数学高二专题 用向量讨论平行
一、直线的方向向量和平面的法向量
直线的
方向向量 能平移到直线上的 向量，叫做直线的一个方向向量
平面的
法向量
直线l⊥α，取直线l的
n，则向量n叫做平面α的法向量
二、空间平行关系
(1)两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面.
(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直.
(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直.
三、求平面法向量的方法与步骤：
(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC→，AB→；
(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(3)联立方程组 n·AC→＝0，n·AB→＝0，并求解；
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.
题型一 利用方向向量和法向量判定线面、面面的位置关系
例1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
(1)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3,－1)，b＝(－6,－9,3)；
(2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)；
(3)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)；
(4)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0,2，－3).
变式练习
1、设平面α的法向量为(1,3,－2)，平面β的法向量为(－2,－6,k)，若α∥β，则k＝_____.
题型二 求平面的法向量
例2 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量.
我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生
我爱学习网 高中数学学习方法/gaozhong/shuxue/fangfa/ 第1讲 平面向量的概念及线性运算
【2015年高考会这样考】
1．考查平面向量的线性运算．
2．考查平面向量的几何意义及其共线条件．
【复习指导】
本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别．
基础梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则 (1) 交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生
我爱学习网 高中数学学习方法/gaozhong/shuxue/fangfa/
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则 a－b＝a＋(－b)
3.向量的数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则
①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb.
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
房山高级中学生态循环课堂教学案 高二数学（理科） 第6周02 总编号：7
主备人：沈如文
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
一、教学目标
1．理解直线的方向向量和平面的法向量；2．会用待定系数法求平面的法向量．
二、教学重难点
1.直线的方向向量和平面的法向量． 2.求平面的法向量．
三、教学方法建议
新授课、启发式一一引导发现、合作探究．
四、教学流程与教学设计
（A）类问题（自学通过）
1．直线的方向向量．
我们把直线l上的向量e（0e≠） 以及与e共线的非零向量叫做直线l的 ．
2．平面的法线．
与平面 的直线叫做平面的法线．
3．平面的法向量．
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量n垂直于平面，记作n⊥．此时，我们把向量n叫做平面的法向量．
一个平面的法向量有 个，过一个定点作平面的法向量有 个．
（B）类问题（讨论探究）
4.在正方体1111ABCDABCD中，求证：1DB是平面1ACD的法向量．
房山高级中学生态循环课堂教学案 高二数学（理科） 第6周02 总编号：7
主备人：沈如文
（C）类问题（教师点拨）
5.在空间直角坐标系内，设平面经过点000()Pxyz，，，平面的法向量为()eabc＝，，，()Mxyz，，为平面内任意一点，求xyz，，满足的关系式．
五、问题解决情况检测
（A）类问题（自学通过）
1.若直线l垂直于平面，且l的方向向量为4,2,t，的法向量为2,1,21，则实数t的值为
.
（B）类问题检测
2.在正方体1111ABCDABCD中，求平面1ACD的一个法向量．
（C）类问题检测
3.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(214)AB＝，－，，(420)AD＝，，，(121)AP＝－，，－．
1 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
1．理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)
2．会用待定系数法求平面的法向量．(难点)
3．平面法向量的设法．(易错点)
[基础²初探]
教材整理1 直线的方向向量
阅读教材P99上半部分，完成下列问题．
我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．
已知直线l过A(3,2,1)，B(2,2,2)，且a＝(2,0，x)是直线l的一个方向向量，则x＝________.
【解析】 AB→＝(－1,0,1)，由题意知，a∥AB→，则存在实数λ，使a＝λAB→，即(2,0，x)＝λ(－1,0,1)，即 2＝－λ，x＝λ，∴λ＝－2，x＝－2.
【答案】 －2
教材整理2 平面的法向量
阅读教材P99中间部分，完成下列问题．
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．
1．平面α内一条直线l的方向向量为a＝(2,3，－1)，平面α的法向量为n＝(－1,1，m)，则m＝________.
【解析】 易知a²n＝0，即－2＋3－m＝0，解得m＝1. 2 【答案】 1
2．已知A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的法向量为________.
【导学号：09390079】
【解析】 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则 n²AB→＝z＝0，n²AC→＝－x＋y＋z＝0，
令x＝1，则y＝1，z＝0，
即n＝(1,1,0)，
则平面ABC的一个法向量为(1,1,0)．
【答案】 (1,1,0)(答案不惟一)
[质疑²手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
直线的方向向量及其应用
(1)已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
