DOK 为所求二面角的平面角，而cos ∠DOK OKOD=，设DF x =，(1,2)x ∈，然后计算,OK DO （可在矩形ABCD 中计算,OK DO ），把cos DOK ∠表示为x 的函数，求得其取值范围． 【详解】作DK ⊥AB ，则DK ⊥平面ABCF ，作DO ⊥AF ，则OK ⊥AF ， 则∠DOK 为所求二面角的平面角，cos ∠DOK OKOD=，设DF ＝x ，AF 21x =+AD 2＝AO •AF ，则AO 21x =+，OD 21x =+，由平面图形ABCD 知，∠DAF ＝90°﹣∠F AB ， 故tan ∠F AB OK OA ==cot ∠DAF 1x=， 所以OK 1x=OA ， 所以cos ∠DOK 21OK OD x ==，x ∈（1，2）， 故答案为：（14，1）．【点睛】本题考查求二面角，解题时首先要作出二面角的平面角并证明，这可利用题设中的面面垂直的性质，然后引入变形DF x =，把所求二面角的余弦值表示为x 的函数，从而可得取值范围．三、解答题18．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D ，E ，F 分别是棱BC ，CC 1，B 1C 1的中点．求证：（1）直线A 1F ∥平面ADE ； （2）平面ADE ⊥平面BCC 1B 1． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明1//A F AD 后可得线面平行； （2）证明AD ⊥平面BCC 1B 1后可证得面面垂直． 【详解】证明：（1）连结DF ，∵D ，F 为中点，∴11DF BB AA ， ∴四边形ADF A 1为平行四边形，∴A 1F ∥AD ，∵AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，∴A 1F ∥平面ADE ． （2）∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥AD ，∵BC ⊥AD （三线合一）， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1，∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BCC 1B 1．【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，掌握其判定定理是解题基础，证明时注意定理的条件要一一满足，缺一不可．19．已知关于x ，y 的方程x 2+y 2﹣4x +4y +m ＝0表示一个圆． （1）求实数m 的取值范围；（2）若m ＝4，过点P （0，2）的直线l 与圆相切，求出直线l 的方程．【答案】(1) m ＜8．(2)324y x =-+和x ＝0． 【解析】（1）可配方，方程左边是平方和形式，右边为正即可；（2）斜率不存在时，直线0x =是圆的切线，斜率存在时，设方程为2y kx =+，由圆心到切线距离等于半径可求得k ，得切线方程． 【详解】（1）方程x 2+y 2﹣4x +4y +m ＝0可化为（x ﹣2）2+（y +2）2＝8﹣m ， 令8﹣m ＞0，解得m ＜8；所以方程表示圆时m 的取值范围是m ＜8．（2）m ＝4时，圆的方程为（x ﹣2）2+（y +2）2＝4， 则圆心为C （2，﹣2），半径为r ＝2，当直线l 的斜率k 存在时，设l 的方程为：y ＝kx +2， 化为kx ﹣y +2＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d 22221k k ++==+2，解得k 34=-， 所以直线l 的方程为y 34=-x +2； 当直线l 的斜率k 不存在时，直线x ＝0也为圆C 的切线； 综上，直线l 的方程为324y x =-+和x ＝0．【点睛】本题考查圆的方程，考查求圆的切线方程，在过某一点P 的切线方程时，如果P 点在圆外，可分类讨论，斜率不存在的直线（验证是否为切线）和斜率存在的直线（设斜率为k ，写出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得k ）． 20．已知椭圆()222210x y C a b a b +=：＞＞的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为12，且点312P ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点M （0，﹣2）且与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标l 的方程．【答案】(1)22 143x y +=．(2) 22y x =±-【解析】（1）已知条件为22191412a b c a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再结合222a c b -=可求得,a b ，得椭圆方程；（2）设直线l ：y ＝kx ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线方程代入椭圆方程整理后可得1212,x x x x +，表示出12x x -，而1212OAB S OM x x ∆=-，k ，得直线方程． 【详解】（1）椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为12，且点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上，可得2222219142121a b a c b a c a b c⎧+=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩ ∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）设直线l ：y ＝kx ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），2222341234(2)122x y x kx y kx ⎧+=⇒+-=⎨=-⎩， ∴（4k 2+3）x 2﹣16kx +4＝0，1212221644343k x x x x k k +==++，， ()222121212221616434144343k k x x x x x x k k -⎛⎫-=+-=-= ⎪++⎝⎭， 2122143413243OABk SOM x x k -=⋅-==+， 解得5k =±，直线l 的方程为52y x =±-． 