弹性层状体系理论分析

中分析各分量。在图2的圆柱坐标 (r、、z)
中，在弹性层状体系内微分单元体上，应力 分量有三个法向应力 r、、和 z及, 三对剪应力：
rz zr , r r , z z
• 当层状体系表面作用着轴对称荷载时， 各应力、形变和位移分量也对称于对称 轴，即它们仅是r和z的函数。因而,
r r 0, z z 三0 对剪应力只剩下
荷载面中轴处的弯沉值 0 限定为1mm，求面
层应有的厚度h。
解：由
0
2 p
E0
0
可得
0
0E0 2 p
0.1 65 2 0.5 14
0.464
E0
E1
65 280
0.232, 从纵轴E0
E1
0.232
处引一水平线，同 0 0.464 的曲线相交作一垂线与横轴相 交得：
h D 0.66, h 0.66 28 18.5cm
，已制
成计算软件，可计算距荷载作用面中心轴r 处的路表弯沉值。
图4 弹性层状体系单圆均布荷载弯沉计算诺谟图
[例1] 已知 p 0.5MN / m2 , 14cm, E0 45MN / m2 , E1 180 MN / m2 , h 20cm
求荷载作用面中轴处的弯沉 0 。
解： E0
E1
整个路面结构在力学性质上属于非线性的弹粘-塑性体。
由于不同材料层组成的路面结构的抗疲劳性 能和使用的耐久性，不允许各结构层在行车 作用下产生塑性变形的累加，尽量将变形控 制在弹性工作阶段，加之高等级道路较厚的 结构厚度、较高的强度、行车作用的瞬时性 （通过路面某点百分之几秒），将其视作线 性弹性体，应用弹性层状体系理论进行分析 和计算路面结构的应力、应变和位移。
22 0 （6）

01 在任意斜向轴对称荷载下的双层连续体系
流程图：
边界 条件
层间结合条件
将参数A、B.、C、D代 人式(c)和式(d),就可写出 用
并代入（4-8（应力与位 移分量表达式） c,d式为层间结合条件所 得公式
求得未知反力 p(r)、g(r)
得到下层的应力与位移分量解析式。
运用汉克尔积分变换理论 （3-18公式（应力与位移分量的一般表 达式））
将
的表达式代入未知反力的汉克尔积分变
换式中,求得
并令 求得下层内的应力与位移分量表达式。
注意：m数值的含义是荷载类型系数， 它的不同数值会引起应力和位移表达式 的不同
01 项目简介
第三部分
03 在圆形轴对称垂直荷载下的双层滑动体系
03 在圆形轴对称垂直荷载下的双层滑动体系
改变上节课题的第四项假设，即假设上下两 层之间是可以相对滑动的，完全无摩阻力。 在它们的接触面上除垂直位移和垂直应力两 项连续外，其他各项应力和位移都是不连续 的。绘出上下层的脱离体图如下。
a.可求得四个参数A、B、C、D
求得上层内应力与位移分量的全部表达式。
01 项目简介
第二部分
02 在圆形轴对称垂直荷载下的双层连续体系
02 在圆形轴对称垂直荷载下的双层连续体系
汉克尔积分变换式（仅考虑有圆形轴对称垂直荷载）
代入参数A、B、C、D表达式 代入（3-18） 并令
,得上层在圆形轴对称垂直荷载作用下应力 与位移分量解析表达式
计算注意事项： 1. 在进行数值积分计算之前，先将应力和位移分量的解析表达 式作一定的简化。包括应力，位移分别转换为含应力系数，含 位移系数的式子。 2. 在编制程序时，需要计算贝塞尔函数值（数值m及荷载类型 系数（3-18式含m））。 3.由于要在机器上计算出上限为∞的积分值是不可能的事，因 此，在计算中都采用一定的 有限上限值x。,为了恰当地选定该计算上限值x。,应当对应力与 位移系数表达式中的被积 函数进行分析，分析结果表明，所有被积函数都可视为两部分 的乘积。其中一部分与贝塞尔函数有关;而另一部分与指数函数 有关。其中贝塞尔函数在无穷大时为0，指

