第37卷 第1期 湖南理工学院学报(自然科学版) V ol. 37 No. 12024年3月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Mar. 2024由Hermite-Hadamard 不等式的一个推广形式所生成的不等式时统业, 董芳芳(海军指挥学院, 江苏 南京 211800)摘 要: 考虑由一个推广的Hermite-Hadamard 不等式的右边部分的连续加细所生成的两个差函数. 引入参数求最值的方法, 在Lipschitz 条件下给出了关于这两个差函数的不等式.关键词: Hermite-Hadamard 型不等式; Lipschitz 条件; 凸函数; 加强 中图分类号: O178; O174.13文章编号: 1672-5298(2024)01-0001-06Inequalities Generated by a Generalized Form ofHermite-Hadamard InequalitySHI Tongye, DONG Fangfang(PLA Naval Command College, Nanjing 211800, China)Abstract : In this paper, we consider two difference functions generated by a continuous refinement of the right-hand side of a generalized Hermite-Hadamard inequality. By using the method of introducing a parameter to find the minumum value, inequalities involving these two difference functions are established under Lipschitz condition.Key words : Hermite-Hadamard type inequality; Lipschitz condition; convex function; strengthen0 引言本文假设,(0,1),1p q p q Î+=, 且pa qb x =+. 对于[,]a b 上的凸函数f , 成立()()()1()d ,22b a f a f b a b f f x x b a ≤≤++-ò (1) 式(1)称为Hermite-Hadamard 不等式[1−3].Dragomir 等[4]引入定义在[0,1]上的函数()1()(1)d 2ba ab H t f tx t x b a +=+--⎰, 证明当f 是[,]a b 上的凸函数时, ()H t 是[0,1]上单调递增的凸函数. 利用()H t 可加细Hermite-Hadamard 不等式的左边部分.王良成[5]给出Hermite-Hadamard 不等式的一个推广:()(,)()(),f pa qb C p q pf a qf b ++≤≤ (2)其中f 是[,]a b 上的凸函数,(,)()d ()d .()()bapq C p q f x x f x x q b a p b a ξξ=+--⎰⎰于永新和刘证[6]引入另一个与Hermite-Hadamard 不等式相关的函数:1()((1))d ((1))d bq pa q p H t p f qtx t x q f ptx t xb aξξξξ⎡⎤=+-++-⎢⎥-⎣⎦⎰⎰. 当12p q ==时, ()H t 即为Dragomir 等定义的()H t . 当1t =时, ()H t 即为王良成给出的式(2)中的插值函数. 文[6]证明当f 是[,]a b 上的凸函数时, ()H t 是[0,1]上单调递增的函数, 并且建立不等式收稿日期: 2023-08-12作者简介: 时统业, 男, 副教授. 主要研究方向: 数学不等式2湖南理工学院学报(自然科学版)第37卷()()()()()11()2222t t t t f pa qb pf a qf b H t ≤≤≤x x ++-++- ()d ()d (1)()(,)bap qt f x x f x x t f pa qb C p q b a qpξξ⎡⎤++-+⎢⎥-⎣⎦⎰⎰≤, (3) 从而加细了式(2)的左边部分. 文[7]研究由式(3)生成的差值在Lipschitz 条件下的估计.与Hermite-Hadamard 不等式有关的函数的研究还有很多[8−14]. 文[14]引入函数1()((1))d ((1))d bq p a q p H t p f qtx t a x q f ptx t b x b a ξξ⎡⎤=+-++-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ , 证明了当f 是[,]a b 上的凸函数时, ()Ht 是[0,1]上单调递减的函数, 并且利用()H t 加细了式(2)的右边部分, 即12()d ()d ()d ()d (1)()bbaapqp q t f x x f x x f x x f x x t f b a q pb a qpξξξξξ⎡⎤⎡⎤-++--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰≤≤ ()()d ()d (1)[()()]()()bapqt Ht f x x f x x t pf a qf b pf a qf b b a qpξξ⎡⎤++-++⎢⎥-⎣⎦⎰⎰ ≤≤. (4) 通过积分变量替换可以将()Ht 化为 1()((1))d ((1))d bap qHt f tx t a x f tx t b x b a qpξξ⎡⎤=+-++-⎢⎥-⎣⎦⎰⎰ . 由式(4)生成两个差值:12()()()d ()d (1)()bap qt t H t f x x f x x t f b a qpξξ∆ξ⎡⎤-=-++-⎢⎥-⎣⎦⎰⎰ , 2()()d ()d (1)[()()]()bap qt t f x x f x x t pf a qf b H t b a qpξξ∆⎡⎤=++-+-⎢⎥-⎣⎦⎰⎰ . 