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高中数学人教A版(2019)必修第一册2.2基本不等式第二课时课件%28共14张PPT%29

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2.2 基本不等式(第二课时)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)

2.2 基本不等式(第二课时)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)

解: ∵ ＞-1，∴ + >0.
当且仅当2（ + ） =


即= −
+

∴ 函数 f(x) 的最小值是 −
取“=”号.
概念讲解
例2. 若 < <


，求函数 = ( − ) 的最大值.
分析: + ( − ) 不是 常数.而 + ( − ) = 为常数
人教A版2019必修第一册
第 2 章 一元二次函数（第二课时）
教学目标
1.熟练掌握基本不等式的应用条件，能够利用基本不等式求最值.
2.掌握常见的利用基本不等式求最值的题型
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
01
温故知新
情景导入
1．基本不等式的两种常用变形形式
2
02
类型一：配凑法
概念讲解
例1. 求函数() = +

+
(x＞ -1) 的最小值.
解: ∵ ＞-1，∴ + >0.
当且仅当 + =

即=0
+
取“=”号.
∴当 =0 时， 函数 f(x) 的最小值是 1
概念讲解
练习. 求函数() = +

+
(x＞ -1) 的最小值.
解: ∵ < <


配凑系数
，∴ − > .
∴ = ( − ) =
=

当且仅当 = ( − )，即 =
时，取“=”号.

∴ = ( − ) 的最大值为



【课件】基本不等式(第二课时)2023-2024学年高一数学(人教A版2019必修第一册)

【课件】基本不等式(第二课时)2023-2024学年高一数学(人教A版2019必修第一册)

出发使用基本不等式，求得最值.
练一练
2+1
已知a>1,b>0,则
+2a的最小值为
(−1)
提示：
目标式局部：b2+1≥2b,
所以
2+1
2
+2a≥
(−1)
−1
+2(a-1)+2≥…
.
用基本不等式求最值
( )
例3. 已知 x>0, y>0 ，x+y+2=xy,则xy的
条
件
最
值
之
最小值为
.
2
+2
+
2 (−2)2 (−1)2
=
+
+1


4 1
=(m+n)+( + )-6(以下逆代）

用基本不等式求最值
( )
七
条
件
最
值
之
等
价
变
形
1
例6.已知x>0,y>0,且
+2
+
1 1
= ，求xy的最小值.
+2 3
1
解：由等式
+2
1
3
变形得xy=x+y+8
+
1
+2
=
所以xy≥2 +8 解得xy最小值为16
( )
一
直
接
求
最
值
例1. 已知 x>0,

则y= 2
的最大值
+2+4

1

2_2 基本不等式-高中数学人教A版(2019)必修第一册

2_2 基本不等式-高中数学人教A版(2019)必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式（第1课时）2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？三国时期吴国的数学家赵爽，用来证明勾股定理。

22222222)2(2)()214c b a c a ab b ab c a b ab =+∴=+−+∴=−+⋅ （证明：a b （1）大正方形边长为___________，面积S 为______________（2）四个直角三角形________，面积和S’为_______________（3）S 与S’的大小关系是_________，故有_______（4）S 与S’可能相等吗？满足什么条件时相等？22b a +22b a +全等ab2'S S >ab b a 222>+a b 上述结论可描述为：ab b a b a 20,022≥+>>时，当成立吗？如何证明？为任意实数时，上式还、）当（b a 5时取等）。

