从高等代数看中学数学

浅谈高等代数在中学的应用数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学学号：2011031532 朱伟达指导老师:卢明先【摘要】线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程．近几年随着高等数学已渐渐走入初等数学,线性代数在初等数学中也有广泛应用．本文共分为五个部分：例说行列式在中学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用，用向量法解决初等几何问题．本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程．【关键词】行列式；齐次线性方程组;二次型; 矩阵;向量Discussion on Application of Higher Algebra in middle schoolZHU wei-da 2011031532 Advisor:LU ming-xianPure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science【Abstract】:Linear algebra is a branch of mathematics. It is a mathematical foundation co urse。

In recent years, some content of higher mathematics are begun to learn by middle school st udents. And Linear algebra has also wide application in elementary mathematics。

This paper is d ivided into five parts. In these parts， we will give a lot of examples to show some applications of determinant， Linear equations, quadratic theory， matrix and transform, vector in elementary m athematics。

ｔａ ｈ ｎ ， ｉｈａｍ ｅ ｔ ｔｅ ｇ ｈ ｎ ｎ ｈ ｅ ｃ ｉｇｏ ｔ ｍａ ｉｓｉ ｉｄ ｅｓｈｏ ｌ ｏｉ ｅ ａｅｔ ｅ ｒ ｔ ｒ ｃ ｉｅａ ｄ ｅ ｃ ｉ ｇｗｈｃ ｉ ｄａ ｒｎ ｔ ｅ ｉ ｇｔ ｅｔａ ｈｎ ｆｍａｈｅ ｔ ｎｍ ｄ ｌ ｃ ｏ ｓｔ ｇｒｔ ｈ ｏ ｙｗｉ ｐ ａ ｔｃ ｎ ｓ ｃ ｎｔ ｈ ｔ ｃ ｕ ｒ ｕ ｔ ｅ ｎ ｒｔｎｄｎ ｆｔ ｅｒ ｌｖ ｎ ｎ ｗｌｄ ｅｏ ａｈ ｍ ａｉｓｉ ｉｄ ｅｓ ｈ ｏｓＴｈ ｒ ｆ ｒ ｔｐ ｏ ｏ ｅ ｈ ｏ ａ ｑ ｉｅｆ ｒｈ ｒｕ ｄｅｓａ ｉｇ ｏ ｈ ｅｅ ａ ｔｋ ｏ ｅ ｇ ｆｍ ｔ ｅ ｔｃ ｎ ｍ ｄ ｌ ｃ ｏ ｌ ｅ ｅｏ ｅ ｉ ｒ ｍ ｔｄ ｔ ｅ ｉ ｐｅ ｅ ｔｔｏ ｆ ｅ ｍｉ ｌ ｃ ｏ ｌ ａｈ ｍ ａｉｓｃ ｒ ｉｕ ｕ ｒｆ ｒ ａ ｄ ｐ ａ ｔ ｅ ｍ ｌｍ ｎ ａｉ ｎｏ ｎ ｗ ｄｄｅｓ ｈ ｏ ｔ ｅ ｔｃ ｕ ｒｃ ｌ ｍ ｅ ｏ ｍ ｎ ｒ ｃｉ ． ａ ｍ ｃ
ｉｕ ｔａ ｅ ｈａ ｈ ｉ ｒ ｖｎｇ ｅｆ ｃ ｆｈ ｇ ｒａｇ ｂ ａ ｏ ｉｄ ｅ ｓ ｈ ｏ ａｈ ｍａｉｓ ｔａ ｈ ｎ ．ｕｒｈ ｒ ｒ ， ｉ ｐ ｐ ｒ ｌ ｓｒ ｔｄ ｔ ｔｔ ｅ ｍｐ ｏ ｉ ｆｅ ｔｏ ｉｈｅ ｌ ｅ ｒ ｎ ｍ ｄ ｌ ｃ ｏ ｌｍ ｔ ｅ ｔｃ ｅ ｃ ｉ ｇＦ ｔ ｅ ｍｏ ｅｔ ｓ ａ ｅ ｌ ｈ
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浅谈高等代数在中学数学中的活跃性探究高等代数是学习数学与研究数学的基础必备科目之一，它是初等代数的延伸。

其中，高等代数的一些思想、方法和理论观点都可以运用到中学数学中来解题；从知识方面和思想方面来讲，高等数学与中学数学的联系是紧密的，可以将高等代数中浅显的知识点直接运用到中学数学中，起到简化运算的目的，例如多项式的理论应用与矩阵等，本文笔者将从几道典例来浅析高等代数与中学数学的實质联系。

运用高等代数的视角去剖析高等数学与中学数学之间的联系是很有必要的策略，进而能使学生以中学式思维方式向高等数学思维方式转变。

作为教师，应该熟知中学教学的所有内容，能利用高等数学的一些观点灌输给学生一些思想和方法，进而能促进知识的深化。

1 高等代数与中学数学在知识方面的联系1.1 行列式的应用虽然矩阵与变换为人教版新课标高中数学课本选修模块系列中，但是，对于一些典型的问题，在许多考试中有着命题基础，例如求函数的解析式，因式分解等等，笔者就给出一道例题，已知函数，满足，，，，求.分析由已知条件得把上式看成关于，，，的方程组，它的系数行列式为范德蒙行列式，由行列式与线性方程组的理论，可得，，，，即.1.2 柯西不等式的应用在欧氏空间里，取，时，就有柯西不等式：对任意实数组和，有.当且仅当时，上式的等号成立，特别的，时，有.例已知为内一点，，，，点到的三边，，的距离分别为，，.求证：.证明由题意知，要证明结论成立，只需证，由柯西不等式得，上式显然成立，所以.1.3 二次型的应用定理设元二次型，则在条件下的大（小）值恰为矩阵的最大（小）特征值.例设，且满足，求的最大值与最小值.分析：二次型的矩阵，则，解得，，于是由以上定理可得，在下的最大值为，最小值.2 教学启示现阶段中学教师很少在课堂教学上涉及到高等数学的知识和观点，这些教师在认知上存在一些误区，比如认为高等数学的知识用不到中学数学课堂教学中，而中学数学的程度抽象化是无法与高等代数相比拟的。

浅析高等代数与中学数学的关联作者：方次军来源：《新校园·上旬刊》2013年第04期摘要：本文分析了高等代数与中学数学在知识方面的联系，找出其在知识上的众多关联。

高等代数在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展，更具抽象化和归一化。

关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；数学观念信计专业从大学一年级就开设了高等代数课程。

它是大学数学专业的重要的基础课程，也是学生感到比较抽象难学的课程，需要学生初步地掌握基本、系统的代数知识和抽象、严格的代数方法。

在近几年的教学中，笔者发现高等代数教学一直存在着如下的问题：一方面，由于高等代数的抽象性且与中学知识难以直接衔接，不少大一学生一接触到高等代数课程，就会产生畏难情绪；另一方面，由于高等数学理论与中学教学脱节，许多学生会感到有点不知所措。

