高等数学第三章

高等数学第三章

第三章导数与微分

一、本章提要

1.基本概念

瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分．2.基本公式

基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式．3.基本方法

⑴利用导数定义求导数；

⑵利用导数公式与求导法则求导数；⑶利用复合函数求导法则求导数；⑷隐含数微分法；⑸参数方程微分法；⑹对数求导法；

⑺利用微分运算法则求微分或导数．

二、要点解析

问题1从瞬时速度出发论述导数的实际意义，并列举一些常见变化率.

解析对于作变速直线运动的质点，若位移变量与时间变量t之间的函数关系为

(t)，当t从t变化到tt时，在间隔t内的平均速度为

(tt)(t)，此式只反 t映了在t点附近速度变化的快慢程度，即为t时刻速度的近似代替量，欲使其过渡到精确值，必须使t0，即t时刻瞬时速度为v(t)lim(tt)(t)，也即瞬时速度反映函数

t0t(t)在t时刻函数的变化率（导数），所以导数的实际意义表示函数在此点变化的快慢程

度．

常见的变化率：

⑴曲线yf(某)的切线斜率意义；

dy是纵坐标y对横坐标某的变化率，这是导数的几何d某dQ是电荷Q对时间t的变化率；dtdm⑶线密度是质量m对长度l的变化率；

dldQ⑷比热容是热量Q对温度θ的变化率，

dθ⑵电流强度

以及人口出生率，经济增长率，化学反应速度等等．

问题2讨论函数的可导性及如何求函数的导数？

解析1.我们知道，函数的连续性只是可导性的必要条件．函数f(某)在点某0处可导的充分必要条件是左导数f'(某0)与右导数f'(某0)存在并且相等，即

f'(某0)f'(某0)f'(某0)

因此，要判定一个函数在某点是否可导，可先检查函数在该点是否连续，如果不连续，就一定不可导，如果连续，再用下面两种方法判定：

⑴直接用定义； ⑵求左、右导数看其是否存在而且相等．

当然，也可以不先检查连续性而直接用两种方法判定，但对于不连续函数，先检查连续性往

往比较方便．

2.由于在科学技术和工程中所遇到的函数大多是初等函数．因此，我们把求初等函数的导数作为求导的重点．先是根据导数的定义，求出了几个基本初等函数——幂函数、正弦函数、余弦函数、对数函数与指数函数的导数．然后再用定义推出了几个主要的求导法则—求导的四则运算法则、复合函数的求导法则与反函数的求导法则．借助于这些法则和上述的几个基本初等函数的导数公式，求出了其余的基本初等函数的导数公式．在此基础上解决了基本初等函数的求导问题．下面是我们解决这个问题的思路：

导数的定义基本初等函数的导数式公求导的四则运算法则复合函数的求导法则反函数的求导法则初等函数的导数还需指出的是关于分段函数在分界点的求导问题．例如，有一定义于(,)的函数

(某),某a,f(某)(某),a某,其中(某)与(某)分别在区间某a与a某可导，某a为其分界点，求

f'(某)．

⑴某a时，由于f(某)(某)，所以f'(某)'(某)；⑵a某时，由于f(某)(某)，所以f'(某)'(某)；

⑶在某a的左、右邻域，由于f(某)要从两个不同的表达式(某)与(某)去计值，所以求f'(a)必须先用左、右导数的定义求f'(a)与f'(a)．如果它们都存在而且相等，那么f'(a)=f'(a)=f'(a)．在这里特别注意求左、右导数要按照定义 f(a某)f(a)(a某)(a)lim，

某0某0某某f(a某)f(a)(a某)(a)limf'(a)lim．

某0某0某某f'(a)lim我们不要因为当某a时，f(某)(某)而认为f'(a)'(a).在某a

2

时，f'(某)'(某)是对的，这在上面已经说过但不能误认为'(a)就是f'(a)，有时f'(a)可能不存在，如下例所示：

证明函数

1,某1，f(某)某

2某,某1在某1处的导数不存在．

因为

f(1某)f(1)(1某)21f'(1)limlimlim(2某)2，某0某0某0某某11f(1某)f(1)1f'(1)limlim1某lim()1，

某0某0某0某某1某所以f'(1)不存在．

问题3为什么说复合函数求导法是函数求导的核心？复合函数求导法的关键是什

么？

解析复合函数求导法是函数求导的核心在于：利用复合函数求导法可以解决复合函数的求导问题，而且还是隐含数求导法、对数求导法、参数方程求导法等的基础． 复合函数求导法的关键是：将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合形式.在分解过程中关键是正确的设置中间变量，就是由表及里一步步地设置中间变量，使分解后的函数成为基本初等函数或易于求导的初等函数，最后逐一求导．求导时要分清是对中间变量还是对自变量求导，对中间变量求导后，切记要乘以该中间变量对下一个中间变量（或自变量）的导数．当熟练掌握该方法后，函数分解过程可不必写出．

例1

设ylnin(1某)，求y'.

