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直线与方程知识点总结

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直线与方程知识点总结

1、 直线的斜率与倾斜角

(1)斜率

①两点的斜率公式：1122(,),(,)PxyQxy，则212121()PQyykxxxx

②斜率的范围：kR

(2)直线的倾斜角范围：0,180

（3）斜率与倾斜角的关系：tan(90)k

注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；

（2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。

2、直线方程

(1)点斜式：00()yykxx；适用于斜率存在的直线

（2）斜截式：ykxb；适用于斜率存在的直线

注：b为直线在y轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零

（3）两点式：1112122121(,)xxyyxxyyxxyy；适用于斜率存在且不为零的直线

（4）截距式：1xyab；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线

（5）一般式：0AxByC（,AB不同时为0）

（6）特殊直线方程

①斜率不存在的直线（与y轴垂直）：0xx；特别地，y轴：0x

②斜率为0的直线（与x轴垂直）：0yy；特别地，x轴：0y

③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）yxb；（Ⅱ）ykx

在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）yxb；（Ⅱ）ykx

在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）yxb；（Ⅱ）yxb；（Ⅲ）ykx

3、平面上两直线的位置关系及判断方法

（1）111222:;:lykxblykxb

①平行：12kk且12bb（注意验证12bb）

②重合：12kk且12bb

③相交：12kk 学习好资料 欢迎下载

特别地，垂直：121kk

（2）11112222:0;:0lAxByClAxByC

①平行：1221ABAB且1221ACAC（验证）

②重合：1221ABAB且1221ACAC

③相交：1221ABAB

特别地，垂直：12120AABB

（3）与直线0AxByC平行的直线可设为：0AxBym

与直线0AxByC垂直的直线可设为：0BxAyn

4、其他公式

（1）平面上两点间的距离公式：1122(,),(,)AxyBxy，则221212()()ABxxyy

（2）线段中点坐标公式：1122(,),(,)AxyBxy，则,AB中点的坐标为1212(,)22xxyy

（3）三角形重心坐标公式：112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy，则三角形ABC的重心坐标公式为：123123(,)33xxxyyy

（4）点00(,)Pxy到直线:0lAxByC的距离公式：0022AxByCdAB

（5）两平行线112212:0;:0()lAxByClAxByCCC间的距离：2122CCdAB（用此公式前要将两直线中,xy的系数统一）

（6）点A关于点P的对称点B的求法：点P为,AB中点

（7）点A关于直线l的对称点B的求法：利用直线AB与直线l垂直以及AB的中点在直线l上，列出方程组，求出点B的坐标。

（二）、圆

1、圆的方程

（1）圆的标准方程：222()()xaybr，其中(,)ab为圆心，r为半径

（2）圆的一般方程：22220(40)xyDxEyFDEF，其中圆心为(,)22DE，半径为22142DEF(只有当22,xy的系数化为1时才能用上述公式)

注意：已知圆上两点求圆方程时，注意运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。

2、直线与圆的位置关系

(1)直线:0lAxByC，圆222:()()Cxaybr，记圆心(,)Cab到直线l的距离22AaBbCdAB 学习好资料 欢迎下载

①直线与圆相交,则0dr或方程组的0

②直线与圆相切，则dr或方程组的0

③直线与圆相离，则dr或方程组的0

（2）直线与圆相交时，半径r，圆心到弦的距离d，弦长l，满足：222lrd

（3）直线与圆相切时，

①切线的求法：

（Ⅰ）已知切点（圆上的点）求切线,有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直；

（Ⅱ）已知切线斜率求切线，有两条互相平行的切线，设切线方程为ykxb，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出b的值；

（Ⅲ）已知过圆外的点00(,)Pxy求圆222:()()Cxaybr的切线，有两条切线，若切线的斜率存在，设切线方程为：00()yykxx，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出k的值；若切线的斜率不存在，则切线方程为0xx，验证圆心到切线距离是否等于半径。

②由圆外点00(,)Pxy向圆222:()()Cxaybr引切线，记,PC两点的距离为d，则切线长22ldr

（4）直线与圆相离时，圆心到直线距离记为d，则圆上点到直线的最近距离为dr，最远距离为dr

3、两圆的位置关系

圆2221111:()()Cxaybr，圆2222222:()()Cxaybr，两圆圆心距离221212()()daabb

(1)两圆相离，则12drr

（2）两圆相外切，则12drr

（3）两圆相交，则1212rrdrr

注：圆221111:0CxyDxEyF，圆222222:0CxyDxEyF相交，则两圆相交弦方程为：121212()()()0DDxEEyFF

（4）两圆相内切，则12drr

（5）两圆内含，则120drr

特别地，当0d时，两圆为同心圆

（三）、空间直角坐标系

1、右手系（与y轴，z轴平行或在y轴，z轴上的线段长度不变，与x轴平行或在x轴上的线段长度变为原来的一半。）

2、空间两点间的距离公式：111222(,,),(,,)AxyzBxyz，则222121212()()()ABxxyyzz

3、空间两点的中点坐标公式：111222(,,),(,,)AxyzBxyz，则AB中点坐标为121212(,,)222xxyyzz

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直线与方程知识点与练习试题

直线与方程知识点与练习试题

直线与方程知识点与练习试题

1 / 5 直线与方程

【知识点一：直线的方程】

（1）直线方程的几种形式

名称 方程的形式 已知条件 局限性

①点斜式 11()yykxx 11(,)xy为直线上一定点，

k为斜率 不包括垂直于x轴的直线

②斜截式 ykxb k为斜率，b是直线在y轴

上的截距 不包括垂直于x轴的直线

③两点式 112121yyxxyyxx 11221212(,),(,)xyxyxxyy经过两点且(,) 不包括垂直于x轴和y轴的直线

④截距式 1xyab a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线

⑤一般式 0AxByC

22(0)AB ,,ABC为系数 无限制，可表示任何位置的直线

（2）线段的中点坐标公式

121122,(,),(,)PPxyxy若点的坐标分别是，

1212122(,)2xxxPPMxyyyy且线段的中点的坐标为

【知识点二：直线平行与垂直】

（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,ll，其斜率分别为12,kk，则有2121 // kkll