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．求椭圆的标准方程，关键是找到关于,,a b c 的两个等式，即把题中两个条件用,,a b c 表示出来就可求解，而直线与椭圆相交问题，常常采用“设而不求”思想，即设直线方程为y kx b =+，设交点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，然后由直线方程和椭圆方程联立并消元后由韦达定理得1212,x x x x +，再把题中其他条件用交点坐标表示，同时代入1212,x x x x +，可求得参数,k b 的关系或值．21．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是直角梯形，且AD ∥BC ，AD ⊥CD ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AD ＝2，PC ＝3，△PAB 是正三角形．（1）求证：AB ⊥PC ；（2）求二面角P ﹣CD ﹣B 的平面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析；(2)23．【解析】（1）要证线线垂直，先证线面垂直，由于PAB ∆是正三角形，取AB 中点E ，则有PE AB ⊥，从而只要再证CE AB ⊥即可证；（2）关键是作二面角的平面角，由（1）知平面PEC⊥平面ABCD，因此只要作作PO⊥CE，PH⊥CD，连结OH，就可得∠PHO为二面角P﹣CD﹣B的平面角，接着就是计算出这个角即可．【详解】（1）证明：取AB中点E，连结PE，CE，易证△ABC为正三角形，E为AB中点，∴CE⊥AB，∵△ABP为正三角形，E为AB中点，∴PE⊥AB，∴AB⊥平面PCE，∴AB⊥PC．（2）解：过P点作PO⊥CE，PH⊥CD，连结OH，∵AB⊥平面PCE，∴平面ABCD⊥平面PCE，∵PO⊥CE，∴PO⊥平面ABCD，∵PH⊥CD，∴OH⊥CD，∴∠PHO为二面角P﹣CD﹣B的平面角，四边形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，AD⊥CD，∠ABC＝60°，BC＝2AD＝2，PC＝3，△P AB是正三角形．AB＝2，P A＝PB＝2，PE＝CE3=，∠PCE＝30°，所以PO32=，OC33=，∠ECD＝60°，OH33394=⨯=，三角形POH是直角三角形，∠POH＝90°，∴23POtan PHOOH∠==．∴二面角P﹣CD﹣B的平面角的正切值：23．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查求二面角．要证线线垂直，一般可先证线面垂直即用线面垂直的性质定理．而证线面垂直又要寻找线线垂直，这可从图形中发现并证明．求二面角关键是作二面角的平面角，一般要先找一个面的垂线，然后利用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再在三角形中求得这个角．22．已知椭圆()22211x C y a a+=：＞．（1）若过点2P ⎛ ⎝⎭的直线l 与椭圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围；（2）若存在以点B （0，2）为圆心的圆与椭圆C 有四个公共点，求实数a 的取值范围．【答案】(1) a ≥(2)a【解析】（1）点P 在椭圆上或椭圆内，解不等式22221a +≤即得；（2）要使得圆和椭圆有四个公共点，利用对称性，考虑到B 在y 轴上，只要在椭圆的左半边（或右半边）存在不同两点到B 点的距离相等，设动点Q （x 0，y 0）在椭圆上，BQ ===令()()222000144f y a yy a =--++，只要f （y 0）在y 0∈（﹣1，1）上不单调即可．【详解】（1）要使得直线l 与椭圆C 恒有公共点，则点22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，要在椭圆上或者椭圆内，∴2222(12a +≤，∴a ≥ （2）法一：要使得圆和椭圆有四个公共点，利用对称性，所以在椭圆的左半边（或右半边）存在不同两点到B 点的距离相等， 设动点Q （x 0，y 0）在椭圆上，BQ ===令()()222000144f y a yy a =--++，使得f （y 0）在y 0∈（﹣1，1）上不单调，∴22111a --＜＜，∴a法二：设圆B ：x 2+（y ﹣2）2＝r 2，222222222222(2)(2)x y r a a y y r x a y a⎧+-=⇒-+-=⎨+=⎩， 整理得：（1﹣a 2）y 2﹣4y +a 2+4﹣r 2＝0，所以存在r ，使得方程（1﹣a 2）y 2﹣4y +a 2+4﹣r 2＝0在（﹣1，1）上有两解，令函数f （y ）＝（1﹣a 2）y 2﹣4y +a 2+4﹣r 2，对称轴221y a =-， 只需22111a--＜＜即可，∴a 【点睛】本题考查点与椭圆的位置关系．圆与椭圆的公共点问题．点00(,)P x y ，椭圆方程22221x y a b+=， 点在椭圆内2200221x y a b ⇔+<，点在椭圆上2200221x y a b ⇔+=，点在椭圆外2200221x y a b⇔+>．圆与椭圆都是轴对称图形，当圆心在椭圆的轴上时，它们的交点个数要利用其对称性进行变换说法，如本题圆与椭圆有4个公共点，则圆与椭圆在椭圆的左半边（或右半边）有两个公共点，即椭圆左半边（或右半边）有两点到圆心的距离相等．如果用方程的思想，则化为关于y 的方程在椭圆的范围内有两不等实解．。

