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保守系统 应用拉格朗日方程的步骤

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拉格朗日第二类方程

拉格朗日第二类方程

代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 C1 C2 0
故：
3M
gt 2
(2P9Q)( Rr)2
20
[例]图示系统，物块C质量为m1 ，均质轮A、B质量均为m2， 半径均为R，A作纯滚动，求系统的运动微分方程。 解：系统具有一自由度，保守
系统。以物块C的平衡位置为
原点，取x为广义坐标：
AF q j
（4）不含约束力。
二、保守系统的拉格朗日方程
如果作用于质点系的力是有势力，则：
Qj
V q j
而拉氏方程为：
15
d dt
T q j
T q j
V q j
由于V=V（q1，q2，...，qk），不含广义速度，所以
V q j
0,
d dt
V q j
0
上式为：
d dt
T q j
T q j
d dt
V q j
V q j
或：d dt
(T V q j
)
(T V q j
)
0
令L=T-V——拉格朗日函数
d dt
(
L q j
)
L q j
0 ( j1,2,,k )
保守系统的拉格朗日第二类方程。
16
应用拉氏方程解题的步骤：
1. 判定质点系的自由度 f，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
Q
A
M
T
1 2P 6
9Q (R g
r ) 2
;
d T
dt
1 2P 9Q (R r)2
6
g
;
T 0
19

理论力学 拉格朗日方程

理论力学 拉格朗日方程

xl
cos

1 2
k
x2

m2
gl
cos
L x

(m1

m2
)
x

m2
l
cos
,
L x

kx
d dt
L x

(m1

m2
)
x
m2
lcos

m2
l
2
sin
L


m2
l
2

m2
xlcos
,
L


m2
xl
sin

m2
glsin
(c)
代入质点系动力学普遍方程，得：
n
n
n
(Fi miai )ri Fi ri miairi 0 (d )
i 1
i 1
i 1
n
Fi
i 1
ri
n
Fi
i 1
( jk1qrij
q
j
kn
) (F
j1 i1
i
ri q j
)q j
kn
质点 M i : mi , 。ri 若取系统的一组广义坐标为
q，1则, q2 ,qk
ri ri (q1,q2 ,qk ,t) (i1,2,n)
(a)
vi
dri dt
jk1qrij
q j
ri t
(i 1,2n)
( b)
称
q j

dq j为广义速度。 dt
7
ri jk1qrij q j (i1,2,n)
22
dL dt

5第3章拉格朗日方程

5第3章拉格朗日方程

第3章拉格朗日方程以动力学普遍方程为基础，拉格朗日导出了两种形式的动力学方程，分别称为第一类和第二类拉格朗日方程。

将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立起动力学普遍方程，避免了理想约束力的出现；再把普遍方程变为广义坐标形式，进一步转变为能量形式，导出了第二类拉格朗日方程，实现了用最少数目的方程描述动力系统；应用数学分析中的乘子法，采用直角坐标形式的普遍方程和约束方程而建立的一组动力学方程，是第一类拉格朗日方程，便于程式化处理约束动力系统问题。

拉格朗日方程是分析力学得以发展之源。

3.1 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程是分析力学中最重要的动力学方程，它给出动力学问题一个普遍、简单而又统一的解法。

拉格朗日方程只适用于完整约束的质点系。

3.1.1 几个关系式的推证为方便起见，在推导拉格朗日方程前，先推证几个关系式。

质点系由n个质点、s个完整的理想约束组成，它的自由度数为k＝3n–s，广义坐标数与自由度数相等。

该系统中，任一质点M i的矢径r i可表示成广义坐标q1，q2，…，q k和时间t的函数，即r i＝r i(q1，q2，…，q k，t)i＝1,2,…,n它的速度(3-1)i＝1,2,…,n式中称为h个广义坐标的广义速度，分别为广义坐标和时间的函数，与广义速度没有直接的关系。

