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浅谈高等代数在中学的应用数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学学号：2011031532 朱伟达指导老师:卢明先【摘要】线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程．近几年随着高等数学已渐渐走入初等数学,线性代数在初等数学中也有广泛应用．本文共分为五个部分：例说行列式在中学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用，用向量法解决初等几何问题．本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程．【关键词】行列式；齐次线性方程组;二次型; 矩阵;向量Discussion on Application of Higher Algebra in middle schoolZHU wei-da 2011031532 Advisor:LU ming-xianPure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science【Abstract】:Linear algebra is a branch of mathematics. It is a mathematical foundation co urse。
In recent years, some content of higher mathematics are begun to learn by middle school st udents. And Linear algebra has also wide application in elementary mathematics。
This paper is d ivided into five parts. In these parts， we will give a lot of examples to show some applications of determinant， Linear equations, quadratic theory， matrix and transform, vector in elementary m athematics。
浅谈高等代数在中学数学中的活跃性探究高等代数是学习数学与研究数学的基础必备科目之一，它是初等代数的延伸。
其中，高等代数的一些思想、方法和理论观点都可以运用到中学数学中来解题；从知识方面和思想方面来讲，高等数学与中学数学的联系是紧密的，可以将高等代数中浅显的知识点直接运用到中学数学中，起到简化运算的目的，例如多项式的理论应用与矩阵等，本文笔者将从几道典例来浅析高等代数与中学数学的實质联系。
运用高等代数的视角去剖析高等数学与中学数学之间的联系是很有必要的策略，进而能使学生以中学式思维方式向高等数学思维方式转变。
作为教师，应该熟知中学教学的所有内容，能利用高等数学的一些观点灌输给学生一些思想和方法，进而能促进知识的深化。
1 高等代数与中学数学在知识方面的联系1.1 行列式的应用虽然矩阵与变换为人教版新课标高中数学课本选修模块系列中，但是，对于一些典型的问题，在许多考试中有着命题基础，例如求函数的解析式，因式分解等等，笔者就给出一道例题，已知函数，满足，，，，求.分析由已知条件得把上式看成关于，，，的方程组，它的系数行列式为范德蒙行列式，由行列式与线性方程组的理论，可得，，，，即.1.2 柯西不等式的应用在欧氏空间里，取，时，就有柯西不等式：对任意实数组和，有.当且仅当时，上式的等号成立，特别的，时，有.例已知为内一点，，，，点到的三边，，的距离分别为，，.求证：.证明由题意知，要证明结论成立，只需证，由柯西不等式得，上式显然成立，所以.1.3 二次型的应用定理设元二次型，则在条件下的大（小）值恰为矩阵的最大（小）特征值.例设，且满足，求的最大值与最小值.分析：二次型的矩阵，则，解得，，于是由以上定理可得，在下的最大值为，最小值.2 教学启示现阶段中学教师很少在课堂教学上涉及到高等数学的知识和观点，这些教师在认知上存在一些误区，比如认为高等数学的知识用不到中学数学课堂教学中，而中学数学的程度抽象化是无法与高等代数相比拟的。
浅析高等代数与中学数学的关联作者：方次军来源：《新校园·上旬刊》2013年第04期摘要：本文分析了高等代数与中学数学在知识方面的联系，找出其在知识上的众多关联。
高等代数在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展，更具抽象化和归一化。
关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；数学观念信计专业从大学一年级就开设了高等代数课程。