浙江省浙东北联盟（ZDB）2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知椭圆x2k +y25=1的一个焦点坐标为(2,0)，则k的值为()A. 1B. 3C. 9D. 812.直线x+y=5和圆O：x2+y2−4y=0的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交不过圆心D. 相交过圆心3.如图，正方体ABCD−EFGH中，M为BG的中点，则直线DM与平面ABCD所成角的正切值为()A. √56B. √55C. √5D. √24.下列三视图表示的几何体是()A. 正六棱柱B. 正六棱锥C. 正六棱台D. 正六边形5.l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是()A. 如果l1//α，l2//α，则一定有l1//l2B. 如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC. 如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1//αD. 如果l1⊥α，l2//α，则一定有l1⊥l26.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点F，G分别是棱BC，BB1的中点，则AC与GF所成的角的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，若AB1⊥BC1，则下列关于直线A1C和AB1，BC1的关系的判断正确的为()A. A1C和AB1，BC1都垂直B. A1C和AB1垂直，和BC1不垂直C. A1C和AB1，BC1都不垂直D. A1C和AB1不垂直，和BC1垂直8.下列说法正确的是()A. 单位向量都相等B. 模长相等的两个平行向量是相等向量C. 若a→ =b→ ，则|a→ |=|b→ |D. 若a→ //b→ ,b→ //c→ 则a→ //c→ 9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在A、B两点恰好关于直线l:x−y−1=0对称，且直线AB与直线l的交点的横坐标为2，则椭圆C的离心率为()A. 13B. √33C. √22D. 1210.已知AB是平面α的斜线段，A为斜足，若AB与平面α成60°角，过定点B的动直线l与斜线AB成60°角，且交α于点P，则动点P的轨迹是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.方程x2+y2+2ax−by+c=0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a=________，b=________，c=________．12.设F1、F2是椭圆3x2+4y2=48的左、右焦点，点P在椭圆上，满足sin∠PF1F2=35，△PF1F2的面积为6，则|PF2|=______．13.若过点M( 0，2 )作圆x2+y2−2x−1=0的切线，则切线长为______．14.已知球的直径为4，则该球的表面积为__________．15.已知经过椭圆x236+y216=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为______ ．16.已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为1.点E是棱A1B1的中点，则直线AE与平面BDD1B1所成角的正弦值是_________．17.在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E为DC的三等分点(靠近C处)，F为线段EC上一动点(包括端点)，现将△AFD沿AF折起，使D点在平面内的射影恰好落在边AB上，则当F运动时，二面角D−AF−B平面角余弦值的变化范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在正三棱柱ABC−A′B′C′中，D、E、F分别为棱BC，A′A，AC的中点．(1)求证：平面AB′D⊥平面BCC′B′；(2)求证：EF//平面AB′D．19.已知△ABC的顶点坐标是A(8,0)，B(0,6)，O(0,0)．(1)求△ABC外接圆C的方程．(2)过点P(−1,5)作圆C的切线l，求切线l的方程．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为√22，短轴的两个端点分别为A，B，S△ABF=1．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)过点D(2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N(M在D，N之间)，求S△ODMS△ODN(O为坐标原点)的取值范围．21.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形，且∠BAD=60∘，△PAB是等边三角形．(Ⅰ)证明：AB⊥PD；(Ⅱ)若平面PAB⊥平面ABCD，求二面角A−PB−C的余弦值．22.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(−√22,√32)，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P,Q，且OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】利用椭圆的方程，通过焦点坐标为(2,0)，求解k即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．【解答】解：椭圆x2k +y25=1的一个焦点坐标为(2,0)，可得√k−5=2，解得k=9．故选C．2.