一道高考压轴题的思维过程

学思维 能力 是一道有 区分度 、有选拔功 能的 压 轴题． 笔者在求解这道题 、探究它 的本质 时， 经 历 了一 系 列 的 思 维 过 程 ， 觉 得 这 些 思 维 活 动 可 以融入 到教 学 中去， 故整 理成 文，以期对 同 行们的教学有所帮助． １ ． 反 思等 比数 列
一
虽 然 已经 找 到 了 一 种 分 拆 方 法 ， 但 我 们 会 有 疑 问： 这样 的分拆方法是否 唯一 ？如 果不唯
ｑ ”＝ ｒ ｑ （ ｍ ≥２ ） ， 于是有 Ｐ＋
１一 ｑ
Ｊ ． 一 ｑ
＝
还 可 以怎么分拆 ？将一个等差数 列分拆成 的两个数列， 显 然 要 么 都 是 等 差 数 列 、 要 么 都
ａ
ａ
４
，
圳
＝１ ＋
．
４ ２ — ２ ＋ ４ ’ 于 是 ， ’ 当 一 ｚ ∈ （ ０ ， ’ ２ ／ 时 ， ＞ ０ ； 当 ∈ （ ３ ， ＋ 。 。 ） 时 ， ＜ ０ ， 则 当
，
６ （ ２ ｘ ＋１ ） （ ２ ｘ －３ ） ＝一 面
２ － ３ ０
数 学教 学
３ ．探 究 等 差数 列
２ ０ １ ５ 年第２ 期
：任
意 佗≥２ 时的情况， 由Ｓ ｎ＝ ａ ｍ（ 显然 ｍ ≠ １ ， 否
则
一
ｌ— ｑ
ｑ
：０ ， 这无解） ， 所 以ｐ ＋
ｑ
正整数 Ｔ ｎ ， 使得 ＝ｎ ， 则称｛ ｎ ） 是“ 日” 数列． （ １ ）若 数 列｛ ０ ） 的 前 ｎ项 和 Ｓ ｎ： ２ ， 证
明： ｛ ｎ ， 是“ 日” 数列； （ ２ ）设ｆ ０ １ ． 是 等差 数 列， 首项ａ ｌ＝ １ ， 公
些等 比数列是 “ 日” 数列呢 ？于是设数列｛ ０ ｎ ） 的 通项 公式为 ａ ＝ａ ｌ ｑ ｎ ＿ 。 ， 当ｑ＝ １ 时， 则ａ ＝ ａ ｌ ， Ｓ ｎ＝ ｈ ａ ｌ ， 对 ｎ ≥ ２时，不 存 在 正 整 数 ｍ，
｛ （ ２ ） （ 其 中 ｒ 、 ｇ 不 为 ０ ） ． 当 ｇ ＝ １ 时 ，
数 列｛ ０ 礼 ） 显 然 不 是“ 日” 数 列；当ｑ ≠ １ 时，
则 ：ｐ ＋ ：ｐ ＋ 一 ，
圆
Ｘ ２ ＋ ＝ ２ ｃ 与直 线
１ ＋
： ＝ ＝
＝
ｔ 的位 置 关 系 问题 ． 由于 直 线 ｆ 到 圆 Ｃ 的 中心 的
中， 灵 活 运 用 了函 数 、 方 程 和 不 等 式 等 相 关 的
设 ：— （ ２ ａ ＋ ｂ ） ２
：
Ｃ ４ ・ 一 Ｄ ＋ Ｄ ・ 令 詈 Ｄ ：
基础 知识， 突 出对 问题 变换 的考 查， 正如数 学 家波利亚所说：“ 如 果不变化 问题， 我们 几乎不 能有什 么进 展． ” 从“ 问题 的解 决” 这 一角度来看 ， 本题 是绝 佳 的“ 一题 多解” 题， 所涉及 的知识与方法层面， 有不少实用 的解题技术 ．
。ｎ ＝
（ ３ ）证 明：对 任 意 等差 数 列ｆ ０ ） ， 总存 在 两个 “ 日” 数列｛ ６ ｝ 和｛ ｝ ， 使得 ａ ＝ ｂ ＋Ｃ ｎ 成