上述损坏模式中，有些是由于面层材料组合不当或 施工、养护质量欠佳而引起的（如松散、泛油），不 属于结构设计考虑范围；有些损坏（如沉陷）可通过 改善路基水温状况和加设垫层等措施来解决；还有些 损坏（如反射裂缝）可通过合理的材料组合设计和结 构措施，减轻或避免其危害程度。 目前，国内外的设计方法均以开裂和变形为沥青路面 的两大主要破坏模式。
设计原则
（4）考虑不利水温状况的影响 一般应选择水稳定性好的材料作沥青路面的基层，特别是中湿和潮湿路段。 在冻深较大的季节性冰冻地区，当路基土为易冻胀土时，尚应考虑冻胀和 翻浆的危害。路面总厚度的确定，除了要满足力学强度的要求外，还应满足 防冻层厚度的要求。
二、设计步骤
1、根据道路等级选择路面等级与类型； 2、考虑远近期的结合； 3、考虑当地自然条件与路基的干湿类型； 4、考虑材料来源及施工条件； 5、按照以上设计原则初步拟定几个结构组合方案； 6、初拟各层厚度（其中一层待求）； 7、进行方案比较，确定方案。
弯沉值的大小反映了路基路面的整体强度。在达到相同的路面 破坏状态时，回弹弯沉值大小同作用于路面的行车荷载累计作 用次数或使用寿命成反比关系。
轮载累计重复作用次数Ne与此时路表面回弹弯沉的关系，可通 过对已使用多年的各类路面进行弯沉测定（回弹弯沉测定仪）， 并调查路面已承受的累计交通量，经整理分析后得出。
其值与路面等级、类型、轴载、累计交通量等有关。可根据不 同的破坏状态由经验公式计算。
使用年限t—累计交通量Ne—破坏状态—容许回弹弯沉值lR
将公路沥青路面按外观特征分为五级。并把第四外观等级作为路面临界 破坏状态，以该级路面的弯沉值的低限作为临界状态的划界标准。
我国有关部门进行了广泛的调查，所调查路面的公路等级包括高速公路、 一级公路、二级公路和三级公路。面层类型有沥青混凝土、沥青碎石、上拌 下贯沥青面层和沥青表面处治；基层类型有水泥稳定砂砾、二灰碎石（砂 砾）、石灰水泥砂砾、碎石灰土、灰土碎石等半刚性基层及少量级配碎石等 柔性基层，交通量换算为BZZ－100标准累计轴次的范围为27×104～

为保证沥青路面具有充分的高温稳定性，防止出现隆起、 推移、波浪剪裂等破坏现象，要求沥青面层在车轮垂直 荷载与水平荷载共同作用下，其破坏面上可能产生的剪 应力应不超过材料的容许剪应力，即τa≤ τR （一）容许剪应力
计算公式： τR＝fv/Kv
其中fv指沥青混合料面层材料的抗剪强度，
fv＝c+σatgφ ,c、φ由实验测定，σa由摩尔－库仑
强度理论求得， σa＝ σ1＋ τmax(1+sin φ), σ1 与 τmax查诺谟图计算。
Kv（0.2)=(0.33/Ac)Nc0.15(交叉口、停车站）
Kv（0.5)＝1.2/ Ac (紧式
2、计算公式
τ a＝ τmax(cos φ) ＝p. τmf. (cos φ)
对整体性材料基层，a=0.4,b=0.1。
（二）结构层弯拉应力 1、计算图式
2、计算公式 上层底面弯拉应力σr1=pm1m2 σ 中层底面弯拉应力σr2=pn1n2 σ
其中，m1，m2， n1，n2，σ等计算系数可由诺谟图查得。
3、计算弯拉应力时的多层体系换算方法 1）计算第n-1层以外的任一结构层时（第x层） 换算图式:
其中： τmf＝ τm,0.3＋1.3(f-0.3)
τm,0.3由诺谟图查得。 3、多层体系换算同计算弯沉时相同。
一、结构层弯拉应力验算
验算沥青混凝土面层和整体性材料基层在车轮荷载重复 作用下产生的弯拉应力是否超过容许弯拉应力，即σ≤σR
（一）容许弯拉应力
1、概念：指路面结构在行车荷载反复作用下达到疲劳临界 状态时的最大疲劳弯拉应力。
2、计算公式
R

s Ks
标准轴载时，对沥K青s 混凝Aa土c 路• N面eab=0.12,b=0.2;