答案：A解析：解：将圆O的方程化为标准方程得：x2+(y−2)2=4，可得：圆心O(0,2)，半径r=2，∵圆心O到直线x+y=5的距离d=√2=3√22>2=r，∴直线与圆O的位置关系是相离．故选A将圆O的方程化为标准方程，找出圆心O坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线x+y=5的距离d，判断d与r的大小关系，即可得出直线与圆O的位置关系．此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断：当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离(d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径)．3.答案：B解析：【分析】本题考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题．过M作MN⊥BC，交BC于N，连接DN，则∠MDN为直线DM与平面ABCD所成角，由此能求出直线与平面所成角的正切值．【解答】解：过M作MN⊥BC，交BC于N，连接DN，∵正方体ABCD−EFGH中，M为BG的中点，∴MN//CG，∵CG⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，∴∠MDN为直线DM与平面ABCD所成角，设正方体ABCD−EFGH的棱长为a，则MN=12a，DN=√a2+(12a)2=√52a，∴tan∠MDN=MNDN =12a√52a=√55．故选：B．4.答案：A解析：【分析】本题考查的知识点是由三视图判断几何体的形状，属于基础题．由题目中的三视图中，正视图和侧视图为矩形，易得这是一个柱体，又由俯视图即可判断几何体的形状．【解答】解：∵正视图、侧视图是矩形，俯视图是正六边形，∴该几何体是六棱柱，故选：A．5.答案：D解析：【分析】本题考查空间中的线面关系，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：若l1//α，l2//α，则有l1//l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1//α或l1⊂α，故B、C错误；如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2//α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2//a，∴l1⊥l2，故D正确．故选D．6.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．连接B1C，AB1，因为F，G分别为BC，BB1的中点，则∠B1CA为异面直线FG与AC所成的角，由此解答即可．【解答】解：连接B1C，AB1，因为F，G分别为BC，BB1的中点，所以FG//B1C，所以∠B1CA为异面直线FG与AC所成的角，在正方体中易证AC=B1C=AB1，所以△ACB1为等边三角形，所以∠B1CA=60°．故选C．7.答案：A解析：解：设D 为BC 的中点，连结AD 、B 1D ，设E 为AB 的中点，连结CE 、A 1E ，∵△ABC 是正三角形，∴AD ⊥BC ，由正三棱柱的性质可知，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， 又平面ABC ∩平面BB 1C 1C =BC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ， ∴B 1D 是AB 1在平面BB 1C 1C 上的射影， 同理，A 1E 是A 1C 在平面AA 1B 1B 上的射影， ∵AB 1⊥BC 1，由三垂线逆定理可知，B 1D ⊥BC 1，∵长方形AA 1B 1B≌长方形BB 1C 1，∴A 1E ⊥AB 1，由三垂线定理可知，AB 1⊥A 1C ； 取AC 中点F ，连结BF 、C 1F ，∵△ABC 是等边三角形，∴BF ⊥AC ，∵AA 1⊥平面ABC ，∴BF ⊥AA 1， ∵AA 1∩AC =A ，∴BF ⊥平面ACC 1A 1，∵A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴BF ⊥A 1C ，∵长方形AA 1B 1B≌长方形BB 1C 1≌长方形AA 1C 1C ，∴A 1C ⊥C 1F ，由三垂线定理可知，BC 1⊥A 1C . ∴A 1C 和AB 1，BC 1都垂直． 故选：A ．设D 为BC 的中点，连结AD 、B 1D ，设E 为AB 的中点，连结CE 、A 1E ，由射影定理、三垂线定理、三垂线逆定理能推导出A 1C 和AB 1，BC 1都垂直．本题考查线线关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意射影定理、三垂线定理、三垂线逆定理的合理运用．8.答案：C解析： 【分析】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，属于基础题．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可． 【解答】解：单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故A 错误； 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故B 错误； 由向量的定义可知C 正确；b → =0→ 时，a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a ⃗ 与c ⃗ 不一定平行，D 错误； 故选C ．9.答案：C解析：【分析】本题考查椭圆的几何意义及直线与椭圆的位置关系，属于一般题． 利用直线AB 与椭圆交点的中点为(2,1)建立关系式，即可得解． 