不少学生普遍感到这门课程“难学”，上课能听懂，但习题“难做”，似乎无规律可循。

为了解决上述问题，笔者从知识内容和思想方法上将高等代数课程与中学数学进行比较。

通过比较后发现：高等代数课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展。

在教学中，教师要尽量注意到新旧知识的衔接和中学知识的延伸，通过具体的、深入浅出的讲解，提高学生的学习兴趣。

这样，高等数学类课程的学习难度就会大大降低。

一、高等数学类课程与中学数学在知识方面的联系中学代数中讲过多项式的加、减、乘、除运算法则和因式分解的一些常用方法，如求根法和十字相乘法等。

高等代数在第一章多项式中就拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数，在加法、乘法运算的基础上给出了多项式环的概念。

接着讲了多项式的整除理论及最大公因式理论，用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式与唯一因式分解的存在和唯一性定理，分别给出了复数系、实数系和有理数系的因式分解中学代数讲过一元一次、二元一次、三元一次方程组的解法，特别是二元一次方程。

毕业论文文献综述数学与应用数学高等代数对中学代数的指导作用一、前言部分人们常有一种片面的观点, 认为高校里所学的专业知识在中学数学教学中几乎无用. 甚至有些中学数学教师和师范院校数学系的学生认为学习高等数学对于中学数学教学作用不大。

其实高等数学知识在开阔中学教师的视野、指导中学数学解题等方面有很大的作用.我们还认为要把初等数学教好, 不仅要学习高等数学, 而且还一定要学“好”。

学“好”高等数学是指不仅要学习它的定理和方法, 更重要的是要学习它的“观点” ,也即必须掌握高等数学处理问题的特点, 并且将这些观点应用在处理初等数学的问题与教学中去。

众所周知, 我们可以用求导数的方法来求函数的极值, 用微分学中值定理来证明一些不等式、用行列式来求线性方程组的解、用空间解析几何来解立体几何的一些问题。

可能有些同志会说即使熟练地掌握了这些内容, 也不能对中学生讲, 因而在初等数学教学工作中还是用不上。

但是, 我们应该注意到, 学好高等数学不仅要学会这些方法, 而且要了解这些方法的精神实质以及为什么要这样处理问题。

这一切都将成为从事初等数学教学工作的指导思想。

我们可以用高等数学中的一些观点引伸出解初等数学问题的某些技巧, 这些方法是完全初等的, 可以为中学生所接受的, 而应用这些方法都可以将相当数量的、表面上看来完全无关的初等数学问题用儿乎相同的方法解出。

高等数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想方法上是中学数学的因素和扩张，在观念上是中学数学的深化和发展。

高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方法。

注意与中学数学的联系对比，不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学的指导作用。

通过研究高等代数与中学数学的联系、区别，探讨高等代数对中学数学的指导,可以更好的学习高等代数和中学数学。

二、主题部分高等代数与中学代数是一脉相承的，是相辅相成的，高等代数是中学代数的深化与进一步研究，中学代数是中学生学习的比较简单基础的高等代数，已有许多教学第一线的教学工作者和数学家及相关研究人员，从不同的角度对高等代数与中学代数的关系。

理得：
a + b − a 2 − b 2 + a b = −1 。
xA + xB 2
2k 2 +1
p 、y H =
由 CH = AH 可得 x C =
2 x2 A + yA 2 2 + yB xB 2 xC
4k 2 + 2 k2
p 。代入计算可得：
xA xB xC 0
yA 1 yB 1
0 0 1 1
x=2p。
当然，利用上述结论证明该题运算比较烦琐，要求 对行列式的计算很熟练，但方法简单、思路清晰且易于 掌握。
图1
分析：设圆 H 交 x 轴于点 C ，只需证 O 、 A 、 C 、
B 四点共圆方可。而这四点的坐标容易求出，从而可用
2．利用齐次线性方程组的解的理论解应用题
我们知道，齐次线性方程组
上述结论证明。至于第二问，求出其半径表达式，讨论 方可。 证明：依题意，设直线 AB 的方程为 y = k ( x − 2 p )
2 2 xH + yH =
两点 A 、 B ，以线段 AB 为直径做圆 H （ H 为圆心） ， 试证明抛物线的顶点在圆 H 的圆周上；并求圆 H 的面 积最小时直线 AB 的方程。
y
4+ 4k 2 + 2 k4 p， 故要使
B
只需 k → ∞ ， 此时直线 AB 的方程为： 圆 H 的面积最小，
H o A Q C x
(x1 + x 2 + " + x n )2 ≥ 4 ( x1 x 2 + x 2 x 3 + " + x n x1 ) ，
结论得证。 例 6 （参考文献[5]113 页第 14 题） 已知 x, y, z ∈ R ，

从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系
首先，高等代数和中学数学都是数学的一部分，它们都基于数学的基
本概念和性质展开研究。

无论是高等代数还是中学数学，都涉及因式分解、运算规则、代数方程、几何图形等基本概念。

学习中学数学的时候，学生
们已经接触过代数方程的解法、数列的求和、几何图形的性质等知识，这
些知识都包含了高等代数的基础概念和性质。

其次，高等代数提供了更为抽象和一般化的数学方法，而中学数学则
更加注重具体问题的解决。

在高等代数中，通过引入向量空间、线性映射
等概念，可以将不同学科领域的问题抽象为一个个矩阵或向量的运算问题，从而用更通用的方法来解决。

而在中学数学中，更多地是通过具体的例子
和问题来引导学生学习，注重运用知识解决实际问题。

此外，高等代数的一些概念和方法在中学数学中也有所应用。

例如，
矩阵的乘法在高等代数中是一个重要的概念和运算方法，而在中学数学中，矩阵的乘法被应用于几何变换的研究中，如平移、旋转、缩放等。

同样，
高等代数中的行列式和特征值也有在中学数学中的应用，如解二元一次方
程组、矩阵的对角化等。

最后，学习高等代数可以加深对中学数学的理解和应用。

高等代数涉
及的概念和方法更加抽象和一般化，学习高等代数可以帮助学生更好地理
解和应用中学数学中的一些基本概念和性质。

通过学习高等代数，学生可
以更深入地了解中学数学中的代数、几何和概率等知识，从而提高数学素
养和解决实际问题的能力。

高等代数在中学解题中的应用数学与计算机科学学院数学与应用数学专业 101301028 陈盛指导教师黄坤阳讲师【摘要】高等代数作为初等数学与高等数学的纽带，可见高等数学与中学数学有着密切的联系。

将高等代数与中学数学解题联系在一起有着其必然的意义。

本文阐明高等代数在中学数学解题中的应用意义，并归纳和总结了高等代数在中学数学解题中常用的知识点，主要从行列式在中学数学解题中的应用、矩阵在中学数学解题中的应用、线性方程组在中学数学解题中的应用三个方面进行解析。

【关键词】行列式；矩阵；线性方程组Application of Higher Algebra in middle school in problem solvingScienceSchool of mathematics and Computer Sciences, mathematics and applied mathematics 101301028 Chen ShengInstructor Huang Kunyang lecturer【Abstract】: the higher algebra as the link of elementary mathematics and higher mathematics, visible and middle school mathematicsmathematics are closely linked. The higher and middle school mathematics solving algebraic problems together with its inevitablesignificance. This paper explains that the application significance of Higher Algebra in middle school mathematics, and summarizes the common higher algebra in middle school mathematicsknowledge, mainly carries on the analysis from the application,determinant in middle school mathematics matrix of three aspects of application, in middle school mathematics linear equations in middle school mathematics the.【Keywords】: determinant; matrix; linear equations引言:高等代数是高等学校的一门基础课程，它也是数学专业的一门敲门砖。

