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动力学中的拉格朗日方程在物理学和工程学中，拉格朗日方程是描述系统动力学的重要工具。
拉格朗日方程由法国数学家和物理学家约瑟夫·拉格朗日于18世纪提出，它能够将系统的动力学问题转化为一组方程，进而方便地求解系统的运动规律。
本文将介绍拉格朗日方程在动力学中的应用，以及其原理和推导方法。
一、拉格朗日方程的原理拉格朗日方程是从一种被称为“拉格朗日力学”的理论体系中得出的。
在拉格朗日力学中，系统的运动被描述为一种能量的变化过程。
拉格朗日方程的原理是基于系统的动能和势能的概念。
系统的动能可以用质点的质量和速度来表示，而势能则是系统中各个物体相对于某一参考点的位置所具有的能量。
根据能量守恒定律，系统的总能量在运动过程中保持不变。
拉格朗日方程的基本思想是，系统的动能和势能之间存在一种函数关系，称为拉格朗日函数。
通过对拉格朗日函数求取变量的极值，可以得到系统的运动方程。
这就是拉格朗日方程的原理。
二、拉格朗日方程的推导方法要推导拉格朗日方程，需要首先确定系统的拉格朗日函数。
拉格朗日函数可表示为系统的动能与势能之间的差异。
以单个质点为例，其拉格朗日函数可表示为L = T - V，其中T为动能，V为势能。
对于多个质点构成的系统，拉格朗日函数的表达式包含了各个质点的动能和相互作用势能。
然后，通过对拉格朗日函数对各个质点的运动变量求取变分，可以得到相应的运动方程，即拉格朗日方程。
三、拉格朗日方程的应用拉格朗日方程在经典力学和动力学中有广泛的应用。
它可以用于描述各种复杂力学系统的运动，如振动系统、弹性体、刚体等。
通过求解拉格朗日方程，可以精确地得到系统的运动规律，并且相较于牛顿力学的方法，具有更加简洁明了的形式。
在求解拉格朗日方程时，一种常见的方法是利用拉格朗日方程的守恒量。
当系统具有某些对称性时，拉格朗日方程会出现某些守恒量，如动量、角动量等。
这些守恒量能够更加简化运动方程的求解过程，并提供对系统运动性质的重要信息。
10年来5个拉格朗日积分应用的例子
以下是5个拉格朗日积分应用的例子：
1. 物理问题：在经典力学中，拉格朗日函数用于描述系统的运动，特别是在分析动力学系统的行为时。
例如，在分析天体运动、弹簧振动、电磁场等问题时，拉格朗日函数是非常重要的工具。
2. 经济学问题：在经济学中，拉格朗日函数用于优化问题，如最大化利润或最小化成本。
例如，在生产理论中，拉格朗日函数可以用来确定最优的生产水平，使得成本最小化或利润最大化。
3. 金融问题：在金融领域，拉格朗日函数可以用于风险管理、投资组合优化和衍生品定价等问题。
例如，在衍生品定价中，拉格朗日函数可以用来计算标的资产的未来价格，从而为衍生品定价提供依据。
4. 化学工程问题：在化学工程中，拉格朗日函数用于描述流体流动、化学反应和传热等问题。
例如，在反应动力学中，拉格朗日函数可以用来描述化学反应速率与反应条件之间的关系。
5. 生物医学工程问题：在生物医学工程中，拉格朗日函数用于描述生物系统的运动和生理过程。
例如，在分析人体运动时，拉格朗日函数可以用来描述肌肉收缩和骨骼运动的关系，从而帮助医生更好地了解患者的运动障碍。
以上内容仅供参考，如有需要，建议查阅相关文献或咨询专业人士。
拉格朗日运动方程一、引言拉格朗日运动方程是经典力学中描述物体运动的重要工具，它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
它与牛顿运动定律等价，但更加优美和普适，适用于各种力学问题。
二、拉格朗日函数拉格朗日函数是描述系统能量的函数，通常用L表示。
对于一个系统而言，其拉格朗日函数可以表示为：L = T - V其中T表示系统的动能，V表示系统的势能。
这个式子代表了系统总能量E=T+V。
三、广义坐标广义坐标是描述物体位置的变量，在使用拉格朗日方程时非常重要。
广义坐标可以是任意数量和类型的变量，例如位置、角度、长度等。
四、拉格朗日方程拉格朗日方程可以用来描述物体在给定势场中的运动。
