2.4线段、角的轴对称性(4)课件ppt

N
C
E
∴EM=EN
∵
反之：
EM=EN EN⊥OB EM⊥OA、
O
┛
M
B
∴点E在∠AOB的平分线上
三、典型例题
例1、 如图，CD是AB的垂直平分线，点M是 CD右侧一点，你能判断MA、MB的大小吗？请 说明理由. 解:MA>MB
C M
理由如下:连结BE ∵ CD是AB的垂直平分线 ∴AE=BE 又∵在△BEM中 EM+BE＞BM ∴ AE+BE>BM 即AM>BM
E
A
0
D
B
例2、 已知:如图,在ΔABC中, AB、BC 的垂直平分线交于点O，那么点O在AC 的垂直平分线吗？为什么？
M
E O ·
A
解：点O在AC的垂直平分线 上 理由如下：∵EF为BC的垂直平分线
MN为AB的垂直平分线 ∴OB=OC OB=OA ∴OA=OC
B
F
N
C
∴点O在线段AC的中垂线
例3、 已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分
二、知识点讲解
⒈线段 ①、线段是轴对称图形，线段的垂直平分 线是它的对称轴。
②、线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离 相等； 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平
分线上。 由此可以说：线段的垂直平分线是到线段两端距离 相等的点的集合。MC Nhomakorabea┍
∵MN为线段AB的垂直平分 线，点C在直线MN上
B
新课标苏科版教材八年级数学（上）
第二讲
线段 、角的轴对称性
一、教学目标
知识目标 掌握线段的垂直平分线的性质,会作线段的 垂直平分线;掌握角的平分线的性质,会作角 平分线. 能力目标 通过折叠，验证线段、角的轴对称性，增 强学生实践能力，培养学生的探索能力。 情感目标

初中数学课件
灿若寒星*****整理制作
线段、角的轴对称性(4)
性质定理：角的平分线上的点到这个角
的两边的距离相等.
A
D
P
几何语言：
O E
∵点P在∠AOB的角平分线上. 又∵PD⊥OA,PE⊥OB
C
B
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角
的两边距离相等）
角的内部到角的两边距离相等的
点，在这个角的平分线上.
N
求证：BM＝CN.
E
C
D
A
M
B
例3.画∠AOB=90°，并画∠AOB的角平分线OC.
(1)将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上， 使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于 点E、F，度量PE、PF的长度，这两条线段相等 吗？
(2)把三角尺绕点P旋转，PE与PF相等吗？
A
C
A
C
E
P
P
0
1
O
2F
A
D
C
P
符号语言：
O
E
B
∵PD=PE,且PD⊥OA,PE⊥OB ∴点P在∠AOB的角平分线上.
想一想
1．（1）、画出下面两个三角形三个内 角的平分线 你发现了什么特点： __________________________________
（2）、如图，△ABC的角平分线BM， CN相交于点P，求证：点P到三边AB， BC，CA的距离相等； （3）、试说明点P在∠A的平分线上；
3
4
E BO
0
1
ห้องสมุดไป่ตู้
F
2
3
B
4
回顾与思考
已知动：脑在筋∠ABC中，D是∠ABC平分线上一

例 3 在铁路a的同侧有两个工厂A和B，要在铁路边建一货 场C，使A、B两个工厂到货场C的距离相等，试在图 2.4-6 中作出点C.
解题秘方：连接AB，作出线段AB的垂直平分线即可. 解：连接AB，作线段AB的垂直平分线交直线a于点C. 如图2.4-6, 点C即为所求.
方法点拨
尺规作图时要注意虚实线，即辅助性的线 用虚线，所要画的线用实线，同时要注意保留 作图痕迹.
3. 角平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图2.4-9，都与距离有关，条件PD⊥OA，PE⊥OB 都具备； (2)点在角的平分线上 性质 (角的内部的)点到角两边的 判定 距离相等.
4. 拓展 三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边 的距离相等.
特别提醒
1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 2. 角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等) 得到一个结论(角平分线). 3. 角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据， 它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.
特别解读
1. 线段垂直平分线的性质中的“ 距离”是 “该点与这条线段两个端点的距离”.
2. 用线段垂直平分线的性质可直接证明线段相 等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明 线段相等提供了新方法.
例 1 如图2.4-2，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分 别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分
解题秘方：由线段垂直平分线的判定可知，证明 AD所在的直线上的点A和点D到线段EF的两个端 点的距离相等即可.
解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线. 证明：如图2.4-4，连接DE、DF. ∵ AD为∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠FAD. 在△AED和△AFD中，
AE＝AF， ቐ∠EAD＝∠FAD，∴△AED≌△AFD. ∴ DE＝DF.