式(3-1)对求偏导数，则有(3-2)这是推证的第一个关系式，它表明，任一质点的速度对广义速度的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏导数。

为推证第二个关系式，将式(3-1)对广义坐标q j求偏导数，或(3-3)这是第二个关系式，它表明，任一质点的速度对广义坐标的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏导数，再对时间的一阶导数。

再看看质点的动能对广义坐标的偏导数。

有(A)又式(3-2)、式(3-3)代入上式，并注意式(A)的关系，(3-4)3.1.2 第二类拉格朗日方程动力学普遍方程可以改写为(3-5)左侧的第一项主动力的虚功之和，可以用广义力Q h在广义虚位移q h上所做的功之和表示，即(3-6)值得指出，这里的主动力并非平衡问题中的主动力，因此，这里的广义力Q h不等于零。

拉格朗日方程

拉格朗日方程
由此解出θ。
[例2]图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O、E处摩擦， 求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数 f。 解：系统具有2自由度。 以sA、 sB为广义坐标 （1）当sA改变δsA而δsB=0（
B不动），此时δsC= δsA /2
1 WA Fs A WsC ( F W )s A 2 WA 1 QA F W s A 2
( j 1,2,, k )
这就是拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程， 或拉氏方程。
j , q j ,t) (1) T T (q
（2）有势力、非有势力都适用
W j (3) Q j q j
（4）不含约束力。 二、保守系统的拉格朗日方程 如果作用于质点系的力是有势力，则：
V Qj q j
(f)
①Mi点的速度： 由(a)式
dri ri ri ri ri 1 2 ... k vi q q q dt q1 q2 qk t k r ri i j q (g) j 1 q t j
j — 广义速度 式中：q
ri ri , 由（a）知 只是广义坐标和时间的函数，与广义速 q j t
这样就将具有k个自由度的质点系变为一个自由度的质点系 ，所有主动力的元功之和： W j
W j Q j q j
Q jq j
( j 1,2,..., k )
3、若作用于质点系的主动力都是有势力，质点系在任一位置
的势能V=V（q1，q2，...，qk）
V V V , Yi , Zi 由式（8-7-8） X i xi yi zi
k
2 ri 2 ri j q tql j 1 q j ql
k

动力学方程 拉格朗日方程

动力学方程 拉格朗日方程

dt
dt
dt
s
1
V q
q
dV dt
dT dV 0 dt dt
T＋V＝E＝恒量
这就是力学体系的能量积分。
可见拉格朗日方程具有能量积分的条件是：受稳定的理想约束的完整系 ，只受保守力而且T、V中不显含t，这时体系的能量守恒。
（3）对于完整的保守的力学体系，受不稳定约束而且T、V 中不显含t情况的分析。
d dt
n i 1
mi
ri
ri q
n i1
mi
ri
ri q
d dt
n i 1
q
1 2
mi
ri
2
n i 1
q
1 2
mi ri 2
令
T
n i 1
1 2
mi ri 2
显然 T 是体系的动能，则有
P
d dt
T
q
T q
即
d dt
T q
T q
Q ,
1, 2, , s
y
Fy
j'
rP
解 方法一：
o
从定义式计算。 将定义式用于极坐标，因 粒子数 n＝1，则
Qr
F
r r
r
Q F
F
i'
Fx
x
又因 x＝ r cos，y＝r sin
则
x cos , y sin
r
Qr
F
r r
r
Fx
x r
Fy
y r
y
Fy
j'
F
i'
r P Fx
o
Q＝ r F（是力矩）
F
r o

拉格朗日方程

拉格朗日方程
统的自由度数目，选取合适的广义坐标。
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二 日 阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。 方 程
1.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1.2
拉 格 朗 日 方 程
例4 如图轮A的质量为 m1，在水平面上只滚动不 滑动，定滑轮B的质量为 m2，两轮均为均质圆盘，半 m3 径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性系数为 ， k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解：以系统为研究对象， B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标，x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式