它是大学数学专业的重要的基础课程，也是学生感到比较抽象难学的课程，需要学生初步地掌握基本、系统的代数知识和抽象、严格的代数方法。
在近几年的教学中，笔者发现高等代数教学一直存在着如下的问题：一方面，由于高等代数的抽象性且与中学知识难以直接衔接，不少大一学生一接触到高等代数课程，就会产生畏难情绪；另一方面，由于高等数学理论与中学教学脱节，许多学生会感到有点不知所措。
不少学生普遍感到这门课程“难学”，上课能听懂，但习题“难做”，似乎无规律可循。
为了解决上述问题，笔者从知识内容和思想方法上将高等代数课程与中学数学进行比较。
通过比较后发现：高等代数课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展。
在教学中，教师要尽量注意到新旧知识的衔接和中学知识的延伸，通过具体的、深入浅出的讲解，提高学生的学习兴趣。
这样，高等数学类课程的学习难度就会大大降低。
一、高等数学类课程与中学数学在知识方面的联系中学代数中讲过多项式的加、减、乘、除运算法则和因式分解的一些常用方法，如求根法和十字相乘法等。
高等代数在第一章多项式中就拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数，在加法、乘法运算的基础上给出了多项式环的概念。
接着讲了多项式的整除理论及最大公因式理论，用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式与唯一因式分解的存在和唯一性定理，分别给出了复数系、实数系和有理数系的因式分解中学代数讲过一元一次、二元一次、三元一次方程组的解法，特别是二元一次方程。
毕业论文文献综述数学与应用数学高等代数对中学代数的指导作用一、前言部分人们常有一种片面的观点, 认为高校里所学的专业知识在中学数学教学中几乎无用. 甚至有些中学数学教师和师范院校数学系的学生认为学习高等数学对于中学数学教学作用不大。
其实高等数学知识在开阔中学教师的视野、指导中学数学解题等方面有很大的作用.我们还认为要把初等数学教好, 不仅要学习高等数学, 而且还一定要学“好”。
学“好”高等数学是指不仅要学习它的定理和方法, 更重要的是要学习它的“观点” ,也即必须掌握高等数学处理问题的特点, 并且将这些观点应用在处理初等数学的问题与教学中去。
众所周知, 我们可以用求导数的方法来求函数的极值, 用微分学中值定理来证明一些不等式、用行列式来求线性方程组的解、用空间解析几何来解立体几何的一些问题。
可能有些同志会说即使熟练地掌握了这些内容, 也不能对中学生讲, 因而在初等数学教学工作中还是用不上。
但是, 我们应该注意到, 学好高等数学不仅要学会这些方法, 而且要了解这些方法的精神实质以及为什么要这样处理问题。
这一切都将成为从事初等数学教学工作的指导思想。
我们可以用高等数学中的一些观点引伸出解初等数学问题的某些技巧, 这些方法是完全初等的, 可以为中学生所接受的, 而应用这些方法都可以将相当数量的、表面上看来完全无关的初等数学问题用儿乎相同的方法解出。
高等数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想方法上是中学数学的因素和扩张，在观念上是中学数学的深化和发展。
高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方法。
注意与中学数学的联系对比，不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学的指导作用。
通过研究高等代数与中学数学的联系、区别，探讨高等代数对中学数学的指导,可以更好的学习高等代数和中学数学。
二、主题部分高等代数与中学代数是一脉相承的，是相辅相成的，高等代数是中学代数的深化与进一步研究，中学代数是中学生学习的比较简单基础的高等代数，已有许多教学第一线的教学工作者和数学家及相关研究人员，从不同的角度对高等代数与中学代数的关系。
从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系
首先，高等代数和中学数学都是数学的一部分，它们都基于数学的基
本概念和性质展开研究。
无论是高等代数还是中学数学，都涉及因式分解、运算规则、代数方程、几何图形等基本概念。
学习中学数学的时候，学生
们已经接触过代数方程的解法、数列的求和、几何图形的性质等知识，这
些知识都包含了高等代数的基础概念和性质。
其次，高等代数提供了更为抽象和一般化的数学方法，而中学数学则
更加注重具体问题的解决。
在高等代数中，通过引入向量空间、线性映射
等概念，可以将不同学科领域的问题抽象为一个个矩阵或向量的运算问题，从而用更通用的方法来解决。
而在中学数学中，更多地是通过具体的例子