高等代数在中学数学中的一些应用高等代数是高中和大学数学教材中的一个重要部分，尤其是研究高等教育的学生，更应该了解高等代数的基础理论和一些常用的计算方法。

近年来，随着中学数学教育的不断更新，高等代数在中学数学中的应用越来越广泛，它已经成为中学数学教学的重要内容。

首先，高等代数在中学数学中的应用非常重要。

高等代数的主要课程内容包括多项式的计算、方程的求解以及曲线的研究。

由于这些课程内容都是有关数学的基础知识，所以学习者需要努力学习，并以正确的态度面对它们，以便更好地发挥其作用。

其次，高等代数在中学数学中的应用也包括抽象代数。

抽象代数是一门计算数学的分支，它涉及数论、群论、环论以及各种其他理论，对中学学生来说，学习这门课程可以让他们了解数学的抽象性，并开拓他们的思维方式。

此外，高等代数的一些基本概念也被应用到中学数学中。

首先是函数的概念，函数是一种关系，它可以把一个变量的取值和另一个变量的取值结合起来，它可以用来描述实际应用中遇到的一些数学模型，有助于学生更好地理解数学中的问题及其复杂性。

其次是极限概念，极限是指一个变量接近某个值时，该变量值的变化率趋近于零。

它可以帮助学生研究函数的行为趋势，因此可以研究函数的有效取值范围，从而推理出函数的解析解。

最后，高等代数在中学数学中的应用还包括高等数学的研究方法。

高等数学的研究方法包括专业的统计分析技术、立体几何的研究和多元函数分析等，可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。

同时，这些研究方法也可以把学生带到数学的前沿，让他们接触最新的数学理论和发展动态，这对促进学生数学思维能力的发展也是非常重要的。

综上所述，高等代数在中学数学教学中有着广泛而重要的应用，它可以不仅帮助学生更好地理解基础知识，还可以更深入地研究函数、极限和高等数学的研究方法，从而更好的运用数学概念，推动中学数学教学的发展。

高等代数心得体会及感悟（实用17篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高等代数对中学数学的指导意义
高等代数对中学数学的指导意义主要体现在以下几个方面：
1. 培养抽象思维能力：高等代数是数学中的一个重要分支，它通过抽象的符号和概念，研究代数结构及其性质。

学习高等代数可以培养学生的抽象思维能力，帮助他们建立起抽象概念和符号的联系，从而更好地理解和应用数学知识。

2. 深化对数学概念的理解：高等代数中的概念和理论往往是中学数学的深化和延伸，通过学习高等代数可以更深入地理解中学数学中的一些概念，如向量、矩阵等，并且为后续学习提供更加坚实的基础。

3. 培养逻辑思维和证明能力：高等代数中的定理和证明是数学思维的重要组成部分，学习高等代数可以培养学生的逻辑思维和证明能力。

通过解决高等代数中的问题和证明定理，学生可以锻炼自己的推理和证明能力，提高解决问题的能力。

4. 拓宽数学应用领域：高等代数是应用数学的重要工具，在物理、工程、计算机科学等领域有广泛的应用。

学习高等代数可以帮助学生了解和掌握一些数学工具和方法，为将来的学习和职业发展打下基础。

总之，高等代数对中学数学的指导意义主要体现在培养学生的抽象思维能力、深化数学概念的理解、培养逻辑思维和证明能力以及拓宽数学应用领域等方面。

通过学习高等代数，学生可以更好地理解和应用数学知识，为将来的学习和职业发展奠定坚实的基础。

高等代数在中学数学解题中的若干应用的论文人们常有一种片面的观点，认为高校里所学的专业知识在中学数学中几乎无用，其理由是从初等数学到高等数学，在研究问题和处理问题的方式上存在着较大的区别．其实这是一种误解，正因为有这样的区别，才使我们从中学数学的解题思维定式中走出来，用一种更深远的眼光来看中学数学问题．高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革．高等代数知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出．下面就来探讨一些高等代数知识在中学数学解题中的应用．初等数学中的某些问题看起来比较复杂，甚至难以下手，但用线性相关的方法却显得比较简单，通过从多方面多角度的思考能提高分析问题解决问题的能力．2.1求代数式的取值范围初等数学中某些线性相关问题，若采用一般的初等解题方法不相关地去看待，则会使计算繁难，且容易出错;利用高等数学中线性相关的思想方法来处理，则会使问题简单明了，易于解决．运用线性相关知识研究函数性质的问题，研究对象常以复合函数的形式出现，解决这一类型的问题往往采用新旧结合，或以新方法解决旧问题．2.2解决某些二元不定方程例3利有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，购乙7件，丙1件，共需315元，若购甲4件，乙10件，丙4件，共需420元，现购甲、乙、丙各1件，共需多少元？答:甲乙丙各购1件，共需105元．中学数学中有很多题涉及到了对一些因式的分解，虽然中学数学中有很多方法可以解决．但对于某些问题如果构造与之对应的行列式，然后用行列式的性质去解决，会起到事半功倍的效果．3.1应用于因式分解从上面两个例子可以看出，解此类数学问题的关键是构造行列式，以行列式为桥梁，把原型变形为不同的行列式，再利用行列式的性质加以解题．利用矩阵的性质和定理，可以很好的解决某些数列问题．在此例题中引入矩阵作为工具使用了矩阵的性质，轻而易举地求出了通项公式．从上例可知，使用柯西—施瓦兹不等式重要的是构造一个合适的欧氏空间，特别是构造内积运算，并找到两个合适的向量．高等代数在中学数学解题中的应用远不止上述几个方面，但通过上述问题的解决不难看出高等代数完全可以作为一种工具来解决中学数学中的问题，从而为解决中学数学问题提供了别开生面的思路．但我们也要了解高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解，而是一种知识的融会贯通．只有我们掌握好高等代数的课程，才能将它更好的用于将来所从事的中学数学教学工作中．内容仅供参考。