它基于最小作用原理（Hamilton原理），即物体在两个时间点之间所经过的路径应该是使作用量最小化（或者称为稳定作用量）。
对于一个具有n个自由度（即n个广义坐标）的系统而言，其拉格朗日方程可以表示为：d/dt(dL/dq_i) - dL/dq_i = Q_i其中q_i表示第i个广义坐标，Q_i表示与该广义坐标相关的外力。
这个方程可以通过对系统能量的变化率进行求导得到。
五、应用举例1. 简谐振动简谐振动是物理学中最基本的振动形式之一，它可以通过拉格朗日方程来描述。
对于一个单摆而言，其拉格朗日函数可以表示为：L = 1/2m(l^2θ'^2 + gcosθ)其中m是单摆的质量，l是单摆的长度，θ是单摆的角度，g是重力加速度。
代入拉格朗日方程中可得到单摆运动的解析式。
2. 力学中的应用在力学中，拉格朗日方程被广泛应用于各种问题中。
例如弹性碰撞、刚体运动、万有引力等问题都可以使用拉格朗日方程来描述。
六、总结拉格朗日运动方程是经典力学中非常重要和实用的工具，它通过最小作用原理和系统能量来描述物体在给定势场中的运动。
在实际应用中，我们可以使用广义坐标和拉格朗日函数来构建拉格朗日方程，并通过求解该方程来得到物体运动的解析式。
拉格朗日定理的应用拉格朗日定理是微积分中的一个重要定理，它在数学、物理、经济学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍拉格朗日定理的应用，并举例说明其在实际问题中的作用。
拉格朗日定理是指：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
这个定理的意义是：在一个区间内，如果函数在两个端点的函数值相等，那么在这个区间内至少存在一个点，使得函数的导数在这个点上等于函数在两个端点的函数值之差除以区间长度。
拉格朗日定理的应用非常广泛，下面我们将介绍一些常见的应用。
1. 求函数的最大值和最小值如果一个函数在一个区间内连续且可导，那么可以使用拉格朗日定理来求函数的最大值和最小值。
具体方法是：先求出函数的导数，然后令导数等于0，解出导数为0的点，再将这些点代入原函数中，求出函数在这些点上的函数值，最后比较这些函数值，就可以得到函数的最大值和最小值。
2. 求曲线的切线和法线如果一个曲线在某一点处可导，那么可以使用拉格朗日定理来求出曲线在这一点处的切线和法线。
具体方法是：先求出曲线在这一点处的导数，然后求出导数的斜率，这个斜率就是切线的斜率。
法线的斜率是切线斜率的相反数，因此可以用切线斜率的相反数来求出法线的斜率。
3. 求解微分方程微分方程是数学中的一个重要分支，它在物理、工程、经济学等领域都有广泛的应用。
如果一个微分方程可以化为y'=f(x,y)的形式，那么可以使用拉格朗日定理来求解这个微分方程。
具体方法是：将微分方程化为y'-f(x,y)=0的形式，然后令g(x,y)=y'-f(x,y)，这样就可以将微分方程转化为一个一阶偏微分方程。
然后使用拉格朗日定理来求解这个偏微分方程，最后再将解代入原微分方程中，就可以得到微分方程的解。
4. 求解优化问题优化问题是数学中的一个重要分支，它在经济学、工程学、管理学等领域都有广泛的应用。
拉格朗日乘子法与拉格朗日方程拉格朗日乘子法与拉格朗日方程是应用数学中的两个重要概念，它们在优化问题和动力学中扮演着重要角色。
在本文中，我将深入探讨这两个概念的内涵和应用，帮助你更好地理解它们的意义和作用。
1. 拉格朗日乘子法的基本原理拉格朗日乘子法是一种数学工具，用于求解有等式约束的极值问题。
举例来说，当我们需要求一个函数在一些限制条件下的最大值或最小值时，拉格朗日乘子法可以帮助我们有效地解决这一问题。
具体来说，对于一个约束优化问题：\[ \max_{x} f(x) \]\[ s.t. g(x) = c \]其中，f(x)是我们需要优化的目标函数，g(x) = c表示约束条件。
