案例解析—三角函数模型的简单应用-潮汐问题安徽师范大学附属中学叶祥才一、内容分析1.课题：三角函数模型的简单应用---潮汐问题。
教材内容选自人民教育出版社编写的《普通高中课程标准实验教科书数学必修4(A版）》的“1.6 三角函数模型的简单应用”的例4。
2.课标要求：会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
3.地位分析：三角函数是刻画现实世界某些现象的重要数学模型。
周期变化现象在现实中大量存在，如音乐的旋律、波浪、昼夜的交替、潮汐、钟摆的运动、交流电等，这些现象都可以用三角函数来描述。
与传统的处理方法不同的是，把三角恒等变换从三角函数中独立出来，其目的也是为了在三角函数一章中突出“函数作为描述客观世界变化规律的数学模型”这条主线。
三角函数的学习能使学生加深认识数学与实践的紧密联系，潮汐问题就是一个典型的案例，通过用三角函数解决实际问题，让学生在实践中体会数学的作用和价值，学习用数学的观点看待和处理日常生活以及其他学科的问题的方法。
4.学情分析：在学生的已有经验中，像日出日落，月圆月缺，春夏秋冬，24节气，时针旋转……都是日常经验，对于这些周期变化现象及出现的原因，学生在地理课中都接触过、学习过；单摆，圆周运动，弹簧振子……是学生在物理中学习过的，这些都是认识周期现象的变化规律，体会三角函数模型的意义的很好载体。
在知识贮备上，学生已经学习了三角函数的图像和性质、利用图象解三角不等式、利用二分法求相应方程的近似解，而且在必修1中，学习了函数建模，初步具有利用信息技术处理一些实际计算的能力，这些为本节课提供了知识和方法的准备。
二、目标与重难点1.教学目标：通过三角函数解决潮汐问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，在实践中体会数学的作用和价值，进而培养数学应用意识。
2.教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题。
3.教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型。
1.6三角函数模型的简单应用自主学习知识梳理1．三角函数的周期性y＝A sin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A cos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A tan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________.2．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质(1)y max＝________，y min＝________.(2)A＝__________，k＝__________.(3)ω可由__________确定，其中周期T可观察图象获得．(4)由ωx1＋φ＝______，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝__________，ωx4＋φ＝__________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．自主探究结合三角函数图象的特点，思考后写出下列函数的周期．(1)y＝|sin x|的周期是________；(2)y＝|cos x|的周期是________；(3)y＝|tan x|的周期是________；(4)y＝|A sin(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是________；(5)y＝|A sin(ωx＋φ)＋k| (Aωk≠0)的周期是____________________________________________________________________；(6)y＝|A tan(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是__________．对点讲练知识点一从实际问题中提炼三角函数模型例1如图(1)所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.(1)(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．回顾归纳如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型．变式训练1 如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.知识点二 三角函数模型在物理学科中的应用例2 交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．回顾归纳 三角函数模型在物理学科中有着广泛的应用．在应用三角函数知识解决物理问题时，应当注意从复杂的物理背景中提炼基本的数学关系，还要调动相关物理知识来帮助理解问题．变式训练2 如图表示电流I 与时间t 的函数关系式：I ＝A sin(ωt ＋φ)在同一周期内的图象．(1)据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为使I ＝A sin(ωt ＋φ)中t 在任意一段1100的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？知识点三 三角函数模型在实际问题中的应用t 小时＋B 的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)回顾归纳 确定函数关系式y ＝A sin ωt ＋B ，就是确定其中的参数A ，ω，B 等，可从所给的数据中寻找答案．由于函数的最大值与最小值不是互为相反数，若设最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2.变式训练3 设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.课时作业一、选择题1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A.150 sB.1100s C ．50 s D ．100 s 2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B ．f (x )＝9sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *) C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) 3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0 D ．－3或34. 如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )二、填空题5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 6．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．7．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于________．三、解答题8. 如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？§1.6 三角函数模型的简单应用答案知识梳理 1.2π|ω| 2π|ω| π|ω|2．(1)A ＋k －A ＋k (2)y max －y min 2 y max ＋y min 2 (3)ω＝2πT (4)0 π2 π 32π 2π3．周期 自主探究(1)π (2)π (3)π (4)π|ω| (5)2π|ω| (6)π|ω|对点讲练 例1 解(2)(1)由题意可作图如图(2)所示．过点O 作地面平行线ON ，过点B 作ON 的垂线BM 交ON 于M 点．