立．
本 题 定 义 的“ 日” 数 列从首项起， 依 次 叠
加 数 列ｆ ０ ｎ １ ． 中 的 项，得 到 的 和（ 即前 ｎ 项 和 为 ） 仍 是数 列ｆ ０ ） 中 的项． 这 道题 考查 了等 差 数列 、等 比数列 的基本知 识 、基本方 法， 它
使 ： ０ ； 当 ｑ≠ ｌ 时， 则 ： 二 ：
差 ｄ＜０ ， 若 ０ 佗 １ 是“ 日” 数列， 求ｄ 的值 ；
ａ ｍ＝ａ ｌ ｑ ｍ一 ， 即ｌ ＋ｑ ＋ｑ ＋… ＋ｑ 一 ＝ ｑ ｍ一 ，
当 ｎ＝ １ 时， ｍ＝ １ ， 当ｎ ≥ ２ 时， 左式 不能整 除ｑ ， 右 式能 整 除 ｑ ， 故不 存在 正整 数 ｍ， 使 等 式 成 立 ， 即不 存 在 等 比数 列 是 “ 日” 数 列． 这 一 不 成 熟 的 思考 ， 使 我 们 回 过 头 来 再 看第（ １ ） 小题 给 出 的条件“ ３ ＇ ｎ＝ ２ … ’ ，其 实 不 是等比数列的前ｎ 项和， 它 的通 项 公 式 是
更 侧 重 于 考 查 学 生 的 理 解 能 力 、 分 析 能 力 、 数
｛ ， ２ ） ， 实 际 上 是 由 等 比 数 列 。 ｎ ＝
设 数 列｛ ｎ ） 的 通 项 公 式 为ａ ＝
２ — 改变 第 １ 项 得 到 的， 这 会 使 我 们 提 出 问题 ： 哪 些 等 比数 列 改变 第 １ 项 能得 到 “ 日” 数列呢？
兰 （ 即 詈 ＝ 主 ） 时 ， ＝ ｝ 有 最 大
三 、评 析 本 题立 足基 础， 注 重思维 ， 上 述 各 种 解 法
值 （ 以下解答相 同， 故省略） ．
距离不大于该圆的
解 答 相 同， 故省略） ．
故彳 导ｌ ｔ Ｉ ≤
（ 以下
策略 ５ ：从 导 数 的角 度 出发 ．
一
，
０ 且一 ÷
ｑ ＝ｒ ｑ ｍ （ ｍ ≥２ ） ， 解得ｑ＝２ ，
，
不是等差数列 ， 对于后 者笔者觉得没 有太大 的 研 究价值 （ 当然这 一想法未必对 ） ， 本 文重 点研
究如何分拆 成两个 等差 型的“ 日” 数 列， 基 于这 ｐ ＝ ２ ｒ ， 所 以 ｎ ＝ ｛ Ｉ ｉ Ｔ ’ ‘ ’ ２ ． ． ， （ Ｉ ｔ ｉ ｎ ７ － ≥ ２ １ ） Ｊ ， ￣ 这 时 样 的分析 ， 我们首先 思考：什么样 的等 差数列
２ ０ １ ５ 年第 ２ 期
数 学教 学
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一
道 高考 压 轴 题 的思维 过程
２ ２ ４ ０ ０ ０ 江 苏省 盐城市教育局教科 院 吴 彤
２ ０ １ ４ 年高考江苏卷第 ２ ０ 题为： 设数列 的前 佗项 和 为 ， 若 对任 意 正整 数 佗 ， 总存 在
第（ １ ） 小题不 难解 决 ， 但 随 后 我 们 会 想 哪