【解答】解：由题知AB 中点坐标为(2,1)，直线AB 斜率为−1， 则直线AB 方程为y −1=−(x −2)， 即y =−x +3，由{y =−x +3x 2a 2+y 2b 2=1消去y 得，(a 2+b 2)x 2−6a 2x +9a 2−a 2b 2=0，所以6a 2a 2+b 2=2×2，有a 2=2b 2，则a 2=2b 2=2(a 2−c 2)，所以e =c a=√12=√22， 故选C ．10.答案：D解析：解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆； 把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．此题AB 与平面α成60°角，过定点B 的动直线l 与斜线AB 成60°角，且交α于点P ， 故可知动点P 的轨迹是抛物线． 故选：D ．用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．本题考查点的轨迹方程的判断，考查圆锥曲线的定义及性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．11.答案：−2；4；4解析： 【分析】本题考查圆的标准方程及一般方程，属于基础题．利用圆心与半径可写出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解． 【解答】解：由于圆心为C(2,2)，半径为2，故圆方程为：(x−2)2+(y−2)2=22，即x2+y2−4x−4y+4=0，故2a=−4，−b=−4，c=4，故a=−2，b=4，c=4，故答案为−2；4；4．12.答案：3解析：解：椭圆方程3x2+4y2=48可化为，x2 16+y212=1，∴a=4,b=2√3．∴c=2，∴|F1F2|=4，∵△PF1F2的面积为6，∴12|F1P|⋅|F1F2|⋅sin∠PF1F2=6，又∵sin∠PF1F2=35，∴|PF1|=5，根据椭圆定义易知，|PF2|=3．故答案为：3．将椭圆方程化为标准方程，易得a=4，b=2√3，然后根据三角形面积公式和椭圆的定义求解即可．本题主要考查椭圆的定义三角形面积公式等基础知识，属于中档题．13.答案：√3解析：解：把圆的方程化为标准方程得：(x−1)2+y2=2，∴圆心A坐标(1,0)，半径|AN|=√2，又M(0,2)，∴|AM|=√(1−0)2+(0−2)2=√5，则切线长|MN|=√|AM|2−|AN|2=√3．故答案为：√3把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，根据题意画出相应的图形，根据切线的性质得到三角形AMN为直角三角形，利用两点间的距离公式求出|AM|的长，再由半径|AN|，利用勾股定理即可求出切线长|MN|的长．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，切线的性质，以及勾股定理，利用了数形结合的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，即直线与圆只有一个交点，熟练掌握切线性质是解本题的关键．14.答案：16π解析：球的直径为4，球的半径为：2，球的表面积为：S=4πR2=16π．故答案为：16π．15.答案：24解析：解：∵F1，F2为椭圆x236+y216=1的两个焦点，∴由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，∴△AF2B的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=24，故答案为：24．△AF1B为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出△AF1B的周长．本题主要考查了椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化．16.答案：√1010解析：【分析】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，将线面夹角问题转化为解三角形问题是解答本题的关键，属于中档题．取AB 的中点F ，连接B 1F ，过点F 作FG ⊥BD ，垂足为G ，连接B 1G ，根据FG ⊥平面BDD 1B 1，可知∠FB 1G 为B 1F 与平面BDD 1B 1所成角，在Rt △FB 1G 中求解即可，而AE//B 1F ，从而求出所求．【解答】解：取AB 的中点F ，连接B 1F ，过点F 作FG ⊥BD ，垂足为G ，连接B 1G ，由正方体性质易知BB 1⊥平面ABCD ，又FG ⊂平面ABCD ，∴BB 1⊥FG ，又FG ⊥BD ，BD ∩BB 1=B ，BD ⊂平面BDD 1B 1，BB 1⊂平面BDD 1B 1, ∴FG ⊥平面BDD 1B 1,∴∠FB 1G 为B 1F 与平面平面BDD 1B 1所成角，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为1，∴FG =√24，B 1F =√52， ∴sin∠FB 1G =√24√52=√1010， 而AE//B 1F ，所以直线AE 与平面BDD 1B 1所成角的正弦值为√1010． 故答案为√1010．17.答案：[19,14] 解析：解：如图，过点D 作DM ⊥AF 于点O ，交AB于点M ，不妨设二面角D −AF −B 的平面角为θ， 则cosθ=OMOD ，设DF =x ，2≤x ≤3，由勾股定理，OD =√x 2+1，OF =√x 4x 2+1，OA =√1x 2+1，∴cosθ=OM OD =OAOF =1x 2在[2,3]上是减函数，∴19≤cosθ≤14．故答案为：[19,14].过点D 作DM ⊥AF 于点O ，交AB 于点M ，不妨设二面角D −AF −B 的平面角为θ，则cosθ=OM OD =OAOF =1x 2，从而求其取值范围． 本题考查了学生的作图能力及空间想象力，注意折起前后的等量关系是本题解决的关键，属于中档题．18.