基本不等式(第二课时)

解: ∵ ＞-1，∴ + >0.
当且仅当2（ + ） =


即= −
+

∴ 函数 f(x) 的最小值是 −
取“=”号.
概念讲解
例2. 若 < <


，求函数 = ( − ) 的最大值.
分析: + ( − ) 不是 常数.而 + ( − ) = 为常数
人教A版2019必修第一册
第 2 章 一元二次函数（第二课时）
教学目标
1.熟练掌握基本不等式的应用条件，能够利用基本不等式求最值.
2.掌握常见的利用基本不等式求最值的题型
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
01
温故知新
情景导入
1．基本不等式的两种常用变形形式
2
02
类型一：配凑法
概念讲解
例1. 求函数() = +

+
(x＞ -1) 的最小值.
解: ∵ ＞-1，∴ + >0.
当且仅当 + =

即=0
+
取“=”号.
∴当 =0 时， 函数 f(x) 的最小值是 1
概念讲解
练习. 求函数() = +

+
(x＞ -1) 的最小值.
解: ∵ < <


配凑系数
，∴ − > .
∴ = ( − ) =
=

当且仅当 = ( − )，即 =
时，取“=”号.

∴ = ( − ) 的最大值为

8 2 法二：由 2x＋8y－xy＝0 及 x>0，y>0，得 ＋ ＝1. x y 8 2 8y 2x ∴x＋y＝(x＋y)( ＋ )＝ ＋ ＋10 x y x y 8y 2x ≥2 · ＋10＝18. x y 8y 2x 当且仅当 ＝ ，即 x＝2y＝12 时等号成立． x y ∴x＋y 的最小值是 18.
的最小值．
解析： u
1 x 1 y x 2y x x 2y y 3 2y x
2 1, y 1

x y
32
2
当且仅当
x 2y y 时，即 x x x 2 y 1
2 2
时取到等号
.
“1”的代换
x y
变式：(1)已知 x>0，y>0，且1＋9＝1，求 x＋y 的最小值；
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
注意:在使用“和为常数，积有最大值”
和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应 把握三点：“一正、二定、三相等”.当条件不 完全具备时，应创造条件.
一正：两项必须都是正数； 二定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
三相等 ： 等号成立的条件必须存在.
(C)
y log 3 x log x 30 x 1
y sinx 4 sinx
(D)
0 x
已知a，b为正数，试
2 1 a 1 b

ab
ab 2

a b
2
2
2
调和 平均 数
几何 平均 数
算术平 均数
平方 平均 数
基本不等式的主要应用——求最值 1 例1：（1）已知x>1,求 x 的最小值； x 1 （2）已知0<x<1,求x(1-x)的最大值.

x 3
x2 x 2
[变式2]若x 0, 则
的最小值是_______ .
x 1
2
x2 x 2
x ( x 1) 2
2
解:

x
x 1
x 1
x 1
( x 1)
2
1 2 2 1
x 1
2
,
x 1
即x 2 1时等号成立 .
当且仅当 x 1
2m
8n
2m
1
1
=8+ +
+ 1，当且仅当 =
，即 m = ， n = 时，等号成立，
m
n
m
n
2
4
4
n+2
所以 +
的最小值为17.
m
n
典型例题：常数代换法求最值
例6
若x, y 0且4 x y xy,
16
(1) xy的最小值是_______
9
(2) x y的最小值是______
.
析 : (1)4 x y 2 4 xy , 即xy 4 xy , xy 16.
证明 ∵ > ， > ， > ，且 + + = ，


∴ +


=+

+



=+
=
++

+
++





+ + + +

当且仅当a＝b＝c时取等号.
证明
反思与感悟 用基本不等式证明不等式时，应第一根据不等式两边式子 的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合 理地选择基本不等式进行证明.
跟踪训练1 (1)已知a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd； 证明 ∵a，b，c，d，∈R＋， ∴ab＋cd≥2 abcd，ac＋bd≥2 acbd， ∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 当且仅当a＝d且b＝c时取等号.
B.若 x＞0，则 cos x＋co1s x≥2
cos
1 x·cos
x＝2
C.若 x＜0，则 x＋4x≤2 x·4x＝4
√D.若 a，b∈R，且 ab＜0，则ba＋ab＝－－ba＋－ba≤－2 －ba－ab＝－2
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解析 答案
4.当 x＞1 时，函数 y＝x＋x－1 1的最小值是___3___. 解析 因为 x＞1， 所以 y＝x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 x－1·x－1 1＋1＝3， 当且仅当 x－1＝x－1 1， 且x＞1，即x＝2时等号成立.故函数的最小值为3.
解答
达标检测
1.下列不等式中，正确的个数是 ①若 a，b∈R，则a＋2 b≥ ab； ②若 x∈R，则 x2＋2＋x2＋1 2＞2；
③若 x∈R，则 x2＋1＋x2＋1 1≥2；
a＋ b ④若 a，b∈R＋，则 2 ≥ ab.
A.0
√ B.1 C.2 D.3
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解析 答案
2.已知 a＞0，b＞0，a，b 的等差中项是12，且 α＝a＋1a，β＝b＋1b，则 α
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解析 答案
5.已知 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1.求证：a2＋b2≥12. 证明 ∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1， ∴a2＋b2≥12， 当且仅当 a＝b＝12时，等号成立.