整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24

06分析力学基础第二类拉格朗日方程


将Qk代入拉格朗日方程式，得
d dt
(
T qk
)

T qk

V qk
0
势能V不包含广义速度，引入拉格朗日函数
L T V L(qk , qk , t)
为拉格朗日函数（动势），是表征体系约束运动状态和相互作用 等性质的特征函数。
保守体系的拉格朗日方程为：
d dt
(
L qk
)

系统的运动微分方程。
(m1 m2 )x m2l kx 0 x l g 0
上式为系统在平衡位置(x =0, =0)附近微幅运动的微分方程。
M1-23
M1-24
变换 1.
ri qk

ri qk
由 ri ri (q1, q2, qN , t) (i 1, 2, n)
d dt
n i1

mi ri

ri qk


qk
n i1
1 2

mi
ri

ri


d dt
qk
n1 2
i1
mivi2

qk
n i1
1 2
mivi2

d dt
T qk

T qk
M1-3
由
Qk

n
miri
i1

ri qk
k 1, 2, N
可得
d dt
T qk

T qk
Qk
k 1, 2, N
为理想完整系的拉格朗日方程，方程数等于质点系的自由度数。 其中：
Qk

拉格朗日方程


17.2
板上有半径为 r 、 质量为m2的均质圆柱， 圆柱在板
上作纯滚动而不滑动，今有一水平常力F 拉动金属
板，试求圆柱纯滚的角加速度和金属板的加速度。
拉
解：以系统为研究对象，
格
系统具两个自由度。选取 x A、
为广 义坐标。
C m2 g
A
朗 日 方
系统的动能为
xA
m1g
T

1 2
m1xA2

1 2
(1 12
m2 L2
)2
整理后得
T

3 4
m1x2

1 2
m2 (x2

1 4
L22

Lxcos)
1 24
m2 L22
系统的广义力为 Qx 0
17.2
Q

W ( )

m2 g
L 2

cos (90
)

xm2 g
L sin
一、拉格朗日方程
设有n个知点组成的知点系，受完整的理想约束，
17.2 具有k个自由度，其位置可由k个广义坐标 q1, q2 ,, qk
来确定。则有
拉 格
d ( T ) T dt qj q j
Qj
( j 1,2,, k)
朗
日
式中
T

n i 1
12mi vi2 为质点系的动能；
M
r
O
拉 为R。今在曲柄上作用一不变的力
R
格
偶，其矩为M，使机构运动。求曲 柄的运动方程。
朗
解：以整个系统为研究对象，系统具有一个自
日 由度，取曲柄转角 为广义坐标。

第十七章：拉氏方程

则有N=3n-s个自由度（广义坐标）。
用q1，q2，…qN表示系统的广义坐标，第i个质点质量为mi， 矢径为ri。则
ri= ri(q1，q2，…qN，t)
(17－3)
对上式求变分得
N ∂r ∂ri ∂ri ∂ri ∂ri =∑ i δk q δi = δ1 + δ 2 +L+ r q q δN + δ q t ∂q1 ∂q2 ∂qN ∂t i=1 ∂qk
拉格朗日方程概述续
: 拉格朗日方程是着眼于整个系统，避开约束反
力，用分析方法给出了系统动力学问题的统一表述， 为处理受约束的复杂的系统动力学问题开辟了新的捷 径。由于拉格朗日方程是用广义坐标且从能量的观点 研究系统的动力学问题，而能量是自然界各种不同物 理形态的物质运动的统一度量， 因此，拉格朗日方 程的应用就具有较大的普遍性，它不仅适用于机械系 统，也适用于电学系统和机电系统的动力学问题。
k
(17－11)
这就是第二类拉格朗日方程， 是一个方程组，该方程组 的数目等于质点系的自由度数，各方程均为二阶常微分方 程。揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。 若作用于质点系的主动力均为有势力（保守力）， 则广义力Qk可写成质点系势能表达的形式 Q = − ∂V
k
k
于是，对保守系统，拉格朗日方程可写成
n
k根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有
r q ∑F ⋅δ = ∑Q δ
i =1 i i k =1 k
n n
n
N
k
n ∂ri && δk = 0 ∴∑Fi ⋅δi − ∑miai ⋅δi = ∑Qk − ∑mi ri ⋅ r r q ∂qk k =1 i =1 i =1 i =1 广义力 广义虚位移 N

