2013年江西省高考数学试卷(文科)答案与解析

2013年江西省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）（2013•江西）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

考点： 复数的代数表示法及其几何意义．

分析： 化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，由复数的几何意义可得答案．

解答： 解：化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，

故复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣2）在第四象限，

故选D

点评： 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．

2．（5分）（2013•江西）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（ ）

A． 4 B． 2 C． 0 D． 0或4

考点： 元素与集合关系的判断．

专题： 集合．

分析： 当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可．

解答： 解：当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件

当a≠0时，△=a2﹣4a=0，解得a=4

故选A．

点评： 本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题．

3．（5分）（2013•江西）若sin=，则cosα=（ ）

A． ﹣ B． ﹣

C． D．

考点： 二倍角的余弦．

专题： 三角函数的求值．

分析： 由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2，代入已知化简即可．

解答： 解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2

=1﹣2×=1﹣=

故选C

点评： 本题考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解决问题的关键，属基础题．

4．（5分）（2013•江西）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（ ）

A． B． C． D．

考点： 古典概型及其概率计算公式．

专题： 概率与统计．

分析： 由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案．

解答： 解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种分法，

而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，

故所求的概率为：=．

故选C．

点评： 本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．

5．（5分）（2013•江西）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198

3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938

7481

A． 08 B． 07 C． 02 D． 01

考点： 简单随机抽样．

专题： 图表型．

分析： 从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．

解答： 解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，

第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，

第三个数为08，符合条件，

以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，

故第5个数为01．

故选：D．

点评： 本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．

6．（5分）（2013•江西）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（ ）

A． （﹣∞，﹣1） B． （﹣1，0） C． （0，1） D． （1，+∞）

考点： 其他不等式的解法．

专题： 计算题；不等式的解法及应用．

分析： 通过x=，，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D．即可得到正确选项．

解答： 解：利用特殊值排除选项，不妨令x=时，代入x＜＜x2，得到＜，显然不成立，选项B不正确；

当x=时，代入x＜＜x2，得到，显然不正确，排除C；

当x=2时，代入x＜＜x2，得到，显然不正确，排除D．

故选A．

点评： 本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧．当然可以直接解答，过程比较复杂．

7．（5分）（2013•江西）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）

A． S＜8 B． S＜9 C． S＜10 D． S＜11

考点： 程序框图．

专题： 计算题；图表型．

分析： 由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．

解答： 解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；

判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；

判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；

此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9．

若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．

故选B．

点评： 本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．

8．（5分）（2013•江西）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． 200+9π B． 200+18π C． 140+9π D． 140+18π

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题．

分析： 根据题意，该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成．根据所给出的数据可求出体积．

解答： 解：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和

长方体的三度为：10、4、5；

圆柱的底面半径为3，高为2，

所以几何体的体积=10×4×5+32π×2=200+9π．

故选A．

点评： 本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽．

9．（5分）（2013•江西）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（ ）

A． 2：

B． 1：2 C． 1： D． 1：3

考点： 抛物线的简单性质．

专题： 计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．

解答： 解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）

∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，

过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|

∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，

∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|

因此，，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1： 故选：C

点评： 本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．

10．（5分）（2013•江西）如图．已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（ ）

A．

B．

C．

D．

考点： 函数的图象．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 通过t的增加，排除选项A、D，利用x的增加的变化率，说明余弦函数的变化率，得到选项即可．

解答： 解：因为当t=0时，x=0，对应y=1，所以选项A，D不合题意，

当t由0增加时，x的变化率由大变小，又y=cosx是减函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，

所以选项B满足题意，C正好相反．

故选B．

点评： 本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力．

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（5分）（2013•江西）若曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= 2 ．

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题： 导数的综合应用． 分析： 求出函数的导函数，求出x=1时的导数值，写出曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值．

解答： 解：由y=xα+1，得y′=αxα﹣1．

所以y′|x=1=α，则曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为：

y﹣2=α（x﹣1），即y=αx﹣α+2．

把（0，0）代入切线方程得，α=2．

故答案为：2．

点评： 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题．

12．（5分）（2013•江西）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于 6 ．

考点： 等比数列的通项公式．

专题： 应用题；等差数列与等比数列．

分析： 由题意可得，第n天种树的棵数an是以2为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足sn≥100，解不等式可求

解答： 解：由题意可得，第n天种树的棵数an是以2为首项，以2为公比的等比数列

sn==2n+1﹣2≥100

∴2n+1≥102

∵n∈N*

∴n+1≥7

∴n≥6，即n的最小值为6

故答案为：6

点评： 本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是等比数列模型的确定

13．（5分）（2013•江西）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是 a≥2 ．

考点： 两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．

专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 构造函数F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，利用正弦函数的特点求出F（x）max，从而可得答案．

解答： 解：∵不等式|f（x）|≤a对任意实数x恒成立，

令F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，

则a≥F（x）max．

∵f（x）=sin3x+cos3x=2sin（3x+）

∴﹣2≤f（x）≤2