当且仅当 证明：b a ab b a b ab a b a =≥+∴≥+−∴≥−(2020)(22222 此不等式称为重要不等式1、基本不等式0,0,,,,a b a b a b >>如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2a b a b+⋅≥2a b ab +≥替换后得到：即：),0,0(时取等当且仅当b a b a =>>2a b ab +≥即：基本不等式ab b a ≥+2注意：0,01>>b a 、时取等、取等条件：当且仅当b a =2叫几何平均数叫算术平均数，、ab ba 23+基本不等式的几何解释A B C D E a b O 如图, AB 是圆的直径, O 为圆心，点C 是AB 上一点, AC=a , BC=b . 过点C 作垂直于AB 的弦DE,连接AD 、BD 、OD.②如何用a , b 表示CD? CD=______①如何用a , b 表示OD? OD=______2+a bab③OD 与CD 的大小关系怎样? OD_____CD ≥几何意义：半径不小于半弦长定理当点C 在什么位置时OD=CD ？此时a 与b 的关系是？基本不等式的证明2a b ab +≥证明：要证只要证_______a b +≥只要证_____0a b +−≥只要证2(______)0−≥显然, 上式是成立的.当且仅当a =b 时取等。

2.1 等式性质和不等式性质(共2课时课时)高一数学同步教材精品课件(人教A版2019必修第一册)

2.1 等式性质和不等式性质(共2课时课时)高一数学同步教材精品课件(人教A版2019必修第一册)

概念讲解
问题1： 用不等式（组）表示下列问题中的不等关系？
（1）
v≤40 km/h
m≤10 t
概念讲解
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋 白质
的含量p应不少于2.3%；
≥ . %
≥ . %
（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
设三角形三边分别为，，，则 + > , − <

注意：
同向不等式具有可加性与可乘性（同正），
但是
，应用时要充
分利用所给条件进行适当变形来求取值范
围，注意变形的等价性。
概念讲解
3.已知-2<a+b≤5, -1≤a-b≤4, 求a+5b的取值范围.
解：设m=a+b, n=a-b, 则-2<m≤5, -1≤n≤4,
所以-6<3m≤15, -8≤-2n≤2;
∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)＞0，
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
概念讲解
练习2.若 > 2，比较 2 + 4 + 4和 2 − 4的大小.
作商法
与“1”比较
.
作差法
与“0”比较
04
重要不等式
概念讲解
北京——第24届国际数学家大会会标．
入不低于20万元?
设涨价之后的杂志每本定价元，则销售总收入为
单价涨了多
少个0.1元
单价涨了
多少元
−
−
−.
.
−.
×
.
× . 万元，所以用不等式表示为：

基本不等式(第2课时)(教学课件)-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)

基本不等式(第2课时)(教学课件)-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)
当且仅当6x＝ x ，即x＝50时，“＝”成立，此时x＝50.y＝60，
(2)S＝3 030－6x－
Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2
430 m2．
【巩固练习5】
某商品进货价为每件 50 元，据市场调查，当销售价格为每件
105
x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为
3 000
则y＝ x (6<x<500)，
y－6
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)· 2 ＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x
15 000
－ x (6<x<500)．
15 000
15 000
≤3
030－2
6x·
x
x ＝3 030－2×300＝2 430．
15 000
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，
菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2．
3
2 做一个体积为32 m ，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么
值时，用纸最少？
解：设底面的长为a，宽为b，
则由题意得2ab＝32，即ab＝16．
所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋8 ab ＝64 ，
下面这些结论是否正确？错误的说明理由.
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2 2.
正确
错误，因为a，b不是正数
1
1
(3)当x>1时，函数y＝x＋−1≥2
1
(4)若x∈R，则 2 ＋2＋ 2+2≥2.

人教版高中数学A版必修一2.2 基本不等式课件

人教版高中数学A版必修一2.2 基本不等式课件
提示:①AB 表示圆的直径;②������+2������表示线段 OD;③ ������������对应线段 CD; ④圆的半径大于或等于 CD,即������+2������ ≥ ������������.基本不等式的几何意义是 “半径不小于半弦”.
一二
课前篇 自主预习
2.填空
我们称不等式 ������������ ≤ ������+2������为基本不等式,其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时,等号成立.
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立, ∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课前篇 自主预习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是( )
A.若 x≠0,则 x+4������≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则������������ + ������������≥2
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
变式训练2(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)已知 a>0,b>0,且 a+b=2,求证:1������ + 1������≥2. 证明(1)因为 a,b,c,d 都是正数,所以
ab+cd≥2 ������������������������,ac+bd≥2 ������������������������,
C.
������2 + 2 +
1 的最小值为
������2+2
2