苏科版数学八年级上册 2.4 线段、角的轴对称性（4） 课件
变式：课时作业P45-题11
苏科版数学八年级上册 2.4 线段、角的轴对称性（4） 课件 苏科版数学八年级上册 2.4 线段、角的轴对称性（4） 课件
苏科版数学八年级上册 2.4 线段、角的轴对称性（4） 课件
3．如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N 是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站， 使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N 的距离也相等，用尺规作出货物中转站的位置．
B
C
D
苏科版数学八年级上册 2.4 线段、角的轴对称性（4） 课件
例3．如图，C为线段AB上任意一点（不与A、B重合） 分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰三角形ACD和 等腰三角形BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都 是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接 BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC． 试说明： (1)△ACE≌△DCB． (2)∠APC＝∠BPC．
判定定理
12
A
OB
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
∵PA＝PB ，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
苏科版数学八年级上册 2.4 线段、角的轴对称性（4） 课件
苏科版数学八年级上册 2.4 线段、角的轴对称性（4） 课件
角的平分线
性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等．
∵点P在角平分线OC上， PD⊥OA，PE ⊥OB，
【课堂小结 】
说说你本节课你有什么收获？
苏科版数学八年级上册 2.4 线段、角的轴对称性（4） 课件
•
1、在困境中时刻把握好的机遇的才能 。我在 想，假 如这个 打算是 我往履 行那结 果必定 失败， 由于我 在作决 策以前 会把患 上失的 因素斟 酌患上 太多。

学生利用分析法填空；
阐述证明思路；
完成证明过程．
利用分析法引导学生学会分析问题，培养学生良好的思考习惯．
开放的分析过程，提供了多样化的思考路径．
指导学生完成练习．
解完题后，说说你的发现，提出你的问题．
练习：课本P56练习．
学生发现：三角形两外角的角平分线与第三个角的角平分线所在的直线相交于一点；可能提出“三角形三个外角的角平分线所在直线是否相交于一点的问题”．
实行作业分层，便于不同发展水平的学生自我发展．
通过解决上述问题，你发现三角形的三个内角的角平分线有什么位置关系？
1．结合图形认真审题．
2．分析、讨论证明思路．
3．口述证明思路及证明过程．
4．讨论归纳得到结论：三角形
的三个内角的角平分线相交于一点．
运用例题引导学生逐渐学会综合利用性质定理和逆定理．
采用“要证，只要证”的思考方法引导学生逐步学会“分析法”．
分析：要证明点P在∠A的角平分线上，根据角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上，只要点P到∠A两边的距离相等，所以过点P做两边的垂线段PD、PE，证出PD＝PE，而要证PD＝PE，因为点P是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，根据角平分线的性质，点P到∠ABC、∠ACB两边的距离都相等，所以只要做出BC边上的垂线段PF，就可得PD＝PF，PE＝PF，从而PD＝PE，所以得证．
问题解决完后及时进行小结归纳，得出三角形“内心”，为学习三角形的内切圆打好基础．
例3已知：如图2-28，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF．
分析：要证AD垂直平分EF，
只要证：，．
已知∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF AC，

∴PD = PE
DA PC
EB
7
知识点回顾
角平分线的判定:
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
几何语言：
DA
如图，∵ QD⊥OA， QE⊥OB O
Q
QD = QE
EB
∴OQ平分∠AOB 8
l2
例题讲解
例2 如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P.
求证：点P在∠C的角平分线上．
A
结论： 三角形的三个内角的角平分线 相交于一点，该点到三角形的
画一画
4、如图,直线a、b、c表示三条相互交叉的公路,现要建
一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可供选
择的地址有几处?如何选?
a
b
想想还有没有其它位置？
c
15
画一画
5、已知∠AOB和C、D两点，请在图中标出一点
E，使得点E到OA、OB的距离相等，且点E到C、
D的距离也相等.
A
解:如图, 连接C、D,作线段 CD的垂直平分线和∠AOB 的角平分线,它们相交于点E.
a
b
c
12
画一画
2、如图,直线a、b、c表示三条相互交叉的公路,现要建
一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可供选
择的地址有几处?如何选?
a
b
c
13
画一画
3、如图,直线a、b、c表示三条相互交叉的公路,现要建
一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可供选
择的地址有几处?如何选?
a
b
c
14
线于点G,试说明:BF＝CG.
A
F
B
D
C
G E

14
2021/3/2
3
结论 到线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的
垂直平分上线.
l P
A
B
O
∵ PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上
2021/3/2
4
1，线段的垂直平分线上的点到线段两个 端点的距离相等． 2，到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上.
点P在线 段AB的垂 直平分线 l上
2.4线段、角的轴对称性 （2）
2021/3/2
1
问题情境
如图，要在公路旁设一个公共汽 车站，车站应设在什么地方，才 能使A、B两村到车站的距离相等？
2021/3/2
P
2
动手找一找
你能用圆规在下图中找一点P，使 AP=BP吗？说说你的方法。
P
B
再作点Q，使AQ=BQA 。
你还能作出类似的点吗？它们有何特征？
2.到线段两个端点距离相等的点，在这条线段
的垂直平分线上.
l
点P在线
P
段AB的垂
直平分线
PA=PB
l上
A
OB
∵ PO垂直平分AB. ∵ PA=PB
∴ PA = PB
∴ 点P在线段AB的垂直平分线上
2021/3/2
12
3.线段的垂直平分线是到线段两端距
离相等的点的集合.
l
P
∵ PA=PB,QA=QB
∴ PQ是AB的垂直平分线 A
B
Q
2021/3/2
13
Thank you
感谢聆听 批评指导
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年XX月XX日
感谢您的观看！本教学内容具有更强的时代性和丰富性，更适合学习需要和特点。为了 方便学习和使用，本文档的下载后可以随意修改，调整和打印。欢迎下载！