答案：证明：(1)∵BB′⊥平面ABC ，BB′⊂平面B′C′CB ，∴平面B′C′CB ⊥平面ABC ，∵△ABC 是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，又平面B′C′CB ⊥平面ABC ，平面B′C′CB ∩平面ABC =BC ，∴AD ⊥平面B′C′CB ，∵AD ⊂平面AB′D ，∴平面AB′D ⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M ，连接EM ，DM ，DF ．∵D 、E 、F 、M 分别为棱BC ，A′A ，AC ，AB′的中点，∴DF=//12AB，EM=//12A′B′，∵AB=//A′B′，∴DF=//EM，∴四边形DFEM是平行四边形，∴EF//DM，又EF⊄平面AB′D，DM⊂平面AB′D．∴EF//平面AB′D．解析：本题考查了线面平行，面面垂直的判定，构造平行线是证明的关键，属于中档题．(1)由BB′⊥平面ABC可得BB′⊥AD，由正三角形ABC得出BC⊥AD，于是AD⊥平面BCC′B′，从而有平面AB′D⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M，连接EM，DM，DF，则利用中位线定理可证四边形DFEM是平行四边形，于是EF//DM，于是EF//平面AB′D．19.答案：解：(1)∵△ABC的顶点坐标是A(8,0)，B(0,6)，O(0,0)，显然，故其外接圆圆圆心为斜边的中点即AB中点，其外接圆直径的长度为斜边的长度．∴△ABC外接圆C的直径为|AB|=√82+62=10，圆心为(4,3)，∴△ABC外接圆C的方程为：(x−4)2+(y−3)2=25；(2)当直线l的斜率不存在时，x=−1，圆心(4,3)到直线x=−1的距离为4−(−1)=5，故直线x=−1为该圆的一条切线；当直线l的斜率存在时，设为k，则过点P(−1,5)的l的方程为y−5=k(x+1)，即kx−y+k+5=0，依题意，圆心(4,3)到直线l的距离d=2=2=5，解得：k=2120，∴l的方程为：21x−20y+121=0，综上所述，过点P(−1,5)作圆C的切线l的方程为：x=−1或21x−20y+121=0．解析：(1)依题意，易知ABC外接圆C的直径为|AB|=√82+62=10，圆心为(4,3)，从而可得△ABC 外接圆C的方程．(2)分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在时，设为k两种情况讨论，分别利用圆心到直线的距离等于半径去解决问题即可．本题考查圆的一般方程与圆的切线方程的求法，利用圆心到直线的距离等于半径是求切线斜率(存在时)的关键，考查转化思想．20.答案：解：(Ⅰ)S△ABF=1，则bc=1，又e =c a =√22，a 2=b 2+c 2，∴a =√2，b =1，∴椭圆C 的标准方程x 22+y 2=1．(Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my +2，由{x =my +2x 22+y 2=1，得(2+m 2)y 2+4my +2=0， ∴△=16m 2−8(2+m 2)>0，解得m 2>2，∴y 1+y 2=−4m m 2+2，y 1y 2=2m 2+2，令， ∵|y 1|<|y 2|，∴0<t <1，则(y 1+y 2)2y 1y 2=t +1t +2=8m 2m 2+2=81+2m 2∈(4,8)，∴3−2√2<t <1，故为坐标原点)的取值范围为(3−2√2,1)．解析：(Ⅰ)由S △ABF =1，则bc =1，又e =c a =√22，a 2=b 2+c 2，解得即可求出椭圆的方程， (Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =my +2.由此利用韦达定理得到为坐标原点)的取值范围(O 为坐标原点)．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形的取值范围的求法，解题时要认真审题． 21.答案：(Ⅰ)证明：取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，BD ，∵△PAB 是等边三角形，∴PO ⊥AB ，又∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴DO ⊥AB ，∵PO ∩DO =O ，PO ，DO ⊂平面POD ，∴AB ⊥平面POD ，∵PD ⊂平面POD ，∴AB ⊥PD ．(Ⅱ)∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面BCD =AB ，PO ⊥AB ，PO ⊂平面PAB ，∴PO ⊥平面ABCD∴PO ⊥DO ，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，设AB =2，平面PAB 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(0,1,0)， P(0,0,√3)，B(1,0，0)，C(2,√3,0)，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√3)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,−√3)， 设平面PBC 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{x −√3z =02x +√3y −√3z =0, 令z =1，得x =√3，y =−1，∴n ⃗ =(√3,−1,1)，设二面角A −PB −C 的平面角为θ，θ为钝角，∴cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5=−√55．解析：本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．(Ⅰ)取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，BD ，证明PO ⊥AB ，DO ⊥AB ，推出AB ⊥平面POD ，然后证明AB ⊥PD ．