使用拉格朗日乘子法，我们可以构建拉格朗日函数：\[ L(x, \lambda) = f(x) + \lambda(g(x) - c) \]其中，\(\lambda\)就是所谓的拉格朗日乘子。
通过对拉格朗日函数求偏导数，并令偏导数等于零，我们可以得到关于x和\(\lambda\)的方程，进而求解出最优解。
2. 拉格朗日方程的应用拉格朗日方程是描述一个动力学系统的经典物理学方程。
它可以从作用量原理出发推导得到，是描述系统运动方程的一种极其优美的形式。
具体而言，对于一个由广义坐标q和广义速度\(\dot{q}\)描述的动力学系统，它的拉格朗日函数可以表示为：\[ L(q, \dot{q}, t) = T - V \]其中，T代表系统的动能，V代表系统的势能。
根据欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到系统的运动方程：\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q} = 0 \]3. 个人观点和理解拉格朗日乘子法和拉格朗日方程都是非常有用的数学工具，它们在实际问题中的应用非常广泛。
在工程优化、经济学建模、物理学等领域，这两个工具都扮演着重要的角色。
拉格朗日方程的应用及举例拉格朗日方程有以下几个特点：（1）拉格朗日方程适用于完整系统，可以获得数目最少的运动微分方程，即可以建立与自由度数目相同的n个方程，是一个包含n个二阶常微分方程组，方程组的阶数为2n。
求解这个方程组可得到以广义坐标描述的系统运动方程。
（2）拉格朗日方程的形式具有不变性。
对于任意坐标具有统一的形式，即不随坐标的选取而变化。
特别是解题时有径直的程序可循，应用方便。
（3）所有的理想约束的约束反力均不出现在运动微分方程中。
系统的约束条件愈多，这个特点带来的便利越突出。
（4）拉格朗日方程是以能量的观点建立起来的方程，只含有表征系统运动的动能和表征主动力作用的广义力，避开了力、速度、加速度等矢量的复杂运算。
（5）拉格朗日方程不但可以建立相对惯性系的运动，还可以直接建立相对非惯性系的动力学方程，只要写出的动能是绝对运动的动能即可，至于方程所描述的运动是对什么参考系的运动，则取决于所选的广义坐标。
纵观拉格朗日方程，看出分析力学在牛顿力学的基础上，提出严密的分析方法，从描述系统的位形到建立微分方程都带有新的飞跃。
我们还应看到，虽然拉格朗日方法在理论上和应用上都有重要的价值，但是，牛顿力学的价值并未降低，特别是它的几何直观性和规格化的方法使人乐于应用，由于计算机的广泛使用，牛顿一欧拉方法又有所发展。
我们将会看到，用拉格朗日方程求解，在获得数量最少的运动微分方程时，其求导过程有时过于繁琐，并有较多的耦合项。
应用拉格朗日方程建立动力学方程时，应首先建立以广义坐标q 和广义速度q 表示的动能函数和广义力Q。
为此，首先讨论动能的计算和广义力的计算，在此基础上，再讨论拉格朗日方程的应用。
一、动能的计算对于系统的动能，可以写出关于广义速度q 的齐次函数的表达式。
在实际计算中，应用理论力学的有关知识就可以建立以广义坐标和广义速度所表达的动能函数。
例1-1 已知质量为m ，半径为r 的均质圆盘D ，沿OAB 直角曲杆的AB 段只滚不滑。
拉格朗日方程的作用拉格朗日方程的作用什么是拉格朗日方程？拉格朗日方程是经典力学领域中的一组重要方程，描述了质点、刚体及其他物体在力学系统中的运动。
它由法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日在18世纪末提出，是一种基于能量最小原理的数学表述。
拉格朗日方程的导出过程1.首先，从Lagrange函数入手，它是系统动能和势能的差：–L=T−V–其中T代表系统的动能，V代表系统的势能。
2.然后，根据最小作用量原理，将Lagrange函数应用于系统的所有可能运动路径。
3.使用欧拉-拉格朗日方程，通过将Lagrange函数对系统的广义坐标进行变分来求得系统的平衡方程。
4.最终得到拉格朗日方程的一般形式：–ddt (∂L∂q i)−∂L∂q i=0–其中q i是广义坐标，q i是q i对时间的导数。