高等代数心得(通用3篇)高等代数心得篇1“学习高等代数有两大难关，一是形式体系的思维难关，二是数域概念的理解难关。

为了能更好的学习高等代数，建议从熟悉群、环、域开始，因为群、环、域不仅是高等代数的基础，其理论内涵非常丰富，而且有广泛的应用。

此外，华一世纪的《高等代数》和《高等代数与抽象代数》两本书对于初学者来说，较为容易理解。

”高等代数心得篇2心得体会应由本人根据自身实际情况书写，以下仅供参考，请您根据自身实际情况撰写。

高等代数是数学专业的基础课程之一，它包括线性方程组、多项式、向量空间、矩阵、线性变换、群、环、域等概念和理论。

在学习高等代数的过程中，我深刻地感受到了数学的美妙和严谨。

在学习高等代数之前，我对代数学有一些了解，但是高等代数的学习让我更加深入地了解了代数的本质和意义。

例如，矩阵和线性方程组的关系，向量空间和线性变换的关系等等，这些概念和理论让我更加深入地了解了代数的本质和意义。

在学习高等代数的过程中，我遇到了很多挑战和困难。

例如，一些数学符号和公式很难理解，一些概念和理论很难记忆和应用。

但是，我通过不断地思考和实践，逐渐克服了这些困难。

例如，我通过不断地练习和思考，逐渐掌握了矩阵的运算和性质，逐渐掌握了线性方程组的求解方法。

在学习高等代数的过程中，我也收获了很多。

例如，我学会了如何使用数学符号和公式，学会了如何思考和解决问题。

例如，我学会了如何将实际问题转化为数学问题，学会了如何使用数学工具来解决实际问题。

在学习高等代数的过程中，我深刻地认识到了数学的重要性。

数学是科学研究的基础之一，它可以帮助我们更好地理解自然现象和社会现象。

例如，在物理学中，数学是研究力学、电磁学、光学等的基础；在经济学中，数学可以帮助我们更好地理解市场和投资；在计算机科学中，数学是研究算法、数据结构和系统的基础。

总之，学习高等代数让我更加深入地了解了代数的本质和意义，让我学会了如何使用数学符号和公式，学会了如何思考和解决问题。

多项式 的整除理论及 最大公 因式理论 ， 用不可约多项式的严格 定义解释 了“ 不可再分” 的含义 ， 接着给出了不可约多项式与唯
一
明显 ， 常借 助于图形 。而高等代数在数学基本知识技 能方面的
培养 上是承上启下 的 ， 一般先 给出严格 的定义 ， 然 后从定义 出
因式 分解的存在 和唯一性定理 ， 分别给 出了复数 系 、 实数系
的研究 ； 通过选定基 ， 将 向量之 间的关系转化 为向量坐 标之间 的关 系； 将 线性变换 的研 究转化为矩 阵的研 究等 ； 同时按元素
的讲解 ， 提高学 生的学 习兴趣 。 这样 ， 高等数学类课程 的学 习难
度就会大大降低 。
一
、
高等数学类课程与中学数学在知识方面的联 系
间的关系进行分类 ， 如用等价关 系、 相似关 系 、 合 同关系对矩 阵 分类 ； 利用 同构关 系对线 性空 间分类 、 用维数 对欧 氏空间分类 等， 这都用到归一化思想。 总之 ， 中学数学 教学 中， 由于受 中学 生理解能 力和所学 知
新 校 园 Ｘ ｉ ｎ Ｘ ｉ ａ ｏ Ｙ ｕ ａ ｎ
科研 教学
浅析高等代数与中学数学的关联
方 次 军 文分析 了高等代数与 中学数 学在知识 方面的联
武汉
４ ３ ０ ０ ６ ８ ）
的仅仅是向量元素 的一种特殊情形。 可见 ，高等代数在知识上 的确是 中学数学的继续和提高 。
发， 通 过严 密的逻辑推理得 出性质 、 定理 、 推论 ， 直至建立 完整 的理论体 系 ， 同时具备抽象性 和归一性 ， 应用更广泛 ， 从而能解
决更复杂的问题 。
参考文献 ：
和有理数系 的因式分解

高等代数与中学数学概念的衔接问题研究摘要：高等代数是师范院校数学与应用数学专业的一门重要的基础课程，也是中学数学的继续和提高。

在教学过程中利用中学数学知识启发引导学生探讨高等代数的相关内容，既有利于学生巩固中学数学知识，又有利于学生认识学习高等代数的重要性，同时为学生学习后继课程及今后从事中学数学教育教学工作奠定一定的基础。

关键词：高等代数；中学数学；教学高等代数是民族师范院校数学与应用数学专业的一门重要的基础课程，也是中学数学的继续和提高，同时也是培养学生建立现代数学思想的基础工具课程之一。

随着中学数学课改的不断深入，“高等代数”作为从“中学代数”到“抽象代数”的过渡课程，无论是在课程内容上还是在教学方法上都需要进一步的改革。

本文根据师范院校的学生专业特点，并结合自身多年的教学实践经验和与中小学一线数学骨干教师及学生之间的交流，就高等代数教学与中学数学内容的衔接问题作如下阐述。

在交流过程中，大部分学生认为高等代数纯数学理论强，抽象难学，对有些概念和问题含糊不清，似懂非懂，尤其是向量空间、线性变换、欧氏空间等概念因对公理化的定义难以全面理解，使部分学生对高等代数失去深入学习的兴趣，进而影响到后续课程的学习。

在对近300名学生的调研中发现70%的学生能够掌握基本概念及其性质，独立完成课本上的计算题，而对于证明题仅有50%的学生能够独立完成。

为了激发学生进一步学习高等代数的积极性和主动性，培养其良好的数学思维品德。

同时让学生深入理解高等代数的有关概念，全面系统的掌握概念产生的背景，提高学生的创新能力和实践能力。

笔者在教学过程中尝试以中学数学知识为背景启发引导学生学习高等代数，激发学生的学习兴趣。

课堂教学效果有了明显的转变，同时学生学习高等代数的积极性也在不断提高，为进一步学习后续课程起到了一定的积极作用。

具体做法是：一、在高等代数的教学方法上做好与中学数学知识的衔接工作随着中学数学新课程理念的全面推广，学生应用数学知识解决实际问题的能力在不断提升，教师的教育观念正逐步从“应试教育”向“素质教育”转变。