本文将证明当f 是定义在[,]a b 上的Lipschitz M -函数时, ()H t 是[0,1]上的()Lipschitzpq b a M --函数, 而且给出更强的结果. 另外, 还要在Lipschitz M -条件下给出1()t ∆和2()t ∆ 的估计. 1 主要结果定理1 设f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 则对任意12,[0,1]t t ∈, 12t t <, 有()()()2222121111()()11()()1112244U VU Vpq t t b a M pq t t b a M M MM⎡⎤⎡⎤-----+----+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤≤()()22212111()()()()11144U VH t H t pq t t b a M M M⎡⎤------+⎢⎥⎣⎦≤≤()2211()()1122V Upq t t b a M M ⎡⎤----+⎢⎥⎣⎦, (5)其中222((1))()()f t t a f a U t q b a ξ+--=-, 222()((1))()f b f t t b V t p b a ξ-+-=-.证明 利用函数2x 的凸性知式(5)的左边第一个不等式和右边第一个不等式成立. 令1211()((1))d ,()((1))d ()()baH t f tx t a x H t f tx t b x q b a p b a ξξ=+-=+---⎰⎰ ,则有12()()()H t pH t qH t =+ . (6) 下面证明对任意12,[0,1]t t ∈, 12t t <, 有第1期时统业, 等: 由Hermite-Hadamard 不等式的一个推广形式所生成的不等式 3()2211211()1()()()11,22q t t U H t H t b a M M -⎡⎤----⎢⎥⎣⎦ ≤ (7)()2212221()1()()()11.22p t t V H t H t b a M M -⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦ ≤ (8) 先考虑1201t t <<≤情形. 对任意1[0,()]t q b a ε∈-, 令211221(1)t t s t t a t ξε-=+--, 则有 2112111()()t t H t H t t ε---= (){}1111112111[()()]d [((1))()]d ()a t t aaa f a f s s f t t a f s s qb a t t εξεξ++-+⎛⎛⎫--++--+ ⎪ -⎝⎭⎝⎰⎰{}122111(1)1122(1)21[()((1))]d [()((1))]d s t t at t as f s f t t a s f s f t t a s t ξξξξ+-+-⎫-+-+-+-⎪⎭⎰⎰≤()11(1)111211()d {[(1)]}d ()a t t a aa M s a s t t a s s qb a t t εξεξ++-+⎡⎛⎫--++--+ ⎪⎢-⎝⎭⎣⎰⎰()122111(1)1122(1)21{[(1)]}d {[(1)]}d s t t at t as s t t a s t t a s s t ξξξξ+-+-⎤-+-++--=⎥⎦⎰⎰2221121(){[()]}2()t t M t q b a t q b a εε-+---,()2221211211121()()()1()()()11()22q t t t t b a U H t H t b a M M qt εε---⎡⎤----+-⎢⎥⎣⎦≤, (9) 其中()11()12t q b a U M ε-=-. 因为||U M ≤, 所以11[0,()]t q b a e Î-. 在式(9)中取1εε=即可得到式(7)．类似地可证明式(8), 只要注意到对任意21[0,()()]t t p b a ε∈--, 令211(1)s t t b ξ=+-, 32s t ξ=+2(1)t b -, 有{}3233222132211()()[()()]d [()()]d ()s s s s H t H t V f s f s s f s f s s p b a t εεε++⎛-+=-+-+ -⎝⎰⎰121122121211[()()]d [()()]d t b b t t t s b t t f s f s s f s f b s t t εε----⎫⎧⎫⎛⎫--+-⎪⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭⎭⎰⎰． 再考虑120, (0,1]t t =∈情形. 对任意2[0,()]t q b a ε∈-, 有121()(0)H t H U ε--= {}222222(1)(1)22(1)21[()()]d [()((1))]d ()t t a t t aat t a f s f a s f s f t t a s t q b a ξεξξεξ+--+-+---+-+--⎰⎰≤()222222(1)(1)22(1)2()d {[(1)]}d ()t t a t t a at t a M s a s t t a s s t q b a ξεξξεξ+--+-+---++--=-⎰⎰2222{[()]}2()M t q b a t q b a εε+---, ()222121221()(0)()11(),22()qt U MH t H b a M M t q b a εε⎡⎤----+-⎢⎥-⎣⎦ ≤ (10) 其中()22()12t q b a U M ε-=-. 由||U M ≤可知22[0,()]t q b a ε∈-. 在式(10)中取2εε=即知式(7)也成立.类似地可证明式(8), 只要注意到对任意2[0,()]t p b a ε∈-, 有222()(0)H t H V ε-+= {}222222(1)22(1)(1)21[()((1))]d [()()]d ()t t b bt t bt t b f s f t t b s f s f b s t p b a ξεξξεξ+-++-+-+-+-+--⎰⎰.