和问题来引导学生学习，注重运用知识解决实际问题。
此外，高等代数的一些概念和方法在中学数学中也有所应用。
例如，
矩阵的乘法在高等代数中是一个重要的概念和运算方法，而在中学数学中，矩阵的乘法被应用于几何变换的研究中，如平移、旋转、缩放等。
同样，
高等代数中的行列式和特征值也有在中学数学中的应用，如解二元一次方
程组、矩阵的对角化等。
最后，学习高等代数可以加深对中学数学的理解和应用。
高等代数涉
及的概念和方法更加抽象和一般化，学习高等代数可以帮助学生更好地理
解和应用中学数学中的一些基本概念和性质。
通过学习高等代数，学生可
以更深入地了解中学数学中的代数、几何和概率等知识，从而提高数学素
养和解决实际问题的能力。
高等代数在中学解题中的应用数学与计算机科学学院数学与应用数学专业 101301028 陈盛指导教师黄坤阳讲师【摘要】高等代数作为初等数学与高等数学的纽带，可见高等数学与中学数学有着密切的联系。
将高等代数与中学数学解题联系在一起有着其必然的意义。
本文阐明高等代数在中学数学解题中的应用意义，并归纳和总结了高等代数在中学数学解题中常用的知识点，主要从行列式在中学数学解题中的应用、矩阵在中学数学解题中的应用、线性方程组在中学数学解题中的应用三个方面进行解析。
【关键词】行列式；矩阵；线性方程组Application of Higher Algebra in middle school in problem solvingScienceSchool of mathematics and Computer Sciences, mathematics and applied mathematics 101301028 Chen ShengInstructor Huang Kunyang lecturer【Abstract】: the higher algebra as the link of elementary mathematics and higher mathematics, visible and middle school mathematicsmathematics are closely linked. The higher and middle school mathematics solving algebraic problems together with its inevitablesignificance. This paper explains that the application significance of Higher Algebra in middle school mathematics, and summarizes the common higher algebra in middle school mathematicsknowledge, mainly carries on the analysis from the application,determinant in middle school mathematics matrix of three aspects of application, in middle school mathematics linear equations in middle school mathematics the.【Keywords】: determinant; matrix; linear equations引言:高等代数是高等学校的一门基础课程，它也是数学专业的一门敲门砖。
高等代数在中学数学中的一些应用高等代数是高中和大学数学教材中的一个重要部分，尤其是研究高等教育的学生，更应该了解高等代数的基础理论和一些常用的计算方法。
近年来，随着中学数学教育的不断更新，高等代数在中学数学中的应用越来越广泛，它已经成为中学数学教学的重要内容。
首先，高等代数在中学数学中的应用非常重要。
高等代数的主要课程内容包括多项式的计算、方程的求解以及曲线的研究。
由于这些课程内容都是有关数学的基础知识，所以学习者需要努力学习，并以正确的态度面对它们，以便更好地发挥其作用。
其次，高等代数在中学数学中的应用也包括抽象代数。
抽象代数是一门计算数学的分支，它涉及数论、群论、环论以及各种其他理论，对中学学生来说，学习这门课程可以让他们了解数学的抽象性，并开拓他们的思维方式。
此外，高等代数的一些基本概念也被应用到中学数学中。
首先是函数的概念，函数是一种关系，它可以把一个变量的取值和另一个变量的取值结合起来，它可以用来描述实际应用中遇到的一些数学模型，有助于学生更好地理解数学中的问题及其复杂性。
其次是极限概念，极限是指一个变量接近某个值时，该变量值的变化率趋近于零。
它可以帮助学生研究函数的行为趋势，因此可以研究函数的有效取值范围，从而推理出函数的解析解。
最后，高等代数在中学数学中的应用还包括高等数学的研究方法。