拉格朗日方程的作用•描述运动的方程：拉格朗日方程能够描述力学系统中的运动过程。
通过解拉格朗日方程，我们可以获得系统各个广义坐标随时间的变化规律，从而了解物体在力学系统中的精确运动情况。
•确定运动稳定性：拉格朗日方程可以确定力学系统的平衡点、稳定性和振动特性。
通过求解拉格朗日方程，我们可以判断系统是否处于平衡，以及在不同条件下系统的振动情况。
•优化问题求解：拉格朗日方程也常被用于优化问题求解中。
通过极小化或极大化拉格朗日方程，我们可以找到满足约束条件的最优解，从而解决实际问题中的最优化、最大化或最小化难题。
•研究复杂力学系统：拉格朗日方程适用于研究多自由度、复杂的力学系统。
不同于牛顿力学中的受力分析，拉格朗日方程能够将系统运动与能量、势能联系起来，使得研究复杂系统变得更加简洁和便捷。
•发展现代物理理论：拉格朗日方程是现代物理理论中的基础数学工具。
在相对论领域、量子力学领域以及其他物理学分支中，拉格朗日方程被广泛应用，为揭示自然规律提供了重要的数学框架。
总结拉格朗日方程作为一种基于能量最小原理的数学描述方式，在经典力学中发挥着重要作用。
拉格朗日中值定理与应用拉格朗日中值定理是微积分中的一项重要定理，它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
这个定理在数学领域有着广泛的应用，特别是在求解函数的极值、证明函数的性质以及优化问题等方面起到了重要的作用。
拉格朗日中值定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则存在一个点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
换句话说，函数在开区间内的某一点的导数等于函数在闭区间上的平均变化率。
这个定理的证明思路相对简单，我们可以通过引入一个辅助函数g(x) = f(x) -(f(b) - f(a))/(b - a) * (x - a)，来进行证明。
首先，我们可以发现g(a) = g(b)，因为f(a) = f(b)。
其次，由于g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，根据罗尔定理，我们可以得到存在一个点c，使得g'(c) = 0。
进一步计算g'(c)，可以得到g'(c)= f'(c) - (f(b) - f(a))/(b - a) = 0，即f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
因此，拉格朗日中值定理得证。
拉格朗日中值定理的应用非常广泛。
首先，它可以用来证明函数的性质。
例如，如果一个函数在某个区间上导数恒为零，那么根据拉格朗日中值定理，这个函数在该区间上必然是一个常数函数。
其次，它可以用来求解函数的极值。
根据拉格朗日中值定理，如果一个函数在某个开区间上导数存在且不变号，那么函数在该开区间上的极值点必然存在。
通过求解导数等于零的方程，我们可以找到这些极值点。
此外，拉格朗日中值定理还可以用来证明其他重要的数学定理，例如泰勒定理等。
除了理论上的应用，拉格朗日中值定理在实际问题中也有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们经常需要求解某个函数在某个区间上的平均增长率，这时就可以利用拉格朗日中值定理来求解。
拉格朗日方程拉格朗日方程(Lagrange Equations)是描述质点系统在广义坐标下的运动的一种方法。
它是由意大利数学家拉格朗日在1755年提出的。
拉格朗日方程是一种非常有用的方法，可以用来解决复杂的力学问题。
本文将阐述拉格朗日方程的概念、定义、推导和应用。
一、拉格朗日方程的概念拉格朗日方程是一种描述物理系统的运动的数学工具。
它是在广义坐标系下描述系统的运动的。
广义坐标系是指可以描述系统运动的坐标系，与传统的笛卡尔坐标系不同。