目录摘要 (I)Abstract (I)1 引言 (1)2 知识方面的联系 (1)2．1多项式理论的应用 (1)2．2行列式的应用 (2)2．3柯西不等式的应用 (3)2．4二次型的应用 (4)3 思想方面的联系 (4)3．1符号化思想 (4)3．2分类思想 (5)3．3化归与转化思想 (5)3．4结构思想 (6)3．5公理化方法 (6)3．6坐标方法 (6)3．7构造性方法 (7)4 观念方面的联系 (7)结束语 (8)参考文献 (8)致谢 (10)摘要：运用高等代数的理论、方法、思想与观点剖析和阐述中学数学相关内容的若干问题，通过若干典型试题的解析，从知识方面、思想方面以及观念方面研究了高等代数与中学数学的联系，探索高等数学观点对中学数学一些教学内容的理论依据，深化与发展高等代数在中学数学的相关内容，促进高等代数在中学数学领域的应用，探求二者的内在的联系，以便高等代数能与中学数学完美的结合．关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；应用Abstract: The problems related to elementary mathematics are analyzed and explained by using the theory，method，thoughts and views of higher algebra．Through analyzing some typical test questions，the relation between higher algebras and elementary mathematics are investigated from the aspects of knowledge、thought and idea. Exploring the higher mathematics view to middle school mathematics some teaching content theory and model，deepening and development in higher algebra in middle school mathematics related content，and promote higher algebra in the middle school mathematics field of application，and to explore the inner link，so that higher algebra can be combined with the middle school closely．Keywords: higher Algebra；middle school mathematics；mathematical thinking；application1 引言高等代数作为数学专业的主干专业基础课之一，是初等代数的延伸与提高．运用高等代数的望远镜和显微镜剖析各类高等数学课程与中学数学之间的关联是一项长期有效的措施]1[．以实现中学式思维方式向大学式思维方式的过度与转变为目标，引导学生在二者之间建立一座桥梁．教师方面，有利于帮助中学教师融会贯通中学教学的相关内容，让中学教师利用高等数学的相关理论、方法与观点解决中学数学的相关问题，以上位者的姿态理解中学教学内容的本源，知其所以然，促进知识的深化；学生方面，也能激发学生的学习兴趣，扩大高等数学知识在中学教学中的应用面，加深高等代数知识与中学数学的关联．在理解中学数学与高等代数之间的联系后，中学教师能更好地展开相关教学工作，学生能更好地完成相关教学任务．本文将从数学知识、数学思想、数学观点三个层面研究高等代数与中学数学的联系]2[．2 知识方面的联系2．1 多项式理论的应用作为高等数学主要内容之一的多项式理论，它与中学代数有着密不可分的关联．利用多项式理论解决了中学数学中的诸多遗留难题，如多项式的根与因式分解理论，由此可见，高等代数知识对解决中学的中学代数问题有着“居高临下”的作用．例1 多项式17345)(234+-+-=x x x x x f ，当142==x x 时，求此多项式的值．解 将条件等式变形为142=-x x ，由)(1x f ，所以)(42x f x x -．由多项式除法，得173)4)(()(22+---=x x x x x x f ，再将142=-x x 代入上式，可得18174)(2=+-=x x x f ．例2 已知c b a 、、 为整数，且满足a c cb b a ++与c b b c c a ++均为整数，求证c b a ==． 证明 设))()(()(ac x c b x b a x x f ---=． 于是1)()()(23-+++++-=x ab bc c a x a c c b b a x x f ．由已知条件知)(x f 是首项系数为1的整系数多项式，且b a ，c b ，a c 均为它的三个有理整数根，又因为它们的乘积为1，所以1===ac c b b a ，故c b a ==． 2．2 行列式的应用 “矩阵与变换”作为普通高中新课改的选修模块之一]3[，在历年高考中有着广泛的命题基础，包含了中学数学中一些典型问题，如求函数的解析式，多项式的因式分解等问题，若能在解题中适当利用行列式知识，这些问题往往可以迎刃而解．例3 已知函数d cx bx ax x f +++=23)(，满足0)1(=-f ，6)1(-=f ，9)2(-=f ，4)3(-=f ，求)(x f ．解 由已知条件，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+⋅+⋅+⋅-=+⋅+⋅+⋅-=+⋅+⋅+⋅=+-+-+-4333922261110)1()1()1(23232323d c b a d c b a d c b a d c b a 把上式看成关于a ，b ，c ，d 的方程组，它的系数行列式为范德蒙行列式1333122211111)1()1()1(23232323---， 由行列式与线性方程组的理论，可得1=a ，2-=b ，4-=c ，1-=d ，即142)(23---=x x x x f ．例4 试分解多项式xyz z y x 3333-++．解 构造一个行列式D ，使它等于此多项式，即xyz z y x xz yy x zz y xD 3333-++==． 而x y zx y z x y z D zx y y z x ++++++=xz y y x zz y x 111)(++= 222=()()x y z x y z xy yz zx ++++---．所以，xyz z y x 3333-++可分解为：))((222zx yz xy z y x z y x ---++++．此外，当系数行列式不等于零时，可以利用行列式给出线性方程组的解；已知顶点坐标或三边方程，就可以利用行列式表示三角形面积]4[；利用行列式也可求直线﹑平面的方程等等．2．3 柯西不等式的应用定理]5[1（柯西-施瓦茨不等式）在欧氏空间里，对于任意向量ξ，η有不等式〉〈〉〈≤〉〈ηηξξηξ，　，，2，当且仅当ξ与η线性相关时，等号成立．在欧氏空间n R 里，取)…(21n a a a ，，　，=ξ，)...(21n b b b ，，　，＝η时，就有 柯西不等式 对任意实数组n a a a ，，　，…21和n b b b ，，　，...21，有 ≤+++22211)…(n n b a b a b a )...)(…(222212n 2221n b b b a a a ++++++．当且仅当)21(，　==i kb a i i 时，上式的等号成立． 特别的，)…21(1n i b i ，，　，　==时，有 )…()…(2n 2221221a a a n a a a n +++≤+++．所以，柯西不等式作为高等代数的重要内容之一，是初等数学与高等代数的重要结合点之一，也是柯西-施瓦茨不等式在欧氏空间n R 中的具体体现，运用柯西不等式解决中学中的相关问题，有时会显得直接明了．例5 已知P 为ABC ∆内一点，a BC =，b CA =，c AB =，点P 到ABC ∆的三边BC ，CA ，AB 的距离分别为1d ，2d ，3d ．求证：ABCS c b a d c d b d a ∆++≥++2)(2321． 证明 由题意知3212cd bd ad S ABC ++=∆，要证明结论成立，只需证2321321)())((c b a cd bd ad d c d b d a ++≥++++， 由柯西不等式得，上式显然成立，所以ABCS c b a d c d b d a ∆++≥++2)(2321． 2．4 二次型的应用作为高等代数的重要内容之一的二次型，在数学与物理领域都有着广泛运用，在一些相关数学问题中，巧用二次型知识解决中学数学中的一些难题，往往可以起到事半功倍的效果．定理]6[ 设n 元二次型'()f x x Ax =，则f 在条件112=∑=ni i X 下的大（小）值恰为矩阵A的最大（小）特征值．例6 设2232)(y xy x x f ++=，且满足122=+y x ，求)(x f 的最大值与最小值．解 二次型),(y x f 的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3111A ，则 2431112+-=----=-λλλλλA I ， 解得221+=λ，222-=λ，于是由以上定理可得，)(x f 在122=+y x 下的最大值为22+，最小值22-．3 思想方面的联系3．1 符号化思想原始的符号作为记录的工具，为人类发展做出了巨大的贡献，而数学的发展是离不开符号的发展的．最初的人类从具体数量中抽象出数字，并以此制订了运算法则，在此基础上不断发展，使用字母符号表示数，延伸出多项式，使用各种符号创建出抽象的代数系统，如：向量空间、欧氏空间…相应的，随着抽象程度的提高，也大大丰富了数学的研究对象．例7 设集合}){(R y x y x ∈=Ω，，，规定：（1）），（000=；（2）当且仅当21x x =，21y y =时，)()(2211y x y x ，，=．在Ω上定义运算“⊗”：21212211)()(y y x x y x y x +=⊗，，，设Ω∈c b a ，，，有以下四种命题：a b b a ⊗=⊗① ；)()(②c b a c b a ⊗⊗=⊗⊗；③若0=⊗b a ，则b a ，中至少有一个为0；④若c a b a a ⊗=⊗≠，0，则c b =；其中真命题的个数为（A ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（08广东梅州市检）3．