高等数学第三章

第三章 函数极限

§1 函数极限的概念

引言

在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”．二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例．

通过数列极限的学习．应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”．例如，数列这种变量即是研究当时，的变化趋势．

我们知道，从函数角度看，数列可视为一种特殊的函数，其定义域为，值域是，即

; 或 或.

研究数列的极限，即是研究当自变量时，函数变化趋势．

此处函数的自变量n只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即．但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于一种呢？

为此，考虑下列函数:

类似于数列，可考虑自变量时，的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势,

由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化．但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同．而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限．

下面，我们就依次讨论这些极限．

一、时函数的极限

1． 引言

设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ．这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质．

例如 无限增大时，无限地接近于０；无限增大时，无限地接近于；无限增大时，与任何数都不能无限地接近．正因为如此，所以才有必要考虑时，的变化趋势．我们把象，这样当时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当时有极限Ａ”．

[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当时函数极限的精确定义如下.

高等数学第三章习题

一、 填充下列各题：

1.xxxxtan33lim22351__________________.

2.axxxlnlim_______________________(a>0).

3.)1ln(1023cos2limxxx___________________.

4.xxxxxsintanlim0__________________________.

5.函数233xxy在_________________单减.

6.函数322312)(xxxxf的极小值是_________________.

7.若)(xf在[a,b]上连续、在(a,b)内可导，则)(xf在[a,b]上单调减小的充分（非必要）条件是__________________________________.

8. 若)(xf在[a,b]上连续、在(a,b)内二阶可导且_______________________________，则)(xf在[a,b]上的曲线是凹的.

9.设)(xf在极值点0xx二阶可导，则在直角坐标系中)(xfy所表示的曲线在))(,(00xfx处的曲率等于____________________________________.

10.设)(xf在点0xx处具有不为零的三阶导数且________________________，则点))(,(00xfx必定是曲线)(xfy的拐点.

二、 选择题：

1.设32)2()1(xxy，则（ ）

(A) x=1是该函数的极小值点 (B)x=2是该函数的极大值点

(C)57x是该函数的极小值点 (D)x=1是该函数所表示曲线的拐点横坐标

2.设g(x)在),(严格单调减，又)(xf在0xx处有极大值，则必有（ ）：

(A)g[f(x)]在0xx处有极大值 (B) g[f(x)]在0xx处有极小值

第三章 练习题

一、填空

1、设常数，函数在内零点的个数为 2

2、 3、曲线的拐点是（1,4）．

4、曲线的拐点是 (0, 0)

5、.曲线的拐点是. 6、21

7、3 8.

9、函数xxey的极小值点是 ____1x______

10、函数xxeyxcos 在 ,0上的最小值是 0

11．xexx1limsin0 1

二、选择

1、设，则有（ B ）实根.

A.. 一个 B. 两个 C. 三个 D. 无

2、的拐点是（ C ）

A. B C. D.

3．( B )

A、 B、

C、 D、

4． ( B )

A、 B、

C、 D、

5．( C )

A、 B、

C、 D、

6．( A )

A、 B、 C、 D、

7．A

A、 B、

C、 D、

8．D

A、 B、 C、 D、

9．( C )

A、 B、

C、 D、

10．函数( C )

A、0 B、132 C、120 D、60

11．( B )

A、 B、

C、 D、

12．（ B ）

A、 B、 C、 D、

13．设在＝2处 （ A ）

A. 连续 B.不连续 C. 可导 D.不存在极限

14．( B )

A、 B、

C、 D、

15.设，则 （ C ）

A. 0 B. 1 C.-1. D. 2

第3章 中值定理与导数的应用 内容概要

名称 主要内容（3.1、3.2）

3.1

中值

定理 名称 条件 结论

罗尔

中值

定理 )(xfy

：（1）在][a,b

上连续；（2）在)(a,b

内可导；（3）)()(bfaf

至少存在一点)(a,bξ

使得

0)(/ξf

拉格

朗日

中值

定理 )(xfy

：（1）在][a,b

上连续；（2）在)(a,b

内可导 至少存在一点)b,a(

使得

)(/ξf

abafbf



)()(

柯西

中值

定理 )(xf

、)(xg

：（1）在][a,b

上连续，在)(a,b

内可导；（2）在)(a,b

内每点处0)(/xg

至少存在一点)(a,bξ

使得

abafbf

ξgξf



)()(

)()(

//

3.2

洛必

达

法则 基本形式

00

型与



型未定式

通分或取倒数化为

基本形式 1）

型：常用通分的手段化为

00

型或



型；

2）0

型：常用取倒数的手段化为

00

型或



型，即：

00

0

1/0

或0

1/0



；

取对数化为

基本形式 1）00

型：取对数得00ln00e

，其中00

0ln00

1/0



或0ln00

1/0



；

2）1

型：取对数得ln11e

，

其中00

ln10

1/0



或ln10

1/0



；

3）0

型：取对数得ln00e

，

其中00

0ln0

1/0



或0ln0

1/0



。

课后习题全解

习题3-1

★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值

。

（1）]511[32)(2.,,xxxf

； （2

）]30[3)(,,xxxf

。

知识点：罗尔中值定理。

思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/ξf

，得到的根ξ

便为所求。

解：（1）∵32)(2xxxf

在]511[.,

上连续，在)5.1,1(

内可导，且0)51()1(.ff