弹性层状体系理论在沥青路面中的应用发布时间：2021-10-25T06:24:07.732Z 来源：《基层建设》2021年第20期作者：牟健[导读] 摘要：相对于其他的路面结构设计理论，弹性层状体系理论可以建立简单明确又能大致代表道路实际受力状态模型。

莱阳市交通运输局山东莱阳 265200摘要：相对于其他的路面结构设计理论，弹性层状体系理论可以建立简单明确又能大致代表道路实际受力状态模型。

因此，弹性层状体系理论被广泛应用于沥青路面设计，特别是现代计算机技术的应用，更加促进了这个理论的应用。

值得注意的是，弹性层状体系理论的假设与沥青路面真实情况尚有一定的差异，还需从实际情况出发。

根据不同的情况采取不同的假设，以使得理论值更接近真实值，这样才会使得理论指导实践的意义更强。

关键词：弹性层状体系理论；沥青路面设计；应力分析1 弹性层状体系理论适用性1.1 基本思路弹性层状体系理论是专门研究在荷载作用下层状弹性体系内产生的应力与位移的方法。

为了从弹性层状体系力学问题中的已知量求出未知量，必须建立这些已知量和未知量的关系，以及各未知量之间的关系，从而导出一套求解的方程。

可从力的平衡条件、几何条件和物理条件建立应变和位移之间的关系。

包括以下几方面内容[1]：（1）弹性层状体系的十个假设；（2）弹性层状体系的五个模型；（3）弹性层状体系的三个解法；（4）弹性层状体系的层间状态描述。

在我国的道路设计中，弹性层状体系理论主要被用于沥青路面的厚度设计，如有下基本假设：a）各层都是由均质的各向同性的线弹性材料组成；b）假定土基在水平方向和向下的深度方向均为无限，其上的路面各层厚度均为有限，但水平方向为无限；c）假定路面上层表面作用有垂直荷载，荷载与路面表面接触面形状呈圆形，接触面上的压力呈均匀分布；d）每一层之间的接触面假定为完全连续的（具有充分的摩阻力）或部分连续或完全光滑（没有摩阻力）的。

1.2 沥青路面的适用性弹性层状体系由多个弹性层构成，上部各层拥有一定厚度，最下层为弹性半空间体。

Ａ Ｙ ＮＳ Ｓ计算 值一 实 测值 ， 解 析解 和 Ｄ Ｆ 且 Ｒ Ｐ程 用 的理论 体 系和基 本假 定几 乎完 全 相 同， 由 于 其 中 的 一 些 基 本 假 设 、 但
收稿 日期 ；０ ５０ 一０ ２ ０ —９１
网格划分 的粗 细 ， 接影 响 Ａ Ｙ 直 ＮＳ Ｓ计算 结果 的精
通过 研 究 有 关 文 献 ］ 从 中整 理 出 有 代 表 ，
性 的 ４ 路 面 结 构 组 合 ， 表 １ 同 时表 ２列 出 种 见 。 了 以上 ４种 组合 各 自对 应 的轮 隙弯沉 。其 中组合 １组合 ２的解 析 解 和 Ｄ Ｐ程 序 解 及 组 合 ３ 组 、 ＲＦ 、
合 ４的解 析 解 和实 测 值 是 由文 献 得 到 的 ， 合 １ 组
左 右两侧 一侧 对 称 边界 条 件 Ｓ ｍｍｅｒ ． ． 一 ｙ ｔｙＢ Ｃ ， 侧 ＵＸ－０前 后两侧 ＵＺ 。层 间接 触 情况 为 完 － ； ＝０ 全连 续 。荷 载 采 用 黄 河 Ｊ １ Ｏ标 准 车 型 ， 重 Ｎ一Ｏ 轴 １０ｋ 轮 压 ０ ７ＭＰ ， 轮 荷 载 在 工 程 设 计 中 ０ Ｎ， ． ａ 车
到组合 ４的 ＡＮＳ Ｓ计算 值 由本 文得 出。 Ｙ
表 １ 沥 青 混 凝 土 路 面 结构
表 ２ 轮 隙弯 沉值 的 比较
ｒｍ ｎ
边界条件 、 触 条件 等 不 完 全 符合 路 面 结构 的实 接 际情况 ， 以结 果 和 实 测值 相 差 较 大 。而 ＡＮ Ｙ 所 ＳＳ 计 算值 介 于实 测 值 和 程 序 解 （ 析解 ） 间 ， 解 之 如果 Ａ Ｙ ＮＳ Ｓ模 型 网格划 分 足够 细 ， 其值 可 以趋近 于实测值 。以组 合 ３为例 ， 当整个 实体模 型被划 分