综合式(6)~(8), 则式(5)从右边数起的第二个不等式得证. 又f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 故f -也是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 对f -应用已证结果, 则式(5)从左边数起的第二个不等式得证.推论1 设f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 则对任意12,[0,1]t t ∈, 12t t <, 有4湖南理工学院学报(自然科学版)第37卷22121||1|()()|()()11.22U V H t H t pq t t b a M M ⎡⎤-⎛⎫-----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ≤ 定理2 设f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 则对任意(0,1]t ∈, 有2222(1)(1)(2)()1222t t P t t Q t pq b a M t t tpqM ⎧⎫⎡⎤-⎪⎪-+------⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎩⎭≤ 2222212(1)(1)(2)1()1()222222t t t t t Q P t pq b a M t t tpqM t tpqM ∆⎡⎤---⎛⎫⎛⎫-------⎢⎥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎣⎦≤≤ 222222(1)(1)(2)1()1222222t t t P t t t Q pq b a M t tpqM t tpqM ⎡⎤⎛⎫⎛⎫------+--⎢⎥ ⎪ ⎪--⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦≤2222(1)(1)(2)()1222t t P t t Q t pq b a M t t tpqM ⎧⎫⎡⎤⎪⎪--+----+⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎩⎭, (11) 其中1{[((1))()][((1))()]}P p f t t a f a q f t t b f b b aξξ=+--++---,1{[((1))()][((1))()]}Q p f t t a f q f t t b f b aξξξξ=+--++---.证明 利用函数2x 的凸性知式(11)的左边第一个不等式和右边第一个不等式成立. 可直接验证2112()(1)(2),t t I t t I ∆=-+- (12) 其中{}(1)1(1)1[()((1))]d [()((1))]d ()t t abat t bp q I f x f t t a x f x f t t b x t b a qpξξξξ+-+-=-+-+-+--⎰⎰,(1)2(1)2(1)21[((1))()]d [()()]d ()t att a t t at p I f t t a f x x f f x x t b a q ξξξξξξ+--+-+--⎛⎧⎫=+--+-+ ⎨⎬ -⎩⎭⎝⎰⎰ (1)(1)2(1)2[()()]d [((1))()]d t bt t b tt b t q f f x x f t t b f x x p ξξξξξξ+-+--+--⎫⎧⎫-++--⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭⎰⎰. 对于任意[0,()]tq b a ε∈-, 有{}(1)11[()()]d [()((1))]d ()a t t aaa p P I f x f a x f x f t t a x tq tb a qεξεεξ++-+⎛+=-+-+-+ -⎝⎰⎰(1)[()((1))]d [()()]d pb b q p t t bb q q f x f t t b x f x f b x p εξεξ-+--⎫⎧⎫-+-+-⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭⎰⎰≤ ()(1)()d {[(1)]}d ()a t t aaa p M x a x t t a x x tb a qεξεξ++-+⎡-++--+⎢-⎣⎰⎰22(1){[(1)]}d ()d {[()]},()pb b q p t t b b q q pMx t t b x b x x tq b a p tq b a ξεξεε-+--⎤⎛⎫-+-+-=+--⎥ ⎪-⎝⎭⎦⎰⎰ 221321()11()22()pM P I tpq b a M tpqM tq b a εε⎡⎤⎛⎫--++-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦≤, (13) 其中3()122tq b a P tpqM ε-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为||2P tpqM ≤, 所以3[0,()]tq b a ε∈-. 在式(13)中取3εε=即得 211()1122P I tpq b a M tpqM ⎡⎤⎛⎫--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦≤． (14)第1期时统业, 等: 由Hermite-Hadamard 不等式的一个推广形式所生成的不等式 5类似可证22222(1)(22)1()222(2)t t t Q t t I pq b a M t tpqM t t ⎡⎤--+⎛⎫---+⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎣⎦≤, (15) 只要注意到对任意2(1)1(),()22t t q b a q b a t t ε⎡⎤--∈---⎢⎥--⎣⎦, 有(1)2(1)2(1)21[((1))()]d [()()]d ()t at t a t t a t Q p I f t t a f x x f f x x tq t b a q ξεξξξεεξξ+-+-+-+-+-⎛⎧⎫+=+--+-+ ⎨⎬ -⎩⎭⎝⎰⎰(1)(1)2(1)2[()()]d [((1))()]d t b pt t b t q t b p t q q f f x x f t t b f x x p ξεξξξεξξ+--+--+--⎫⎧⎫-++--⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭⎰⎰. 