数学课件 人教a版必修1 第二章基本不等式的应用同步教学课件

3
当 a<1 时,
<0,即 a+2< .
-1
1-
+
反思感悟 用作差法比较实数大小的步骤
作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)
变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,
即确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.
课堂篇
探究学习
探究一
反思感悟 1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不
等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采
用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题
中经常采用这种办法.
1
1
2.注意正确的倒数法则,应该是 a>b,ab>0⇒ < ,不能误认为是
1

1

a>b⇒ < ,在应用时不能出错.
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
实数大小的比较
例2比较下列各组中的两个代数式的大小:
(1)2x2+3与x+2,x∈R;
3
,a∈R,且 a≠1.
1-
(2)a+2 与
分析:利用作差法进行比较.解第(2)小题时要注意对实数a分类讨
论.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2
(4)若
(5)若
1
a>b,
>

;
-
1
> ,则 a>0,b<0;

基本不等式(第二课时)课件 高一上学期数学 必修第一册


索 引
4.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是__2__1_0___.
解析 a＋b≥2 ab＝2 10，当且仅当 a＝b＝ 10时等号成立.
索 引
5.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是__5_0_____.
解析 由m2＋n2≥2mn， ∴mn≤m2＋2 n2＝50. 当且仅当 m＝n＝±5 2时等号成立.
索 引
1、x>0，y>0，xy=16，求 x+2y 的最小值，
并说明此时x，y的值。
解： x 0, y 0 x 2 y 2 2xy 2 32 8 2
一正 二定
当且仅当 xxy21y6
x y
4 2
2时，等号成立 2
三相等
x 2y min 8 2
索
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
引
2、x>0，y>0，2x+3y=2，求 xy 的最大值，
索 引
例题分析：
例2: 某工厂要建造一个长方 体无盖贮水池 ,其容积
为4800m3 , 深为3m, 如果池底每1m2的造价为150元,
池壁每1m2的造价为120元,问怎样设计水池能使总 造价最低, 最低总造价是多少?
解: 设矩形长为x m，宽为y m 总造价为W 元
4800 3xy
xy 1600
(1)当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，
和 定 积
xy有最大值___1_S__2 _；
4
最 大
(2)当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， ，
x+y有最小值__2___P__。
积 定
用最值定理求最值的三个条件:
和
①各项皆为正数；

基本不等式课件2-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

A． > B
B． ≥ B
C． < B
= − 2 + 4 − 2，
D． ≤ B
题型二：利用基本不等式比较大小
变2 若0 < < 1，0 < < 1，且 ≠ ，则 + ，2 ，2，2
D ）.
+ 2 中最大的是（
A．2 + 2
B．2
C．2
D． +
（1）大正方形边长为___________，
a

b
2
2
a

b
面积S为______________
2
a b
2
2
b
a
2
全等
（2）四个直角三角形________，
面积和S’为_______________
2ab
'
2
2
S

S
a

b
（3）S与S’的大小关系是_________，故有_______ 2ab

+
（1）当等于定值P时，
≥ = ，所以

+≥
当且仅当 = 时，上式等号成立，此时 + 有最小值
（2）当 + 等于定值时， ≤
≤



，当且仅当 =

，两边平方，所以


时，上式等号成立，此时有最大值

最值定理及其应用
①当 + =












∴ + ≥ 2， + ≥ 2， + ≥ 2.