2 分类思想数学是一门严谨的、系统的学科，因此在数学中往往需要研究对象的不同属性进行分类．分类思想作为基础的思想方法，数学中几乎处处可见．如中学数学中，对数和式的分类，高等代数中，如矩阵分类，向量空间、欧氏空间按维数的分类，二次型分为正定、负定、不定三类等等，分类讨论方法作为分类思想的一个分支，在解题中有着广泛运用．例8 已知函数1)2()1(2--+-=x m x m y （m 是实数）．如果函数的图像和X 轴只有一个交点，求m 的值．解 当1=m 时函数就是一个一次函数1--=x y ，它与X 轴只有一个交点)01(，-． 当01≠-m 时，函数就是一个二次函数1)2()1(2--+-=x m x m y0)1(4)2(2=-+-=∆m m ，得0=m ．抛物线122---=x x y 的顶点)01(，-在X 轴上．评注：本题利用简单的分类思想讨论了两种不同情况，思路清路，考虑全面，解题便捷．运用分类思想往往能将复杂的情况，梳理清楚，分类思想在解题中有着广泛应用．3．3 化归思想化归与转化思想作为数学的几个重要思想之一，其精髓就是化未知为已知，化难为易，化繁为简．例如，在中学数学中，无理式化为有理式，四边形问题化为三角形问题，几何问题与代数问题的互相转化等；高等数学中，超越式方程化为代数式方程，高阶行列式化为低阶行列式，二次型问题化为实对称矩阵问题，向量关系化为向量坐标之间的关系等．例9 设对所有实数x ，不等式2222224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a ++++>+ 恒成立，求a 的取值范围．分析：这是一个含有参数的不等式的恒成立的问题，但是，这个题目的表面比较复杂，我们可以通过换元法，，化为简单的参数的一元二次不等式． 解：设22log 1a t a =+， 则 224(1)8(1)log log 32a a t a a++==-，222(1)log 24a t a +=-． 于是，已知的不等式化为()23220t x tx t -+->．该不等式对所有实数t 恒成立的充要条件是()230,4830.t t t t ->⎧⎨∆=+-<⎩解得0t <．即22log 01a a <+， 进一步解得 01a <<．3．4 结构思想现代数学通过顺序结构、条件结构、循环结构将数学各分支联结成一个整体．从本质上讲，中学代数与高等代数使用的都是相同的数学结构．因此，不仅从结构层面极其相似，而且在知识层面上也有很多相似的地方．例如，由倒数到逆矩阵再到逆元，从数的运算律到矩阵的运算律，再到代数系统的运算律，从负数到负矩阵，再到负元素，由多项式的整除关系再到几何的偏序关系，这些内容都是反映了结构思想．3．5 公理化方法中学平面几何的大量命题与理论都是以在欧几里德的《几何原本》中的“23条定义”、“五大公理”、“五大公设”的的理论基础上．并在此基础上发散与推证出大量新结论，从本质上讲，这种方法是实质公理化方法．高等代数中，线性变换、向量空间、欧氏空间大量命题建立在一些假设上，并以这些假设为公理，再推导出相应的理论系统，这种方是形式公理化方法．实质公理方法到形式公理方法这一演化过程，不仅体现了其自身的发展，也体现了初等代数到高等代数的发展．3．6 坐标方法坐标方法作为中学数学常用的方法之一，主要通过建立直角坐标系，标出相应的坐标，利用一些结论计算出相应的答案．在高等代数中，坐标方法在向量空间中应用极广．特别地，欧氏空间中，在规范正交基条件下向量的夹角、距离、内积、坐标计算公式都是中学数学平面几何中相应公式的拓展．例10 如图所示，直三棱柱111C B A ABC -中，21===CA CB C C |，CB AC ⊥ ，E D ﹑分别是棱11﹑C B AB 的中点，F 是AC 的中点，求EF DE ﹑的长度．解 以点C 为坐标原点，1﹑﹑CC CB CA 所在直线为X 轴、Y 轴、Z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．21===CA CB C C ，)000(，，C ∴，)002(，，A ，)020(，，B ，)200(1，，C ，)220(1，，B ． 由中点坐标公式可得)011(，，D ，)210(，，E ，)001(，，F5)20()11()01(222=-+-+-=∴DE ，6)02()01()10(222=-+-+-=EF图１3．7 构造性方法中学数学中的出现的所有方程都是采用构造性方法解决的，高等代数中构造性的方法不仅可以运用到解题上，而且还能用来证明定理．例如，正交基存在性定理的证明，带余除法定理的证明，最大公因式存在性的证明等等．所以，构造方法使二者既有联系，又有区别．例11 若()()()042=----z y y x x z ，求证：x 、y 、z 成等差数列． 证明 当y x =时，可得z x =，所以x 、y 、z 成等差数列；当y x ≠时，设方程()()()02=-+-+-z y t x z t y x ，由0=∆得21t t =，并易知1=t 是方程的根，所以=21t t 1=--yx z y ，即z x y +=2，所以x 、y 、z 成等差数列． 评注：拿到题目感到无从下手，思路受阻，但我们细看，问题条件酷似判别式∆=ac b 42-的形式，因此联想到构造一个一元二次方程进行求解．综上所述，从知识的深度与广度看，中学数学远不如高等代数，但是，从思想方法层面看，二者相承一脉，本源相同．简而言之，高等代数源于中学数学，却高于中学数学．中学数学受自身知识深度浅，层面窄的局限，因而对数学思想的指导性不强．通过高等代数的学习不断完善这种学习上的缺陷，进而达到揭示数学知识内在联系，深刻认识数学思想方法内涵的目的．4 观念方面的联系中学数学与高等代数在数学研究对象、数学研究的特点等数学观念极其相似，可以这样说，高等代数的这些观念都延伸与中学数学．接下来将从研究对象、研究特点分析二者之间在观念方法的区别和联系．研究对象方面，中学数学的研究对象主要是以一些简单的现实世界中的空间关系和数量关系为主．例如，点、线、面与常见几何图形的研究，数、代数式、方程、函数的研究．高等代数在研究对象的选择不再拘泥于直观简单的研究对象，因此研究对象得到了极大的丰富和扩展，很多传统意义上的关系不再对高等代数的研究对象适用．例如，数的一些运算法则不再适用矩阵的运算，中学的空间知识不再适用向量空间、欧氏空间等．充分理解这些观念的转换对指导二者的教学工作有很大帮助．数学研究的特点方面，抽象性、逻辑性和应用的广泛性作为数学研究的特点，这些特点深化在数学研究的各个领域中．下面将从三个特点分别探讨中学数学与高等代数的区别与联系．首先，中学数学通过抽象化，把数、式抽象为字母，大大简化计算量，这是我们尝到抽象化带给我们的第一个“甜头”．显然，中学数学的这种程度抽象化是无法帮助我们理解抽象化真正的含义和作用的．由于高等代数处于一个更高的研究水平，所以它更能帮助我们更加直观的理解抽象化的本质．例如，通过向量的加法与数乘的共性，将平面向量抽象为空间向量，通过将内积的共性与实数域上的向量空间结合，就抽象出了欧氏空间．可以看出，抽象化推动着数学的发展，不断提高抽象化，更易使我们接触到问题的本质．其次，在中学数学中，中学生理解能力较差，因此很少给出严格的定义．所以容易造成知其然，不知其所以然的格局．特别在推导几何问题方面，还需依靠直观图形．显然在数学上，这是不够严谨的．高等代数中就不会出现这种情况，所有的证明都是需要严格定义的，通过定义严密推理，得到相关结论，最终形成理论系统．最后，中学数学主要应用于教育，能解决少数的一些简单问题，比如，面积、体积、行程计算，无法适用于更加复杂的问题．相对的，高等代数除去教育功能，在应用的广度和难度上更胜于中学数学．随着更深入的学习，就会发现高等代数应用范围会逐渐增大．结束语在我国高等师范学院所开设的专业课程，应是中学内容的沿袭发展、螺旋上升，而高等代数却略有不同，因为高等代数与中学数学的研究对象、方法出现了巨大差异，中学教师大都毕业于师范院校本﹑专科，具有高等代数知识是无疑的，但能用高等代数的思想﹑观点去指导中学数学教学的却不多见]7[．数学师范专业的学生有种误区，认为“教学中用不上高等代数知识”，因而在学习高等代数知识的过程中懈怠，学习积极性不高，甚至于“厌学”．本文通过从数学方法、数学思想、数学观念三方面，并辅以例题综合阐述中学数学与高等代数的种种联系．在课程教学改革中，不仅要挖掘知识体系的联系，更要挖掘数学方法，数学观念方面的联系]8[．促进中学数学与高等代数的完美结合，进而扩大高等代数在中学数学的应用．参考文献[1] 马忠林，郑毓信．数学方法论[M]．：广西教育出版社，1996．[2] 杨世明，周春荔，等．ＭＭ教育方式：理论与实践[M]．：香港新闻出版社，2002．54－87．[3] 中华人民共和国教育部．普通高中教学课程教育标准：实验[M]．：人民教育出版社，2003．[4] 庄瓦金．高等代数教程[M]．：高等教育出版社，2004．92－95[5] 张禾瑞，郝炳新．高等代数[M]．：高等教育出版社，1999．[6] 扬家骥．高等代数在初等数学中的应用[M]．：山东教育出版社，1992．[7] 杨远廷．用高等数学的观点看中学数学教学[J]．德阳教育学院学报，2000，14(1):44－45．[8] 王玉行．高等代数对学生形成和发展数学品质的意义及教学策略[J]．数学教育学报，2007，16(3)：92－94．致谢历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了．尤其要强烈感谢我的论文指导老师—钟纯真老师、刘熠老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进．另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助．在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！感谢这篇论文所涉及到的各位学者．本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作．感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多你问素材，还在论文的撰写和排版的过程中提供热情的帮助．由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！。