高等数学的研究方法包括专业的统计分析技术、立体几何的研究和多元函数分析等，可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。
同时，这些研究方法也可以把学生带到数学的前沿，让他们接触最新的数学理论和发展动态，这对促进学生数学思维能力的发展也是非常重要的。
综上所述，高等代数在中学数学教学中有着广泛而重要的应用，它可以不仅帮助学生更好地理解基础知识，还可以更深入地研究函数、极限和高等数学的研究方法，从而更好的运用数学概念，推动中学数学教学的发展。
高等代数心得体会及感悟（实用17篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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从高等代数看中学数学
高等代数是大学数学专业的主干专业基础课,是初等代数的继续和提高。
高中新课改形势下的师范院校数学系的学生,经常面临着怎样运用所学的大学数学知识指导中学数学这个老大难的问题。
因此,在教学中应该注意联系中学教学实际,引导学生在中学知识和大学知识之间架起一座桥梁,从而顺利实现思维方式和学习方法的过渡和转变,指导学生、也是未来的中学数学教师能利用课程的理论、方法与观点去剖析中学数学的方法问题,有利于帮助他们融会贯通中学数学的相关内容,提高解决中学数学问题的能力,高屋建瓴地深刻理解中学数学有关内容的来龙去脉,知其然且知所以然,培养较高层次的数学素质,为今后的教学实践打下专业基础。
同时,反过来也有利于激发学习兴趣,促进知识深化。
下面将从数学知识、数学思想方法、数学观念等方面发掘高等代数与中学数学的联系。
一线性方程组理论的应用
1.关于消元法与解的结构。
线性方程组的理论是线性代数的重要理论结果,它是中学数学方程组求解方法的理论化与规范化。
线性方程组是否有解、有解时解的数量、通解的公式表示、解的几何意义等一系列问题都得到了圆满的解决,体现了高等代数相对于初等代数的新观点、新思想、新方法的优越性,对中学数学教学具有高屋建瓴的指导作用。
消元法是中学数学求解二(三)元一次方程组的基本方法,在高等代数中可以得到理论上的完美解释,即由于线性方程组的初等变换保持同解性,所以消元法可行,而且消元法的实质是反复对方程组作初等变换,或者说消元法是对线性方程组的增广矩阵作行的初等变换的过程。
并且,根据线性方程组解的理论容易知道解的只有三种情况(唯一解、无解、无穷多解)以及具体判定方法和解的结构特征。
特别地,在一定条件下,方程组的唯一解可以用公式形式给出,即Cramer法则。
Cramer法则的意义主要在于:明确了解的存在性与唯一性,为判断这类方程组的有解性提供了比较直接的方法;将求解问题,转化为行列式的计算,避免了消元法的繁琐计算;以公式的形式给出了解与系数的明显关系,为一般线性方程组公式解的表达式提供了理论依据。
2.几个平面共点、共线、平行与重合的问题。
利用线性方程组的理论容易解决平面共点、共线、平行与重合的问题。
实际上,平面族交于一点的条件是对应的方程组有唯一解,相当于系数矩阵与增广矩阵的秩都等于3;平面族共线的条件是系数矩阵与增广矩阵的秩都等于2;平面族过同一平面(重合)的条件是系数矩阵与增广矩阵的秩都等于1;平面族互相平行的条件是对应的方程组无解,相当于系数矩阵与增广矩阵的秩不相等。
此外线性方程组理论还可解决直角坐标平面上四点共圆或者过不共线的三点的圆的方程等问题。
二向量线性关系的几何意义
向量思想体现了数学的抽象性与严谨性,反过来又展示了应用广泛性的特点,向量之间的线性相关性有着明显的几何意义。
一维情况:非零向量a与向量e共线(平行)的充要条件是a可由e线性表示。
更一般的,两个向量共线(平行)的充要条件是它们线性相关。
二维情况:向量a与不共线的两个向量e1,e2共面的充要条件是a可由e1,e2线性表示。
更一般的,三个向量共面的充要条件是它们线性相关。
三维情况:空间中任意向量都可由不共面的三个向量线性表示。
更一般的,空间中任意四个(以上)向量总是线性相关。
此外,线性相关性的概念可移用于线性方程组。
当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时,那这个方程就是多余的。
把每个线性方程看成一个行向量,那么两个线性方程组同解相当于对应两个行向量组等价。
把各系数列看成向量组,则线性方程组有解相当于常数列向量可由系列向量组线性表示。
三行列式的应用
行列式是在寻求线性方程组公式解的过程中产生的。
行列式是线性代数的基本工具,有许多的应用。
这里结合中学数学着重探讨行列式的应用。
任给实数域上的3阶行列式
a1b1c1
a2b2c2
a3b3c3
在几何空间中取定一个右手直角坐标系0,e1,e2,e3,设向量a,b,c的坐标分
别
(a1,a2,a3), (b1,b2,b3)(c1,c2,c3)