特别地，当直线12,ll的斜率都不存在时，12ll与的关系为平行

（2）两条直线垂直：如果两条直线12,ll斜率存在，设为12,kk，则有1- 2121kkll

注：两条直线12,ll垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；

由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为直线与方程知识点与练习试题

2 / 5 -1。如果12,ll中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12ll与互相垂直.

【知识点三 直线的交点坐标与距离】

（1）两条直线的交点

设两条直线的方程是1111:0lAxByC, 2222:0lAxByC

两条直线的交点坐标就是方程组11122200AxByCAxByC的解。

直线与方程知识点归纳

直线与方程知识点归纳

直线与方程知识点归纳

1. 直线的定义和性质

直线是平面上两个不同点之间的所有点的集合。直线具有以下性质： - 直线没有宽度和长度，只有方向 - 直线上的任意两点可以确定一条直线 - 直线可以延伸无限远

2. 直线的方程

直线可以用方程来表示。常见的直线方程有三种形式：点斜式、斜截式和截距式。

2.1 点斜式

点斜式方程的形式为：

y - y1 = m(x - x1)

其中 (x1, y1) 是直线上的一点，m 是直线的斜率。

2.2 斜截式

斜截式方程的形式为：

y = mx + b

其中 m 是直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。

2.3 截距式

截距式方程的形式为：

Ax + By = C

其中 A、B 和 C 是常数，且 A 和 B 不同时为0。

3. 直线的斜率

直线的斜率描述了直线的倾斜程度。斜率可以通过两点之间的坐标计算得到，公式如下：

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 是直线上的两个点。

直线的斜率还可以根据直线的方程得到。对于点斜式和斜截式方程，斜率即为方程中的 m 值。对于截距式方程，斜率可以通过以下公式计算： m = -A / B

4. 直线的截距

直线的截距是指直线与坐标轴的交点。直线的截距可以通过直线的方程得到。

对于斜截式方程，直线与 x 轴的截距为 (b, 0)；直线与 y 轴的截距为 (0, b)。

对于截距式方程，直线与 x 轴的截距为 (C/A, 0)；直线与 y 轴的截距为 (0,

C/B)。

5. 直线的平行和垂直关系

两条直线平行的条件是它们的斜率相等。如果直线的斜率为 m1，另一条直线的斜率为 m2，则两条直线平行的条件为 m1 = m2。

两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为 -1。如果直线的斜率为 m1，另一条直线的斜率为 m2，则两条直线垂直的条件为 m1 * m2 = -1。

直线方程(直线方程完美总结归纳)

直线方程(直线方程完美总结归纳)

直线方程

一、倾斜角与斜率

1.直线的倾斜角

①倾斜角：与x轴正方向的夹角

②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为

③倾斜角的范围

2.直线的斜率

①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值.记作tank0(90)

②当直线l与x轴平行或重合时, 00,0tan00k

③当直线l与x轴垂直时, 090,k不存在.

④经过两点1112212(,),(,)PxyPxyxx（）的直线的斜率公式是2121yykxx

⑤每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.

3.求斜率的一般方法：

①已知直线上两点，根据斜率公式212121()yykxxxx求斜率；

②已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据tank来求斜率；

4.利用斜率证明三点共线的方法：

已知112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy，若123ABBCxxxkk或，则有A、B、C三点共线。

考点一 斜率与倾斜角

例1. 已知直线l的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为（ ）. A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150°

例2.已知过两点22(2,3)Amm, 2(3,2)Bmmm的直线l的倾斜角为45°，求实数m的值.

考点二 三点共线

例1.已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．

考点三 斜率范围

例1.已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.

例2. 已知实数x、y满足28,xy当2≤x≤3时，求yx的最大值与最小值。

二、 直线方程

名称 方程的形式 已知条件 局限性

①点斜式 11()yykxx 11(,)xy为直线上一定点，

第三章 直线与方程知识点

第三章 直线与方程知识点

直线与圆的方程知识点总结

一、直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时, α= 90°.

3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是：k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、 直线斜率公式:定两点21222111),,(),,(xxyxPyxP,用两点的坐标来表示直线21PP的斜率：1212xxyy

二、两条直线的平行与垂直

1、若已知直线方程为111:bxkyl与222:bxkyl

则：2121//kkll且21bb，12121kkll

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果2121bbkk且, 那么一定有21//ll；用一般式方程判断才是等价的：01221BABA且211221//0llCBCB

2、若已知直线方程为0:1111CyBxAl与0:2222CyBxAl，则01221BABA且211221//0llCBCB，2121210llBBAA

三、直线的方程

1、点斜式：直线l经过点),(000yxP，且斜率为k，其方程是)(00xxkyy

2、斜截式：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为),0(b，其方程是bkxy

3、两点式：已知两点),(),,(222211yxPxxP其中),(2121yyxx，其方程是121121xxxxyyyy