拉格朗日方程允许我们用少量的代数方程式描述物理系统的运动，而不必考虑物体的确切轨迹。
二、拉格朗日方程的定义拉格朗日方程可以用来描述质点系统的运动。
一个质点系统是由一些质点组成的体系，它们在一起相互作用并受到外力的作用。
拉格朗日方程消除了这些参与到系统运动中的力，并通过一组数学公式描述质点的运动。
这些公式通常由拉格朗日函数和广义坐标定义。
三、拉格朗日方程的推导假设有一个质点系统，它包含了n个质点。
每个质点都有质量m(i)，位于位置向量r(i)。
一个质点所受的总力为F(i)，则拉格朗日函数为：L = T - V其中，T表示动能，V表示势能，它们都是广义坐标的函数，正好表示质点的位置。
T的公式为：T = 1/2 m(i)*v(i)^2其中，v(i)表示第i个质点的速度向量。
势能V可以描述整个质点系统的势能。
假设在质点系统中有m个约束条件C(k)，它们是广义坐标q的函数，如C(k)(q) = 0。
约束条件通常是描述系统中相互作用的限制条件。
根据达朗贝尔原理，可以推导出拉格朗日方程的表达式。
达朗贝尔原理是指系统中所有质点所受力的合力是零，即：∑F(i) = 0假设广义坐标为q = (q1, q2, …, qn)，其变化率为dq(i)/dt。
则对于所有的i，可以得到：F(i) = m(i) d^2r(i)/dt^2然后对约束条件C(k)求偏微分：∂C(k) / ∂ri * d^2ri/dt^2 + ∂C(k) / ∂rj * d^2rj/dt^2 = 0其中，i和j分别代表C(k)所属于的质点。
1应用柯尼希定理求圆盘的动能。
为此，先求圆盘质心 C 的速度和相对于质心平动坐标拉格朗日方程的应用及举例拉格朗日方程有以下几个特点：（1）拉格朗日方程适用于完整系统，可以获得数目最少的运动微分方程，即可以建立与自由度数目相同的 n 个方程，是一个包含 n 个二阶常微分方程组，方程组的阶数为2n 。
求解这个方程组可得到以广义坐标描述的系统运动方程。
（2）拉格朗日方程的形式具有不变性。
对于任意坐标具有统一的形式，即不随坐标的选取 而变化。
特别是解题时有径直的程序可循，应用方便。
（3 ）所有的理想约束的约束反力均不出现在运动微分方程中。
系统的约束条件愈多，这个特点带来的便利越突出。
（4）拉格朗日方程是以能量的观点建立起来的方程，只含有表征系统运动的动能和表征主动力作用 的广义力，避开了力、速度、加速度等矢量的复杂运算。
（5）拉格朗日方程不但可以建立相对惯性系的运动，还可以直接建立相对非惯性系的动力学方程，只要写出的动能是绝对 运动的动能即可，至于方程所描述的运动是对什么参考系的运动，则取决于所选的广义坐 标。
纵观拉格朗日方程，看出分析力学在牛顿力学的基础上，提出严密的分析方法，从描 述系统的位形到建立微分方程都带有新的飞跃。
我们还应看到，虽然拉格朗日方法在理论 上和应用上都有重要的价值，但是，牛顿力学的价值并未降低，特别是它的几何直观性和 规格化的方法使人乐于应用，由于计算机的广泛使用，牛顿一欧拉方法又有所发展。
我们 将会看到，用拉格朗日方程求解，在获得数量最少的运动微分方程时，其求导过程有时过 于繁琐，并有较多的耦合项。
应用拉格朗日方程建立动力学方程时，应首先建立以广义坐标 q 和广义速度q 表示的动能函数和广义力 Q 。
为此，首先讨论动能的计算和广义力的计算，在此基础上，再讨论拉 格朗日方程的应用。
、动能的计算对于系统的动能，可以写出关于广义速度 q 的齐次函数的表达式。
在实际计算中，应用 理论力学的有关知识就可以建立以广义坐标和广义速度所表达的动能函数。
例1-1 已知质量为m ,半径为r 的均质圆盘D ， 沿OAB 直角曲杆的 AB 段只滚不滑。
圆盘的盘面和曲 杆均放置在水平面上。
已知曲杆以匀角速度-'1绕通过 O 点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。
解：取广义坐标x 和;:，x 为圆盘与曲杆接触点到 曲杆A 点的距离，：为曲杆OAB 的转角，：=rt 。
B2系的角速度。