基本不等式 课件 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

ab

2
几何
平均
算术
平均
a b
2
2
平方
平均
当且仅当a b时等号成立
2
2

ab
ab

2
a b
2
2
2
1 1

a b
a, b 0, 当且仅当a b时等号成立
ab 2 a b
(
) ab (
)
1 1
2
2

a b
a, b R, 当且仅当a b时等号成立
2
2
2
2
∀, ∈ ,
∀, ∈ ,
2

+
2

≥ 2 ，变形式
当且仅当 =
时，等号成立
≤
2 +2
，
2
当且仅当 = 时，
等号成立
定理1.重要不等式：
（5）证明
思考：你能给出不等式
a 2 b 2≥2ab
的证明吗？
证明：（作差法） a 2 b 2 2ab ( a b ) 2
x
三相等
12
变式1 若 x 0,求 y 3 x
的最小值
x
解： x 0, 3x 0,
12
y 3x 12
x
12
当且仅当3x ，即x 2时，ymin 12
x
1
变式2 若 x 0 ,求 y x
的最大值.
x
解： x 0, x 0,
4
x y
证明是：x, y都是正数，所以
xy
2
x y
(1)若xy等于定值P,
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目标检测
2 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m． 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形的长为a，宽为b，
则由题意得a＋2b＝30，所以 S ab 1 a 2b ≤ 1 ( a 2b)2 225 ，
2
22
2
当且仅当a＝2b＝15时取等号．
新知探究
例1 （1）用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边 长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长 为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
新知探究
例1 （1）用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边 长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m， 篱笆的长度为2（x＋y）m （1）由已知xy＝100及 x y ≥ xy ，可得 x y ≥ 2 xy 20，
新知探究
追问 通过对两个例子的分析与解答，你能总结出用基本不等式解决 生活中实际问题要经历哪些步骤？
➢ 先从实际问题中抽象出数量关系，列出代数式； ➢ 思考问题是否与基本不等式的数学模型相匹配； ➢ 根据“一正、二定、三相等”的方法运算求解； ➢ 用求得的结果解释实际问题．
归纳小结
通过本单元的学习，你能说说你学到了哪些知识和方法？ 有什么体会？
2 故当矩形的长宽都为9时，旋转形成的圆柱的侧面积最大．
再见
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，
菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2．
目标检测
3 已知一个矩形的周长为32 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆 柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
解：设矩形的长为a，宽为b， 则由题意得2（a＋b）＝36，即a＋b＝18． 因为旋转形成的圆柱的侧面积为：2πab， 所以要求侧面积最大，即求ab的最大值， 由基本不等式得：ab ≤ ( a b)2 81 ，当且仅当a＝b＝9时取等号．
新知探究
例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 4800 m2， 深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价 为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设贮水池池底相邻两条边的边长分别为x m，y m， 水池的总造价为z元， 则z＝240000＋720（x＋y）， 由容积为4800 m3，可得3xy＝4800， 因此，当这个矩因此xy＝1600． 所以z≥240000＋720×2 xy，
作业布置
作业：教科书习题2.2第3，6，7，8题．
目标检测
1 做一个体积为32 m2，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值 时，用纸最少？
解：设底面的长为a，宽为b， 则由题意得2ab＝32，即ab＝16． 所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋8 ab ＝64 ， 当且仅当a＝b＝4时取等号． 即当底面的长和宽均为4时，用纸最少．
2.2 基本不等式
第二课时
复习引入
基本不等式的内容是什么？它有何作用？具体能能解决哪 几类最值问题？需要注意哪些问题？请你默写． 基本不等式： ab ≤ a b（a，b≥0）；
2 利用基本不等式可求最值；
（1）如果正数x，y的积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有 最小值；（2）如果正数x，y的和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时， 积xy有最大值． 用基本不等式求最值时要注意满足三个条件：一正、二定、三相等．
2
所以 2 x y ≥ 40 ， 当且仅当x＝y＝10时，上式等号成立．
因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时， 所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的 边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m， 篱笆的长度为2（x＋y）m （2）由已知得2（x＋y）＝36，矩形菜园的面积为xy m2 由 xy ≤ x y 18 9 ，可得xy ≤ 81 ， 当且仅当x＝y＝9时， 22 上式等号成立．因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时， 菜园的面积最大，最大面积是81 m2．
新知探究
例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 4800 m2， 深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价 为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：当x＝y＝40时，上式等号成立， 此时z＝297600． 所以将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低， 最低总造价是297600元．