以向量a,b,c为棱的平行六面体的体积为
V= a×b∙c∙cos c,a×b= a×b∙c
其中 a×b∙c称为相应的定向体积。
经过计算可得
a×b∙c=a1b1c1 a2b2c2 a3b3c3
可见3阶行列式的几何意义是以它的列向量为棱的平行六面体的定向体积。
此外,当系数行列式不等于零,可以利用行列式给出线性方程组的公式解;已知顶点坐标或三边方程,就可以用行列式来表示三角形面积[1];利用行列式,也可求平面、直线方程。
等等。
这些问题都和中学数学紧密相关。
四二次型理论与多元二次多项式的因式分解问题
中学数学里有时遇到多元二次多项式的因式分解问题,我们可以利用高等代数中二次型理论来探讨复数域和实数域上多元二次多项式的分解条件及分解方法。
实际上,n元二次多项式可以和n+1元二次型联系起来。
比如由二元二次多项
5x2−3y2+4xy+2y−6
可构成三元二次型
5x2−3y2+4xy+2yz−6z2
反之,由二次型取z=1,得相应的二次多项式。
一般地,如果n元二次多项式为
a ij x i y j 1≤i≤j ≤n + a r ,r +1x r +a n +1,n +1n
r =1
则称n +1元二次型
a ij x i y j 1≤i≤j ≤n +1
为对应的二次型。
容易证明:n 元二次多项式可分解的充要条件是对应的二次型可分解为两个n +1元一次齐次式的乘积。
因此可以主要考虑二次型的分解。
根据二次型理论,可以证明以下结论:复数域上二次型可分解的充要条件是它的秩不超过2;实数域上二次型可分解的充要条件是它的秩等于1,或者秩是2且符号差是0。
这个结论表明了二次多项式或二次型可分解与否的判别方法,至于具体的分解方法,一般是利用配方法或二次型理论中的矩阵合同变换法把二次型先化为标准型,再作进一步的因式分解。
五 利用矩阵求最大公因式
利用增广矩阵可以很清晰地表示消元法的过程;利用矩阵乘积,可以轻易地得到变量之间的性关系。
在初等数学中,求两个多项式的最大公因式一般用因式分解和辗转相除的方法,运算过程较为复杂。
如果采用矩阵的知识,可使求解过程简洁许多。
原理:首先,根据多项式理论,容易得到以下结论
f x ,
g x = f x ,kg x ,k ≠0;
f x ,
g x = f x ,kg x ,g x ,k 是常数;
,g x = f x ,xg x ,其中f x 的常数项非零。
用矩阵
a n a n−1∙∙∙a 0
b n b n−1⋯b 0
表示两个多项式a n x n +a n−1x n−1+⋯+a 0和b n x n +b n−1x n−1+⋯+b 0
这样,结论表明对该矩阵做初等消法行变换和初等倍法行变换以后不改变最大公因式;同时,还表明当a 0≠0, a n a n−1∙∙∙a 0b n b n−1⋯b 0 的最大公因式与 a n a n−1∙∙∙a 0b n−1⋯b 00
的最大公因式相同(至多相差常数倍)。
于是,可以对上述矩阵做以上三种变换,使得其中的某行都是零或者只有一个非零数,进而可很快求出它们的最大公因式。
六 因式分解的理论依据
多项式是中学代数的重要内容,但中学主要侧重于多项式的运算。
多项式理论是高等代数的重要内容之一、相对独立而自成体系,却为高等代数的基本内容提供了理论依据。
多项式是最常见的初等函数,应用非常广泛,多项式理论中的一些重要定理和方法,在进一步学习数学理论和解决实际问题时经常要用到。
和中学内容相比,高等代数的多项式理论的深度、广度以及规范化程度都明显加强了。
代数的基本任务之一是解方程,而因式分解是解方程的法宝。
在现行中学教材中,
把因式分解特殊化、简便化,讲授了一些的分解因式的方法与技巧,但不涉及它们的理论,对所谓的“不能再分解”、“分解是否唯一”等问题都没有进行讨论。
在这个方面,高等代数从最大公因式的理论与求法、不可约多项式的类型和判别、因式分解的存在唯一性、可行性等问题进行了理论探讨;其中,关于最大公因式、辗转相除法、重因式、三大特殊数域上的因式分解、根与系数关系的推广、有理根的理论与方法,对中学数学的教学与竞赛更具理论指导意义。
高等代数许多内容的知识背景源于中学,是在具体的代数结构基础上得出的公理化论述,也就是从个性中提炼出来的共性。
在课程教学改革实践中,不仅要挖掘知识体系方面的联系,更要挖掘数学思想方法、数学观念方面的联系。
从数学方法论的角度看,高等代数在知识上是中学数学的继续和提高,在思想方法上是中学数学的延续和扩张,在观念上是中学数学的深化和发展。
高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方面。
注意与中学数学的联系对比不但可以降低高等代数课程的学习难度,而且增强本课程对培养中学数学教师的指导作用。
从基本概念、定理以及知识背景等方面阐述高等代数与中学数学的区别与联系,把中学数学知识恰当地融入到高等代数的教学中来,将收到更好的教学效果。