当θ>π2时，∠BOM ＝θ－π2.h ＝|OA |＋0.8＋|BM |＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2； 当0≤θ≤π2时，上述解析式也适合．综上所述，h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在⊙O 上逆时针运动的角速度是π30，∴t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＋5.6，t ∈[0，＋∞)． 变式训练1 解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处．这时此人所转过的角为2π30t＝π15 t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10 sin π15t ＋12(t ≥0)． (2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252. 故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m. 例2 解 (1)当t ＝0时，E ＝1103(伏)， 即开始时的电压为1103伏．(2)T ＝2π100π＝150(秒)，即时间间隔为0.02秒．(3)电压的最大值为2203伏．当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300秒时第一次取得最大值．变式训练2 解 (1)由题图知，A ＝300，t 1＝－1300，t 2＝1150，∵T ＝2(t 2－t 1)＝2(1150＋1300)＝150，∴ω＝2πT＝100π.由ωt 1＋φ＝0知φ＝－ωt 1＝π3，∴I ＝300sin(100πt ＋π3)．(2)问题等价于T ≤1100，即2πω≤1100，也即ω≥200π，故最小正整数为ω＝629.例3 解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6. 又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．变式训练3 A [在给定的四个选项A 、B 、C 、D 中我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.]课时作业 1．A 2.A3．D [因为f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的对称轴． 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6ω＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2 ＝±3.因此选D.]4．C [d ＝f (l )＝2sin l2.]5．26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28. 6．80解析 T ＝2π160π＝180(分)．f ＝1T＝80(次/分)．7.g 4π2 解析 T ＝2πgl＝1.∴ g l ＝2π.∴l ＝g4π2.8．解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6. 由OP 在时间t (s)内所转过的角为⎝⎛⎭⎫5×2π60t ＝π6t .由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.。
§1.6三角函数模型的简单应用【学习目标 细解考纲】1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.2通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断. 【知识梳理 双基再现】1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型.2、|sin |y x =是以____________为周期的波浪型曲线.3、如图所示，有一广告气球，直径为6m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角030BAC ∠=时，测得气球的视角01β=，若θ很小时，可取sin θθ≈，试估算该气球离地高度BC 的值约为（ ）. A ．72cm B ．86cm C ．102cm 【小试身手 轻松过关】1、设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ） A ．123sin,[0,24]6t y t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈2、如图，是一弹簧振子作简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是____________.3、如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙点的位置将移至（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【基础训练 锋芒初显】1、从高出海面hm 的小岛A 处看正东方向有一只船B ，俯角为30看正南方向的一船C 的俯角为45，则此时两船间的距离为（ ）.A ．2hmBCD ．2、如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++.（1）求这一天最大用电量及最小用电量. （2）写出这段曲线的函数解析式.3、如图，它表示电流sin()I A t ωϕ=+在一个周期内的图象. （1）根据图象写出sin()I A t ωϕ=+的解析式 （2）在任意3100秒的时间间隔内，电流I 即能取得最大值|A|，又能取得最小值-|A|吗？ 4、如图为一个观览车示意图，该观缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离为h . （1）求h 与θ间关系的函数解析式.（2）设从OA 开始转动，经过t 秒到达OB ，求h 与t 间关系的确数解析式. 【举一反三 能力拓展】1、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.2、如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++ （1）求这段时间的最大温差. （2）写出这段曲线的函数解析式 【名师小结 感悟反思】解决实际问题的基本思路：读（题）→建（模）→解答,同学们在做题过程中一定要认真体会.§1.6三角函数模型的简单应用【知识梳理 双基再现】 1、周期 2、π 3、B 【小试身手 轻松过关】 1、A 2、52sin()24y x ππ=+ 3、B 【基础训练 锋芒初显】 1、A 点拨:如图所示,在Rt ABO ∆中，3,tan 30hBO h ==在Rt AOC ∆中，CO AO h ==在Rt BOC ∆2h =2、（1）最大用电量为50万度，最小用电量为30万度.（2）观察图象可知，从8～14时的图象是sin()y A x b ωϕ=++的半个周期的图象, 将8,30x y ==代入上式，解得,6π∴所求解析式为10sin()40,[8,14]66y x x ππ=++∈,3、（1）100sin()33I t ππ=+ （2）不能4、解（1） 4.8sin() 5.6,[0,].2h πθθ=-+∈+∞【举一反三 能力拓展】1、由条件可得：出厂价格函数为ππ=-+12sin()644y x ,销售价格函数为ππ=-+232sin()8,44y x 则利润函数为:所以，当x=6时，Y=（2+22）m ，即6月份盈利最大.2、解：( 1)由题中图所示，这段时间的最大温差是30－10＝20（℃）.（2）图中从6时到14时的图像是函数 的半个周期的图像，∴ ，解得．由图示， ， ．这时 ．将x=6， 代入上式，可得 ．综上，所求解析式为 ， ．。