若以曲杆OAB 为动参考系，C 为动点,U r =x, Q u X COjO c =<X 2 +x 2C0j再应用刚体绕二平行轴转动的合成方法，圆盘的角速度为于是圆盘的动能为若将动能表达式展开，得到3 21 12 2 1 2 2T mx mn.-.^x m x mr 42 24、广义力的计算概括地说，广义力有三种计算方法： 1） 根据广义力的定义，有N rl 、、Q j =E F iz 竺+F iy 型十 F iz 竺j=1,2「，Ny J 0j 6S 丿我们可以按照这个公式来计算，但是，有时计算是繁冗的。
2） 我们知道，作用在系统上的诸主动力对于任何虚位移元功之和等于诸广义力对于相 应的广义坐标的虚位移元功之和，即Nn7 F i .曲八Q j 肖ji W i 珀对于完整系统，广义坐标的变分囚1, ^2,…，q n 是彼此独立的。
若给出某一广义坐标的变分为、q,而令其它坐标变分均为零，即qM 0, q i = q 2 = … = q-1 = q+1 = … = q n = 0则上式为NF i ST i 二Q ji =1可以看出，圆盘的动能包含广义速度x 的二次项，广义速度 x 的一次项和它的零次项。
T37 F i M 于是Q j =亘由于系统的主动力在给定的虚位移中元功之和j=1, 2, ,nNF j i 的计算是我们熟悉的，则广义力i 4Q j 可较易地计算出。
依次给出不同序数的坐标变分的同时，令其它坐标变分为零，则可依 次计算出与广义坐标对应的广义力。
这种方法是我们经常应用的。
3）若作用于系统上的主动力有势， 则通过势能函数即可求出广义力。
设势能函数为 V ，则可应用式:V ■qj进行广义力的计算。
例1-3 均质杆0A 和AB 在A 点铰链连接，并在0点用 铰链支承。
杆重分别为 P i 和P 2, F i 为作用于B 点的水平力， 试求对应于：和的广义力。
解：系统具有两个自由度。
依题意，取 ：和为广义坐标，对应于：和的广义力以Q 和Q_表示。
于是，y c =acos 「 眦=-asin 3y D =2acos 「Feos'- 3D _-2asin ® - bsin'-x B =2asin 「亠2bsin‘-&B =2acos 3：亠2bsin S当「获得变分:「,而匸保持不变，即= 0时，N典=1F 3=瓦（X j 凶+比助+Z j 込）i d=（2F i a cos ⑺一Rasin ：「一2P ^a sin :） 3=C2F 1aco^ — R ,asin ：—2 P 2sin :当学获得变分別，而阱=0时，洪2二子3= 2F 1bcos- 3 -P 2bsin‘- 33A i 3Q'.= (3^23= 2F1bco^ -P2bsin‘-45、拉格朗日方程的应用应用拉格朗日方程建立系统的动力学方程时，一般采用以下步骤：1) 分析系统的约束条件，判断系统的类型是否为完整系统，是定常还是非定常的，是 保守的还是非保守的。
2) 若系统为完整的，在确定其自由度数目后，选择恰当的广义坐标。
3)计算出以广义速度表达的动能 T(q , q ，t 卜势能V (q , t)或广义力Q (q , t),若主动力有势，计算出拉格朗日函数L(q, q ，t)。
4) 列出拉格朗日方程。
例1-4 半径为R 、质量为m 的圆环挂在一半径为 r 的固定圆柱上。
设圆环与圆柱间有足够大的摩擦力阻止相对滑动，试写出圆环的 运动微分方程，并求微幅摆动的周期。
解：圆环具有一个自由度，是完整系统。
取 二为广义坐标，圆环的动能为1 2 1 2 Tmv O J O ；.■? 2 2其中v o =(R -「)^0，瞬心为A ，贝UVo R —r & co =——= ------ 6R R于是T =1m(R_r)2y 丄 mR 2 鱼 工 / =m(R_r)2d 22 2 R 2主动力有势，系统的势能为V =— mg (R — r) COST 1-r)S — —“；=2m(R -r)2二dt lea 丿:V .mg(R —r) sin代入拉格朗日方程，得到系统的动力学方程：2m( R - r)2 r mg( R - r) sin v - 0 即 2(R —r)v gsinv -0考虑到微幅，有F=0-T订一=2m(R =06周期为由于主动力有势，可以写出拉格朗日函数：2 '2L =T -V =m(R_r) 一mg(R 一 r)cos代入式(1-25 )中同样可以得到系统的动力学方程。