《理论力学 动力学》 第三讲 第二类拉格朗日方程的推导

第二类拉格朗日方程曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、第二类拉格朗日方程的推导2、第二类拉格朗日方程的应用3、拉格朗日方程的初积分1、第二类拉格朗日方程的推导设由n 个质点组成的系统受m 个理想完整约束作用，系统具有N=3n-m 个自由度。

设q 1, q 2, …, q N 为系统的一组广义坐标,则每个质点的位置：12(,)(12)i i N q q q t i n =×××=×××r r ，，，，，，上式两端进行等时变分运算得到：11...i i i i N N q q t q q t d d d d ¶¶¶=+++¶¶¶r r r r 1N ikk kq q d =¶=¶år 主动力在任意虚位移上所作的虚功之和为：1δnii =×åiF r 1δNkkk Qq ==×å1、第二类拉格朗日方程的推导将以上两式代入动力学普遍方程：1()0nii iii m d =-×=åF rr &&11(δ0N nik i i k k i k Q m q q ==¶-×=¶åår r &&对于完整约束系统，广义坐标相互独立，因此δq k 是任意的，上式成立的话，恒有：0(1,2,...,)nik i i Q m k N q ¶-×==¶år r &&1、第二类拉格朗日方程的推导k Q 广义惯性力上式不便于直接应用，为此可作如下变换：(1)i i k k q q¶¶=¶¶r r &&证明：12()(12)i i N q q q t i n =×××=×××r r ，，，，，，11d d i i i ii k k q qt q q t¶¶¶==++++¶¶¶r r r r r &&&L L 注意和是广义坐标和时间的函数（不含有广义速度项），并且上式只在第k 项含有i k q ¶¶r t ¶¶ir i iq q ¶¶=¶¶r r &&k q&(2)d d i i kkt q q æö¶¶=ç÷¶¶èør r &证明：这实际是一个交换求导次序的问题12()(12)i i N q q q t i n =×××=×××r r ，，，，，，12()i i N k kq q q t q q ¶¶=¶¶r r L ，，，，对时间t 求微分1d d N ii j j kjkk q t q q q t q =æöæöæö¶¶¶¶¶=+ç÷ç÷ç÷¶¶¶¶¶èøèøèøåi r r r &221Ni j j k jk q q q q t =¶¶=+¶¶¶¶åir r &而1()N i i i j j k k j qq q q t=¶¶¶¶=+¶¶¶¶år r r &&111Ni i i i ii N j j N jq q q q q t q t =¶¶¶¶¶=+++=+¶¶¶¶¶år r r r r r &&&&L 221Ni i j j k j k q q q q t =¶¶=+¶¶¶¶år r&d d i i k kt q q æö¶¶=ç÷¶¶èør r&若函数的一阶和二阶偏导数连续12()i i N q q q t =r r L ，，，，1、第二类拉格朗日方程的推导将和代入动力学普遍方程的广义惯性力项中：i i k k q q ¶¶=¶¶r r &&d d i i kkt q q æö¶¶=ç÷¶¶èør r&1ni i i i k m q =¶×¶år r &&11d d )()d d n ni i i i i i i k k m m t q t q ==¶¶=×-׶¶åår r r r &&11d d nn i i i i i i k k m m t q q ==éù¶¶=×-×êú¶¶ëûåår rr r &&&&&11d1()d 2nni i i i i i i i k k m m t qq ==éù¶¶=×-×êú¶¶ëûåår r r r &&&&&2211d 11()()d 22nni i i i i i k km v m v t q q ==éù¶¶=-êú¶¶ëûåå&记21()ni i T m v =åd ()d k kT Tt q q ¶¶=-¶¶&1、第二类拉格朗日方程的推导将前述结果代入动力学普遍方程：11()δ0N ni k i i k k i k Q m q q ==¶-×=¶åår r &&得到d 0(12)d k k kTTQ k N t qq æö¶¶--==ç÷¶¶èøL &，，，—第二类拉格朗日方程二阶常微分方程组，方程式的数目等于质点系的自由度数。

