一维显式有限差分法

（７） （８）
犮狀＋１ 犻
－犮犻狀
Δ狋
α犔 ＝
［犞犻＋
１ ２
（犮犻狀＋１
－犮犻狀）－犞犻－ （Δ狓）２
１ ２
（犮犻狀
－犮犻狀－１）］－犞犻犮犻狀
－犞犻－１犮犻狀－１ Δ狓
（１≤犻＜犖）
（９）
当犻＝犖
时 ，认 为犮狀犖＋１＝β犮狀犖
，犞犖＋
１ ２
＝犞犖
，其 中β 为 边 界 衰 减 因 子 ，其 值 介 于 ［０，１］之 间 ，反 映 浓 度 在 边
２ 研究方法
２．１ 一 维 对 流 弥 散 方 程 以一维对流弥散方程为研究对象，不计 源 汇 项，且 孔 隙 率狀 为 常 数，在 稳 定 渗 流 场 中，若 求 解 对 流 弥
散方程得出溶质浓度变化引起的水密度变化可以忽略，则 水流 方程 和溶 质迁 移方 程可以 独立 求解。由 水
流方程的解得出研究区域及时段的速度分量，然后把速度作 为 输入 代入 对流 弥散 方程。这 种“去耦”法计 算效率高 。 ［８］
有限差分法是一种古典的数值计算方法。随着数值计算 方法 的研 究和 发展，差 分法 已经 被广 泛 应 用 在地下水渗流问题和浓度扩散问题中。其基本思想是：用渗流 区内 有限 个离 散点 的集 合代 替连 续的渗 流 区，在这些离散点上用差商近似地代 替 微 商，将 微 分 方 程 及 其 定 解 条 件 化 为 以 未 知 函 数 在 离 散 点 上 的 近 似值为未知量的代数方程（称为差 分 方 程），然 后 求 解 差 分 方 程，从 而 得 到 微 分 方 程 的 解 在 离 散 点 上 的 近 似值。有限差分法难免会产生截断误差、舍入误差和测量 误 差，如 果在 某个 节点 某个 时阶 处出现 误 差 后， 会对下一步的迭代求解过程产生影 响，是 误 差 逐 渐 变 小 还 是 被 无 限 放 大，需 要 讨 论 差 分 法 的 收 敛 性 和 稳 定 性 。 ［３４］

S n
T(x,y,z,t1) T(x,y,z,t2) 温度发生变化需要的热量为：
Q 2 cT ( x ,y ,z ,t2 ) T ( x ,y ,z ,t1 ) d V
M V
S
热场
V
c
t2 TdtdV
t2
cTdVdt
V
t1 t
t1 V
在 dt 时段内通过微元的两端流入的热量
d Q 1 ( Q x 1 Q x 2 ) d t k ( T ( x x 2 , t ) T ( x x 1 , t ) ) d t
x2 2T(x,t)
k
dxdt
x1 x2
在任意时段 [t1, t2 ] 内，流入微元的热量
x x
t u x， u t 1 p x
p 1p
t

pt
a2
t
代入 u 得
t
x
u
x
a12
p t
对t求导，得
2u 1 2p
xt a2 t2
利用
u 1 p
t x
根据Newton第二定律，就得到：
P (x d x,t) P (x,t)SS d x 2 tu 2
根据胡克定律 P E u
x
2u E 2u 0
t2 x2
2tu2 a2
2u x2
0
令：a
E


2u t 2

P x
☆ 静止空气中一维微小压力波的传播
得
2 p t2

a2
2 p x2
一维声波方程。
☆ 静止空气中三维声波方程
双曲型 2 t2 pa2 2 xp 2 2 yp 2 2 zp 2

有限差分求解1维流体方程
有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方法，用于离散化空间和时间上的导数，将偏微分方程转化为代数方程组。

对于一维流体方程，我们可以采用有限差分法来求解。

首先，我们需要考虑一维流体方程的形式。

一维流体方程通常包括质量守恒方程和动量守恒方程。

质量守恒方程描述了流体的质量随时间和空间的变化，而动量守恒方程描述了流体的运动状态随时间和空间的变化。

在有限差分法中，我们需要将空间和时间上的导数用差分形式表示。

对于一维空间上的导数，我们可以使用中心差分、向前差分或向后差分等方法进行离散化。

对于时间上的导数，通常使用向前差分或向后差分。

一旦我们将偏微分方程离散化为代数方程组，我们可以使用数值方法（如迭代法、矩阵求解法等）来求解这个代数方程组。

在求解过程中，需要考虑数值稳定性和收敛性等问题。

另外，对于一维流体方程，我们还需要考虑边界条件和初始条
件的处理。

边界条件和初始条件的选择对数值求解的精度和稳定性有很大影响，因此需要仔细考虑和处理。

总之，有限差分法是一种常用的数值求解偏微分方程的方法，对于一维流体方程，我们可以通过离散化空间和时间上的导数，将偏微分方程转化为代数方程组，然后使用数值方法进行求解。

在实际应用中，需要考虑边界条件、初始条件以及数值稳定性等因素。

ｐ ｏ ＞０ Ｐ （） （） ， ’ ≥０， （） ｑｘ ２０， Ｏ ＝Ｄ＞０ “（） ，” ） ０。 （） ， ’ ＞Ｏ （ ＞ ｕ
１ 差 分 格 式 的 建 立 将区间 ［， ］ ａｂ 网格剖分为 ｍ 等分 ， ： 记
｛ｐ）－＿ 】）（ ，（ 一（ “ｐ） ＋“‘ 去＋ （ ｑ ） 一） 【 ｘ （ ，１ ｌ ＋ ， ；
将 匕式 代 人 （ ） 得 ： ４式
一
Ｐ 】 Ｈ 一（ ＋Ｐ ＋ｈ ｑ） ＋Ｐ 。 Ⅲ ＝一 ２ Ｕ Ｐ １ ｌ Ｚ ｆ ｌＵ ｈ
卜— ｔ 一一 Ｉ 十 Ｉ ＋
２
２
２
２
）
＋
ｐ‘ ） Ｕ ￣ ＋ （ （ ｌｑ ｕ ）
一
１ｆ ≤ ≤ｍ一 １
ｉ圈 ｉ ２ ｌ
— 嚣。 ． 。 。 。 。 。
一
学 术 论 坛
维 守恒 型 方程 的 一个 显 式 差 分 格 式
崔 进 赵 颖
（ 南京 信息职业 技术 学院 南京 ２ ０ ６ １ ４ ） ０
摘 要： 有限 差分法是求 解微分 方程 的最 广泛 的方法之一 。 本文 考虑一类 守恒型方程 的边值 问题 ， 用差分法建立 一个 具有 一阶精度 的 利 显 式 差 分 格 式 ， 出 了差 分 的 估 计 式 ， 证 明 了 差 分 格 式 的 存 在 唯 一 性 、 敛 性 、 定 性 ， 进 行 例 证 。 给 并 收 稳 并 关键 词： 守恒 型方程 有限差分格式 收敛 性 稳定性 中 图分 类 号 ： ｌ Ｏ ２ ７ 文 献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ： ２ ３ ９ （ ０ ｌ （） ０ １ － ｌ ７ ～ Ｉ２ １ ） ２ｃ一 ２ ０ ６ ７ ｏ ８ ２