层状地基弹性分析孟冉;王驰【摘要】In civil engineering, the deformation of multi-layer foundation is an issue of concern. This article considers the axisymmetric problem of a single force acting in a multilayered foundation, for which the Papkovich-Neuber potential function is adopted to solve the basicequations. Obtaining the stress dis-tribution of cylindrical distributed load acting on the semi-infinite space according to superposition princi-ple. Simplifying multilayered foundation to single layered, the solution presented in this article is proved to be correct when compared with the Boussinesq solution under cylindrical distributed load situation. Finally, a three-layered foundation model is considered as an example, for analyzing the influ-ence of different elastic modulus in each layer of multi-layer foundation on the settlement%在土木工程中,多层地基的沉降计算是一个值得关注的问题.本文针对集中力作用于多层弹性体介质的轴对称问题,采用Papkovich - Neuber函数,给出了求解的过程.并根据叠加原理,求解获得圆柱形分布荷载作用于半无限空间的应力分布.将多层地基退化为单层情况,与圆柱形荷载作用下的Boussinesq解答对比证明了本文解答的正确性.最后以三层地基为例,分析了各层不同弹性模量对多层地基中沉降的影响.【期刊名称】《低温建筑技术》【年(卷),期】2011(033)011【总页数】3页(P75-77)【关键词】层状地基;Papkovich - Neuber函数;沉降【作者】孟冉;王驰【作者单位】上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院,上海200240;上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院,上海200240【正文语种】中文【中图分类】TU471在土木、水利、交通等领域，地基沉降计算一直是众多学者努力研究的问题。

r [
i 1
n
ri i ri i cos2 i ri sin 2 i ] 2 2
[
i 1
n
n
i ri i ri cos2 i ri sin 2 i ] 2 2
z zi

1基本假设与解题方法
道路路面结构体系的特点：层状结构 坐落在路基上，路基坐落在无限深的 地基上。 受力特点：承受复杂荷载多次不均匀 重复作用，本来是弹—粘—塑性，各 向异性的动力学问题，简化成圆形均 布静载作用在弹性层状体系上，见图 1和图2



p
h1
E1 , 1 E i , i
hi
则
2 p 2 0.5 14 0 0 0.46 0.143cm E0 45
例2： P 0.5MN / m2 , 14cm, E0 65MN / m2 , E1 280MN / m2 已： 荷载面中轴处的弯沉值 0 限定为1mm，求面 层应有的厚度h。 E 0.1 65 2 p 0 0 0 0.464 解：由 0 0 可得 2 p 2 0.5 14
(4)
2 zr
zr
r2
1 2 0 1 r z

式中

2
2 1 2 ； 2 2 2 r r r z

r z 如果引用应力函数 （r，z） ，并把应力
分量表示成为：
2 r ( 2 2 ) z r 1 2 ( ) z r r

在沥青路面的结构计算中，通常要验算路面结 构层的强度，为此需计算弹性层状体系在荷载 作用下产生的主应力。根据弹性力学得知，用 圆柱坐标表示的空间问题的三个主应力同各应 力分量之间的关系为下式的解：

总第３２１期交　通　科　技ＳｅｒｉａｌＮｏ．３２１　２０２３第６期ＴｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ＆ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＮｏ．６Ｄｅｃ．２０２３ＤＯＩ１０．３９６３／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１ ７５７０．２０２３．０６．０１５收稿日期：２０２３ ０５ ２３第一作者：李政贤（２０００－），男，硕士生。