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l0
k
m
q
解：保守系统？ 系统受到的约束？ 自由度？ 广义坐标？

T ? V ?
拉格朗日函数有什么的特点？ 广义能量积分的含义？
例：系统如图所示，求系统动力学方程;维持AB匀角速 转动所需的控制力偶，此时滑块的相对平衡位置。 已知： m, k , J z为弹簧原长。 , l0
l0
A
k
m
B
2，用广义坐标表示势能
l V mg (1 cos ) 2
x
r
mg
A

B
5 2 1 2 2 m l mx l cos T mx 4 2 ,, ) T (x
mg
例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上 纯滚动，长2l 均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求 系统的运动微分方程，方程的首次积分。
保守系统 应用拉格朗日方程的步骤
1，选取广义坐标 2，用广义坐标表示势能 V
3，用广义坐标表示动能 T 4，拉格朗日函数 L=T-V
5，套公式
d L j dt q L 0 q j
例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上 纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统 的运动微分方程，方程的全微分。
Lo J x'x'i' J y 'y ' j' J z 'z 'k'
m b2 m a2 Lo cos i' sin j' 12 12
例：已知： m, a, b, ，质心在AB轴的中点， AB=L，求图示瞬时轴承A、B的约束力。
y'
FA
A
y
y'
C

b x'
x ' FB
§4-3、拉格朗日方程的首次积分
一、循环积分 如果保守系统的 L 不显含某些广义坐标
L 0, (i 1,, l ) qi
qi , (i 1,l )

L pi const. , (i 1,, l ) i q
上式称为拉格朗日方程的循环积分，相应的坐标称为 循环坐标。
A
vC ve vr
ve
vr
r vx x v x
y

r
x
c
mg
x r
部分保守系统
例：求如下系统运动微分方程。
l0
x
A
F (t )
解：1、确定系统的自由度 和广义坐标 2、求系统的动能和势能
( 拉格朗日函数 )
m1 g
m2 g
B 4、拉格朗日方程1，Leabharlann 取广义坐标 x xr
mg
A
2，用广义坐标表示势能

B
l V mg (1 cos ) 2
mg
已知：AB l , r, m
x
A

vA
vCA
c

B
3，用广义坐标及其 导数的表示动能
5 2 1 2 2 cos T ( x , ) ml mx l , T mx 4 2
例1：已知重为m1g，半径为r 的圆盘沿斜面纯滚动，重 量为m2 g的斜块在光滑水平面上运动。求广义力：
x1 x2 1 选取广义坐标

x2
x1 2 选取广义坐标
x1

例：系统如图所示，均质圆盘可绕O轴转动，不计质 量的绳索绕在圆盘上（无相对滑动），另一端与小球 A连接，求系统的运动微分方程。 已知：m，r 解： •系统有几个自由度
解： 系统有几个自由度？
Jz
x
M
g
T ? V ?
广义力如何求？
1 2 1 2 2 2 T J z m( x x ) 2 2
l0
A
k 2 V x 2
k
m
B
Qx 0, Q M
2 mx kx mx 0 2 M ( J z mx ) 2mx x
1，选取广义坐标 x
2，用广义坐标表示势能
V lm1 g (1 cos )
x
r
mg
A

