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(完整版)直线与方程知识点总结

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直线与方程知识点总结

一、直线基本知识

1、直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角

① 关于倾斜角的概念要抓住三点：

ⅰ.与x轴相交; ⅱ.x轴正向; ⅲ.直线向上方向.

② 直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00.

③ 倾斜角的范围000180.

④ 0,900k； 0,18090k

（2）直线的斜率

①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。

②经过两点),(),,(222111yxPyxP（21xx）的直线的斜率公式是1212xxyyk（21xx）

③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。

2、两条直线平行与垂直的判定

（1）两条直线平行

对于两条不重合的直线12,ll，其斜率分别为12,kk，则有1212//llkk。

特别地，当直线12,ll的斜率都不存在时，12ll与的关系为平行。

（2）两条直线垂直

如果两条直线12,ll斜率存在，设为12,kk，则12121llkk

注：两条直线12,ll垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,ll中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12ll与互相垂直。

二、直线的方程

1、直线方程的几种形式

名称 方程的形式 已知条件 局限性

点斜式 )(11xxkyy ),(11yx为直线上一定点，k为斜率 不包括垂直于x轴的直线

斜截式 bkxy k为斜率，b是直线在y轴上的截距 不包括垂直于x轴的直线 两点式

121121xxxxyyyy),(2121yyxx其中 ),(),,(2211yxyx是直线上两定点 不包括垂直于x轴和y轴的直线

截距式 1byax a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线

一般式 0CByAx）不同时为其中0,(BA A，B，C为系数 无限制，可表示任何位置的直线

注：过两点),(),,(222111yxPyxP的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若2121yyxx且，直线垂直于x轴，方程为1xx；

（2）若2121yyxx且，直线垂直于y轴，方程为1yy；

（3）（3）若2121yyxx且，直线方程可用两点式表示）

2、线段的中点坐标公式

若两点),(),,(222111yxPyxP，且线段21,PP的中点M的坐标为),(yx，则222121yyyxxx

3. 过定点的直线系

①斜率为k且过定点),(00yx的直线系方程为)(00xxkyy；

②过两条直线0:1111CyBxAl, 0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0)(222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线l2不在直线系中.

三、直线的交点坐标与距离公式

1.两条直线的交点

设两条直线的方程是0:1111CyBxAl, 0:2222CyBxAl两条直线的交点坐标就是方程组00222111CyBxACyBxA的解，

若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；

若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。

2.几种距离

（1）两点间的距离 平面上的两点),(),,(222111yxPyxP间的距离公式21221221)()(yyxxPP

特别地，原点)0,0(O与任一点),(yxP的距离22yxOP

（2）点到直线的距离

点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离2200BACByAxd

（3）两条平行线间的距离

两条平行线0:11CByAxl, 0:22CByAxl间的距离2212BACCd

（注意：

① 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

② 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。）

补充：

1、直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角

（2）．已知斜率k的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则的范围为(0,)2的子集，且k=tan为增函数；若k为负数，则的范围为(,)2的子集，且k=tan为增函数。若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。

2、利用斜率证明三点共线的方法：

已知112233(,),(,),(,),AxyBxyCxy若123ABACxxxkk或，则有A、B、C三点共线。

注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。

3. 两条直线位置关系的判定：

已知 0:11CByAxl, 0:22CByAxl，则：

（1）0212121BBAAll

（2）;0,0-//1221122121CACABABAll

（3）;0,0-1221122121CACABABAll重合与

（4）1l与2l相交01221BABA

如果2220ABC时，则： (1)1221121•BABAll

(2)21//ll）不为0,,(222212121CBACCBBAA；

(3)1l与2l重合）不为0,,(222212121CBACCBBAA

(4)1l与2l相交）不为0,(222121BABBAA

4. 有关对称问题

常见的对称问题：

（1）中心对称

①若点),(11yxM及),(22yxN关于),(baP对称，则由中点坐标公式得1122ybyxax

②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用21//ll，由点斜式得到所求直线方程。

（2）轴对称

①点关于直线的对称

若两点),(111yxP与),(222yxP关于直线0:CByAxl对称，则线段21PP的中点在对称轴l上，而且连接21PP的直线垂直于对称轴l上，由方程组

•1)(0)2()2(12122121BAxxyyCyyBxxA22yx

可得到点1P关于l对称的点2P的坐标),(22yx（其中21,0xxA）

②直线关于直线的对称

此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。

注：①曲线、直线关于一直线bxy对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线0),(yxf关于直线2xy对称曲线方程是0)2,2(xyf

②曲线0),(:yxfC关于点),(ba的对称曲线方程是0)2,2(ybxaf

5. 两条直线的交角

①直线1l到2l的角（方向角）；直线1l到2l的角，是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角，它的范围是),0(，当90时21121tankkkk.

②两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是2,0，当90，则有21121tankkkk.