高等代数拓展内容之十八从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系侯维民（天水师范学院数学系，甘肃天水，741001 ）摘要：本文以数学方法论为指导，发掘了高等代数与中学数学在数学知识、数学思想方法、数学观念诸方面的联系．以此说明：注意与中学数学的联系对比不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用．关键词：高等代数；中学数学；数学知识；数学思想方法；数学观念中图分类号：G304，G642.42 文献标识码：A数学教育的双专业性不但要求数学教师精通较多的数学知识，具备多种数学能力；还要求他们懂得系统的教育理论，练就娴熟的教育技能．为使未来的中学数学教师精通较多的数学知识，具备多种数学能力，高师数学系除开设“中学数学复习与研究”，“中学数学教材教法”等直接指导中学数学教学的课程外，还开设了“数学分析”、“高等代数”等高等数学类的课程．然而，在长期开设高等数学类课程的实践中，一直存在着两方面的问题．一方面由于中学数学知识难以与高等数学知识直接衔接，使不少大一学生一接触到“数学分析”、“高等代数”等课程，就对数学专业课产生了为难情绪；另一方面，由于高等数学理论与中学教学需要严重脱节，许多高师毕业生对如何用高等数学理论指导中学数学教学感到茫然．为了【作者简介】侯维民（1947—），男，河南卫辉市人，天水师院教授，大学本科毕业，研究生课程结业，主要从事代数学，数学教育及周易数理研究.．解决上述长期存在的问题，笔者认为措施之一是用数学方法论[1]的望远镜和显微镜来剖析各门高等数学类课程与中学数学的联系．不但挖掘知识体系方面的联系，更要挖掘数学思想方法、数学观念方面的联系．通过这些工作，使师生都清楚地看到：高等数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高、在思想方法上是中学数学的因袭和扩张，在观念上是中学数学的深化和发展．[2]这样，学生学习高等数学类课程的难度就会大大降低，高等数学类课程对培养中学数学教师的指导作用也会显著增强．下面以高等代数[3]课为例，从数学知识，数学思想方法、数学观念三个方面发掘一下高等数学类课程与中学数学[4、5、6]的联系．1 高等代数与中学数学在知识方面的联系这个问题至少可由以下6点说明．（1）中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则．高等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论．（2）中学代数给出了多项式因式分解的常用方法．高等代数首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定．（3）中学代数讲一元一次、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系．高等代数接着讲一元n次方程根的定义，复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一元n次方程根的特点，有理系数一元n次方程有理根的性质及求法，一元n次方程根的近似解法及公式解简介．（4）中学代数讲二元一次、三元一次方程组的消元解法．高等代数讲线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法，讲线性方程组解的判定及解与解之间的关系．（5）中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子．中学代数学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子．中学代数中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子．（6）中学几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型．三角形的不等式为欧氏空间中两点间距离的性质提供模型．线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型．综上所述可知，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高．它不但解释了许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等；而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统．这对用现代数学的观点、原理和方法指导中学数学教学是十分有用的．2 高等代数与中学数学在思想方法方面的联系以下就十种数学思想方法对照二者之间的联系．（1）抽象化思想．小学从具体事物的数量中抽象出数字，开创了算术运算的时期．中学用字母表示数，开创了在一般形式下研究数、式、方程的时期．高等代数用字母表示多项式、矩阵，开始研究具体的代数系统，进而又用字母表示满足一定公理体系的抽象元素，开始研究抽象的代数系统——向量空间、欧氏空间．随着概念抽象化程度不断的提高，数学研究的对象急剧扩大．（2）化归思想．中学数学里，化无理方程为有理方程，化分式方程为整式方程，化三元一次方程组为二元一次方程组直至一元一次方程，通过化归矩形推导平行四边形面积公式，这些都用到化归思想．在高等代数里，通过按行按列展开，将阶数较高的行列式化为阶数较低的行列式；通过分离系数，将线性方程组的研究转化为增广矩阵的研究；通过选定基，将向量之间的关系转化为向量坐标之间的关系，将线性变换的研究转化为矩阵的研究，将二次型的研究转化为实对称矩阵的研究等，这些也都用到化归思想．（3）分类思想．中学按概念对研究的对象分类，例如对数分类，对代数式分类等．高等代数除按概念分类，如将次数大于0的多项式分为可约与不可约两类，将二次型分为正定、负定、不定三类等，还按元素间的等价关系分类，例如分别依矩阵的等价关系、相似关系、合同关系对矩阵分类．利用向量空间的同构关系对向量空间、欧氏空间按维数分类，等．（4）结构思想．现代数学通过三种数学结构将数学各分支联系成一个整体．中学数学与高等代数都用现代数学的观点和语言组织教材，两者的许多概念、性质及运算律具有相似性．从负数到负多项式、负矩阵再到负元素，由倒数到逆矩阵再到逆元，从数的运算律到集合、多项式、矩阵的运算律再到代数系统的运算律，由数的大小关系到集合的包含关系、多项式的整除关系再到集合的偏序关系．这些内容全都反映了结构思想．（5）类比推理思想．在中学数学中，由分数的性质类比推理分式的性质．由两直线的位置关系类比推理两平面的位置关系．由直角三角形的勾股定理类比推理具有三直角顶点四面体的勾股定理．在高等代数中，由整数的整除理论类比推理数域F上的多项式的整除理论．由直角坐标系下，几何向量的长度、夹角、内积、距离公式类比推理规范正交基下，n维欧氏空间中向量的长度、夹角、内积、距离公式．（6）严格的逻辑推理方法．受中学生理解能力的限制，中学数学中严格的定义较少，定理和习题的推理过程较短，几何问题的推导还常常借助直观图形．但常用的证题方法，如反证法、同一法、综合法、分析法、数学归纳法等，学生已有接触．