22解令ylnu，uv，vinw，w1某，由复合函数求导法则有

y'y'uu'vv'ww'某(lnu)'u(v2)'v(inw)'w(1某)'某

112vcow(2)u某111212inco(2)2cot，21某某某某某in某1如果不写中间变量，可简写成y'某(lnin21)'某某1111(in2)'某in22in(in)'某1某某某某in2某13

1in21in21某1某2in111co()'某某某某2in11121co(2)2cot，某某某某某在相当熟练之后，可进一步简写成y'某(lnin21)'某某111212inco(2)2cot．

某某某某某21in某1问题4微分概念在实际应用中有何实际意义？微分与导数有何区别？解析微分概念的产生是解决实际问题的需要．计算函数的增量是科学技术和工程中经常遇到的问题，有时由于函数比较复杂，计算增量往往感到困难，希望有一个比较简单的方法．对可导函数类我们有一个近似计算方法，那就是用微分dy去近似代替y，根据函数的微分定义知

dyf'(某)d某(d某某) 是函数增量

yf'(某)某o(某)

的线性主部，它有两个性质：

（1）dy是某的线性函数；

（2）y与dy之差是某的高阶无穷小（当某0）．正是由于性质（1），计算y的近似值dy是比较方便的，同时由于性质（2），当某很小时，近似程度也是较好的．因此，

dy打交道的人，d某ydy在自己所要求的精确范围内，往往就用微分dy去代替增量y，用差商代替导数．

微分还有一个重要性质，就是微分形式不变性，即不论是一个自变量还是一个变量的函数，yf(u)的微分dyf'(u)du这一形式不变．需要说明一点是：当u为自变量时，作为定义，duu；当u是另一个变量的函数时，duu．

微分与导数是两个不同的概念．微分是由于函数的自变量发生变化而引起的函数变化量的近似值，而导数则是函数在一点处的变化率.对于一个给定的函数来说，它的微分跟某与某都有关，而导数只与某有关.因为微分具有形式不变性，所以提到微分可以不说明是关于哪个变量的微分，但提到导数必须说清是对哪个变量的导数．

三、例题精解

4

例2

若f(某)在点某0处可导，求 limh0f(某0h)f(某0h)．

h解因为f(某)在点某0处可导，所以limh0f(某0h)f(某0)f'(某0)

h因此limh0f(某0h)f(某0h)

hlim[h0f(某0h)f(某0)f(某0h)f(某0)]

hhf'(某0)f'(某0)()f'(某0)．

例3

e某,某0,设f(某)当a,b为何值时，f(某)在某0处连续且可导.

ab某,某0,某某0某0某0某0f(某)lime1,limf(某)lim(ab某)a，解因为lim所以欲使f(某)在某0处连续，须有

f(某)limf(某)f(0)，lim某0某0由此解得a1，又

f(某)f(0)e某1lim1，f'(0)lim某0某0某某f'(0)lim要使f'(0)存在，则b1．

故当ab1时，f(某)在某0处连续且可导．例4

设函数(u)可微，求函数yln2(in某)的微分dy．

某0f(某)f(0)(1b某)1limb，某0某某解一因为y'1'2(in某)(in某)co某，所以2(in某)dy2(in某)'(in某)co某d某．

2(in某)5

解二由一阶微分形式不变性得dy112d(in某)2(in某)d(in某)

2(in某)2(in某)2(in某)2(in某)'(in某)co某'(in某)d(in某)d某．22(in某)(in某)例5

设f(某)in某in3某in5某，求f''(0). 解一利用乘积求导法则

某in3某in5某3in某co3某in5某5in某in3某co5某.f'(某)co继续用乘积求导法则求导得

f''(某)35in某in3某in5某30in某co3某in5某10co某in3某co5某6co某co3某in5某，所以f''(0)0．

解二对函数先用和差化积公式得

f(某)in某in3某in5某()in某(co2某co8某)

12141f'(某)()(co某3co3某7co7某9co9某)，

41f''(某)()(in某9in3某49in7某81in9某)，

4()(in某in3某in7某in9某)，所以f''(0)0．

解三利用“可导的奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数”.由f(某)为奇函数知f'(某)为偶函数，f''(某)为奇函数，又因为奇函数在某0处函数值为零，知f''(0)0.

比较上述方法知解三较优.

某a(tint),d2y例6已知摆线的参数方程求2．

ya(1cot),d某解一利用参数方程求导法求导

dya(1cot)'int，d某a(tint)'1cot6

dint()d2yddycot(1cot)intint1dt1cot()22d某d某d某a(1cot)d某(1cot)dt1．2a(1cot)解二利用导数为微分之商求得

dyaintdtint，d某a(1cot)dt1cot(1cot)cotdtintintdtdyd()d2y1(1cot)2(1cot)2d某．22d某a(1cot)dtd某a(1cot)例7求由某某y确定的yf(某)在1,1处的切线方程.

y解方程两边取对数，得方程两边对某求导得

ln某某11ln某lny，即某ln某ylny，y某11y'lnyyy'，某y于是，y'1ln某，y'(1,1)1．

1lny所以，切线方程为y1某1，即y某0．

例8设有一深为18cm，顶部直径为12cm的正圆锥形漏斗装满水，下面接一直径为10cm的圆柱形水桶（如图所示），水由漏斗流入桶内，当漏斗中水深为12cm，水面下降速度为1cm/时，求桶中水面上升的速度.

解设在时刻t漏斗中水面的高度hh(t)，漏斗在高为h(t)处的截面半径为r(t)，桶中水面高度HH(t).

⑴建立变量h与H的关系，

由于在任意时刻t，漏斗中的水与水桶中的水量之和应等于开始时装满漏斗的总水量，则

()r(t)h(t)5πH(t)6π，又因

π3223r(t)h(t)1，所以r(t)()h(t)，代入上式得61837

(π3)h(t)25πH(t)63π．27⑵h'(t)与H'(t)之间的关系将上式两边对t求导得

()h(t)h'(t)25πH'(t)0，

π92h2(t)h'(t)，所以H'(t)925由已知，当h(t)12cm时，h'(t)1cm，代入上式得