6. 直线l上一动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：

(1) 在直线l上求一点P，使PBPA取得最小值，

① 若点BA、位于直线l的同侧时，作点A（或点B）关于l的对称点/A或/B,

.)(//即为所求点，则点于交或连接PPlABBA

② 若点BA、位于直线的异侧时，连接AB交于l点P，则P为所求点。

可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.

（2）在直线l上求一点P使PBPA取得最大值，

方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”

① 若点BA、位于直线l的同侧时，连接AB交于l点P，则P为所求点。

② 若点BA、位于直线的异侧时，作点A（或点B）关于l的对称点/A或/B,

.)(//即为所求点，则点于交或连接PPlABBA

(3) 22PBPA的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。

7. 直线过定点问题：

① 含有一个未知参数，

12)1(axay 1)2(xxay （1）

令202xx，

将3)1(2yx式，得代入，从而该直线过定点)3,2(

② 含有两个未知参数

0)2()3(nynmxnm 0)12()3(yxnyxm 令1203yxyx

7371yx

从而该直线必过定点)73,71(

8. 点到几种特殊直线的距离

（1）点00(,)Pxy到x轴的距离0||dy。

（2）点00(,)Pxy到y轴的距离0||dx.

（3）点00(,)Pxy到与x轴平行的直线y=a的距离0||dya。

（4）点00(,)Pxy到与y轴平行的直线x=b的距离0||dxa.

9. 与已知直线平行的直线系有：

（1）平行于直线)(00//CCCByAxCByAx的直线可表示为

（2）平行于直线)(//bbbkxybkxy的所有直线为

10. 易错辨析：

（1） 讨论斜率的存在性：

解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：

① 斜率不存在时，是否满足题意；

② 斜率存在时，斜率会有怎样关系。

（2）注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；

（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）

（3） 直线到两定点距离相等，有两种情况：

① 直线与两定点所在直线平行；

② 直线过两定点的中点。

（求解过某一定点的直线方程时，较为常见。）

（4）过点),(00yxA，平行于x轴的直线方程为0yy

过点),(00yxA，平行于y轴的直线方程为0xx

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直线与方程知识点归纳

直线与方程知识点归纳

直线与方程知识点归纳

1. 直线的定义和性质

直线是平面上两个不同点之间的所有点的集合。直线具有以下性质： - 直线没有宽度和长度，只有方向 - 直线上的任意两点可以确定一条直线 - 直线可以延伸无限远

2. 直线的方程

直线可以用方程来表示。常见的直线方程有三种形式：点斜式、斜截式和截距式。

2.1 点斜式

点斜式方程的形式为：

y - y1 = m(x - x1)

其中 (x1, y1) 是直线上的一点，m 是直线的斜率。

2.2 斜截式

斜截式方程的形式为：

y = mx + b

其中 m 是直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。

2.3 截距式

截距式方程的形式为：

Ax + By = C

其中 A、B 和 C 是常数，且 A 和 B 不同时为0。

3. 直线的斜率

直线的斜率描述了直线的倾斜程度。斜率可以通过两点之间的坐标计算得到，公式如下：

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 是直线上的两个点。

直线的斜率还可以根据直线的方程得到。对于点斜式和斜截式方程，斜率即为方程中的 m 值。对于截距式方程，斜率可以通过以下公式计算： m = -A / B

4. 直线的截距

直线的截距是指直线与坐标轴的交点。直线的截距可以通过直线的方程得到。

对于斜截式方程，直线与 x 轴的截距为 (b, 0)；直线与 y 轴的截距为 (0, b)。

对于截距式方程，直线与 x 轴的截距为 (C/A, 0)；直线与 y 轴的截距为 (0,

C/B)。

5. 直线的平行和垂直关系

两条直线平行的条件是它们的斜率相等。如果直线的斜率为 m1，另一条直线的斜率为 m2，则两条直线平行的条件为 m1 = m2。

两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为 -1。如果直线的斜率为 m1，另一条直线的斜率为 m2，则两条直线垂直的条件为 m1 * m2 = -1。

高一数学知识点总结_直线与方程知识点

高一数学知识点总结_直线与方程知识点

⾼⼀数学知识点总结_直线与⽅程知识点

⾼⼀数学怎么学?多预习，预习还可以培养⾃⼰的⾃学能⼒。今天⼩编在这给⼤家整理了⾼⼀数学知识点总结，接下来随着⼩编⼀起来看看吧!