而高等代数对所研究的各类问题首先给出严格的定义，然后从定义出发，通过严密的逻辑推理，得出性质、定理、推论，直至建立完整的理论体系．同中学数学相比，高等代数具有提出问题一般，理论推导严格，讨论问题深入，知识体系完备的优点．（7）公理化方法．中学平面几何将利用直觉经验不证自明的少数命题和推导原则作为公理，由此出发推证出大量新的命题，这已用到实质公理化方法．高等代数中的向量空间、线性变换、欧氏空间都将若干条假设作为公理，利用这些公理，再推导出各自的理论体系，这已用到形式公理化方法．由实质公理化方法到形式公理化方法体现了公理化方法的发展．（8）坐标方法．中学数学通过数轴建立了直线上点的坐标，通过平面坐标系建立了平面上点的坐标．高等代数通过向量空间的基建立了向量空间中各种向量的坐标，推导出了向量和及向量数乘的坐标计算公式，证明了坐标变换公式．欧氏空间一章还给出了在规范正交基下，向量的长度、内积、投影、距离、夹角的坐标计算公式，这些公式恰是中学平面解析几何中相应公式的直接推广．（9）变换方法．中学数学学过线性方法组的同解变换．高等代数将这些同解变换转换成矩阵的初等变换，由此得到一种用途广泛的解题方法——矩阵的初等变换法．利用矩阵的初等变换法可以求解线性方程组，可以求矩阵的秩，可以求矩阵在等价关系和合同关系下的标准形，可以求逆矩阵，可以直接求解部分矩阵方程等．（10）构造性方法．中学数学中的一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、三元一次方程组的求解方法都属于构造性方法．高等代数不但继续用构造性方法解题，例如，判断整系数多项式可约性的克罗内克方法，求排列反序数的方法，求线性方程组解的行列式法和矩阵消元法等．还用构造性方法证明定理，例如，证明带余除法定理，证明最大公因式的存在性定理，证明正交基的存在性定理，证明对称矩阵与对角形矩阵合同定理等．综上所述可知，高等代数与中学代数虽然在知识深度上有较大差异，但产生知识的思想方法却是一脉相承的．只是由于中学数学的知识较浅，内容较窄，对思想方法的巨大作用体会不深而已．通过学习高等代数等近、现代数学课程，人们越来越深刻地认识到数学思想方法在揭示数学知识的内在联系，培养多种数学能力方面的巨大威力，从而学习和应用数学思想方法的自觉性大大增强．而这种自觉性对于当前提高中学数学教学质量恰恰是最为重要的．3 中学数学与高等代数在观念方面的联系在中学数学中初步萌生的若干数学观念，包括数学研究的对象，数学研究的特点，等，在高等代数中将得到深化和发展．关于数学研究的对象，由中学代数研究的数、代数式、方程、函数等内容，中学几何研究的点、线、面、常见图形等内容，不难看出：数学研究的对象是现实世界的数量关系和空间形式．然而这个观念在高等代数等后继课程中却不断受到冲击．首先，集合的包含关系，多项式的整除关系，向量的线性关系，矩阵的等价、相似、合同关系已不再是传统意义下的数量关系．其次向量空间、欧氏空间也不再局限于有直观意义的空间形式．高等代数等近、现代数学课程都说明：数学是一门应用抽象量化方法研究关系、结构、模式的科学．这一新的观念对于指导中学教改是至关重要的．关于数学研究的特点，人们普遍认为是抽象性、严谨性和应用的广泛性，然而仅从中学数学是很难深刻体会到这些特点的．首先看抽象性．中学数学中，从用字母表示数、诸多数学概念的形成已使学生初步体会到抽象的含义和作用，但是对数学科学如何借助于抽象而不断发展却知之甚微．通过高等代数等后继课程的学习，这样的例子就渐渐多了起来．例如，从几何向量等数学对象关于加法和数乘的共性中，可以抽象出向量空间的概念，再将几何向量等数学对象关于内积的共性抽象并赋予实数域上的向量空间就得到欧氏空间的概念．而当人们只把注意力集中到欧氏空间等代数系统的“距离”的本质属性——非负性、对称性、三角不等式时，就抽象出“距离空间”的概念．当人们再注意到由距离所产生的拓朴结构只是一种特殊的拓扑结构时，又抽象出拓朴空间的概念，可见随着抽象程度的不断提高，数学研究的对象日益扩大，结论更加本质．再看严谨性．受中学生理解能力的限制，中学数学的严格定义较少，几何问题的推导还常常借助直观图形，数学推理的严谨性并不十分明显．而高等代数对所研究的各类问题首先给出严格的定义，然后从定义出发，通过严密的逻辑推理得出性质、定理、推论，直至建立完整的理论体系．推理的严谨性随处可见．最后看应用的广泛性．中学数学除了它的教育功能外，还能解决一些简单的实际问题，如工程、行程、浓度、面积、体积等．而高等代数除了它的教育功能外，还能进一步解决一些较为复杂的问题，如电力系统、线性规则、投入产出模型等．总之学习高等数学类课程越多，数学应用的广泛性就体现得越全面．参考文献[1] 马忠林，郑毓信．数学方法论[M]．南宁：广西教育出版社,1996．34－98．[2] 杨世明，等．MM教育方式的理论与实践[M]．香港：香港新闻出版社，2002．54－87．[3] 张禾瑞，郝鈵新. 高等代数(第四版)[M]．北京：高等教育出版社，1999．1－3．[4] 人民教育出版社中学数学室．全日制普通高中教科书·数学(一、二、三册)[M]．北京：人民教育出版社，2001．1－2．[5] 人民教育出版社中学数学室．九年制义务教育三年制初级中学教科书·代数(一、二、三册)[M] .北京：人民教育出版社，2001．1－2．[6] 人民教育出版社中学数学室．九年制义务教育三年制初级中学教科书·几何(一、二、三册) [M].北京：人民教育出版社，2001．1－2．Explore Relations between the Higher Algebra and the Mathematics ofMiddle School by Mathematical MethodologyHou Weimin(Department of Mathematics , Tianshui Teachers’ college , Gansu Tianshui , 741001)Abstract ：This article quide by mathematical methodology，it explore the relations on mathematical knowledges，mathematical thoughts and methods，mathematical senses．It show that if we notice the connections and comparisons of Higher Algebra and Middle School Math，this not only reduce the difficulty of H igher Algebra’s study，and also strengthen the quiding actions of Higher Algebra on training mathematical teachers of middle school ．Key Words：Higher Algebra，Middle School Math，mathematical knowledge，mathematical thought and method，mathematical sense．。