通信作者：蒋鑫（１９７６－），男，博士，教授。

三款弹性层状体系理论电算程序应用技术评析李政贤１，２，３　蒋　鑫１，２，３　沙马伍呷１，２，３　向嫣然１，２，３　张　免１，２，３（１．西南交通大学土木工程学院　成都　６１００３１；２．西南交通大学道路工程四川省重点实验室　成都　６１００３１；３．西南交通大学高速铁路线路工程教育部重点实验室　成都　６１００３１）摘　要　基于弹性层状体系理论开发的沥青路面结构电算程序数量众多、应用广泛、各具特色。

文中选取ＥＬＳＹＭ５、ＷＥＳＬＥＡ和ＥＶＥＲＳＴＲＥＳＳ这３款具有代表性的电算程序，从结构层、荷载、计算点等方面出发，讨论它们在计算轮载作用下层状沥青路面结构附加应力时应用技术层面的差异；通过一具体算例，经与解析解对比，提出并验证适用于这３款程序的一种结构层划分方式，进而阐述ＷＥＳＬＥＡ和ＥＶＥＲＳＴＲＥＳＳ程序应用上存在的缺陷，帮助使用者合理选择电算程序，并解决其在应用这２款程序时可能的困扰。

关键词　弹性层状体系理论　电算程序　沥青路面　力学响应中图分类号　Ｕ４１２．６　Ｕ４１６．２１７ 沥青路面具有表面平整、无接缝、行车舒适、耐磨、振动小、噪声低、施工期短、养护维修简便、适宜于分期修建等优点，因而得到了广泛的应用［１］。

目前可应用于沥青路面结构力学分析的主要方法包括弹性层状体系理论、有限单元法（含轴对称有限元法、三维有限元法）、连续有限层法等［２］，这些方法各有特点。

在这些方法中，基于沥青路面各结构层水平层状分布之显著特征，弹性层状体系理论无疑是其中最为成熟、已被广泛采纳的经典理论。

代入式（3-18）并令 hx
求得上层应力与位移分量 的全部表达式
将 代入式(4-9（3-18的推导公式）)，并令 求得下层应力与位移分量的全部表达式
01 项目简介
谢谢观看
THANKS FOR WATCHING
从上层脱离体的求解中，可以看出共计有五 个未知数，即参数A、B、C、D和反力函 数p(r)。因而，必须确定五个边界条件和层 间结合条件，才能解决本课题。
03 三层滑动体系的分析
汉克尔积分变换
得A、B、C、D四个参数，并将参数代入式C（层间 结合条件公式）。
可求得接触面上含反力函数p(r)的汉克尔积分变换式
三层弹性体系的分析
1 在任意斜向轴对称荷载下的双层连续体系
2
在圆形轴对称垂直荷载下的双层连续体系 上中层滑动中下层连续的三层弹性体
CONTENTS
3
在圆形轴对称垂直荷载下的双层滑动体系 三层滑动体系的分析
4 双层体系中应力与位移的数值解
01 项目简介
第一部分
01 在任意斜向轴对称荷载下的双层连续体系
01 项目简介
第三部分
03 在圆形轴对称垂直荷载下的双层滑动体系 三层滑动体系的分析
三、三层滑动体系的分析
03
在圆形轴对称垂直荷载下的双层滑动体系 三层滑动体系的分析
改变上节课题的第四项假设，即假设上下两 层之间是可以相对滑动的，完全无摩阻力。 在它们的接触面上除垂直位移和垂直应力两 项连续外，其他各项应力和位移都是不连续 的。绘出上下层的脱离体图如下。
01
流程图：
边界 条件
层间结合条件
将参数A、B.、C、D代 人式(c)和式(d),就可写出 用
并代入（4-8（应力与位 移分量表达式） c,d式为层间结合条件所 得公式