(Ⅱ)以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，设AB =2，求出平面PAB 的一个法向量，平面PBC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A −PB −C 的平面角的余弦函数值即可．22.答案：解：(1)由题意得：a =√2b,12a 2+34b 2=1⇒b =1,a =√2，椭圆C 的方程为x 22+y 2=1;(2)假设满足条件的圆存在，其方程为：x 2+y 2=r 2(0<r <1)，当直线P,Q 的斜率存在时，设直线方程为y =kx +m ，由{y =kx +m x 2+2y 2=2得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 令P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则有：x 1+x 2=−4km 1+2k ，x 1x 2=2m 2−21+2k 2， ∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由x 1x 2+y 1y 2=0，得(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0，∴(1+k 2)(2m 2−2)1+2k 2−4k 2m 21+2k 2+m 2=0， ∴3m 2=2k 2+2，因为直线PQ 与圆相切，∴r 2=m 21+k 2=23，所以存在圆x 2+y 2=23， 当直线PQ 的斜率不存在时，也适合x 2+y 2=23，综上所述，存在圆心在原点的圆x 2+y 2=23满足题意．解析：本题考查椭圆的方程的求法，圆与椭圆以及直线的综合应用，考查分类讨论思想、转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)由短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形，推出a =√2b ，利用椭圆经过的点的坐标，代入椭圆方程，求出a 、b ，即可得到椭圆C 方程；(2)假设满足条件的圆存在，其方程为：x 2+y 2=r 2(0<r <1)，当直线PQ 的斜率存在时，设直线方程为y =kx +b ，联立方程组，令P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，利用韦达定理，结合x 1x 2+y 1y 2=0，推出3m 2=2k 2+2，利用直线PQ 与圆相切，求出圆的半径，得到圆的方程，判断当直线PQ 的斜率不存在时的圆的方程，即可得到结果．。

2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷含答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上..2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷将答案写在答题卡上，在试题卷上作答，答案无效.4.考试结束，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线x－y＝0的倾斜角为( )A．45°B．60°C．90°D．135°2．若三点A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)共线，则实数m的值是( )A．6 B．－2 C．－6 D．2 3．圆ｘ2＋ｙ2＝4与圆ｘ2＋ｙ2－6x＋8y－24＝0的位置关系是（)A．相交B．相离C．内切D．外切4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱锥A1-ABCD的体积与长方体AC1的体积的比值为( )A.12B．16C.13D．155．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别为AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是( ) 6．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是（)A.π3B.π4C.2π3D.3π47．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．2π＋12 B．π＋12 C．2π＋24 D．π＋24 8．若坐标原点在圆x2＋y2－2mx＋2my＋2m2－4＝0的内部，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．－22，22C．(－3，3) D．(－2，2)9．点P(7，－4)关于直线l：6x－5y－1＝0的对称点Q的坐标是（)A．(5,6) B．(2,3) C．(－5,6)D．(－2,3)10.过(2，0)点作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为( )A．y＝0 B．x＝1和y＝0 C．x＝2和y＝0 D．不存在11．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0与x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦长等于( ) A．4 B．2 3 C．3 2 D．4 212．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝12x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )A．－6＜k＜2 B．－16＜k＜0C．－16＜k＜12D．k＞12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。