06
总结回顾与课堂检测
重点知识点总结回顾
线段的轴对称性 线段的垂直平分线是其对称轴。
对于线段AB，若点C是AB的中点，则AC=BC，且线段AB关于点C对称。
重点知识点总结回顾
角的轴对称性
角的平分线所在直线是其对称轴。
若射线OA与射线OB关于直线MN对称，则∠AOB的平分线在直线MN上， 且∠AOM=∠BOM。
角定义及度量单位
角的定义
01
有公共端点的两条射线组成的图形。
角的度量单位
02
度（°）、分（′）、秒（″）。
角的表示方法
03
用三个大写字母表示，如∠ABC，其中B是顶点，AB和BC是两
条边。
典型例题分析
01
02
03
04
例题1
已知线段AB=5cm，C是AB上 一点，且AC=3cm，求BC的长
度。
分析
答案
我们可以将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到 △ACF，连接EF。然后根据旋转的性质和全等三 角形的性质证明△ADE≌△AFE和△CEF是直角三 角形。最后利用勾股定理证明CE>DE-BD。
05
拓展：中心对称图形简介
中心对称图形定义及性质
性质
• 中心对称的两个图形是全等形 。
定义：把一个图形绕着某一点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重 合，那么就说这两个图形关于这个 点对称或中心对称。
利用中心对称的性质，即对应点连线被对称中心平分，可证明两个三 角形的对应边相等。
练习题与答案
1. 练习1
判断下列图形是否是中心对称图形，并指出其对称中心。
• 答案
通过观察和分析图形的旋转特性来判断是否为中心对称图形，并 确定其对称中心。

•
九、很多时候，我们富了口袋，但穷了脑袋；我们有梦想，但缺少了思想。——佚名
•
十、你想成为幸福的人吗？但愿你首先学会吃得起苦。——屠格涅夫
•
十一、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。——伏尼契
•
十二、世之初应该立即抓住第一次的战斗机会。——司汤达
•
十三、哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上的。──鲁迅
2、已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线 分别交AC、AB 于D、E，△ABD的周长等于29 cm， 求DC 的长.
课堂小结
谈谈本节课你有哪些收获？
课后作业
P58-59习题2.4，分析第9、10、11题 的思路，任选2题写出过程．
»
一、我们因梦想而伟大，所有的成功者都是大梦想家：在冬夜的火堆旁，在阴天的雨雾中，梦想着未来。有些人让梦想悄然绝灭，有些人则细心培育维护，直到它安然度过困境，迎来光明和希望，而光明和希望总是降临在那些真心相信梦想一定会成真的人身上。——威尔逊
•
十四、信仰，是人们所必须的。什麽也不信的人不会有幸福。——雨果
•
十五、对一个有毅力的人来说，无事不可为。——海伍德
•
十六、有梦者事竟成。——沃特
•
十七、梦想只要能持久，就能成为现实。我们不就是生活在梦想中的吗？——丁尼生
•
十八、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实。——林语堂
2.4 线段、角的轴对称性（4）
知识回顾
线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等．
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上.
角平分线上的点到角两边的距离相等．

＝4＋2 ＝6.
2 . 4 线段、角的轴对称性 练习
1. 利用网格画线段 PQ 的垂直平分线 ：
l
解：如图所示.
2 . 4 线段、角的轴对称性 2. 如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什
么地方，才能使 A、B 两村到车站的距离相等?
2 . 4 线段、角的轴对称性
解：如图所示，连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线l， 直线l交公路于点 C，则点C就是汽车站的位置，此时 A， B 两村到车站的距离相等.
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以利 用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：
一是作垂直，证平分； 二是取中点，证垂直.
2 . 4 线段、角的轴对称性
例1 已知：如图2－22，在三△ABC中，AB、AC 的垂直 平分线 l1、l2 相交于点 O.
求证：点 O 在 BC 的垂直平分线上. 证明：连接 OA、OB、OC. ∵点O在AB 的垂直平分线l1 上， ∴ OA＝OB
2 . 4 线段、角的轴对称性 于是，我们得到如下定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等.
2 . 4 线段、角的轴对称性 几何语言
如图， ∵点A 在线段BC 的垂直平分线上， ∴ AB＝AC.
2 . 4 线段、角的轴对称性 易错提醒
线段有两条对称轴，线段的垂直平分线是 它的对称轴，线段自身所在的直线也是它的 对称轴.
A. 2
B. 4
(C )
C. 6
D. 8
2 . 4 线段、角的轴对称性
方法点拨
利用线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，是 一种常用的解题方法. 本题中解题的关键是利用线段垂 直平分线的性质将BC 的长转化为线段 AE＋EC 的长，即可求解.