2.已知摆线绕在固定圆柱上，尺寸如图；求此摆的运动微分方 程。
解 这是单自由度保守系统，选为广义坐标, 零势能位置，则1 2 2 T m(l Rr)J 2V =mg[(l Rs in 扪—(I Rn)cosr]将T 、V 代入保守系统的拉格朗日方程d 卫_工_王 dt 上「上：上或将拉格朗日函数L = T-V 代入如下形式的拉格朗日方程皆可得运动微分方程(I Rv)v R, - gsin v - 03.已知三均质齿轮，半径皆为r ,质量都是m ,此机构位于水平 面内，若无重系杆受矩为M 的力偶作用；求系杆的角加速度―解 这是单自由度非保守系统，选系杆的转角 「为广义坐标，则 有关的角速度和速度为选二=0为系统的7=,V o2 二 2r, V 03 二 4r；.■? 2 — 2；1, :3 二 0该系统的广义力为 Q ；.— M动能为1 2 11 221 2 2 2 Tmv o2 mr ，2 mv o3 =11mr --2 2 2 2代入拉格朗日方程 d汀―Qdt ::得-M222mr例1-9 试求例1-1中圆盘的运动微分方程。
又，若 x=20cm 时，x 为多少？例1-1 已知质量为m ,半径为r 的均质圆盘D , 沿OAB 直角曲杆的 AB 段只滚不滑。
圆盘的盘面和曲 杆均放置在水平面上。
已知曲杆以匀角速度 .1绕通过 O 点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。
解：由例1-1已求得动能T 为= -m(x 22水平台为零势面，则圆盘的势能为系统的拉格朗日函数 L 为1 , 222、1 2XL =T m(x x r ) mr - -2 4 I r 丿±1x mx mr -2 丄=mx Imx/mx ： dt 汶 22代入拉格朗日方程，有沢- .jx=02t = 0 时，x = 10cm ， x = 0，求当8+ x 2灼Jmr 2 4x 2r89由于系统是非定常的，虽然作用于圆盘上的主动力有势，但并不存在能量积分，由于拉格 朗日函数L 不显含时间t ，系统有广义能量积分。
由动能表达式得到圆盘的广义能量积分为T 2-T o + V =常数.于是得到^mx 2 --m 『X 2」mr 2『=h4 2 4整理后，有3 21 2 2.mx m j x h 142当 t = 0 时，x o = 10cm , x 0 = 0，贝V2h =与Om于是有当 x = 20cm 时，x 2 =200 1x =14.1 v cm/s例9质量为m ,半径为r 的圆环O 竖立在一粗糙平面上。
圆环 的边缘上刚连一质量为 m 的质点A 。
试写出系统的运动微分方程。
解：由圆环O 和质点A 组成的系统只能在地面上作纯滚动，自 由度为1,取OA 与铅垂线的夹角「为广义坐标，以系统为研究对象, O 点处水平面为零势能面，则系统的动能和势能分别为T 2 =3mx 2,匚 Jmr 4 2Jm fx 2 Jmr 2 f2 4»50101 ，2 1 2 1 2T J O mv omv A2 2 2_2(r )2 cos ： ' I=1 mr 2 21 m(r )2 *m (r )2 (r J 2 =mr 2 (2 -cos ) 2V = -mgr cos :于是有Q = _ V 1 = -mgr sin :代入拉格朗日方程，导出2(2 -cos ) ；( ：2g r)sin =0例1-7 三角楔块A 可沿水平光滑面作直线 运动，楔块 A 的质量为m 1，其上受有简谐力 F = Hsin t 的作用（H 和•均为常量）。
楔块斜边 BD 上有一质量为 叫、半径为r 的圆柱体，沿 BD 滚 动而不滑动，二弹簧的刚体系数分别为 k 1和k 2。