综合式(12)、(14)、(15), 则式(11)从右边数起的第二个不等式得证. f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 故f -也是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 对f -应用已证结果, 则式(11)从左边数起的第二个不等式得证.推论2 设f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 则对任意(0,1]t ∈, 有2221|(1)(2)|2(1)|()|()1.222t P t t Q t t t pq b a M t t tpqM ∆⎧⎫⎡⎤-+-⎪⎪-----⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎩⎭≤ 定理3 设f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 则对任意(0,1]t ∈, 有2222(1)(1)1()1122t t P t Q tpq b a M t t tpqM ⎧⎫⎡⎤--+⎪⎪-----⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪⎩⎭≤ 22222(1)111()1()121222t Q t t P tpq b a M t t t t tpqM pqM ∆⎡⎤-⎛⎫⎛⎫---------⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ≤≤ 2222(1)111()1121222t Q t t P tpq b a M t t t tpqM pqM ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫----+--+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦≤ 2222(1)(1)1()1122t t P t Q tpq b a M t t tpqM ⎧⎫⎡⎤⎪⎪--+---+⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪⎩⎭, (16) 其中,P Q 与定理2中的定义相同.证明 利用函数2x 的凸性知式(16)的左边第一个不等式和右边第一个不等式成立. 可直接验证有22212()(1),t t J t J ∆=-+ (17) 其中()(1)1()111[()()]d [((1))()]d ()tq b a a t t a t tq b a a a t p J f a f x x f t t a f x x t b a q ξξ-++-+-++⎛⎧⎫=-++--+ ⎨⎬ -⎩⎭⎝⎰⎰ ()1()(1)1[((1))()]d [()()]d tp b a b b ttp b a t t b b t q f t t b f x x f b f x x p ξξ--+-+--+⎫⎧⎫+--+-⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭⎰⎰, {}(1)2(1)1[()((1))]d [()((1))]d ()t t bt t ap q J f x f t t a x f x f t t b x t b a qpξξξξξξ+-+-=-+-+-+--⎰⎰.对任意2()(),11tq b a t q b a t t ε⎡⎤--∈-⎢⎥++⎣⎦, 有 ()(1)1()111[()()]d [((1))()]d ()tq b a a t t a t tq b a a a t p P J f a f x x f t t a f x x tq t b a q εξεεξ-+++-+-+++⎛⎧⎫-=-++--+ ⎨⎬ -⎩⎭⎝⎰⎰ ()1()(1)1[((1))()]d [()()]d tp b a pb b t q tp b a p t t b b t q q f t t b f x x f b f x x p εξεξ---+-+---+⎫⎧⎫+--+-⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭⎰⎰≤6湖南理工学院学报(自然科学版)第37卷()(1)1()1()d {[(1)]}d ()tq b a a t t a t tq b a a a t p M x a x t t a x x t b a q εξεξ-++-+-+++⎡⎛⎫-++--+⎢ ⎪-⎝⎭⎣⎰⎰()1()(1)1{[(1)]}d ()d tp b a pb b t q tp b a p t t b b t q q x t t b x b x x p εξεξ---+-+--+⎤⎛⎫-+-+-=⎥ ⎪⎝⎭⎦⎰⎰ 222()()()11pMtq b a t q b a tq b a t tεε⎧⎫⎡⎤⎪⎪--⎡⎤++-⎨⎬⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭, 2221422111()()212()(1)pM t t P J tpq b a M t tpqM tq b a t εε⎡⎤⎛⎫+---++-⎢⎥ ⎪+-+⎝⎭⎣⎦≤, (18) 其中4()1212tq b a t P t tpqM ε-⎛⎫-=-+ ⎪+⎝⎭. 因为||2P tpqM ≤, 所以24()(),11tq b a t q b a t t ε⎡⎤--∈-⎢⎥++⎣⎦. 