B
3 2 1 2 2 2 2 T mx m1 x m1l m1 xl cos 4 2 3
m1g
T 3 mx m1 x m1l cos x 2
给出系统的首次积分（1）循环积分（2）能量积分
d L L 0 dt
d l 2 l cos ) (mx ( ml mx l sin mg sin ) 0 dt 2
d 5 L ml cos ) ( mx 0 dt 2 x d l 2 ( ml mxl cos ) (mx l sin mg sin ) 0 dt 2 L 0 x 5 cos ) C ml ( mx 1 2
3、非有势力的广义力
AB 2l , m1, m2
vA x v c v A v CA
cos l vcx x sin v l
cy
l0 x
A
F (t )
2 2 1 1 2 T1 m v m v J 2 c 2 1 A 2 2 c
vA
m1 g
例1：已知质量为m1，半径为r 的圆盘沿斜面纯滚动，质量 为m2 的斜块在光滑水平面上运动。求运动微分方程：
x1
x1 1，选取广义坐标
x2
2，用广义坐标表示势能 x2 l V m1 gx1 sin ) 2 3，用广义坐标及其导 数的表示动能 1 1 1 2 2 2 2 m1[( x 2 x 1 cos ) ( x 1 cos ) ] m1r 2 ( x 1 / r ) 2 T m2 x 2 2 2 1 1 2 2 2 m1 ( x 2 1 x 2 cos 2 x 12 ) m2 x 2x 2 2
2 mx cos mg (1 cos ) 2 ml 2 l mx 4 2 2 d L L 5，套公式 0 x dt x
d 5 L ( mx ml cos ) 0 dt 2 x
L T V L ( x , , ) 4，拉格朗日函 数 5 1 l
o
r
m
•如何选取广义坐标
T ? V ?
A
mg
T
1 1 2 J o 2 mv A 2 2
vA ? ?
o

x

A
ve
vr
例：系统如图所示，不计质量的绳索绕在均质圆盘上 （无相对滑动），另一端悬挂在A点。求系统的运动 微分方程。
y
A
A
c
mg
已知：m，r
r

r
x
c
mg
ve
vr
y
A
vCA c
1 2 2 2 T (m1 m2 ) x m2 xl cos m2l 2 2 3
V m2 gl (1 cos )
1 2 kx 2
m2 g
B
cos m l 2 sin kx F (t ) m2l (m1 m2 ) x 2 1 m l m2 (2l )2 2 x cos m2 gl sin 0 3
pi 称为对应于广义坐标 qi 的广义动量
例：系统如图所示，杆长为5m，质量为1kg，圆盘为
直径 0.6m，质量为10kg 。求系统运动微分方程。 解：1、确定系统的自由
o
1
度和广义坐标
2、求系统的动能
和势能
A 2
3、拉格朗日方程
例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上 纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统 的运动微分方程 1，选取广义坐标 x
Jz
x
M
g
相对平衡位置？
当

控制力偶M=？
图示矩形板绕AB定轴转动，求刚体对O点的动量矩
定轴转动—定点运动的特例
y'
Lo

A
y'
O
x'

x'
B
1 2 J x' m b 12 1 J y ' m a2 12
ω x'i'y ' j'0k' cos i' sin j'
V m2 gl(1 cos ) 1 2 T (m1 m2 ) x 2 2 l cos m2l 2 2 m2 x 3
x
A
m1 g
B
, ) , L T V L( x
m2 g
例：系统如图所示，求系统的首次积分。 已知： m, k , const. , l0 为弹簧原长。

FAz '
mg
a
FBz '
B
x
x' cos y' sin z ' 0
1 1 2 J x ' mb , J y ' ma 2 12 12
y'
FA
A
y
y'
C

b x'
x ' FB

FAz '
x ' ( J z ' J y ' ) y ' z ' M x ' J x ' y ' ( J x ' J z ' ) x ' z ' M y ' J y ' z ' ( J y ' J x ' ) x ' y ' M z ' J z '