人教新课标版数学高二数学选修2-1练习3-2-1直线的方向向量与平面的法向量
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精心校对 技能演练
基 础 强 化
1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α法向量的是( )
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
答案 D
2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
答案 C
3．若平面α与平面β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，与b＝(1,0,2)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．无法判定
答案 B
4．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于( )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．以上均错
答案 A
5．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60° 高中数学-打印版
精心校对 C．30° D．以上均错
解析 如图所示，易知直线l与平面α所成的角为30°.
答案 C
6．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(
)
A.33，33，－33 B.33，－33，33
C.－33，33，33 D.－33，－33，－33
解析 ∵AB→＝(－1,1,0)，AC→＝(－1,0,1)，结合选项，验证知应选D.
答案 D
7．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面ACB1的一个法向量为__________． 高中数学-打印版
精心校对
解析 建立空间直角坐标系，如图所示，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，
∴AC→＝(－1,1,0)，
AB1→＝(0,1,1)
设平面ACB1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由n⊥AC→，n⊥AB1→，
得 －x＋y＝0，y＋z＝0，令x＝1，得n＝(1,1，－1)．
答案 (1,1，－1)
8．若两个平面α，β的法向量分别等于u＝(1,0,1)，v＝(－1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是__________．
解析 ∵a＝(1,0,1)，v＝(－1,1,0)， 高中数学-打印版
精心校对 ∴|u|＝2，|v|＝2，u·v＝－1.
∴cos〈u·v〉＝－12.
∴〈u，v〉＝120°，故两平面所成的锐二面角为60°.
答案 60°
能 力 提 升
9．若直线a和b是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)，和(2，－3，－2)，求直线a和b的公垂线的一个方向向量．
解 设直线a与b的公垂线的一个方向向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥(1,1,1)，n⊥(2，－3，－2)，
∴ x＋y＋z＝0，2x－3y－2z＝0，∴ x＝－15zy＝－45z，
令z＝－5，得x＝1，y＝4，
故直线a和b的公垂线的一个法向量为(1,4，－5)．
10．如右图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝DC＝3，DD1高中数学-打印版
精心校对 ＝4，E是A1A的中点，求证：A1C∥平面BED.
证明 以点A的坐标原点，以AB、AD，AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，得A1(0,0,4)，C(3,3,0)，E(0,0,2)．取BD中点记为F，则F(32，32，0)，
∴A1C→＝(3,3，－4)，EF→＝(32，32，－2)．
∴A1C→＝2EF→.
∴A1C→∥EF→，又A1C与EF无交点，A1C∥EF，EF⊂面BED，A1C⊄平面BED.
∴A1C∥平面BED.
品 味 高 考
11．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成角的余弦值为( )
A.13 B.23
C.33 D.23
解析 如图所示，以底面中心O为坐标原点，建立空间直角坐标，O－xyz. 高中数学-打印版
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设正四棱锥的棱长为2，则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，S(0,0，2)，D(－1，－1,0)，E12，12，22，
∴AE→＝－12，32，22，SD→＝(－1，－1，－2)，
∴cos〈AE→，SD→〉＝AE→·SD→|AE→||SD→|
＝12－32－13·2＝－223＝－33.
∴AE，SD所成角的余弦值为33，故选C.
答案 C