⾼⼀数学知识点总结(⼀)

直线的倾斜⾓与斜率

定义：x轴正向与直线向上⽅向之间所成的⾓叫直线的倾斜⾓。特别地，当直线与x轴平⾏或重合时，我们规定它的倾斜⾓为0度。

范围：

倾斜⾓的取值范围是0°≤α<180°。

理解：(1)注意“两个⽅向”：直线向上的⽅向、x轴的正⽅向;

(2)规定当直线和x轴平⾏或重合时，它的倾斜⾓为0度。

意义：

①直线的倾斜⾓，体现了直线对x轴正向的倾斜程度;

②在平⾯直⾓坐标系中，每⼀条直线都有⼀个确定的倾斜⾓;

③倾斜⾓相同，未必表⽰同⼀条直线。

公式：k=tanα

k>0时α∈(0°，90°)

k<0时α∈(90°，180°)

k=0时α=0°

当α=90°时k不存在ax+by+c=0(a≠0)倾斜⾓为A，

则tanA=-a/b，A=arctan(-a/b)

当a≠0时，

倾斜⾓为90度，即与X轴垂直

练习题：1.直线l经过原点和(-1，1)，则它的倾斜⾓为()

A.45°

B.135°

C.45°或135°

D.-45°

【解析】选B.直线l的斜率为k==-1，所以直线的倾斜⾓为钝⾓135°.2.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜⾓为α，若将此直线绕点P按逆时针⽅向旋转45°，得到直线的倾斜⾓为α+45°，则()A.0°≤α<180°

B.0°≤α<135°

C.0°

D.0°

【解析】选D.直线l与x轴相交，可知α≠0°，

⼜α与α+45°都是倾斜⾓，从⽽有

得0°

A.1B.1C.3D.4

【解析】选B.因为tanα=，0°≤α<180°，所以α=30°，

故2α=60°，所以k=tan60°=.故选B.

⾼⼀数学知识点总结(⼆)

直线的⽅程

定义：

从平⾯解析⼏何的⾓度来看，平⾯上的直线就是由平⾯直⾓坐标系中的⼀个⼆元⼀次⽅程所表⽰的图形。求两条直线的交点，只需把这两个⼆元⼀次⽅程联⽴求解，当这个联⽴⽅程组⽆解时，两直线平⾏;有⽆穷多解时，两直线重合;只有⼀解时，两直线相交于⼀点。常⽤直线向上⽅向与X轴正向的夹⾓(叫直线的倾斜⾓)或该⾓的正切(称直线的斜率)来表⽰平⾯上直线(对于X轴)的倾斜程度。可以通过斜率来判断两条直线是否互相平⾏或互相垂直，也可计算它们的交⾓。直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。直线在平⾯上的位置，由它的斜率和⼀个截距完全确定。在空间，两个平⾯相交时，交线为⼀条直线。因此，在空间直⾓坐标系中，⽤两个表⽰平⾯的三元⼀次⽅程联⽴，作为它们相交所得直线的⽅程。

2020高二数学直线与方程知识点

2020高二数学直线与方程知识点

2020高二数学直线与方程知识点

一、直线与方程

(1)直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°

(2)直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，。当时，;当时，不存在。

②过两点的直线的斜率公式：

注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;

(2)k与P1、P2的顺序无关;

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

(3)直线方程

①点斜式：

直线斜率k，且过点

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。 ②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

③两点式：()直线两点，

④截矩式：

其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。

⑤一般式：(A，B不全为0)

⑤一般式：(A，B不全为0)

注意：○1各式的适用范围

○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：

(b为常数);平行于y轴的直线：

(a为常数);

(4)直线系方程：即具有某一共同性质的直线

(一)平行直线系

平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)

(二)过定点的直线系

(ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点;

(ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为(为参数)，其中直线不在直线系中。

(5)两直线平行与垂直

当，时，;

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

(6)两条直线的交点

相交 交点坐标即方程组的一组解。方程组无解;方程组有无数解与重合

直线与方程小结复习

直线与方程小结复习

《直线与方程》小结与复习（2017-11-4）

一、两直线间的平行与垂直问题

（1）已知两直线1l：260xmy，2l：2320mxmym，若12//ll，求实数m的值；

方法一、

方法二、

（2）选择合适的方法解答

已知直线1l：3410kxky与2l：23230kxy平行，则k的值是 ．

（3）已知两直线1l：260axy和2l：2110xaya．若12ll，实数a的值为_____．

二、点到直线距离问题

（1）已知正方形的中心为点(1,0)M，一条边所在的直线的方程是350,xy求正方形其他三边所在直线的方程．

（2）已知250xy，则22xy的最小值是

（3）设直线l经过点1,1，则当点2,1与直线l的距离最大时，直线l的方程为 ．

三、三角形问题

1.已知ABC的顶点(5,1),AAB边上的中线CM所在直线方程为250,xyAC边上的高BH所在直线方程为250xy．求：顶点C的坐标；直线BC的方程．

2.已知P（3，2），一直线l过点P，

①若直线l在两坐标轴上截距之和为12，求直线l的方程；

②若直线l与x、y轴正半轴交于A、B两点，当OAB面积为12时求直线l的方程．

3.已知直线:120lkxykkR．

（1）证明直线l过定点；

（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，求使AOB面积最小时直线l的方程．

四、对称的应用 最值问题

1.已知直线l：2310xy，点1,2A．求：

（1）点A关于直线l的对称点A的坐标；

（2）直线m：3260xy关于直线l的对称直线m的方程；

（3）直线l关于点1,2A对称的直线l的方程．