弹性层状体系基本假定的理论依据分析和现实差异探究摘要：弹性层状体系理论是目前我国采用的柔性路面设计的理论模型。

逐条分析讨论弹性层状体系理论基本假定的理论依据，探究弹性层状体系理论基本假定与实际道路的差异。

1 引言柔性路面是刚度低、强度小、弯沉大的路面，主要靠抗压、抗剪强度来承受车辆荷载，在重复的车辆荷载作用下会出现弯沉变形。

我国柔性路面设计采用的理论为双圆均布荷载作用下的多层弹性连续体系理论。

弹性层状体系理论有五个基本假定，构成理论体系的基础，也是一切基于弹性层状体系理论的设计和计算的出发点。

本文以弹性力学基本假定为基础，分析弹性层状体系理论基本假定的合理性，并探究假定与实际道路的差异。

2 理论依据分析我国柔性路面设计采用的弹性连续体系理论有五个基本假定，各自具有其合理性。

1）假定各层由均质的、连续的、各向同性的线弹性材料组成，用弹性模量和泊松比表征其弹性参数。

根据弹性力学基本假定对道路进行类似假定，认为各层材料是均匀的、连续的、各向同性的；同一材料的弹性参数不随应力或应变的大小、方向而改变，也不随选取的位置坐标或方向而改变，所以对不同材料用相应的常数来表征其弹性参数，即弹性模量和泊松比。

实际道路的各层材料的摊铺是要求均匀、连续、平整的，同一结构层不同位置的材料，其力学性能要求没有显著差别，弹性在各个方向应该相同，所以对柔性路面设计采用这个假定是合理的。

2）假定最下一层为水平方向和竖直向下方向无限延伸的半无限体，其上各层在水平方向为无限大，但竖向具有一定厚度。

在弹性层状体系理论的半无限假定中，道路各层在水平方向为无限大。

有限元法是按照道路实际尺寸建立模型的，并不遵守半无限假定，可以用来验证弹性层状体系理论的半无限体假定。

潘伟兵等通过有限元模拟发现，路面宽度达到3.5m以上，路堤坡度比1：1缓，并设置0.5m至1m以上的路肩时，路面宽度对路面变形的影响较小，路面应力几乎不受路面宽度影响。

而大多数道路的尺寸都在这个宽度、坡度、路肩的范围内，适用于弹性层状体系理论的半无限体假定。

.
20
2、三层体系计算图式
.
21
3、计算公式
l
2 p
E1
L
L k 1 k 2 ～ ( h,H ,E 2E 1 ,E 0E 2 )
式中：l－按三层弹性层状体系理论计算的，双圆均布荷载
作用下双轮轮隙中心处路表理论回弹弯沉值（cm）； E1、E2、E0－三层体系中上层、中层材料及路基的抗压 回弹模量，Mpa；
弯沉值的大小反映了路基路面的整体强度。在达到相同的路面 破坏状态时，回弹弯沉值大小同作用于路面的行车荷载累计作 用次数或使用寿命成反比关系。
轮载累计重复作用次数Ne与此时路表面回弹弯沉的关系，可通 过对已使用多年的各类路面进行弯沉测定（回弹弯沉测定仪）， 并调查路面已承受的累计交通量，经整理分析后得出。
原因：沥青面层受到荷载反复弯曲作用下，当在面层底面产生的弯拉应力 超过材料的疲劳强度时，底面便开裂，并逐渐向表面发展。
2、反射裂缝和低温开裂
低温开裂是指寒冷地区，面层材料本身在低温时的收缩受到阻碍时会产生 较大的拉应力，当拉应力超过材料的弯拉强度时，面层便会出现横向 断裂（与荷载无关）。
反射裂缝是指稳定类基层因温度变化产生横向裂缝并反映到面层，使面层 每隔一定距离也出现横向裂缝。
□路面结构设计计算图式及设计标准 □路面设计弯沉值 □容许弯拉应力 □容许剪应力 □轴载换算与累计当量轴次 □路基土回弹模量值的确定 □路面材料设计参数值 □新建沥青路面结构设计步骤
.
19
一、路表回弹弯沉值ls计算
1、理论假设 将路面结构视为弹性半空间地基上由若干个具有一定厚度 材料组成的弹性层状体系，假设： ①各路面结构层由均质、连续的、均匀的、各向同性的线 弹性材料组成，各层的力学特性用弹性模量E、泊松比μ、 厚度h表示； ②最下一层为水平方向和竖直向下方向无限延伸的半无限 体。其上各层在水平方向为无限大，但竖向具有一定厚度 ； ③路面材料的应力和应变呈直线关系；各层在水平方向无 限远处及最下层无限深处的应力、变形和位移为零； ④各路面结构层分界面上的应力和位移完全连续（称连续 体系），或者仅竖向应力和位移 连续，而层间无摩擦力 （称滑动体系）； ⑤不计各层材料自重。 ⑥将标准轴载一侧的双轮组荷载简化成两个圆形均布荷载。