在式(18)中取4εε=即得2212111()212(1)t t P J tpq b a M t tpqM t ⎡⎤⎛⎫+---+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦≤. (19) 类似可证2221()(1)1,22pq Q J b a M t t t pqM ⎡⎤⎛⎫----+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦≤ (20) 只要注意到对任意常数[0,(1)()]t q b a ε∈--, 有{}2(1)1[()((1))]d [()()]d ()t t aQ p J f x f t t a x f x f x tq t b a qξεξξξεεξξ-+--⎛+=-+-+-+-⎝⎰⎰(1)[()()]d [()((1))]d pt t b q p q q f x f x f x f t t b x p ξξξξεξξ++-+⎫⎧⎫-+-+-⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭⎰⎰. 综合式(17)、(19)、(20), 则式(16)从右边数起的第二个不等式得证. f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 故f -也是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 对f -应用已证结果, 则式(16)从左边数起的第二个不等式得证.推论3 设f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 则对任意(0,1]t ∈, 有22222(1)|(1)|1|()|()1.122t t P t Q t tpq b a M t t tpqM ∆⎧⎫⎡⎤⎪⎪--+----⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪⎩⎭ ≤ 参考文献:[1] DRAGOMIR S S, PEARCE C E M. Selected topics on Hermite-Hadamard inequalities and applications[D]. Victoria: Victoria University, 2000.[2] 匡继昌. 常用不等式[M]. 第五版. 济南: 山东科学技术出版社, 2021.[3] 张小明, 褚玉明. 解析不等式新论[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2009.[4] DRAGOMIR S S, GOMM I. Some new bounds for two mappings related to the Hermite-Hadamard inequality for convex functions[J]. Numer. AlgebraControl Optim., 2012, 2 (2): 271−278.[5] 王良成. 凸函数的Hadamard 不等式的若干推广[J]. 数学的实践与认识, 2002, 32(6): 1027−1030.[6] 于永新, 刘 证. 另一个新的与Hadamard 不等式相关的映射[J]. 纯粹数学与应用数学, 2008, 24(3): 547−550.[7] 时统业. 由一个Hermite-Hadamard 型不等式生成的差的不等式[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2022, 31(1): 5−13.[8] DRAGOMIR S S, MILOŠEVI Ć D M, SÁNDOR J. On some refinements of Hadamard’s inequalities and applications[J]. Univ. Beograd, Publ. Elektrotelm.Fak, Ser. Mat., 1993, 4: 3−10.[9] DRAGOMIR S S, CHO Y J, KIM S S. Inequalities of Hadamard’s type for Lipschitzian mappings and their applications[J]. Journal of MathematicalAnalysis and Applications, 2000, 245(2): 489−501.[10] WANG L C. New inequalities of Hadamard’s type for Lipschitzian mappings[J]. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 2005, 6(2): 37. [11] TSENG K L, HWANG S R, DRAGOMIR S S. New Hermite-Hadamard-type inequalities for convex functions (Ⅰ)[J]. Applied Mathematics Letters, 2012,25(6): 1005−1009.[12] TSENG K L, HWANG S R, DRAGOMIR S S. New Hermite-Hadamard-type inequalities for convex functions (Ⅱ)[J]. Computers and Mathematics withApplications, 2011, 62(1): 401−418.[13] DRAGOMIR S S. Further properties of some mappings associated with Hermite-Hadamard inequalities[J]. Tamkang Journal of Mathematics, 2003, 34(1):45−57.[14] 时统业. 也谈一个Hermite-Hadamard 型不等式推广形式的加细[J]. 高等数学研究, 2022, 25(4): 44−47.。
