2013年高考江西卷理科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

（江西卷）

第Ⅰ卷

一、选择题

1．已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )

A．－2i B．2i C．－4i D．4i

答案 C

解析 由M∩N＝{4}得zi＝4，z＝4i＝－4i.

2．函数y＝xln(1－x)的定义域为 ( )

A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1]

答案 B

解析 由 1－x>0x≥0得，函数定义域为[0,1)．

3．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )

A．－24 B．0 C．12 D．24

答案 A

解析 由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)．

解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)．

故数列的第四项为－24.

4．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198

3204 9234 4935

8200 3623 4869 6938 7481

A.08 B．07 C．02 D．01

答案 D

解析 从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.

5．x2－2x35展开式中的常数项为( )

A．80 B．－80 C．40 D．－40

答案 C

解析 Tr＋1＝Cr5(x2)5－r－2x3r＝Cr5(－2)rx10－5r，

令10－5r＝0得r＝2.∴常数项为T3＝C25(－2)2＝40.

6．若S1＝ʃ21x2dx，S2＝ʃ211xdx，S3＝ʃ21exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )

A．S1

C．S2

答案 B

解析 利用定积分的几何意义知B正确．

7．阅读如下程序框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为(

)

A．S＝2] B.S＝2] D.S＝2]

答案 C

解析 逐项验证，可排除A、B、D.

8．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝(

)

A．8 B．9 C．10 D．11

答案 A

解析 由已知得m＝4，n＝4，∴m＋n＝8.选A.

9．过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )

A.33 B．－33 C．±33 D．－3

答案 B

解析 ∵S△AOB＝12|OA||OB|sin∠AOB

＝12sin∠AOB≤12

当∠AOB＝π2时，S△AOB面积最大．

此时O到AB的距离d＝22.

设AB方程为y＝k(x－2)(k<0)，

即kx－y－2k＝0.

由d＝|2k|k2＋1＝22得k＝－33.

(也可k＝－tan∠OPH＝－33)．

10．如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于E、D两点．设弧FG的长为x(0

答案 D

解析 由题意得BC＝233.

当x＝0时，y＝233，否B.

当x＝23π时，y＝433，

∴x＝π2时，y<433.所以选D.

第Ⅱ卷

二、填空题

11．函数y＝sin 2x＋23sin2x的最小正周期T为________．

答案 π

解析 y＝sin 2x＋3(1－cos 2x)＝2sin2x－π3＋3，

∴T＝π.

12．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为π3，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．

答案 52

解析 a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉＝a·b|b|.

∵a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e21＋6e1·e2＝5.

|b|＝|2e1|＝2.

∴a·b|b|＝52.

13．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.

答案 2

解析 设ex＝t，则x＝ln t(t>0)，

∴f(t)＝ln t＋t

∴f′(t)＝1t＋1，

∴f′(1)＝2.

14．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.

答案 6

解析 由题意知Bp3，－p2，代入方程x23－y23＝1得p＝6.

三、选做题

15．(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C的参数方程为 x＝ty＝t2(t为参数)，若以直角坐标

系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．

答案 sin θ＝ρcos2θ

解析 由 x＝ty＝t2得曲线C的普通方程为y＝x2， ①

在极坐标系中， y＝ρsin θx＝ρcos θ， ②

将②代入①得曲线C的极坐标方程为sin θ＝ρcos2θ.

(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．

答案 [0,4]

解析 由||x－2|－1|≤1得－1≤|x－2|－1≤1，

解 |x－2|≥0|x－2|≤2得0≤x≤4.

∴不等式的解集为[0,4]．

四、解答题

16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos C＋(cos A－3sin A)cos B＝0.

(1)求角B的大小；

(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．

解 (1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－3sin Acos B＝0

即有sin Asin B－3sin Acos B＝0

因为sin A≠0，所以sin B－3cos B＝0，

即3cos B＝sin B.

因为0

所以sin B>0，

所以cos B>0，

所以tan B＝3，

即B＝π3.

(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，

因为a＋c＝1，cos B＝12，

所以b2＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3a＋c22

＝14(a＋c)2＝14，

∴b≥12.

又a＋c>b，∴b<1，∴12≤b<1.

17．正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)令bn＝n＋1n＋22a2n，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<564.

(1)解 由S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，

得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0，

由于{an}是正项数列，所以Sn＋1>0.

所以Sn＝n2＋n.

n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，

n＝1时，a1＝S1＝2适合上式．

∴an＝2n.

(2)证明 由an＝2n得bn＝n＋1n＋22a2n＝n＋14n2n＋22

＝1161n2－1n＋22

Tn＝116 1－132＋122－142＋132－152＋…

＋1n－12－1n＋12＋1n2－1n＋22

＝1161＋122－1n＋12－1n＋22<1161＋122＝564.

18.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．

(1)求小波参加学校合唱团的概率；

(2)求X的分布列和数学期望．

解 (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28种．

X＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，

所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝828＝27.

(2)X的所有可能值为－2，－1,0,1.

X＝－2时，有2种情形；X＝－1时有10种情形；

X＝1时，有8种情形；X＝0时有8种情形；

所以X的分布列为：

X －2 －1 0

1

P 114 514

27 27

∴E(X)＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27

＝－314.

19．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝32，连接CE并延长交AD于F.

(1)求证：AD⊥平面CFG；

(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．

(1)证明 在△ABD中，因为E为BD中点，

所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，故∠BAD＝π2，

∠ABE＝∠AEB＝π3.

因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，

从而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝π3，

所以∠FED＝∠FEA.

故EF⊥AD，AF＝FD，∴EF∥AB，GF∥PA.

又∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，

∴GF⊥AD，EF⊥AD，

故AD⊥平面CFG.

(2)解 以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，